曲率定义以及计算

曲率的计算公式： K d | y | ds (1 y2 )3 2
例2 抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？ 解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得
| 2a | K 2 ]3 2 [1 (2ax b) 显然 当2axb0时曲率最大 曲率最大时 x b 对应的点为抛物线的顶点 2a 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|
例1 计算等边双曲线xy1在点(1 1)处的曲率 解 由 y 1 得 解 x 12 y 2 y x3 x 因此y|x11 y|x12 曲线在点(1 1)处的曲率为
| y | 2 1 2 K (1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
一、弧微分
•有向弧段 M0M 的值 对曲线上任一点 M(x y) 规定有向弧段的值 s (简称 弧)如下 s 的绝对值等于这弧段的长度 当有向弧段M0M 的方向与曲线的正向一致时s>0 相反时s<0 (
显然 弧 s 是 x 的单调增加函数 ss(x)
s<0
(
s>0
弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x) 上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量 为Ds 因为当Dx0时 Ds ~ MN 又Dx与Ds同号 所以
曲率的计算公式
lim D d 存在的条件下 K d 在 Ds 0 Ds ds ds
曲率：
记 K lim
D 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 Ds 0 Ds
曲率的计算公式
lim D d 存在的条件下 K d 在 Ds 0 Ds ds ds 设曲线C的方程为yf(x) 且f(x)具有二阶导数 因为tan y 所以 sec 2dydx
曲率 设曲线C是光滑的 曲线上 点M对应于弧s 在点M处切线的 倾角为 曲线上另外一点N对 应于弧sDs 在点N处切线的倾 角为D 平均曲率： 记 K D 称 K 为弧段 MN 的平均曲率 Ds 曲率： D 记 K lim 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 Ds 0 Ds
曲率中心
曲率半径
曲率圆
例3 设工件表面的截线为抛物线y04x2 现在要用 砂轮磨削其内表面 问用直径多大的砂轮才比较合适？ 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 y08x y08 y|x00 y|x008 把它们代入曲率公式 得
| y | 08 K (1 y2 )3 2 抛物线顶点处的曲率半径为 rK1125 因此, 选用砂轮的半径不得超过125单位长 即直径 不得超过250单位长
§3.7 曲率
一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 曲线的弯曲线程度 与哪些因素有关 怎样 度量曲线的弯曲程度？
一、弧微分
•曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数 在曲线yf(x) 上取固定点M0(x0 y0)作为度量弧长的基点 并规定依 x 增 大的方向作为曲线的正向
讨论： 1 直线yaxb上任一点的曲率是什么？
2 若曲线的参数方程为xj(t) yy(t) 那么曲率如何 计算？
3 半径为R的圆上任一点的曲率是什么？ 提示： 1 设直线方程为yaxb 则ya y 0 于是K0
|j (t)y (t) j (t)y (t) | 2 K 2 (t ) y 2 (t )]3/ 2 [j
y y y d 2 dx dx dx 2 2 sec 1 tan 1 y
又知 ds 1 y2 dx 从而得曲率的计算公式
d | y | K ds (1 y2 )3 2
曲率的计算公式： K d | y | ds (1 y2 )3 2
3 圆的参数方程为xR cos t yR sin t
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三、曲率圆与曲率半径
曲率圆与曲率半径 设曲线在点M处的曲率为K(K0) 在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为 rK1的圆 上述圆叫做曲线在点M 处的曲率圆 其圆心叫做曲 率中心 其半径r叫做曲率半 径 曲率与曲率半径关系 r 1 K 1 K r
ds lim Ds lim (Dx)2 (Dy)2 lim 1 ( Dy )2 Dx0 dx Dx0 Dx Dx0 | Dx | Dx
1 y2
由此得弧微分公式
ds 1 y2 dx
二、曲率及其计算公式
观察与思考： 观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关 怎样衡量 曲线的弯曲程度？ 提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧 段的平均弯曲程度