数论初步试题1

第一章测试试卷

一、单项选择题。

1、若a,b,c 均为整数，且a+b 被c 整除，则下列一定成立的是（）。

A 、c|a

B 、c|b

C 、c|a-b

D 、c|2

2b a -

2、相邻两个整数之和与相邻两个整数之积分别是：（）。

A 、奇数 奇数

B 、奇数 偶数

C 、偶数 奇数

D 、偶数 偶数 3已知a=81,b=16,a 被b 除的带余除法表达式为a=bq+r,则（）。

A 、q=-6 r=15

B 、q=-5 r= -1

C 、q=-4 r=-17

D 、q= -7 r=31

4、已知（a,b,c ）=1,则一定有（）。

A 、（a,b ）=1

B 、(b,c)=1

C 、(a,c)=1

D 、((a,b),c)=1

5、所有不超过152的自然数中，5的倍数有（）个。

A 、28

B 、29

C 、30

D 、31

6、下列关于质数、合数的说法，正确的是（）。

A 、两个质数之和一定是质数

B 、质数一定是奇数

C 、两个合数之和一定是合数

D 、两个质数之积一定是合数

7、已知（a,c ）=1,(b,c)=1,则下列结论不一定正确的是（）。

A 、（ab,c ）=1

B 、(a+b,c)=1

C 、(ac,a+c)=1

D 、(c,b+c)=1

8、对于自然数n,下列结论不一定正确的是（）。

A 、（n,n+1）=1

B 、(n,2n+1)=1

C 、(n-1,n+1)=1

D 、若p 为大于n 的质数，则(n,p)=1

9、两个非零整数a,b ，满足ab=a+b,则2a-b=（）。

A 、4

B 、6

C 、2

D 、-2

10、设a 是大于1的自然数，p 是a 的大于1的最小约数则p 一定是（）。

11、若2｜4a-6b+c ，则以下一定成立的是（）。

A 、2｜a

B 、2｜2a-3b

C 、2|2a+3c

D 、2|b

12、若a 为整数，n 为任意正自然数，以下关于奇、偶数的说法错误的是（）。

A 、若n a 为奇数，则a 必为奇数。

B 、n 个奇数与n 个偶数之和必为奇数。

C 、n n +2一定是偶数。

D 、n n +2一定为偶数。 13、九位数a 37284961能被2整除，同时又能被3整除，则a 为（）。

A 、8

B 、3

C 、4

D 、6

14、若S （m ）,S(n)表示m,n 的所有正约数之和，（m,n ）=1时下列各式正确的是（）。

A 、M 是N 的充分分且必要条件。

B 、M 是N 充分条件

C 、N 是M 的充分条件

D 、M 既不是N 的充公条件，也不是N 的必要条件。

二、填空题：

1、若对于两个正整数a 和b ，ab=96,而(a,b)=24,则(a,b)= 。

2、若p 为质数，则k p 的所有正约数之和为 。

3、360的正约数有 个。

4、使得147｜325⨯224⨯n 的n 最小值为 。

5、[1260,882,1134]= 。

三、计算题。

1、已知2n 是完全平方数，3

n 是立方数，求n 的最小正数值。 2、已知（407，2816）＝11，试确定使等式407x2816＝11成立的x,y 的值。

四、证明题。

1、证明：若n 为自然数，则（21n+4,14n+3）=1。

2、证明：方程200222=-y x 无整数解。

参考答案：

一、D,B,A,D,D D,B,C,C,C B,B,A,B,,B

二、4；p

p k --+111

；24；21；79380； 三、1、解：依题意得，满足条件的数设为N ，则y x N 32= 因为，2n 是完全平方数，3

n 是立方数，则 2｜x-1 , 2|y .而3|x ,3|y-1.

由⎩⎨⎧-x x |31|2可知最小的x=3,⎩⎨⎧-1

|3|2y y 可知最小的y=4,

因此，满足条件的4332=N

2、解：依题意得，

2816=407⨯6+374;

407=374⨯1+33;

374=33⨯11+11;

33=3⨯11.

由表可知，12,83=-=y x 时，才使等式407x+2816y=11成立。

四、（1）证明：不妨设（21n+4,14n+3）=d,则

d|21n+4,d|14n+3,也有d|2 (21n+4),d|3 (14n+3),则d|3⨯14n+9-21n ⨯2-8

即 d|1,则d=1,即(21n+4,14n+3)=1.

(2)证明：假设存在整数x,y 使得20022

2=-y x ,则

（x-y ）(x+y)=2002=2⨯7⨯143;

由右边等式可知x-y 和x+y 必为一奇一偶；

不妨设x+y 为奇数，则x,y 中必有一奇一偶，而x-y ≠偶数，则矛盾。若x-y=偶数，则x,y 必有双奇双偶；而x+y ≠奇数，则与条件矛盾。

由上述可知，不存在整数x,y 使200222=-y x 。