电磁场与电磁波-第6章解读

B E t
电磁感应定律微分形式
——某点磁通密度的时间变化率的负值等于该点时 变电场强度的旋度。 意义：电磁感应定律是描述时变电磁场著名的麦克 斯韦方程组中的方程之一,它表明时变磁场可以产生 时变电场。
6.1电磁感应定律
闭合回路磁通变化的原因

感生电动势：当导体回路静止时，穿过它的磁通 量发生变化。
6.3 磁场能量
外源=〉电流=>反磁通 =>反电动势=>外源作功 若电流变化非常缓慢，可以不计辐射损失， 则外源输出的能量全部储存在磁场中。 根据建立磁场过程中外源作的功即可计算磁 场能量，推导过程与静电场类似。
6.3 磁场能量
以 Wm 表示磁场能量
单个回路电流的磁场能量
1 2 1 Wm I Wm LI 2 2
式中第一项称为外电感；第二项称为内电感。
当同轴线工作于时变电磁场时，内外导体中的 磁通均可忽略，同轴线单位长度内的电感等于外电 感，即
b L1 ln 2π a
0
6.2 电感
电感的计算 根据给定的几何形状选择坐标 由电流求磁场强度或磁通密度 求磁通链（与总电流交链的磁通） 依定义求电感
同轴线单位长度的电感定义为
L1

I
O
a b I c I
式中，I 为同轴线中的电流； 是单位长度内与电流 I 交链的 磁通链。
该磁通链由三部分形成：外导 体中的磁通，内、外导体之间的磁 通以及内导体中的磁通。
I
Or a b c e dr
1.外导体通常很簿，穿过其内的磁通可以忽略。 2.内外导体之间的磁通密度为
ln 0 2π D
D
r dr
若电流 I2 为逆时针方向时，则 B1与dS反向，M21为负。 在均匀线性各向同性介质中
M 12 M 21
例2 计算载有直流电流的同轴线单位长度内的电 感。 解 设同轴线内导体的半 径为a，外导体的内半径为b， 外半径为c，如图示。 a O b I 在同轴线中取出单位长 c 度，沿长度方向形成一个矩 形回路。 I 内导体中的电流归并为 I 矩形回路的内边电流，外导 Or a b c e 体中的电流归并为外边电流。 dr
Or a b c e dr
内导体中的磁场对总电流 I 提供的磁通链 i 为
i d i
0 a
0 I
8π
与总电流 I 交链的总磁通链为(o + i ) 。因此， 同轴线的单位长度内电感为
L1
o i
I

b ln 0 2 π a 8π
0
N L I I

2、其它回路电流产生磁通与该电流回路交链
6.2 电感
z l1
I1
l2
I2
dl1 r2 - r1 dl2 r1 r2
x O
y
与I1交链的磁通链由两 部分磁通形成，其一是 I1本 身的磁通形成的磁通链 11 ， 另一是 I2 在回路 l1 中的磁通 形成的磁通链 12 。
F21 F12
安培（力）定律
回路电流 I2 产生的磁场 B2 对 于整个回路 l1 的作用力 F12 为
I d l [ I 2 d l 2 (r1 r2 )] F12 0 1 1 3 4π l 1 l 2 r1 r2
6.4 磁场力
2
0
Bi

1 0 Ir Ir 0 2πa 2 2πa 2
2 a1 I Ir 1 0 Wmi Hi2 dV 0 2 π r d r 2 V 2 0 2 16π 2πa B I 因内、外导体之间的磁场强度 Ho o 0 2πr
1 wm H B 2

对各向同性的线性媒质
1 wm μH 2 2

磁场能量与磁场强度平方成正比，磁场能量也 不符合叠加原理。
例 设同轴线中通过的恒定电流为I，内导体的半径 为a，外导体的厚度可以忽略，其半径为b，内外导 体之间为真空。计算该同轴线中单位长度内的磁场 能量。 解 1 已知同轴线单位长度 内的电感为
e Bd S t S

动生电动势：穿过导体回路的磁通量不变，而导 体回路运动时。 e v B dl
l


dΦ e dt
6.2 电感
前提：线性媒质中，磁通密度与回路电流成正比。

电感：与回路电流I 交链的磁通称为回路电流I 的磁通链，以 表示， 与I 的比值称为回路的 电感
μ0 I Bo e 2r
该磁通称为外磁通:
b μI b ΦO Bo d S Bo e d r 0 ln( ) S a 2π a
该外磁通与电流 I 完全交链，故外磁通与磁通 链相等。 3.内导体中的磁通密度大小 该磁通称为内磁通
d i
恒定磁场
主要内容： 磁通密度与磁场强度 场方程（真空与介质） 磁位 磁偶极子与介质磁化 恒定磁场的边界条件 电感 磁场能量 电磁感应 磁场力
静电场
主要内容： 电场强度与电通密度 场方程（真空与介质） 电位 电偶极子与介质极化 静电场的边界条件 电容 电场能量 电场力
本讲内容
电磁感应定律（重点） 电感（难点） 磁场能量 磁场力

6.1电磁感应定律


感应电流：实验表明，当穿过一个闭合导体回路 所限定的面积的磁通量发生变化时，回路中就出 现电流，称为感应电流。 感应电动势：感应电流的出现，就说明在回路中产 生了电动势，称为感应电动势。
dΦ e dt
由能量守恒定律，磁场能量与电流回路的最 终状态有关，而与建立过程无关。
多个回路电流的磁场能量
1 Wm I j A d l j lj j 1 2
N
1 Wm I j j j 1 2
N
可通过磁场能量计算电感或通过电感计算磁场能 量。
6.3 磁场能量

磁场能量的分布密度：
Wm F l
Φ C
2、常电流系统
外源提供的能量，一半作为磁场能量的增量， 一半用于磁场力做功。
Wm F l
I C
广义力的方向规定为广义坐标的增加方向
例1 计算无限长的载流导线与矩形电流环之间的作 用力。电流环的尺寸及位置如图所示。
z
0
I1 a
b S2 I2
解 设位移过程中电流不变，则 导线与电流环之间的相互作用 力为 W
L22
22
I2
M 21
21
I1
式中L22 称为回路l2的自感，M21称为回路l1对 l2 的互感。
6.2 电感
将上述参数 L11，L22，M12 及 M21 代入前式，得
1 L11I1 M12 I 2
均匀线性各向同性媒质中，任意两个回路之间的 互感公式为 dl1 dl2 dl2 dl1

与计算电场力一样，计算磁场力时，若回路形状 复杂，积分计算困难，可采用虚位移法，利用能 量关系来简化磁场力的计算。 利用前述广义力和广义坐标 的概念，可知
dW dWm Fdl
6.4 磁场力
dW dWm Fdl 1、常磁通系统 各个回路中的磁通链未变——各个回路位移 过程中不会产生新的电动势，因此外源做功为零。 即 dW 0
Bi
0 Ir 2 πa 2
0 Ir
2 πa
2
dr
d i
O a
0 Ir
2 πa
2
dr
b I
c I
I
该部分磁通仅与内导体 中部分电流 I 交链。因此， 对于总电流 I 来说，这部分 磁通折合成与总电流 I 形成 的磁通链应为
0 Ir 3 I d i d i dr 4 I 2πa
Ψ L I (H)
电感又可理解为与单位电流交链的磁通链。 单个回路的电感仅与回路的形状、尺寸及媒 质有关，与回路中电流无关。
6.2 电感
磁通链：与某回路电流交链的磁通。 1、回路电流自身产生磁通必定与自身交链（完全 交链、部分交链及交链次数） 若交链 N 次，则磁通链增加 N 倍； 若部分 交链，则必须给予适当的折扣。因此，与N 匝回 路电流 I 交链的磁通为 = N 。 由 N 匝回路组成的线圈的电感为
0
O
a I b
L1
0
8π

b ln 2π a
0
因此，单位长度内同轴线中磁场能量为
2 2 I I 1 b Wm1 L1I 2 0 0 ln 2 16π 4π a
解2 通过磁场密度计算同轴线的磁场能量。
内导体中的磁场强度大小
Hi
内导体中单位长度内的磁场能量为
回路电流 I1 产生的磁场 B1 对 于整个回路 l2 的作用力F21 为
0 F21 4π l 1 l 2
x
z
dl1
r1 O
l1
I1 I2
r2 – r1 dl 2
r2
l2 y
I 2 d l 2 [ I1 d l1 (r2 r1 )] 3 r2 r1
S2
B1 dS
若电流 I2为如图所示的顺时针方向，则 dS与 B1方 向相同。那么
21
z
0 I1a
2π

D b D
0 I1a D b 1 dr ln r 2π D
M 21
0
I1 a
求得
b S2 I2
21
I1

0 a D b
内外导体间单位长度内的磁场能量为
2 I 1 b 2 0 Wmo 0 H o 2 π r d r ln a 2 4 π a b
单位长度内同轴线的磁场能量 Wmi Wmo
0 I 2
16π

0 I 2
b ln 4π a
6.4 磁场力
与电流I1 交链的磁通链1为
1 11 12
同理，与电流 I2 交链的磁通链2为
2 21 22
6.2 电感
线性介质中，比值 令
L11
11
I1
， I ，I 及
2
2
12
22
21
I1
均为常数。
11 I1
M 12
12 I2
式中 L11称为回路 l1的自感，M12称为回路 l2 对l1 的互感。 同理
6.2 电感
dl2 dl1 M12 4π l1 l2 r1 r2
若 dl1与 dl2处处保持垂直，则互感为零；若处 处保持平行，则互感达到最大。 互感可正可负，其值正负取决于两个线圈的 电流方向，但自感始终应为正值。 若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链 增加，互感应为正值；反之，若互磁通与原磁通 方向相反时，则使磁通链减少，互感为负值。
S
dΦ E d l l dt
又
得
l E dl t SB d S
电磁感应定律
穿过回路的磁通变化时，导线中产生感应电场。
6.1电磁感应定律
l E dl t SB d S
电磁感应定律
注意：导线的作用在于显示感应电动势的存在，感 应电场的存在与是否放置导线无关。
例1 计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。 设线圈与导线平行，周围介质为真空，如图所示。
z
0
I1 D r a
b S2 I2
解 建立圆柱坐标系，令 z 轴方 向与电流 I1一致，则 I1 产生的磁 通密度为
0 I1 B1 e 2π r
dr
与电流I2交链的磁通链21 为
Ψ 21
电动势正方向与磁通方向构成右旋关系。 感应电流在回路中产生的磁通方向总是阻碍原有磁 通的变化（楞次定律），所以感应磁通又称为反磁 通。
6.1电磁感应定律

感应电场：导线中产生感应电流意味着导线中存在 电场推动电荷运动，这种电场称为感应电场。感应 电动势是非保守感应电场的环路积分
Φ Bd S
M 21 4π
l2 l1
2 M 21I1 L22 I 2
r2 r1
M12
Baidu Nhomakorabea
4π
l1
l2
r1 r2
M 12 M 21
在电子电路中，若要增强两个线圈的耦合， 应彼此平行放置；若要避免两个线圈的耦合，则 应相互垂直。

dl1 dl2 M 21 4π l2 l1 r2 r1 几点特性：