导数在生活中的优化问题举例

1.4第一课时 生活中的优化问题举例
一、课前准备 1．课时目标
（1）了解函数极值和最值的基本应用. （2）会用导数解决某些实际问题. 2．基础预探
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
(1) 分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的 ，写出实际问题中变量之间的 ，根据实际意义确定定义域.
(2) 求函数()y f x =的导数f '(x )，解方程f '(x )＝0,求定义域内的根，确定 . (3) 比较函数在 和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值. (4) 还原到原 中作答. 三、学习引领
1. 常见的优化问题
主要有几何方面的应用，物理方面的应用，经济方面的问题等.例如，使经营利润最大、生产效率最高，或使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的基本方法之一. 2.解决优化问题的方法
首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 解决优化问题的基本程序是：
读题 建模 求解 反馈 （文字语言） （数学语言） （导数应用） （检验作答）
3. 需要注意的几个问题
(1) 目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束,所以在建立目标函数时,需要注意定义域的确定,并注意定义域对函数最值的影响.
(2) 如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较,但要注意说明极值点的唯一性. 四、典例导析
题型一 几何图形中的优化问题
例1请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE =FB =x cm
（1）某广告商要求包装盒侧面积S （cm 2
）最大，试问x 应取何值？
（2）某广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
思路导析:明确平面图形中切割的规则,即弄清平面图形中的位置关系和数量关系,确定包装盒中位置关系和数量关系以及与平面图形的联系.问题（1）中,用底面边长把包装盒侧面积表示出来,观察其特点,用一元二次函数最值解决问题.问题(2)中,建立目标函数,依据目标函数的特征,通过求导,研究函数性质,求相应最值.
解：设该盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），由已知得
.300),30(22
260,2<<-=-=
=x x x
h x a
（1）由题意包装盒侧面积,1800)15(8)30(842
+--=-==x x x ah S 所以当15=x 时，
S 取得最大值.
（2）由题意知,)20(26),300(),30(22322x x V x x x h a V -='<<-==.由0='V 得
0=x （舍）或20=x .由于当)20,0(∈x 时，0)30,20(;0<'∈>'V x V 时当,所以当20
=x 时，V 取得极大值，而且为唯一极大值,故也是最大值,此时1
2
h a =该盒的高与底面边长的比值为1.2
规律总结：几何图形中的优化问题,包括平面几何和空间几何体的问题,主要是对面积和体积最大或最小的优化设计.构造函数关系式,需要依据平面几何知识或空间几何特征,借助相应的公式进行. 上述题中,两个目标函数皆未给出,因此建立两个函数关系式是关键之一.建立函数关系式需要充分利用正四棱柱的几何特征,从而选定侧面积和体积的计算公式,.利用空间图形与平面图形数量关系的联系,进行具体计算. 因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.正确求导,并研究函数的性质,是解决该最值问题关键之二.
变式训练1今有一块边长a 的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x 值应为多少？
题型二 费用最省问题
例3某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度,长度单位：米）,其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
803
π
立方米，且r l 2≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为)3(,>c c .设该容
器的建造费用为y 千元.
（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r .
思路导析:该几何体由一个圆柱和两个半球组成,而且只涉及表面积问题,所以将圆柱的侧面积和两个半球的表面积,分别用半径表示,再表示建造费用,建立函数关系式.
解:（Ⅰ）因为容器的体积为803π立方米，所以3243r r l ππ+=803π
,解得280433r l r =-,
所以圆柱的侧面积为2rl π=28042()33r r r π-=2
160833
r r ππ-,两端两个半球的表面积之和为
24r π,所以y =
21608r r ππ-+24cr π,定义域为(0,2
l
).
（Ⅱ）因为'
y =216016r r ππ--+8cr π=328[(2)20]c r r π--,所以令'0y >得:r >
令'
0y <得:0r <<
所以r =, 该容器的建造费用最小. 规律总结:由于所得函数解析式为非基本初等函数,所以要求其最小值,需要利用函数的
导数,先求函数的极值,再判断函数的最值.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.
变式训练2 设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B 为100km 处有一原料供应站C,现要在铁路BC 之间某处D 修建一个原料中转车站,再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省? 题型三 利润最大问题
例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3
a
y x x =
+--，其中63<<x ，a 为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. （I ）求a 的值;
（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
思路导析:问题（I ）,由题设中的具体情形,代入函数解析式,解方程,求a 的值.问题（II ）,用x 表示该商场每日销售该商品所获得的利润,得函数关系式,对所得函数关系式求导,讨论极值和最值的情况,最后确定利润最大的时刻.
解: （I ）因为当5=x 时,11=y ,代入210(6)3a y x x =
+--得,2,11102==+a a
. （II ）由（I ）知,该商品每日的销售量为2)6(103
2
-+-=
x x y ,所以商场每日销售该商品所获得的利润为22)6)(3(102])6(103
2
)[
3()(--+=-+--=x x x x x x f )3612)(3(1022+--+=x x x ,)63(<<x .所以,
)6)(4(30)6)(3(20)6(10)(2--=--+-='x x x x x x f .于是,当x 变化时,)(),(x f x f '的
变化情况如下表:
由上表可知,4=x 是函数)(x f 在)6,3(上的极大值点,而且为唯一极大值点,即是最大值点,所以当4=x 时,函数)(x f 取得最大值,最大值为42.
答:当销售价格为4元/千克时, 商场每日销售该商品所获得的利润最大.
规律总结: 在上述问题中,首先需要建立利润的数学模型,即写出利润关于销售价格的函数关系式.由于所求得的函数解析式为非基本初等函数,所以为了求其最大值,需要利用函数的导数,先求函数的极值,再判断函数的最值情形.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.
变式训练 3 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系，t x 2000=.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）.
（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y =0.002t 2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？
五、随堂练习
1. 要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积为最大,则高为( )cm. A.
33
B.3310
C.3316
D.3
320 2. 以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为 ( ) . A.10 B.15 C.25 D.50
3. 若一球的半径为r ,作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为 ( ) .
A.22r π
B.2r π
C.2
4r π D.
22
1r π 4. 要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m ，长和宽的和为20m ，则仓库容积的最大值为 .
5. 统计结果表明,某种新型号的节能汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升),关于行驶速度
x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：)1200(880
3
12800013≤<+-=
x x x y ，已知
甲乙两地相距100千米.当汽车以 (千米/小时)速度行驶时,从甲地到乙地耗油最
少?
6. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？ 六、课后作业
1. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ,那么其表面积最小时,底面边长为( ) A.
3
V B.
3
2V C.
3
4V D.32V
2. 制作一个圆柱形锅炉,容积为V 两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积价格为b 元,当造价最低时,锅炉底面半径与锅炉高的比是（ ）
A. b a 2
B.b a 22
C. a b 2
D. a
b 22
3. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是π27,且用料最省则圆柱的底面半径为 .
4. 去年初,某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品．若该商品零售价定为p 元，则销
售量q (件)与零售价p (元)有如下关系2
1708300p p q --=．那么该商品零售价
为 元时,毛利润最大?(毛利润=销售收入一进货支出)
5. 现有10000元资金可用于广告宣传或产品开发．当投入广告宣传和产品开发的资金分别为x 和y 时，得到的回报是32
31y x P =
．求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大
的回报.
6．如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．
（1）求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域; （2）求面积S 的最大值．
1.4第一课时 生活中的优化问题答案及解析
一、2. 基础预探
（1）数学模型；函数关系（2）极值点 （3）区间短点 （4）实际问题 三、变式练习
1. 解：折成盒子后底面正三角形的边长为2(0)2a a x x -<<
，高为tan 303
h x x =⋅︒=
设：容积为V ，则2
1(2)sin 602V sh a x ==- 2324a x ax x =-+.函数求导得:
2
2
324
a V x ax '=-+,令0V '=得,62a a x x ==（舍去）,当06a x <<时，0V '>；当6a x >
时，0V '<,所以当a x b =时，33333
4216362421654a a a a a V =
-+==最大. 答：x 为6a 时，盒子的容积最大为3
54
a
2.解 ： 设BD 之间的距离为x km,则|AD|=2220+x ,|CD|=x -100.如果公路运费为a 元
/km,那么铁路运费为
5
3a
元/km.故从原料供应站C 途经中转站D 到工厂A 所需总运费y 为:=y )100(5
3x a -+a
4002+x ,(1000≤≤x ).对该式求导,得:
y '=53a -+400
2+x ax =4005)40035(22++-x x x a ,令0='y ,即得252x =9(2x 400+),解之得
1x =15,2x =-15(不符合实际意义,舍去).且1x =15是函数y 在定义域内的唯一极小值点,所以1x =15是函数y 的最小值点.由此可知,车站D 建于B,C 之间并且与B 相距15km 处时,运费最
省.
3. 解：（I ）因为赔付价格为s 元/吨，所以乙方的实际年利润为： )0(2000≥-=t st t w
因为s
s t s st t w 2
21000)1000(2000+--=-=， 所以当21000()t s =时，w 取得最大值. 所以乙方取得最大利润的年产量2
1000(
)t s
=吨 . （II ）设甲方净收入为v 元，则2
0.002v st t =-，将2
1000(
)t s
=代入上式，得到甲方纯收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式：23
4
100021000v s s ⨯=-， 又
2323255
1000810001000(8000)s v s s s ⨯-'=-+=，令'0v =得20s =,当20s <时，'0v >；
当20s >时，'0v <.所以20s =时，v 取得最大值.所以甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是20元. 四、随堂练习
1. 答案：D. 解析：设圆锥的高为h ,则体积)200(,)400(3
1
2<<-=
h h h V π, 034002=+
-='ππh V ,解得3320=h ,由导数的意义,当3
3
20=h 时,V 取极大值且唯一,故为最大值.故选D.
2. 答案:D.解析:设圆的内接矩形的一边长为x ,则另一边长为2100x -,内接矩形的面积
2100x x S -=,24222100)100(x x x x S +-=-=,02004)(32=+-='x x S ,解得
0=x (舍去),50=x ,根据导数的意义知，内接矩形面积的最大值为50.
3. 答案：A.解析:设内接圆柱的底面半径为)0(,r x x <<，则圆柱的侧面积
224x r x S -=π，)(1622222x r x S -=π，求导，判断极大值点r x 2
2
=
,其侧面积最大为2
2r π. 4. 答案:300m 3
解：设长为xm ，则宽为(20)x m -，仓库的容积为V,则
2(20)33+60V x x x x =-⋅=-.660V x '=-+，令0V '=得10x =,当010x <<时，
0V '>；当10x >时，0V '<,∴10x =时，3300()V m =最大.
5.答案:80.解析;由题意可知,以速度x (千米/小时)从甲地到乙地耗油量
为:=⋅
=x y W 100415800128012-+x x ,0800
6402=-='x
x W ,解得80=x ,且为唯一极小值点,所以80=x 为最小值点.
6. 解:设船速度为(0)x x >时，燃料费用为Q 元，则3
Q kx =，由3610k =⨯可得3500
k =，
∴33500Q x =，∴总费用3231396(96)500500y x x x x =+⋅=+，2696500y x x
'=-，令0y '=得20x =，当(0,20)x ∈时，0y '<，此时函数单调递减，当(20,)x ∈+∞时，0y '>，此时函数单调递增，∴当20x =时，y 取得最小值，∴此轮船以20公里/小
时的速度使行驶每公里的费用总和最小． 五、课后作业
1. 答案: C.解析:设底面等边三角形的边长为0,>x x ,直棱柱的高为h ,则h x V ⋅=432
,所以
234x V
h =.表面积x V
x x x
V x S 342334343222
2+=⋅⋅+⋅=,03432=-='x V x S ,解得34V x =,S 取极小值且唯一,即最小,故选C.
2. 答案 C. 解析：设锅炉底面半径和高分别为h r ,,则2
2
,r
V
h h r V ππ=
=,总造价r bV r a r V r b r a y 2222222+=⋅+=ππππ,0242=-='r bV r a y π,得b r V
ar ⋅=
2
2π即a
b h r 2=时取极大值,即最大值.故选C. 3. 答案：3.解析：设圆柱的底面半径为r ,高为h ,则22
27,27r
h h r ==ππ.无盖圆柱形水桶
表面积r r r r r S ππππ542722
22+=⋅+=,05422=-='r
r S ππ,解得:3=r ,为唯一极小
值点,即最小值点.
4 .答案:30.解析:设毛利润y ,则q q p y 20-⋅==)20(-p q =)20)(1708300(2---p p p
=1660001170015033-+--p p p ,所以01170030032
=+--=p p y ,解得30=p
或130-=p （舍去）. 根据导数的意义知，当30=p 时,y 最大.
5. 解：由于10000=+y x ，所以100000,)10000(32
313231≤≤-==y y y y x P ．
考虑23)10000(y y P -=，由0320000)(23=-='y y P 得3
20000
,021==y y ， 由于当320000<
y 时，0)(3>'P ；当320000
>y 时，0)(3<'P ， 所以3
20000
2=y 是3P 的极大值点，从而也是P 的极大值点．故当投到产品开发的资金
为3
20000元时，得到的回报最大.
6． 解: 以AB 所在的直线为x 轴,以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．椭圆方程为
22
2214y x r r
+= 设(,)C x y 则y =
（1） 1
(22)2(2
S x r r x =
+⋅=+ 定义域为 {}0x x r <<．
（2） 由（1）知2(S r x =+=.设
222g(x)=(r+x)(r -x ) 则22()(2)g (x)x r x r '=-+-. 由0g (x)'=得2
r
x =
当02r x <<
0g (x)'> 当2r x r << 0g (x)'<,∴当2
r
x =时g(x)取最大值,S 取最大值,
．。