电磁场与电磁波-第6章解读

电动势正方向与磁通方向构成右旋关系。 感应电流在回路中产生的磁通方向总是阻碍原有磁 通的变化（楞次定律），所以感应磁通又称为反磁 通。
6.1电磁感应定律

感应电场：导线中产生感应电流意味着导线中存在 电场推动电荷运动，这种电场称为感应电场。感应 电动势是非保守感应电场的环路积分
Φ Bd S
与电流I1 交链的磁通链1为
1 11 12
同理，与电流 I2 交链的磁通链2为
2 21 22
6.2 电感
线性介质中，比值 令
L11
11
I1
， I ，I 及
2
2
12
22
21
I1
均为常数。
11 I1
M 12
12 I2
式中 L11称为回路 l1的自感，M12称为回路 l2 对l1 的互感。 同理
ln 0 2π D
D
r dr
若电流 I2 为逆时针方向时，则 B1与dS反向，M21为负。 在均匀线性各向同性介质中
M 12 M 21
例2 计算载有直流电流的同轴线单位长度内的电 感。 解 设同轴线内导体的半 径为a，外导体的内半径为b， 外半径为c，如图示。 a O b I 在同轴线中取出单位长 c 度，沿长度方向形成一个矩 形回路。 I 内导体中的电流归并为 I 矩形回路的内边电流，外导 Or a b c e 体中的电流归并为外边电流。 dr
Bi
0 Ir 2 πa 2
0 Ir
2 πa
2
dr
d i
O a
0 Ir
2 πa
2
dr
b I
c I
I
该部分磁通仅与内导体 中部分电流 I 交链。因此， 对于总电流 I 来说，这部分 磁通折合成与总电流 I 形成 的磁通链应为
0 Ir 3 I d i d i dr 4 I 2πa
恒定磁场
主要内容： 磁通密度与磁场强度 场方程（真空与介质） 磁位 磁偶极子与介质磁化 恒定磁场的边界条件 电感 磁场能量 电磁感应 磁场力
静电场
主要内容： 电场强度与电通密度 场方程（真空与介质） 电位 电偶极子与介质极化 静电场的边界条件 电容 电场能量 电场力
N L I I

2、其它回路电流产生磁通与该电流回路交链
6.2 电感
z l1
I1
l2
I2
dl1 r2 - r1 dl2 r1 r2
x O
y
与I1交链的磁通链由两 部分磁通形成，其一是 I1本 身的磁通形成的磁通链 11 ， 另一是 I2 在回路 l1 中的磁通 形成的磁通链 12 。
L22
22
I2
M 21
21
I1
式中L22 称为回路l2的自感，M21称为回路l1对 l2 的互感。
6.2 电感
将上述参数 L11，L22，M12 及 M21 代入前式，得
1 L11I1 M12 I 2
均匀线性各向同性媒质中，任意两个回路之间的 互感公式为 dl1 dl2 dl2 dl1

与计算电场力一样，计算磁场力时，若回路形状 复杂，积分计算困难，可采用虚位移法，利用能 量关系来简化磁场力的计算。 利用前述广义力和广义坐标 的概念，可知
dW dWm Fdl
6.4 磁场力
dW dWm Fdl 1、常磁通系统 各个回路中的磁通链未变——各个回路位移 过程中不会产生新的电动势，因此外源做功为零。 即 dW 0
e Bd S t S

动生电动势：穿过导体回路
l


dΦ e dt
6.2 电感
前提：线性媒质中，磁通密度与回路电流成正比。

电感：与回路电流I 交链的磁通称为回路电流I 的磁通链，以 表示， 与I 的比值称为回路的 电感
回路电流 I1 产生的磁场 B1 对 于整个回路 l2 的作用力F21 为
0 F21 4π l 1 l 2
x
z
dl1
r1 O
l1
I1 I2
r2 – r1 dl 2
r2
l2 y
I 2 d l 2 [ I1 d l1 (r2 r1 )] 3 r2 r1
式中第一项称为外电感；第二项称为内电感。
当同轴线工作于时变电磁场时，内外导体中的 磁通均可忽略，同轴线单位长度内的电感等于外电 感，即
b L1 ln 2π a
0
6.2 电感
电感的计算 根据给定的几何形状选择坐标 由电流求磁场强度或磁通密度 求磁通链（与总电流交链的磁通） 依定义求电感
2
0
Bi

1 0 Ir Ir 0 2πa 2 2πa 2
2 a1 I Ir 1 0 Wmi Hi2 dV 0 2 π r d r 2 V 2 0 2 16π 2πa B I 因内、外导体之间的磁场强度 Ho o 0 2πr
内外导体间单位长度内的磁场能量为
2 I 1 b 2 0 Wmo 0 H o 2 π r d r ln a 2 4 π a b
单位长度内同轴线的磁场能量 Wmi Wmo
0 I 2
16π

0 I 2
b ln 4π a
6.4 磁场力
同轴线单位长度的电感定义为
L1

I
O
a b I c I
式中，I 为同轴线中的电流； 是单位长度内与电流 I 交链的 磁通链。
该磁通链由三部分形成：外导 体中的磁通，内、外导体之间的磁 通以及内导体中的磁通。
I
Or a b c e dr
1.外导体通常很簿，穿过其内的磁通可以忽略。 2.内外导体之间的磁通密度为
6.2 电感
dl2 dl1 M12 4π l1 l2 r1 r2
若 dl1与 dl2处处保持垂直，则互感为零；若处 处保持平行，则互感达到最大。 互感可正可负，其值正负取决于两个线圈的 电流方向，但自感始终应为正值。 若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链 增加，互感应为正值；反之，若互磁通与原磁通 方向相反时，则使磁通链减少，互感为负值。
本讲内容
电磁感应定律（重点） 电感（难点） 磁场能量 磁场力

6.1电磁感应定律


感应电流：实验表明，当穿过一个闭合导体回路 所限定的面积的磁通量发生变化时，回路中就出 现电流，称为感应电流。 感应电动势：感应电流的出现，就说明在回路中产 生了电动势，称为感应电动势。
dΦ e dt
1 wm H B 2

对各向同性的线性媒质
1 wm μH 2 2

磁场能量与磁场强度平方成正比，磁场能量也 不符合叠加原理。
例 设同轴线中通过的恒定电流为I，内导体的半径 为a，外导体的厚度可以忽略，其半径为b，内外导 体之间为真空。计算该同轴线中单位长度内的磁场 能量。 解 1 已知同轴线单位长度 内的电感为
B E t
电磁感应定律微分形式
——某点磁通密度的时间变化率的负值等于该点时 变电场强度的旋度。 意义：电磁感应定律是描述时变电磁场著名的麦克 斯韦方程组中的方程之一,它表明时变磁场可以产生 时变电场。
6.1电磁感应定律
闭合回路磁通变化的原因

感生电动势：当导体回路静止时，穿过它的磁通 量发生变化。
M 21 4π
l2 l1
2 M 21I1 L22 I 2
r2 r1
M12
4π
l1
l2
r1 r2
M 12 M 21
在电子电路中，若要增强两个线圈的耦合， 应彼此平行放置；若要避免两个线圈的耦合，则 应相互垂直。

dl1 dl2 M 21 4π l2 l1 r2 r1 几点特性：
例1 计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。 设线圈与导线平行，周围介质为真空，如图所示。
z
0
I1 D r a
b S2 I2
解 建立圆柱坐标系，令 z 轴方 向与电流 I1一致，则 I1 产生的磁 通密度为
0 I1 B1 e 2π r
dr
与电流I2交链的磁通链21 为
Ψ 21
F21 F12
安培（力）定律
回路电流 I2 产生的磁场 B2 对 于整个回路 l1 的作用力 F12 为
I d l [ I 2 d l 2 (r1 r2 )] F12 0 1 1 3 4π l 1 l 2 r1 r2
6.4 磁场力
Or a b c e dr
内导体中的磁场对总电流 I 提供的磁通链 i 为
i d i
0 a
0 I
8π
与总电流 I 交链的总磁通链为(o + i ) 。因此， 同轴线的单位长度内电感为
L1
o i
I

b ln 0 2 π a 8π
0
由能量守恒定律，磁场能量与电流回路的最 终状态有关，而与建立过程无关。
多个回路电流的磁场能量
1 Wm I j A d l j lj j 1 2
N
1 Wm I j j j 1 2
N
可通过磁场能量计算电感或通过电感计算磁场能 量。
6.3 磁场能量

磁场能量的分布密度：
S
dΦ E d l l dt
又
得
l E dl t SB d S
电磁感应定律
穿过回路的磁通变化时，导线中产生感应电场。