曲率定义以及计算
曲率公式和曲率半径
曲率公式和曲率半径曲率和曲率半径公式是什么?曲率半径是ρ=|[(1+y'^2)^(3/2)/y'']|，K=1/ρ。
计算公式：K=lim|Δα/Δs|。
曲率K=|dα／ds|。
在数学上，曲率是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲率的公式可以表示为：K=|dα／ds|。
曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率。
曲率半径为曲率的倒数。
在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。
平面曲线的曲率定义为曲线上一点的切向角对弧长的微分旋转率，表示曲线偏离直线的程度。
对于曲线，它等于靠近该点曲线的圆弧半径。
曲率半径求法：ρ＝｜｜，K=1/ρ。
或曲率和曲率半径公式是什么？曲率和曲率半径公式是R=1/K。
平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。
对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。
曲率的作用在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。
平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
对于曲线，它等于最接该点处曲线的圆弧的半径。
对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。
圆形半径越大，弯曲程度就越小，也就越近似于一条直线。
所以说，曲率半径越大曲率越小，反之亦然。
如果对于某条曲线上的某个点可以找到一个与其曲率相等的圆形，那么曲线上这个点的曲率半径就是该圆形的半径（注意，是这个点的曲率半径，其他点有其他的曲率半径)。
也可以这样理解：就是把那一段曲线尽可能地微分，直到最后近似为一个圆弧，此圆弧所对应的半径即为曲线上该点的曲率半径。
曲率和曲率半径1、弧微分公式上式ds是一段曲线上的微元弧。
2、曲率如图，从M点沿曲线C到M'点，点上的切线转动了Δα的角度，Δs是曲线的弧微元，|Δα/Δs|就是从M到M‘的曲线的平均曲率，对平均曲率取极限得到M处的曲率：如果导数存在，也可以写成：根据曲率的定义式，可以求出曲率的一般形式，设函数y=f(x)，从前面的曲率示意图可以看出，tanα=dy/dx，对式子两边再求一次导得到：将上式和前面给出的ds一起代入曲率公式得到：3、曲率圆和曲率半径如图所示，在某点可以按照该点曲率作一个圆，即曲率圆，D是圆心，ρ是曲率半径，曲率半径的得出很简单，对于圆来说，弧长比上半径即是对应的角度，即ds/ρ=dα，所以ρ=ds/dα=1/K。
曲率
1 (1 R 2 l 4R
3
o
x
(1 y ) 2
2
)2 2
l R
1 , 略去二次项
l
2 2
4R
, 得 kA
1 R
.
19
椭圆 x 2 cos t , y 3 sin t 上哪些点处 曲率最大？
dy
解
3 dt 3 cos t cot t , dx 2 sin t dx 2
曲率 K
(dx ) (dy )
2
2
y
3
,
K
( t ) ( t ) ( t ) ( t )
3
.
2 ) 2 (1 y
[ ( t ) ( t )] 2
2 2
曲率半径
1 K
(1 y )
2
3 2
y
.
26
思考与练习
曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系? 答: 有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同.
dy
k
| y |
3
d y dx
k (1
2
2
dt dy
) 2 ]2 [1 ( y
3 4
dt dx dt
3
3
( csc t )
2
2 2 sin t
csc t ,
3
3 4 9 4
csc t
3
( 4 sin
2
6
3
6
3
cot t ) 2
2
t 9 cos
?
K
| y |
3
第七节曲率
（ | MN | ）2 [1 ( y )2]
| MN |
x
s
x
| MN |
| MN |
1 ( y )2 x
N T R
x x x
y
令 x 0 取极限，得
N
s lim x0 x
lim | MN | lim
x0 | MN | x0
o
(1)C : y f ( x),函数 y f ( x)二阶可导,
tan y arctan y,
d
1 1 y2
y' ' dx
y'' 1 y2
dx
又 ds 1 y2dx
d
1
y'' y'2
dx
ds
1 y2dx
y''
3
(1 y2 )2
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2
s2
M3
s1
M1
弧段弯曲程度越大 转角越大
s1
M
M
N
s2 N
转角相同
弧段越短 弯曲程度越大
设曲线C是光滑的，
y
M0 是基点. MM s ,
从M到M 的切线转角为
o
C
.M
M0
s
S
M
.)
x
定义 弧段 MM' 的平均曲率
第七节 曲 率
一、弧微分
y C : y f (x)
N
设函数f ( x)在区间(a,b) 内具有连续导数.
曲率定义以及计算
d s liD m s lim (D x )2 (D y )2 lim 1 (D y)2
dx D x 0D xD x 0 |D x |
D x 0 D x
1 y 2 由此得弧微分公式
三、曲率圆与曲率半径
❖曲率圆与曲率半径
设曲线在点M处的曲率为K(K0)
在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
rK1的圆
上述圆叫做曲线在点M
曲率中心
处的曲率圆 其圆心叫做曲
曲率半径
率中心 其半径r叫做曲率半
rr 径
❖曲率与曲率半径关系
曲率圆
1 K 1 K
例3 设工件表面的截线为抛物线y04x2 现在要用 砂轮磨削其内表面 问用直径多大的砂轮才比较合适？
例1 计算等边双曲线xy1在点(1 1)处的曲率 解 解 由 y 1 x 得
y 1 y 2 x 2 x 3
因此y|x11 y|x12 曲线在点(1 1)处的曲率为
K ( 1 | y y 2 | ) 3 2 ( 1 ( 2 1 ) 2 ) 3 2 1 2 2 2
d 1 y 2 d s x
二、曲率及其计算公式
观察与思考： 观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关 怎样衡量
曲线的弯曲程度？ 提示：
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧 段的平均弯曲程度
❖曲率 设曲线C是光滑的 曲线上
点M对应于弧s 在点M处切线的
倾角为 曲线上另外一点N对
应于弧sDs 在点N处切线的倾
一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径
曲线的曲率曲率半径
.
O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
§2-8
曲线的曲率.曲率半径
一、平面曲线的曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
y
M0 是基点. MM s ,
C
M.
M M 切线转角为 .
S
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下,
s0 s ds
K
d .
ds
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 对于半径为R的圆周 Δ S = RΔθ
1
s R
（3）曲率的倒数称为 曲率半径 = 1/K
1 cos t
sin3 t
2
y
1 4a
1 sin4
t
,
代入公式K
(1
y y2 )3/ 2
1 4a sin
t
平面曲线的曲率
( b , b2 4ac)
曲率表征曲线局部性质〔弯曲程度〕的量 砂轮的曲率应不小于抛物线顶点的曲率0.
2a 4a
K 2a
例2、设工件外表的截线为抛物线 y 0.4x2. 现在要用砂轮磨削其内外表.问用直径多大的砂轮 才比较适宜？
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
例2、设工件外表的截线为抛物线 y 0.
y 2a 思考：直线任意点处的曲率是多少?
K 注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
现砂在轮要 的用曲砂率轮应磨不削小其于内抛外物表线顶. 点的曲率0.2
3 2
1y 1(2axb) 思考：直线任意点处的曲率是多少?
3 22
y
d
( 1
y2
)dx
0
故曲率计算公式为
y K (1 y2 )32
C:yf(x)
M
x
K d .
ds
例1 抛物线 yax2bxc在哪个点曲率最大？
1、引例：弯曲程度与哪些因素有关？
解: y2axb 砂轮的曲率应不小于抛物线顶点的曲率0.
例如：求半径为R 的圆上任意点处的曲率。
y 2a
25单位长 即直径不得超过2.
C
弧段 M M 平均曲率
K s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M
s
M0 M
0
x
例如：求半径为R 的圆上任意点处的曲率。
M s
R M
思考：直线任意点处的曲率是多少?
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
二、曲率的计算公式
设曲线弧 y f (x)
曲 率
下面来推导实际计算曲率的公式.
二、 曲率的概念及其计算
在直角坐标系下，不能直接得到α与s之间的关系，但可 以得到变量α，s与变量x的关系.
二、 曲率的概念及其计算
【例49】
二、 曲率的概念及其计算
【例50】
三、 曲率圆
前面讲过，圆周函数的任意点的曲率都是相同的，并且等于圆周半 径的倒数，这就启发人们对于一般的曲线，都可以定义它的任意一点的曲 率的倒数为曲线在这点的曲率半径.
三、 曲率圆
根据曲率半径的定义，曲线上某点处的曲率 半径ρ与曲线在该点处的曲率K
上述公式表明，曲线上某点处的曲率半径越 大，曲线在该点处的曲率越小，则曲线越平缓； 曲率半径越小，曲率越大，则曲线在该点处弯曲 得越厉害.
三、 曲率圆
下面求曲率中心的坐标. 如图4-22所示，设曲线的 方程为y=f(x)，其二阶导数y″ 在点x处不等于零，则曲线在点 M(x,y)处的曲率中心O′(a,b)的 坐标为
它表明直线 上任一点的曲率都等于零.这与人们的直 觉“直线不弯曲”是一致的.
又如，半径为R的圆，圆上点M， M′处的切线所夹的角Δα等于中心角 ∠MO′M′(见图4-21)，由于 所以
图 4-21
二、 曲率的概念及其计算
曲率的定义及计算公式
曲率的定义及计算公式哎呀，曲率这玩意儿，说起来可真是让人头大。
你知道的，就是那个数学上的东西，弯弯曲曲的，不是直的。
我得说，这玩意儿可真不是一般人能懂的，但咱们今天就来聊聊它，用点大白话，不整那些复杂的。
首先，曲率，简单来说，就是描述一个东西弯得有多厉害。
比如说，你拿根绳子，把它拉直了，那曲率就是零，因为直的嘛。
但你要是把绳子弯成个圈，那曲率就大了去了。
咱们数学上呢，就用一个公式来计算这个曲率，就是那个著名的“曲率半径”的倒数。
啥叫曲率半径？就是说，你把一个弯弯的东西想象成是一个圆，这个圆的半径就是曲率半径。
圆越小，曲率就越大，因为弯得更厉害嘛。
记得有一次，我去公园散步，看到那些老人家在打太极拳。
他们的手啊，就像在画圈一样，那动作，真是柔中带刚。
我看着他们的动作，突然就想到了曲率。
你看，他们的手在画圈的时候，那个圈的半径就在不停地变，曲率也就跟着变。
这就像是数学里的曲率公式，只不过这个公式是活的，是动态的。
我还注意到，公园里的那些小路，弯弯曲曲的，走起来特别有感觉。
那些小路的曲率，比直路要大得多。
你走在上面，感觉就像是在探险一样，因为你不知道下一个弯会带你去哪里。
这就像是曲率，它告诉我们，世界不是一成不变的，它有它的弯曲和变化。
说到曲率，我还得提一下那个著名的“曲率驱动”理论。
你知道的，就是科幻电影里的那种，飞船通过改变空间的曲率来实现超光速飞行。
虽然这只是科幻，但这个概念真的很酷。
它让我们想象，也许有一天，我们真的能够通过改变空间的曲率来实现一些不可思议的事情。
好了，说了这么多，咱们再回到曲率的定义和计算公式上来。
其实，说到底，曲率就是描述一个东西弯得有多厉害。
它的计算公式呢，就是曲率半径的倒数。
虽然听起来有点复杂，但只要你想想那些弯弯的绳子，或者公园里的小路，就能理解了。
总之，曲率这东西，虽然听起来挺高大上的，但其实它就在我们身边，无处不在。
它告诉我们，世界是丰富多彩的，有直有弯，有快有慢。
曲率及其计算公式
应用
通过空间曲率计算公式，可以了 解空间曲线在某一点的弯曲程度 ，对于分析三维几何图形、优化 航天器轨道等方面具有重要意义
。
曲率计算公式的应用
工程设计
在工程设计中，曲率计算公式常 用于分析曲线形状的合理性，如 道路设计、桥梁工程等。
物理研究
在物理研究中，曲率计算公式可 用于描述粒子运动的轨迹、电磁 场的分布等。
解释
该公式表示平面曲线在某一点的曲率，其中y''表示该点处曲线的二阶导数，y'表示该点 处曲线的导数。
应用
通过曲率计算公式，可以了解平面曲线在某一点的弯曲程度，对于分析几何图形、优化 道路设计等方面具有重要意义。
空间曲线的曲率计算公式
曲率计算公式
对于空间曲线，曲率K由下式给 出：K = |(3*[(x''*y''*z'' +
相对曲率
相对曲率是描述曲线或曲面在某一点的方向性弯曲程度的量，它等于该点的主曲率与次曲率的比值。相对曲率在 几何学和物理学中有重要的应用，例如在分析力学和电磁学等领域中，相对曲率可以帮助我们更好地理解和描述 物体的行为。
曲率在物理学中的应用
光学
在光学中，曲率是描述光学元件（如 透镜和反射镜）的弯曲程度的量。透 镜的曲率决定了光线通过透镜的折射 方向和聚焦点，反射镜的曲率决定了 反射光的方向。
曲率等于曲线在该点的切线的 斜率的倒数，即曲率 = 1/斜率 。
当曲率为正时，表示曲线在该 点向外凸出；当曲率为负时， 表示曲线在该点向内凹进。
曲率在几何学中的重要性
曲率是几何学中重要的概念之一，它在曲线和曲面理论中扮演着重要的角 色。
曲率在曲线和曲面分析、微分几何等领域中有着广泛的应用，如曲线拟合 、曲面重建等。
曲率公式是什么
曲率公式是什么
在数学上，曲率是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲率的公式可以表示为：K=|dα/ds|。
曲率
曲线的曲率是曲线上一点的切线方向角对弧长的旋转率，由微分定义，表示曲线偏离直线的程度。
数学上表示曲线在某一点的弯曲程度的数值。
曲率越大，曲线的曲率越大。
曲率的倒数就是曲率半径。
曲率的定义
曲率的计算公式
什么是曲率半径
曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。
平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。
对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。
圆形半径越大，弯曲程度就越小，也就越近似于一条直线。
所以说，曲率半径越大曲率越小，反之亦然。
高等数学导数应用(三)曲率PPT课件
目录
• 曲率定义与计算 • 导数与曲率的关系 • 曲率在实际问题中的应用 • 曲率的应用案例分析 • 总结与展望
01
曲率定义与计算
曲率的定义
曲率是描述曲线在某一点弯曲程 度的量，定义为曲线在该点处切
线的斜率的变化率。
在二维平面上，曲线的曲率等于 其上任一点处切线的斜率的导数。
导数的性质
导数具有连续性、可导性、可积性等 性质，这些性质在研究函数的形态、 单调性、极值等问题中具有重要作用。
导数与曲率的关系
导数与曲率的关系
曲率是描述曲线在某一点弯曲程度的 量，与函数在该点的导数密切相关。 曲率等于函数在该点的导数的绝对值 。
导数与曲率的几何意义
在几何上，导数表示曲线在某一点的 切线斜率，而曲率表示该点附近曲线 的弯曲程度。因此，导数和曲率共同 决定了曲线在该点的形态。
在几何图形中，曲率的应用非常广泛，如圆、椭圆、 抛物线、双曲线等。
曲率决定了图形的形状和性质，如圆的曲率处处相等 且为常数，而抛物线的曲率只在顶点处为0。
在工程和科学研究中，曲率的应用也非常重要，如分 析机械零件的应力分布、研究光的传播路径等。
的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
05
总结与展望
总结高等数学导数应用(三)曲率的主要内容
曲率的概念
曲率是描述曲线弯曲程度的量，对于二维平面上的曲 线，曲率等于切线方向的转动角速度。
导数与曲率的关系
曲率是函数二阶导数的几何意义，即曲率等于函数二 阶导数的值。
曲率的应用
曲率在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用，如 分析机械零件的应力分布、预测股价波动等。
高等数学课件3-5曲率
高等数学课件3-5曲率
汇报人：
目录
01 02 03 04 05 06
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曲率的概念
曲率在高等数学中的意义
高等数学课件3-5曲率的讲解重点 如何理解高等数学课件3-5曲率的
意义 如何应用高等数学课件3-5曲率解
决实际问题
01
添加目录项标题
02
曲率的概念
曲率的定义
曲率是描述曲线 弯曲程度的量
曲率越大，曲线 弯曲程度越大
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与该点处曲线的 法线方向之间的 夹角
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与该点处曲线的 法线方向之间的 夹角
曲率的计算方法
曲率公式：k = 1/r，其中k为曲率，r 为半径
曲率圆：曲率半径的圆，曲率中心为 圆心，曲率半径为半径
曲率半径：r = 1/k，其中k为曲率
曲率在曲线和曲面中的应用
曲率是描述曲 线或曲面弯曲
程度的量
曲率越大，曲 线或曲面的弯
曲程度越大
曲率在微分几 何、拓扑学、 物理等领域有
广泛应用
曲率可以帮助 我们理解和分 析曲线和曲面 的性质，如长 度、面积、体
积等
曲率在微积分学中的应用
曲率是描述曲线弯曲程度的重要 参数
曲率在微积分学中用于求解曲线 的弧长、面积等问题
利用曲率进行创新和设计
曲率在工程设计中的应用：如 桥梁、建筑、机械等
曲率在艺术设计中的应用：如 雕塑、绘画、平面设计等
曲率在科学研究中的应用：如 物理、化学、生物等
曲率在商业设计中的应用：如 产品包装、广告设计等
感谢观看
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高考数学中的曲率与曲率半径的计算方法
高考数学中的曲率与曲率半径的计算方法在高考数学中，曲率与曲率半径是一个比较重要的概念，在平面几何和空间几何中都有应用。
曲率指的是曲线在某一点处的弯曲程度，而曲率半径则是曲率的倒数。
对于考生来说，了解曲率与曲率半径的计算方法，能够帮助他们更好地理解和解决相关考题。
一、曲率的定义和计算方法1. 弧长的导数曲线在某一点处的曲率定义为该点处切线与曲线上足够靠近该点的两个点的切线的极限夹角的大小，即：$$\lim_{\Delta s\to0}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}$$其中，$\Delta s$为曲线上两个足够靠近该点的点之间的弧长，$\Delta\alpha$为这段曲线在该点处切线的转角。
由于$\Delta\alpha$较难直接求解，我们可以通过对式子进行简化，得到：$$\lim_{\Delta s\to0}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}=\lim_{\Deltas\to0}\frac{\Delta(\tan\Delta\alpha)}{\Delta\alpha}\cdot\frac{\Delta\al pha}{\Deltas}=\lim_{\Delta\theta\to0}\frac{\tan\Delta\theta}{\Delta\theta}=\frac{d \alpha}{ds}$$其中，$\Delta\theta$为所求点处两条足够靠近该点的切线夹角，$d\alpha$为这段曲线在该点处切线的转角微分。
这里要注意的是，当弧长趋近于0时，我们通常会取$\Delta\alpha$为两条切线的夹角$\theta$，而不是切线的转角$d\alpha$。
2. 参数方程的第二类曲率对于参数方程$x=x(t)$，$y=y(t)$，曲线的切向量可以表示为：$$\vec{T}=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}$$那么，曲线在某一点处的曲率可以表示为：$$k=\left\lvert\frac{d\vec{T}}{ds}\right\rvert=\sqrt{\left(\frac{d\ve c{T_x}}{ds}\right)^2+\left(\frac{d\vec{T_y}}{ds}\right)^2}$$其中，$\lvert\cdot\rvert$表示向量的模，$\vec{T_x}$和$\vec{T_y}$分别表示$\vec{T}$在$x$和$y$方向上的分量。
曲率
证 如图
x的负半轴表示直道， OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
y
R
l
A( x0 , y0 ) C ( x 0 ,0 )
在缓冲段上,
1 2 y x , 2 Rl 1 y x. Rl
o
在x 0处, y 0, y 0, 故缓冲始点的曲率 k0 0.
实际要求 l x0 ,
o
y
D 1 k
M
y f ( x)
1 . 以 D 为圆心, 为半径 k 作圆(如图), 称此圆为曲线在点 M 处的曲率圆.
D 曲率中心,
曲率半径.
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数. 1 1 即 ,k . k
3 t , 2 2
3 2
此时 k 最大，
y 2a ,
.
b 显然, 当x 时, k最大. 2a 2 b b 4ac 又 ( , )为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率 最大.
例2 铁轨由直道转入圆弧 弯 道时，若接头处
的曲率突然改变, 容易发生事故，为了行 驶平 稳，往往在直道和弯道之间接 入一段缓冲段, 1 使曲率连续地由零过渡到 ( R为圆弧轨道的 R 半径).
2
2
NT y dy 0,
故 ds 1 y 2 dx . 弧微分公式
2 故 ds 1 y dx . s s( x )为单调增函数,
二、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
M2
M1
2
S 2
M3
M
S1
N
曲线的曲率
于是
三、曲率的计算公式
又由式（3-14）可知 的表达式（3-13），有
设曲线由参数方程
，从而，根据曲率 (3-17)
给出，则可利用参数方程所确定的函数的求导法，求出 y′及y″，代入式（3-17）便得
（3-18）
三、曲率的计算公式
【例4】
求抛物线y=x2的曲率K及K|x=0． 解 y′=2x,y″=2，把y′,y″代入式（3-17）得
下面利用曲率来对铁路的弯道进行分析. 铁路弯道的主要部分是圆弧状的，如图3-22中的弧AB. 设半径为R，则圆弧上每点的曲率为1/R.如果火车由直线轨 道直接进入圆弧轨道行驶，在直线与圆弧的联结点的曲率 将由零突然上升到1/R，轨道的弯曲就有一个跳跃，这样就 会影响火车的平稳运行，甚至出现脱轨.因此，在直线与圆 弧之间必须接入一缓冲曲线。
曲线的曲率
一、曲率的概念
我们知道不同的曲线弯曲程度是不一样的. 例如，半径较小的圆弧曲线弯曲得比半径较大的 厉害，而同一曲线的不同部分也有不同的弯曲度， 如抛物线y=x2在顶点附近弯曲得比远离顶点的 部分厉害．这都要求我们对曲线的弯曲程度给出 定量的刻画.
一、曲率的概念
在图3-17中可以看出，弧段
二、弧微分
设x,x+Δx为(a,b)内两个邻近的点，它们在曲线y=f(x)上的 对应点为M,M′，并设对应于x的增量Δx，弧s的增量为Δs，那 么
二、弧微分
二、弧微分
【例2】
求抛物线y=2x2－3x+1的弧微分. 解 由弧微分公式（3-们通过曲率的定义，根据式（3-14）导出计算曲率 的公式．
空间曲面的曲率
空间曲面的曲率引言：曲率是几何学中的一个重要概念，它描述了曲线或曲面的弯曲程度。
空间曲面的曲率是研究曲面在某一点的弯曲程度的关键指标。
本文将介绍空间曲面的曲率的基本概念、计算方法以及曲率对曲面性质的影响。
一、基本概念1. 曲率的定义：空间曲面的曲率描述了曲面在某一点上的弯曲情况。
对于平面曲线而言，曲率只有一个方向，两个方向上的曲率都是一样的；而对于空间曲面而言，曲率具有两个方向，分别是主曲率和平均曲率。
2. 主曲率：主曲率是空间曲面上某一点的弯曲程度最大和最小的两个曲率，分别记作k1和k2。
主曲率可以用曲面上的曲率切线来表示，其中曲率切线在每个方向上的倾斜角度与主曲率成正比。
3. 平均曲率：平均曲率是主曲率的算术平均值，记作H=(k1+k2)/2。
平均曲率可以用曲面上的球面表示，该球面的半径等于1/平均曲率。
平均曲率描述了曲面上整体的弯曲情况。
二、计算方法计算空间曲面的曲率需要用到微积分的工具。
下面介绍一些常用的计算方法。
1. 方程法：对于给定的曲面，我们可以写出其方程。
然后通过微积分对方程进行求导，从而得到曲率切向量。
通过计算曲率切向量的长度，我们可以得到主曲率和平均曲率。
2. 平行搬移法：平行搬移法是一种几何计算曲率的方法。
通过在曲面上平行搬移一段长度为Δs的曲线段，可以得到该曲线段的弯曲程度。
然后通过取Δs 趋近于0的极限，可以得到曲率切向量和曲率。
3. 流线法：流线法是一种流体力学中使用的计算曲率的方法。
将曲面看作流体流动的路径，在曲面上选取一条流线。
通过计算流线的弯曲程度，可以得到对应点的曲率。
三、曲率对曲面性质的影响曲率是描述曲面形状的重要性质，不同曲率的曲面具有不同的性质。
1. 平面曲率为0的曲面：当曲面的主曲率都为0时，该曲面在该点附近呈现平坦的性质，类似于一个平面。
2. 主曲率为正的曲面：当曲面的主曲率都为正时，该曲面在该点附近呈现凸起的性质，类似于一个凸出的球面。
3. 主曲率为负的曲面：当曲面的主曲率都为负时，该曲面在该点附近呈现凹陷的性质，类似于一个凹入的碗形。
曲率及其计算方法
曲率及其计算方法曲率是求解曲线弯曲程度的一种数学概念，可以十分精确地描述曲线的形态。
在物理、工程、制图等领域中，曲率的计算十分重要，可以用来精确描述曲线的性质和特征。
这篇文章将介绍曲率的概念、定义和计算方法，并通过实例来说明它对于现实问题的应用。
一、曲率的概念和定义在平面或者空间中，曲线上的每一个点都可以定义一个曲率。
曲率是该点所在曲线的弯曲程度的度量。
在数学中，曲率的定义如下：(1) 平面曲线上一点的曲率：曲率k是切线方向上一阶导数 |v'(t)| 与切向量方向上一阶导数|v(t)| 之比的绝对值：k = |v'(t)| / |v(t)|其中v(t)是曲线的弧长参数表示，v'(t)是v(t)关于t的一阶导数。
曲率k的单位是1/长度。
(2) 空间曲线上一点的曲率：空间曲线上一点的曲率是该点在曲线切平面中切向量的曲率。
二、曲率的计算方法有了前面的曲率概念和定义的基础，接下来我们将介绍如何计算曲线的曲率。
首先，我们需要了解两个概念：弧长和参数式。
(1) 弧长弧长是曲线长度的测量量。
对于参数式 r(t) = (x(t),y(t)), t∈[a,b]的曲线，它的弧长可以通过下式计算：s = ∫(a,b) |r'(t)| dt其中 |r'(t)| 表示 r(t) 的变化率，s 为曲线长度。
通过弧长可以确定曲线上每一点的位置以及曲线围成面积的大小。
(2) 参数式对于平面曲线，我们可以用参数式来表示曲线上的点，即x(t) = x,y(t) = y其中t作为参数。
通过变化t的值，我们可以确定曲线上的每一个点。
同理，对于空间曲线，我们也可以用参数式来表示曲线上的每一个点。
现在我们已经具备了曲率计算的前置知识，接下来我们将详细介绍两种曲率的计算方法。
(1) 弧长参数曲率计算法对于参数式表示的曲线，我们可以通过弧长参数求解其曲率，具体计算方法如下：1. 计算弧长s：s = ∫(a,t) |r'(t)| dt其中r'(t)为r(t)的一阶导数。
数学曲率知识点总结
数学曲率知识点总结数学曲率是研究曲线和曲面弯曲程度的一种数学概念。
它在微分几何和微分方程中有着重要的应用，也是现代物理学和工程领域的重要基础知识之一。
本文将从曲率的定义、性质、计算、应用和相关概念等方面对数学曲率知识点进行总结和探讨。
一、曲率的定义1. 曲率的几何意义曲率是研究曲线和曲面弯曲程度的量，它能够描述曲线或曲面在某一点的弯曲程度和方向。
曲率可以用来描述曲线或曲面的局部几何属性，是几何学中的重要概念。
2. 曲率的定义对于曲线上的一点P，其曲率可以用切线法向量和曲线在P点的切线的夹角来表示。
在三维空间中，曲线的曲率定义为其切线方向的变化率。
在曲面上，曲率是指曲面在某一点处的弯曲程度。
二、曲率的性质曲率具有一些重要的性质，包括：1. 曲率的正负性：根据曲率的定义，可以得出曲率有正负之分。
凸曲线上的曲率为正，而凹曲线上的曲率为负。
2. 曲率的大小：曲率的大小表示了曲线或曲面的弯曲程度，可以通过曲率的绝对值来表示。
三、曲率的计算曲率的计算是数学曲率知识中的重要内容之一，它包括了曲线曲率和曲面曲率的计算方法。
1. 曲线曲率的计算：曲线曲率可以通过极限的定义进行计算，也可以通过向量微积分的方法进行计算。
2. 曲面曲率的计算：曲面曲率的计算相对复杂一些，通常需要利用高等数学知识，包括向量微积分、微分几何和微分方程等知识。
四、曲率的应用曲率在现代数学和物理学中有着广泛的应用，包括微分几何、数学物理、光学等领域。
1. 曲率在微分几何中的应用：微分几何研究的对象就是曲线和曲面的性质，曲率是微分几何中关键的概念之一。
2. 曲率在数学物理中的应用：曲率在广义相对论中有重要应用，它能够描述时空的弯曲程度。
3. 曲率在光学中的应用：光线在曲面上的反射和折射等现象都与曲率有着密切的关系。
五、相关概念与曲率相关的概念还包括了曲率半径、法曲率、主曲率、高斯曲率等。
1. 曲率半径：曲率半径是曲线或曲面在某一点处曲率的倒数，可以用来描述曲率的大小。
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曲率的计算公式： K d | y | ds (1 y2 )3 2
例2 抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？ 解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得
| 2a | K 2 ]3 2 [1 (2ax b) 显然 当2axb0时曲率最大 曲率最大时 x b 对应的点为抛物线的顶点 2a 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|
曲率 设曲线C是光滑的 曲线上 点M对应于弧s 在点M处切线的 倾角为 曲线上另外一点N对 应于弧sDs 在点N处切线的倾 角为D 平均曲率： 记 K D 称 K 为弧段 MN 的平均曲率 Ds 曲率： D 记 K lim 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 Ds 0 Ds
曲率的计算公式
lim D d 存在的条件下 K d 在 Ds 0 Ds ds ds
曲率：
记 K lim
D 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 Ds 0 Ds
曲率的计算公式
lim D d 存在的条件下 K d 在 Ds 0 Ds ds ds 设曲线C的方程为yf(x) 且f(x)具有二阶导数 因为tan y 所以 sec 2dydx
§3.7 曲率
一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 曲线的弯曲线程度 与哪些因素有关 怎样 度量曲线的弯曲程度？
一、弧微分
•曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数 在曲线yf(x) 上取固定点M0(x0 y0)作为度量弧长的基点 并规定依 x 增 大的方向作为曲线的正向
讨论： 1 直线yax参数方程为xj(t) yy(t) 那么曲率如何 计算？
3 半径为R的圆上任一点的曲率是什么？ 提示： 1 设直线方程为yaxb 则ya y 0 于是K0
|j (t)y (t) j (t)y (t) | 2 K 2 (t ) y 2 (t )]3/ 2 [j
一、弧微分
•有向弧段 M0M 的值 对曲线上任一点 M(x y) 规定有向弧段的值 s (简称 弧)如下 s 的绝对值等于这弧段的长度 当有向弧段M0M 的方向与曲线的正向一致时s>0 相反时s<0 (
显然 弧 s 是 x 的单调增加函数 ss(x)
s<0
(
s>0
弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x) 上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量 为Ds 因为当Dx0时 Ds ~ MN 又Dx与Ds同号 所以
y y y d 2 dx dx dx 2 2 sec 1 tan 1 y
又知 ds 1 y2 dx 从而得曲率的计算公式
d | y | K ds (1 y2 )3 2
曲率的计算公式： K d | y | ds (1 y2 )3 2
ds lim Ds lim (Dx)2 (Dy)2 lim 1 ( Dy )2 Dx0 dx Dx0 Dx Dx0 | Dx | Dx
1 y2
由此得弧微分公式
ds 1 y2 dx
二、曲率及其计算公式
观察与思考： 观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关 怎样衡量 曲线的弯曲程度？ 提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧 段的平均弯曲程度
曲率中心
曲率半径
曲率圆
例3 设工件表面的截线为抛物线y04x2 现在要用 砂轮磨削其内表面 问用直径多大的砂轮才比较合适？ 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 y08x y08 y|x00 y|x008 把它们代入曲率公式 得
| y | 08 K (1 y2 )3 2 抛物线顶点处的曲率半径为 rK1125 因此, 选用砂轮的半径不得超过125单位长 即直径 不得超过250单位长
例1 计算等边双曲线xy1在点(1 1)处的曲率 解 由 y 1 得 解 x 12 y 2 y x3 x 因此y|x11 y|x12 曲线在点(1 1)处的曲率为
| y | 2 1 2 K (1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
3 圆的参数方程为xR cos t yR sin t
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆与曲率半径 设曲线在点M处的曲率为K(K0) 在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为 rK1的圆 上述圆叫做曲线在点M 处的曲率圆 其圆心叫做曲 率中心 其半径r叫做曲率半 径 曲率与曲率半径关系 r 1 K 1 K r