平面向量的应用PPT优秀课件
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平面向量应用举例课件
F
由
200 2 cos
3
2
≤
200,
cos
2
≥
3 2
,
2
≤
6
,
≤
3
.
u ur
u ur
F1 F2
从 而 可 知 0 o ， 6 0 o 绳 子 才 不 会 断 .
ur G
例艘4船.如从图A处,一出u条ur发河到的河两对岸岸平,已行知,河船的的宽速度度d=|5vur10| 01m0k,一m/h, ,水流速度 |v2|2km/h,问行驶航程最短时,所用时间 是多少？(精确到0.1min)
2.5平面向量的应用举例 主页
1.平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何 背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运 算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我 们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 研究对象： 与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、夹 角等几何问题
充分利用向量这个工具来解决
2 cos
u ur
2
（1）θ为何值时，| F 1 最| 小，最小值是多少？
答：在上式ur 中，当θ =0º时，
c
o
s
2
最大，|
u ur F1
最| 小
且等于 | G | .
2
u ur
ur
（2）| F 1 | 能等于 | G | 吗？为什么？
答：在上式中，当
cos
2
1 2
,
uur ur
| F1 ||G|
即θ=120º时，
生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体.
《平面向量应用举例》高一年级下册PPT课件
第二章 平面向量
[解析] 以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标
系．
∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)， 则A→C＝(3，－4)． ∵点 M 是边 AC 上靠近点 A 的一个三等分点， ∴A→M＝31A→C＝(1，－43)，
8
∴M(4，3)，
第二章 平面向量
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线 段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a· b＝0(或 x1x2＋y1y2＝0)
_______________________________.
a· b cosθ＝|a ||b|
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式________________.
第二章 平面向量
∴B→M＝(4，8)．
3
假设在 BM 上存在点 P 使得 PC⊥BM， 设B→P＝λB→M，且 0<λ<1， 即B→P＝λB→M＝λ(4，83)＝(4λ，83λ)， ∴C→P＝C→B＋B→P＝(－6,0)＋(4λ，83λ)＝(4λ－6，83λ)． ∵PC⊥BM，∴C→P· B→M＝0，
第二章 平面向量
[解析] A→B＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j， (1)F1所做的功 W1＝F1· s＝F1· A→B ＝(i＋j)· (－13i－15j)＝－28； F2 所做的功 W2＝F2· s＝F2· A→B ＝(4i－5j)· (－13i－15j)＝23. (2)因为 F＝F1＋F2＝5i－4j， 所以 F 所做的功 W＝F· s＝F· A→B ＝(5i－4j)· (－13i－15j)＝－5.
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
第二十七讲 平面向量的应用课件.ppt
答案 －14
评析 本题考查平面向量加减法的几何运算、平面向量的 数量积运算，考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思 想等数学思想方法．
3．将 y＝2cosx3＋π6的图像按向量 a＝－π4，－2平移，则 平移后所得图像的解析式为( )
A．y＝2cosx3＋π4－2 B．y＝2cosx3－π4＋2 C．y＝2cosx3－1π2－2 D．y＝2cosx3＋1π2＋2
解析 函数 y＝2cosx3＋π6的图像按向量 a＝－π4，－2平移后所得图像解析式为 y＝2cos13x＋π4＋π6－2＝2cos13x＋π4－2，所以选 A.
答案 A
4．若直线 2x－y＋c＝0 按向量 a＝(1，－1)平移后与圆 x2
＋y2＝5 相切，则 c 的值为( )
A．8 或－2
B．6 或－4
②通过运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等 问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
【典例 1】 如图，正方形 OABC 两边 AB，BC 的中点分 别为 D 和 E，求∠DOE 的余弦值．
[分析] 把∠DOE 转化为向量夹角．
[解] 解法一：O→D＝O→A＋A→D＝O→A＋12A→B，
O→E＝O→C＋C→E＝O→C＋12C→B，
2．向量应用的分类概述 (1)应用平面向量解决函数与不等式的问题，是以函数和 不等式为背景的一种向量描述，它需要掌握向量的概念及基 本运算，并能根据题设条件构造合适的向量，利用向量的 “数”、“形”两重性解决问题． (2)平面向量与三角函数的整合，仍然是以三角题型为背 景的一种向量描述，它需要根据向量的运算性质将向量问题 转化为三角函数的相关知识来解答，三角知识是考查的主体．
＝0 且 2(a·b)＝|a|·|b|，则由向量 a·b，c 构成的三角形的三个内
评析 本题考查平面向量加减法的几何运算、平面向量的 数量积运算，考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思 想等数学思想方法．
3．将 y＝2cosx3＋π6的图像按向量 a＝－π4，－2平移，则 平移后所得图像的解析式为( )
A．y＝2cosx3＋π4－2 B．y＝2cosx3－π4＋2 C．y＝2cosx3－1π2－2 D．y＝2cosx3＋1π2＋2
解析 函数 y＝2cosx3＋π6的图像按向量 a＝－π4，－2平移后所得图像解析式为 y＝2cos13x＋π4＋π6－2＝2cos13x＋π4－2，所以选 A.
答案 A
4．若直线 2x－y＋c＝0 按向量 a＝(1，－1)平移后与圆 x2
＋y2＝5 相切，则 c 的值为( )
A．8 或－2
B．6 或－4
②通过运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等 问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
【典例 1】 如图，正方形 OABC 两边 AB，BC 的中点分 别为 D 和 E，求∠DOE 的余弦值．
[分析] 把∠DOE 转化为向量夹角．
[解] 解法一：O→D＝O→A＋A→D＝O→A＋12A→B，
O→E＝O→C＋C→E＝O→C＋12C→B，
2．向量应用的分类概述 (1)应用平面向量解决函数与不等式的问题，是以函数和 不等式为背景的一种向量描述，它需要掌握向量的概念及基 本运算，并能根据题设条件构造合适的向量，利用向量的 “数”、“形”两重性解决问题． (2)平面向量与三角函数的整合，仍然是以三角题型为背 景的一种向量描述，它需要根据向量的运算性质将向量问题 转化为三角函数的相关知识来解答，三角知识是考查的主体．
＝0 且 2(a·b)＝|a|·|b|，则由向量 a·b，c 构成的三角形的三个内
251平面向量应用举例.ppt
11
1.当逐渐增大时，F1 的大小怎样变化，为什么？ 2.为何值时，F1 最小，最小值是多少？ 3.为何值时，F1 G？
12
,
uuur 于是 RT
1
uuur AC
3
3
3
故AT=RT=TC
6
练习、证明直径所对的圆周角
是直角
C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
r b
ar O
B
量AC CB，即 AC CB 0 。
解：设 AO a,OC b
2.5平面向量应用举例
2.5.1平面几何的向量方法
1
平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量 的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这 就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的 方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
ur
uur
v1 10km / h，水流的速度 v2 2km / h，
问行驶航程最短时，所用的时间是多少？
B
r ur uur
分析：如图，已知v
ur
uur
v1
v2，
V
v1 10km / h, v2 2km / h，
r uur
v v2，求t.
9
解：由已知条件得 v v2 0
2
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
1.当逐渐增大时，F1 的大小怎样变化，为什么？ 2.为何值时，F1 最小，最小值是多少？ 3.为何值时，F1 G？
12
,
uuur 于是 RT
1
uuur AC
3
3
3
故AT=RT=TC
6
练习、证明直径所对的圆周角
是直角
C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
r b
ar O
B
量AC CB，即 AC CB 0 。
解：设 AO a,OC b
2.5平面向量应用举例
2.5.1平面几何的向量方法
1
平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量 的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这 就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的 方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
ur
uur
v1 10km / h，水流的速度 v2 2km / h，
问行驶航程最短时，所用的时间是多少？
B
r ur uur
分析：如图，已知v
ur
uur
v1
v2，
V
v1 10km / h, v2 2km / h，
r uur
v v2，求t.
9
解：由已知条件得 v v2 0
2
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
平面向量的应用PPT课件
（4）点 P 满足：OP OA ( AB AC ) ， (0, ) ，则
| AB | | AC |
点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( B )
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
第10页/共29页
例3.
1）、在ABC中AB • BC 0,则ABC为
三角形
2）、在ABC中BC
• CA
2
BC
变式：若AC 10，求BD长度
第14页/共29页
3．(【093天】3．津()09在天四津边)形在A四BC边D形中A，BCADB 中= D，CA=B（=1D，C1）=，（1，1），
|
1 BA
|
BA
1
|
BB1CA|BC1
|
3
BDC
BD
|
，3则B四D边，形则AB四C边D 形
ABCD
| BA | 3 | BC | | BD |
的面积是
2
解：由题的知面四积边是形ABCD是菱形，其边长为 2,
A
D
B
C
第15页/共29页
平面向量的应用（3）
第16页/共29页
例 1.已知 ABC 中, AB 2, AC 3， (1)若O为 ABC 的垂心，求 AO BC ； (2)若O为 ABC 的重心，求 AO BC ； (3)若O为 ABC 的外心，求 AO BC .
9.（2013
浙江卷理
7）设
ABC,
P0
是边
AB
上一定点，满足
P0 B
1 4
AB
，
且对于边 AB 上任一点 P ，恒有 PB • PC P0B • P0C 。则
A. ABC 900 B. BAC 900 C. AB AC D. AC BC
| AB | | AC |
点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( B )
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
第10页/共29页
例3.
1）、在ABC中AB • BC 0,则ABC为
三角形
2）、在ABC中BC
• CA
2
BC
变式：若AC 10，求BD长度
第14页/共29页
3．(【093天】3．津()09在天四津边)形在A四BC边D形中A，BCADB 中= D，CA=B（=1D，C1）=，（1，1），
|
1 BA
|
BA
1
|
BB1CA|BC1
|
3
BDC
BD
|
，3则B四D边，形则AB四C边D 形
ABCD
| BA | 3 | BC | | BD |
的面积是
2
解：由题的知面四积边是形ABCD是菱形，其边长为 2,
A
D
B
C
第15页/共29页
平面向量的应用（3）
第16页/共29页
例 1.已知 ABC 中, AB 2, AC 3， (1)若O为 ABC 的垂心，求 AO BC ； (2)若O为 ABC 的重心，求 AO BC ； (3)若O为 ABC 的外心，求 AO BC .
9.（2013
浙江卷理
7）设
ABC,
P0
是边
AB
上一定点，满足
P0 B
1 4
AB
，
且对于边 AB 上任一点 P ，恒有 PB • PC P0B • P0C 。则
A. ABC 900 B. BAC 900 C. AB AC D. AC BC
平面向量应用举例ppt
xx年xx月xx日
平面向量应用举例ppt
平面向量的基础知识平面向量在几何中的应用平面向量在物理中的应用平面向量在解析几何中的应用平面向量的实际应用举例平面向量的发展前景与研究方向
contents
目录
01
平面向量的基础知识
平面向量的定义
带有方向和大小的量
平面向量
零向量
单位向量
相等向量
长度为0的向量
要点三
平面向量在经济学中的应用
总结词
向量在经济学中可以用于描述经济指标之间的关系和趋势。
向量在生产函数中的应用
生产函数是经济学中的一个重要概念，它可以用向量来表示各种生产要素之间的比例关系。
向量在投入产出分析中的应用
投入产出分析是经济学中用于研究各部门之间相互依存关系的方法，可以用向量来表示不同部门之间的相互影响。
2
3
直线方向向量是直线上任意两点坐标差的向量，因此可用向量表示直线方向。
直线方向向量的表示
直线距离向量可以用两个点之间的距离表示，从而用于计算点到直线的距离。
直线距离向量的表示
曲线每一点的切向量是该点处曲线切线的方向向量，而法向量则是垂直于切向量的向量。
曲线切向量和法向量的表示
03
向量夹角的求解
两个向量夹角的求解可以用两个向量的点积除以两个向量的模长乘积得到。
总结词
向量在几何形状分析中的应用
向量可以用有向线段表示，具有方向和大小两个属性，可以用来表示物体的位置和运动
向量的几何意义
向量可以表示直线和平面，用向量表示直线可借助其方向和长度来刻画直线的基本性质；用向量表示平面可借助其法向量和到平面的距离来刻画平面的基本性质
向量在解析几何中的应用
平面向量应用举例课件PPT
解： (1)粒子 b 相对于粒子 a 的位移 s＝sb－sa＝(4,3)－(3，－4)＝ (1,7)． (2)设 s 与 sa 的夹角为 θ，则 s 在 sa 方向上的投影为 |s|cos θ＝|s||ss|··s|saa|＝s|s·saa| ＝1×33＋2＋7×－4－24＝－5.
误区解密 推理不严谨而出错 【例题】 三角形 ABC 中，设B→C＝a，C→A＝b，A→B＝c，若 a·b ＝b·c＝c·a，请确定三角形 ABC 的形状．
典例剖析 知识点 1 用向量解答几何问题
【例 1】 已知两定点 A(－2,0)，B(2,0)，P 是圆 C：(x－5)2＋ (y－12)2＝4 上的一个动点，求|PA|2＋|PB|2 的最大值和最小值．
思路点拨：用向量运算，把|PA|2＋|PB|2 转化为只与一个变量 (|O→P|)有关的式子，在根据|O→C|－|P→C|≤|O→P|≤|O→C|＋|P→C|可求得最 大值与最小值．
③过点 P0(x0，y0)且与向量 a＝(m，n)垂直的直线的方程为 m(x －x0)＋n(y－y0)＝0.
3．向量方法解决物理问题的步骤： ①认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的关系． ②通过抽象、概括，把物理现象转化为向量问题． ③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的 解． ④利用这个结果，对原物理现象作出解释.
5．功是力与_位__移___的数量积．
自主探究 已知直角三角形的两直角边长分别为 10 和 12，求两直角边上 的中线所夹的锐角的余弦值．
解： 如图，设直角三角形 ABC 的∠C＝90°，D，E
分别是 BC，AC 边的中点，BC＝10，AC＝12. 则 CD＝5，CE＝6. 所以|A→D|＝ 122＋52＝13， |B→E|＝ 62＋102＝ 136. A→D·B→E＝(A→C＋C→D)·(B→C＋C→E) ＝0＋12×6×(－1)＋5×10×(－1)＋0＝－122. 于是 cos〈A→D，B→E〉＝|AA→→DD|·|BB→→EE|＝13－×122234＝－6144234.
误区解密 推理不严谨而出错 【例题】 三角形 ABC 中，设B→C＝a，C→A＝b，A→B＝c，若 a·b ＝b·c＝c·a，请确定三角形 ABC 的形状．
典例剖析 知识点 1 用向量解答几何问题
【例 1】 已知两定点 A(－2,0)，B(2,0)，P 是圆 C：(x－5)2＋ (y－12)2＝4 上的一个动点，求|PA|2＋|PB|2 的最大值和最小值．
思路点拨：用向量运算，把|PA|2＋|PB|2 转化为只与一个变量 (|O→P|)有关的式子，在根据|O→C|－|P→C|≤|O→P|≤|O→C|＋|P→C|可求得最 大值与最小值．
③过点 P0(x0，y0)且与向量 a＝(m，n)垂直的直线的方程为 m(x －x0)＋n(y－y0)＝0.
3．向量方法解决物理问题的步骤： ①认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的关系． ②通过抽象、概括，把物理现象转化为向量问题． ③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的 解． ④利用这个结果，对原物理现象作出解释.
5．功是力与_位__移___的数量积．
自主探究 已知直角三角形的两直角边长分别为 10 和 12，求两直角边上 的中线所夹的锐角的余弦值．
解： 如图，设直角三角形 ABC 的∠C＝90°，D，E
分别是 BC，AC 边的中点，BC＝10，AC＝12. 则 CD＝5，CE＝6. 所以|A→D|＝ 122＋52＝13， |B→E|＝ 62＋102＝ 136. A→D·B→E＝(A→C＋C→D)·(B→C＋C→E) ＝0＋12×6×(－1)＋5×10×(－1)＋0＝－122. 于是 cos〈A→D，B→E〉＝|AA→→DD|·|BB→→EE|＝13－×122234＝－6144234.
平面向量应用举例PPT课件
化的主要手段是向量的坐标运算.( )
(4)在△ABC中，若
则△ABC为钝角三角形.( )
AB AC，
AB BC＜0，
【解析】( 1)正确 .因为
有相同 的起点 A，故 A，B， C三点 共线， 故正确.
(2)正确. 解析几 何中的 坐标、 直线平 行、垂 直、长 度等问 题可利 用向量 的共线 、数量 积、模 等知识 解决， 故正确.
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6 【解析】 选B.由 题意可 知，
则CM CB
CM CB＝(CA＋1 AB) CB 3
＝CA CB＋1 AB CB 3
＝0＋1 3 2 3cos45＝3. 3
BM＝2MA，
4.在△ABC中，已知向量 满足 则△ABC为( )
(A)等边三角形 (C)等腰非等边三角形 (D)三边均不相等的三角形
1.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3( 单位： 牛顿) 的作用 而处于平衡状态，已知F1,F2成60°角， 且F1,F2的大小 分别 为2和4，则F3的大小为( ) 【解析】选D.|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,所 以|F3|= 选D.
A6B2C2 5D2 7
②用含θ 的关系 式表示m,n，然 后转化 为三角 函数的 最值问 题
求解.
| BC BA | 2
【规范解答】(1)选C.已知a=(1,cos θ)，b=(-1,2cos θ)， ∵a⊥b， ∴a·b=0， ∴-1+2co s2θ=cos 2θ= 0，故 选C.
2① | BC BA |2 | AC |2 ( 2cos 1)2 ( 2sin 1)2
AB AC且AB,AC
平面向量应用举例PPT课件最新
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模 型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两 条邻边长度之间的关系吗？
DB AB AD, AC AB AD,
猜想：
D
பைடு நூலகம்
C
1.长方形对角线的长度
与两条邻边长度之间有
何关系？
A
B
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
猜想： AR=RT=TC
D
F
C
ER
T
A
B
AB a, AD则 b , AR r , AC a b
由于 AR与 A共C线，故设 r n(a b ), n R
又因为 ER与E共B线，
所以设ER mEB m(a 1 b)
D
F
C
2
因为 AR AE ER E R
T
所以 r 1 b
2
思考3 请利用向量的方法解决下列问题： 如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体， 绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1. (答1)求由|F力1|，的|F平2|随衡θ及角向的量变加化法而的变平化行的四情边况形；法则，得 －G＝F1＋F2，|F1|＝co|Gs |θ，
|F2|＝|G|tan θ，当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大.
已知：平行四边形ABCD。
D
求证：AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
分析：因为平行四边形对边平行且相
等，故设 AB a, AD b 其它线段对应向 A
量用它们表示。
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《平面向量的综合应用》课件ppt
C.－38
D.－14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)， 则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)， 所以P→B＝(1－x，－y)， P→A＋P→C＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)， 故(P→A＋P→C)·P→B＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝2x－342＋2y－122－58， 所以当 x＝34，y＝12时，平面向量与复数
§5.4 平面向量的综合 应用[培优课]
题型一 平面向量在几何中的应用
例 1 (1)如图，在△ABC 中，cos∠BAC＝14，点 D 在线段 BC 上，且 BD ＝3DC，AD＝ 215，则△ABC 的面积的最大值为____1_5__.
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 因为 BD＝3DC，A→D＝14A→B＋34A→C， 又 AD＝ 215，cos∠BAC＝14， 所以A→D2＝14A→B＋34A→C2＝116c2＋196b2＋38bccos∠BAC ＝116c2＋196b2＋332bc，
试用
a，b
表示D→E为__32_b_－__12_a_，若A→B⊥D→E，则∠ACB
π 的最大值为___6___．
D→E＝C→E－C→D＝32b－12a， A→B＝C→B－C→A＝b－a， 由A→B⊥D→E得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b， 所以 cos∠ACB＝|aa|·|bb|＝34b|2a＋||ba| 2≥24|3a||a|b|||b|＝ 23，
又145＝116c2＋196b2＋332bc＝41c2＋43b2＋332bc≥2×14c×43b＋332bc＝1352bc， 当且仅当c＝3b时，等号成立. 所以 bc≤8，又 sin∠BAC＝ 415， 所以 S△ABC＝12bcsin∠BAC≤12×8× 415＝ 15.
《平面向量的应用》课件
详细描述
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
人教A版必修四 2.5平面向量应用举例 课件(36张)
因为 tan α＝10303＝ 33(α 为 ν 和 ν2 的夹角，α为锐
角)， 所以 α＝30°. 所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3
km/h.
归纳升华 用向量方法解决物理问题的步骤
1．转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化 为向量问题的模型．
2．运算：通过向量的运算使问题得以解决． 3．还原：把结果还原为物理问题．
|b|＝1，θ＝π3. 所以 a·b＝|a||b|cos θ＝32.
又因为A→C＝a＋b，D→B＝a－b， 所以|A→C|＝ A→C2＝ （a＋b）2＝
a2＋2a·b＋b2＝ 13， |D→B|＝ D→B2＝ （a－b）2＝
a2－2a·b＋b2＝ 7. 所以 AC 的长为 13，DB 的长为 7.
又D→E＝D→A＋A→E＝－a＋b2，A→F＝A→B＋B→F＝b＋a2，
所以A→F·D→E＝b＋a2·－a＋b2＝－12a2－34a·b＋b22＝
－12|a|2＋12|b|2＝0.
→→ 故AF⊥DE，即
AF⊥DE.
法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为
→ 2，则 A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF＝(2，
→ 1)，DE＝(1，－2)．
→→ 因为AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
→→ 所以AF⊥DE，即
AF⊥DE.
归纳升华 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条 件，即向量的数量积为 0.而对于这一条件的应用，可以用 向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．
[变式训练] 在△ABC 中，(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，
解析：设合力为 F，则 F1⊥F2，且 F＝F1＋F2， |F|＝ （F1＋F2）2＝ F21＋2F1·F2＋F22＝
角)， 所以 α＝30°. 所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3
km/h.
归纳升华 用向量方法解决物理问题的步骤
1．转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化 为向量问题的模型．
2．运算：通过向量的运算使问题得以解决． 3．还原：把结果还原为物理问题．
|b|＝1，θ＝π3. 所以 a·b＝|a||b|cos θ＝32.
又因为A→C＝a＋b，D→B＝a－b， 所以|A→C|＝ A→C2＝ （a＋b）2＝
a2＋2a·b＋b2＝ 13， |D→B|＝ D→B2＝ （a－b）2＝
a2－2a·b＋b2＝ 7. 所以 AC 的长为 13，DB 的长为 7.
又D→E＝D→A＋A→E＝－a＋b2，A→F＝A→B＋B→F＝b＋a2，
所以A→F·D→E＝b＋a2·－a＋b2＝－12a2－34a·b＋b22＝
－12|a|2＋12|b|2＝0.
→→ 故AF⊥DE，即
AF⊥DE.
法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为
→ 2，则 A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF＝(2，
→ 1)，DE＝(1，－2)．
→→ 因为AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
→→ 所以AF⊥DE，即
AF⊥DE.
归纳升华 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条 件，即向量的数量积为 0.而对于这一条件的应用，可以用 向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．
[变式训练] 在△ABC 中，(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，
解析：设合力为 F，则 F1⊥F2，且 F＝F1＋F2， |F|＝ （F1＋F2）2＝ F21＋2F1·F2＋F22＝
平面向量的应用_课件
证明：等腰三角形的两个底角相等 。
如图，正方形ABCD的边长为a,E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三 等分点，AF与DE交于点M，求∠EMF的余弦值。
如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N.设AB=mAM,AC=nAN，求m+n的值 2
精品 课件
高中数学必修2
第六章 平面向量及其应用
平面向量的应用
新人教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题、简单的力学问题及其 他一些实际问题的过程。
体会向量是一种处理几何问题、物理问题的有力工具 。 培养运算能力、分析和解决实际问题的能力 。
教学重点
向量方法在几何问题中的应 用 向量方法在物理中的应 用
几何性质及几何与向量的关系
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为 θ. 用向问量题解类型决常见平面所用几知何识问题的技巧
公式表示
线平行、 点共线等问题
垂直问题
夹角问题
共线向量定理 数量积的 运算性质
数量积的定义
a∥b⇔_a_＝__λ__b_⇔__x_1y__2_－__x_2_y_1_＝__0，其中a＝ (x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
a⊥b⇔a·b＝0⇔x_1_x_2_＋__y__1y__2_＝__0___，其中a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零
向量 cos θ＝________(θ为向量a，b的夹角)
，其中a，b为非零向量
长度问题
数量积的定义
向量方法解决平面几何问题的步骤
建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将 平面几何问题转化向为量__问__题____。
平面向量的综合应用-PPT课件
x1 y2 x2 y1 0
4.用向量法处理向量的模： a a
2
2
二、基础应用
例1.已知 a与 b是非零向量， 且 a b a b 求 a 与 a b的夹角。 解： 设 a 与 a b 的夹角为 2 2 2 2 得 b a b a 2a b b 由 b a b ，
3
例3. 已知向量
三、向量在代数中的应用
u ( x, y) 与 v ( x,2 y x)
的对应关系记作 v f (u ) 求证：对于任意向量 a, b及常数 m, n 恒有f (ma nb) mf (a) nf (b)
证明： 设
f (ma nb) (mx1 nx2 ,2my1 2ny2 mx1 nx2 ) mf (a) (mx1, 2my1 mx1 ) nf (b) (nx2 , 2ny2 nx2 ) f (ma nb) mf (a) nf (b)
x
3 HP PM 0, PM MQ, 2
五、小结
1.向量的基本知识点
2.向量在代数中的应用 3.向量在平面解析几何中的应用
（2） k a b 与 a 3b 平行？
平行时，它们是同向还是反向？ 1 解： 由题意得： 10(2k+2)+4(k-3)=0. 解得： k 3 1 k 时 k a b 与 a 3b 平行 3 1 此时 k a b (a 3b)
k a b 与 a 3b 反向.
a 3b
ka b a 3b (ka b) (a 3b) 0
10(k-3)-4(2k+2)=0 解得: K=9. 得： K=9 k a b 与 a 3b 垂直。 时
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[链接高考]
3
[例1]
sin 2 x)
设a (x
(2 cos x, 1), b
R), 记
f
(
x
)
a
(cos x b 1.
,
(1) 若x [0, ], 试求 f ( x)的单调递
减区间； (2) 将y
2 sin
x的图象按向量
c
(m, n) ( m )平移后得 y f ( x)的图
OA OM (
)2 1
2
当且仅当 OA OM 时取等号 .
OA ( OB OC ) 2
即 OA ( OB OC ) 最小值为 2 .
[例3] 已知向量 a、b、c、d及实数
x、 y满足
a
b
1,
c
a
(
x
2
3)b ,
a b
y 0 , y 0 ),
a
a
N
( b
y0 ,
y 0 ),
PM
( b y 0 x 0 ,0 ), PN
平面向量的应用
第一课时： 平面向量在代数、三角及平面几何上的应用
第一课时：
平面向量在代数、三角及平面几何上的应用
[1课.若 前引向 导a ]量 0 ,b a ,c(co,s
sin)则 , b 与 c一定a 满足
Ab.a C(b. c)(bc)
(bc)(bc).
[答案] C
2.已知在 ABC中,OAOB OBOCOCOA, 则O是ABC 的______心_.
2.已知在 ABC中,OAOB OBOCOCOA, 则O是ABC 的______心_.
[解] 由OAOBOBOC得： OB(OAOC) 0,即OBCA0 OBCA,同理OC AB,OA BC, 故O是ABC的垂心.
y' 2 sin( 2 x' 2m ) n
与 y 2 sin( 2 x )比较得
6
:
2m
6
n 0
m ,n 0.
12
[例2] (200年 5 江苏) 在 卷AB中 C, O是为中A线 M上的一个,若 动A点 M 2,求OA(OBOC)的最小. 值
Bb.c0 D以 . 上都不
[解]
b
1,
c
co2ssin2 1
(bc)(bc)b2 c2 0
(bc)(bc).
[解]
b
1,
c
co2ssin2 1
(bc)(bc)b2 c2 0
d
ya
xb
,
若
a
b,c
d且
c
10 .
(1) 求 y关于 x的函数 y f ( x )及其 定义域；
(2) 若 x (1, 6 )时 , 不等式 f ( x ) mx 16 恒成立 , 求实数 m 的范围 .
[解析]
(1)
a
b ,
[例2] (200年 5 江苏) 在 卷AB中 C, O是为中A线 M上的一个,若 动A点 M 2,求OA(OBOC)的最小. 值
[解析] OBOC 2OM OA(OBOC) 2OAOM 2OAOMcos180 2OAOM
即 OA OM 2 ,
OA OM
d
[a
(x2
3)b ] [
ya
xb ]
ya
2
(
x2
x
3)a
b
x( x 2
3)b 2
y x3 3x
y x3 3x 0,即y x3 3x
故y关于 x的函数关系式为：
y f ( x) x 3 3 x, 其定义域为 [ 6 , 6 ].
2 象,求实数 m, n的值 .
[解析]
(1)a
b
2
cos
2
x
3 sin 2 x ,
f ( x ) a b 1 3 sin 2 x cos 2 x
2( 3 sin 2 x 1 cos 2 x ) 2 sin( 2 x )
2
2
6
0 x , 2 x 13
第二课时： 向量在解析几何上的应用
第二课时：
向量在解析几何上的应用
[课前引导]
1.
过双曲线x2 a2
y2 b2
1(a
0,b0)
上任一点 P引实轴平行, 线 交两渐近线
M、N,则PM PN的值为
A a 2 B .b 2C .2 a.D b a 2 b . 2
[解]
设 P ( x 0 , y 0 ), 则 M (
a
b
0,
又
a
b
1,
c
2
c c
a
2
2( x 2
3)a
b
(x2
3)2
b
2
x4
6x2
10
c
10 , x 4 6 x 2 10 10,
解得 6 x 6
又
c
d ,
c
d
0
而c
(2) 为使 1 x 6时 f ( x ) mx 16
恒成立 ,即使 x 3 3 x mx 16 恒成立 .
亦即： m 3 x 2 16 , x
令 g ( x ) x 2 16 , 则 x
g' ( x ) 2 x 16 2( x 2)( x 2 2 x 4)
6
66
由 2 x 3 即 x 2
2
62 6
3
Байду номын сангаас故 f ( x )的单调递减区间为 [ , 2 ].
63
(2)
由
x' y'
x y
m得 n
:
x
y
x' y'
m n
代入 y 2 sin 2 x得： y' n 2 sin 2( x' m )
x2
x2
当1 x 2时 , g' ( x ) 0 当 2 x 6时 , g' ( x ) 0 g ( x )在 (1,2)上递减 , 在 (2, 6 )上递增 . x 2, g ( x )达到最小值 g (2) 2 2 16 12
2 m 3 12 ,即 m 9.