二阶矩过程的均方微积分
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二阶矩过程的均方微积分
§5.1 二阶矩随机变量空间及均方极限
§5.2 随机过程的均方极限与均方连续 §5.3 随机过程的均方导数 §5.4 随机过程的均方积分
§5.1 二阶矩随机变量空间及均方极限 均方微积分应用实例一
数学模型: Black-Scholes期权定价公式
1997年的诺贝尔经济学奖获得者，美国
学者：Robert C.Merton; Myron. Scholes
以及Fisher Black (1938-1995)创建的了著名
的Black-Scholes理论.
Black-Scholes在股票价格的变化是一种几 何布朗运动的假定下，从机理上导出一个随 机微分方程 dSt dt dWt St
(a.e.)
2
d ( X ,Y ) d ( X n , X ) d ( X n ,Y ) 0 (as n )
d ( X ,Y ) 0 E{ X Y } 0 PX Y 1
定理5.1.3 (柯西均方收敛准则) H中随机变量序列{Xn}均方收敛的充要条件为
1) 正定性：X H，
X 0，且
X 0 P{ X 0} 1；
2) 齐次性：a C , X H， aX a X ;
3) 三角不等式： X , Y H， X Y X Y .
证 (1) 和 (2)显然. (3) ||X+Y||2=E[|X+Y|2]
0.
EX.1 相互独立随机变量序列 0 n 1 n=1,2, … Xn～ 1 1 2 n n2
E[ X n
2
1 ] n 2 1 , X n H , n
2
2 2 m
n 1,2,
2 n
由于
X m X n E( X 2 X m X n X )
2
2
2
2
百度文库
引理5.1.1 对X∈H , 令
X ˆ [ E ( X )]
2
1 2
1) X , Y H , E ( X Y ) E ( XY ) X Y ;
2) X H ,
E( X ) E( X ) X .
证 由许瓦兹不等式证得(1),在(1)中取Y=1 得(2) 引理5.1.2 如上定义的||· ||是范数,即有
m , n
lim X m X n 0
二重极限
此定理称为完备性定理, 说明H是完备的线 性赋范空间.
称{Xn}为均方收敛 基本列(柯西列).
证 仅证必要性
若 l.i.m X n X，
n
因
Xm Xn Xm X Xm X
lim X m X n
m , n
n n
()
称Xn均方收敛于X,记为
l.i.m X n X
n
注1 按H 中距离定义知
() lim E{ X n X } 0;
n 2
注2 均方极限具有唯一性,即若 l.i.m X n X和 l.i.m X n Y 同时成立，
n
n
则 X Y
2
{ E[ X Y ]} E[ X ] E[ Y ]
2
2
E[ aX bY ]
2
a E[ X ] 2 a b E[ XY ] b E[ Y ]
a E[ X ] 2 a b E[ X ] E[ Y ] b E[ Y ]
即有 aX+bY∈H.
2 2 2 2 2 2
均方微积分应用实例二 考虑一个时不变系统 x(t)
L
y(t)
对任意常数τ, 输入和输出满足
y( t ) L[ x( t )]
若L是积分算子, 则
若L是微分算子, 则
y( t ) x( t )dt
0
T
dx( t ) y( t ) dt
对于随机输入信号X(t)如何进行微积分运算? 一、二阶矩随机变量空间H 本章着重介绍二阶矩过程的随机分析— 均方意义下的微积分. 普通微积分学中的微分、积分、连续等 概念都是建立在极限的基础上，而极限定 义又取决于实数(复数)域上点间距离的定义.
为定义关于随机变量的距离以及极限概 念, 引进
定义5.1.1 称定义在概率空间(Ω,F,P )上 的具有有限二阶矩的随机变量的全体组成的 集合 H={X | E[|X|2]<+∞} 为二阶矩随机变量空间. 注 在H中称X与Y相等,若
P{ X Y } 1 (记为X Y，a .e.)
定理5.1.1 H为线性空间, 即设X, Y∈H, 则 对任意复数 a, b, 有aX+bY∈H. 证: 由许瓦兹不等式
1) 非负性 d(X,Y)≥0，
X=Y (a.e) d(X,Y)=0； 2) 对称性 d(X,Y) =d(Y, X) ； 3) 三角不等式 d(X, Z) ≤d(X,Y)+d(Y, Z).
将H构成一个距离空间
二、随机变量序列的均方极限
定义5.1.2 设Xn, X∈H，n=1,2, …,如果
lim d ( X n , X ) lim X n X 0,
2
X ˆ [ E ( X )]
2
1 2
≤E[|X|2]+2 E[|XY|]+ E[|Y|2]
X 2 X Y Y
2
( X Y )
2
结论 H构成一个线性赋范空间.
定理5.1.2 对任意X,Y∈H, 令
d ( X ,Y ) ˆ X Y
则 d(X,Y)是H 中的距离. 即对任意X,Y,Z∈H, 有
1 1 1 1 2 1 2 1 2 m n mn m , n
故{Xn}不均方收敛..
EX.2 设{Xn} 是相互独立同分布随机变量序 列，均值为μ，方差为1，定义 1 n Yn X k n k 1 证明Yn均方收敛于μ. 证 Yn E[ Yn ] E[(Yn )(Yn )]
μ—股票的期望收益率， σ—股票收益率的波动率；
W t — 标准布朗运动，表示了对股票收益率
的随机干扰作用.
由此得到期权价格作为时间和股价的函 数所满足的抛物型方程及显示解，称为 Black-Scholes公式。 由Merton进一步完善和系统化，创建了 Black-Scholes理论. 被誉为“华尔街第二次革命”； 人类有史以来使用最频繁的数学工具； 奠定了研究新型衍生证券设计的新学科— 金融工程的基础.
§5.1 二阶矩随机变量空间及均方极限
§5.2 随机过程的均方极限与均方连续 §5.3 随机过程的均方导数 §5.4 随机过程的均方积分
§5.1 二阶矩随机变量空间及均方极限 均方微积分应用实例一
数学模型: Black-Scholes期权定价公式
1997年的诺贝尔经济学奖获得者，美国
学者：Robert C.Merton; Myron. Scholes
以及Fisher Black (1938-1995)创建的了著名
的Black-Scholes理论.
Black-Scholes在股票价格的变化是一种几 何布朗运动的假定下，从机理上导出一个随 机微分方程 dSt dt dWt St
(a.e.)
2
d ( X ,Y ) d ( X n , X ) d ( X n ,Y ) 0 (as n )
d ( X ,Y ) 0 E{ X Y } 0 PX Y 1
定理5.1.3 (柯西均方收敛准则) H中随机变量序列{Xn}均方收敛的充要条件为
1) 正定性：X H，
X 0，且
X 0 P{ X 0} 1；
2) 齐次性：a C , X H， aX a X ;
3) 三角不等式： X , Y H， X Y X Y .
证 (1) 和 (2)显然. (3) ||X+Y||2=E[|X+Y|2]
0.
EX.1 相互独立随机变量序列 0 n 1 n=1,2, … Xn～ 1 1 2 n n2
E[ X n
2
1 ] n 2 1 , X n H , n
2
2 2 m
n 1,2,
2 n
由于
X m X n E( X 2 X m X n X )
2
2
2
2
百度文库
引理5.1.1 对X∈H , 令
X ˆ [ E ( X )]
2
1 2
1) X , Y H , E ( X Y ) E ( XY ) X Y ;
2) X H ,
E( X ) E( X ) X .
证 由许瓦兹不等式证得(1),在(1)中取Y=1 得(2) 引理5.1.2 如上定义的||· ||是范数,即有
m , n
lim X m X n 0
二重极限
此定理称为完备性定理, 说明H是完备的线 性赋范空间.
称{Xn}为均方收敛 基本列(柯西列).
证 仅证必要性
若 l.i.m X n X，
n
因
Xm Xn Xm X Xm X
lim X m X n
m , n
n n
()
称Xn均方收敛于X,记为
l.i.m X n X
n
注1 按H 中距离定义知
() lim E{ X n X } 0;
n 2
注2 均方极限具有唯一性,即若 l.i.m X n X和 l.i.m X n Y 同时成立，
n
n
则 X Y
2
{ E[ X Y ]} E[ X ] E[ Y ]
2
2
E[ aX bY ]
2
a E[ X ] 2 a b E[ XY ] b E[ Y ]
a E[ X ] 2 a b E[ X ] E[ Y ] b E[ Y ]
即有 aX+bY∈H.
2 2 2 2 2 2
均方微积分应用实例二 考虑一个时不变系统 x(t)
L
y(t)
对任意常数τ, 输入和输出满足
y( t ) L[ x( t )]
若L是积分算子, 则
若L是微分算子, 则
y( t ) x( t )dt
0
T
dx( t ) y( t ) dt
对于随机输入信号X(t)如何进行微积分运算? 一、二阶矩随机变量空间H 本章着重介绍二阶矩过程的随机分析— 均方意义下的微积分. 普通微积分学中的微分、积分、连续等 概念都是建立在极限的基础上，而极限定 义又取决于实数(复数)域上点间距离的定义.
为定义关于随机变量的距离以及极限概 念, 引进
定义5.1.1 称定义在概率空间(Ω,F,P )上 的具有有限二阶矩的随机变量的全体组成的 集合 H={X | E[|X|2]<+∞} 为二阶矩随机变量空间. 注 在H中称X与Y相等,若
P{ X Y } 1 (记为X Y，a .e.)
定理5.1.1 H为线性空间, 即设X, Y∈H, 则 对任意复数 a, b, 有aX+bY∈H. 证: 由许瓦兹不等式
1) 非负性 d(X,Y)≥0，
X=Y (a.e) d(X,Y)=0； 2) 对称性 d(X,Y) =d(Y, X) ； 3) 三角不等式 d(X, Z) ≤d(X,Y)+d(Y, Z).
将H构成一个距离空间
二、随机变量序列的均方极限
定义5.1.2 设Xn, X∈H，n=1,2, …,如果
lim d ( X n , X ) lim X n X 0,
2
X ˆ [ E ( X )]
2
1 2
≤E[|X|2]+2 E[|XY|]+ E[|Y|2]
X 2 X Y Y
2
( X Y )
2
结论 H构成一个线性赋范空间.
定理5.1.2 对任意X,Y∈H, 令
d ( X ,Y ) ˆ X Y
则 d(X,Y)是H 中的距离. 即对任意X,Y,Z∈H, 有
1 1 1 1 2 1 2 1 2 m n mn m , n
故{Xn}不均方收敛..
EX.2 设{Xn} 是相互独立同分布随机变量序 列，均值为μ，方差为1，定义 1 n Yn X k n k 1 证明Yn均方收敛于μ. 证 Yn E[ Yn ] E[(Yn )(Yn )]
μ—股票的期望收益率， σ—股票收益率的波动率；
W t — 标准布朗运动，表示了对股票收益率
的随机干扰作用.
由此得到期权价格作为时间和股价的函 数所满足的抛物型方程及显示解，称为 Black-Scholes公式。 由Merton进一步完善和系统化，创建了 Black-Scholes理论. 被誉为“华尔街第二次革命”； 人类有史以来使用最频繁的数学工具； 奠定了研究新型衍生证券设计的新学科— 金融工程的基础.