武汉理工大学往年概率论试卷
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武汉理工大学教务处
试题标准答案及评分标准用纸
课程名称 概率论与数理统计（A 卷）
一. 填空题（每题3分，共30分）
1. 18/35 ；
2. 3/4 ；
3. 1/e ；
4. 4 ；
5. 1/3 ；
6. 14 ；
7. 5.4 ；
8. 1/3 ；
9. 1 ； 10. (39.51,40.49) . 二．计算题（每题10分，共30分） 1.
解
：
设
}
{能发芽=B ，
1,2,3i }{==等品取的是第i A i ,易见
的一个划
是Ω321,,A A A
,05.0)(15.0)(,8.0)(321===A P A P A P ，
,8.0)|(95.0)|(,98.0)|(321===A B P A B P A B P ， -----------------4分 由
全
概
率
公
式
，
得
9665.0)|()()(3
1
==∑=i i i A B P A P B P
-----------------7分
由贝叶斯公式，得1474.09665
1425
)
|()()
|()()(3
1
222≈=
=
∑=i i
i
A B P A P A B P A P B A P --------------10分 2.解：(1)
12
3)(1
1
==+
=
⎰
⎰
⎰
+∞
∞
-A dx x A Axdx dx x f e
，故A =32
--------------3分
(2)()()F x P X x =≤。当0 当10<≤x 时, 203132 )()(x t d t dt t f x F x x = ==⎰ ⎰∞- 当e x <≤1时, x dt t tdt dt t f x F x x ln 3 2 313232)()(110+=+==⎰ ⎰⎰∞- 当e x ≥时,()1F x =. --------------7分 (3) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤521X P =)21()5(F F -= 12 11 --------------10分 3. 解：设 {}() 300,2,116.0)(,2.0)(,2.01,0 1.2i ,1 =====⎩⎨⎧=i X D X E X P X i i i i 则， 其他 元只蛋糕售价为 卖出的第 --------------3分 由中心极限定理⎪⎪⎭ ⎪ ⎪⎬⎫ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑∑==)(300)(30060)(300)(3006030013001i i i i i i i i X D X E X D X E X P X P --------6分 ≈ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛⨯⨯-Φ-16.03002.030601= 5.0)0(1=Φ- ---------10分 三．（10分）解：⎩⎨⎧>=∴-其他 ,00 ,2)(),2(~2x e x f E X x X ， ---------2分 对x e y 21--=，当0>x 时，有10< 当10< ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧ -- ≤=≤-=-)1l n (21)1l n (211)(2y F y X P y e P y F X X Y ---------6分 ∴ 1)1l n (21)1l n (21)()(=' ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--== y y f dy y dF y f x Y Y ---------9分 ⎩⎨ ⎧<<=∴ 其他 ,01 0,1)(y y f Y ---------10分 四.（10分) 解：由题意知，X 的可能取值为：0，1，2，3；Y 的可能取值为：1，3. 且 {}81213,03 =⎪⎭⎫ ⎝⎛===Y X P ， {}8321211,12 1 3 =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===C Y X P ， {}8 321211,22 2 3 =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===C Y X P ， {}81213,33 =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛===Y X P . 于是，（1）（X ，Y ---------7分 （ 2 ） {}{}8 1 3,0= ===>Y X P X Y P . ---------10分 六. 应用题（每题10分，共20分） 1. （1） 22012(1)23(12)34,EX θθθθθθ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=- 令X EX =,可得θ的矩估计量为1 ˆ(3),4 X θ =- 根据给定的样本观察值计算232031361 =+++++=）（x ，因此θ的矩估计值4 1ˆ=θ ； -------4分 （2）对于给定的样本值似然函数为)1()21(2)(35θθθθ--=L -------6分 )1ln()21ln(3ln 52ln )(ln θθθθ-+-++=L 令 0) 1)(21(5 2218112165)(ln 2=--+-=----=θθθθθθθθθθd L d 可得θ的极大似然估计值 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛>+-=不合题意2118311118 3111ˆθ -------10分 2. 解：要检验假设 70 :,70:10≠=μμH H ， -------2分 )1(~/--= n t n S X t μ ，故拒绝域为)35(2 αt t ≥.