数值计算方法第七章习题 2013

计算方法 第七章 习题

复习与思考题

1．设f ∈C [a , b ]，写出三种常用范数2

1

f

f

及∞

f

。

2．f , g ∈C [a , b ]，它们的内积是什么？如何判断函数族{ϕ 0, ϕ 1, …, ϕ n }∈C [a , b ]在[a ,b ]上线性无关？ 3．什么是函数f ∈C [a , b ]在区[a , b ]上的n 次最佳一致逼近多项式？

4．什么是f 在[a , b ] 上的n 次最佳平方逼近多项式？什么是数据{}m

i f 0的最小二乘曲

线拟合？

5．什么是[ a , b ]上带权ρ (x )的正交多项式？什么是[ -1, 1 ]上的勒让德多项式？它有什

么重要性质？

6．什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？

7．用切比雪夫多项式零点做插值得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同？ 8．什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n 较大时为什么不直接求解法方程？

9．哪种类型函数用三角插值比用多项式插值或分段多项式插值更合适？ 10．判断下列命题是否正确？

（1）任何f (x ) ∈C [a , b ]都能找到n 次多项式P n (x ) ∈ H n ，使| f (x ) - P n (x ) | ≤ ε ( ε 为任给的误差限)。

（2）n n H x P ∈)(*

是f (x )在[ a , b ]上的最佳一致逼近多项式，则)()(lim *

x f x P n n =∞

→对

],[b a x ∈∀成立。

（3）f (x ) ∈C [a , b ]在[a , b ]上的最佳平方逼近多项式P n (x ) ∈ H n 则)()(lim x f x P n n =∞

→。

（4）)(P ~

x n 是首项系数为1的勒让德多项式，Q n (x ) ∈ H n 是任一首项系数为1的多项式，则

⎰⎰--1

1

21

1

2d )(d )](P ~

[x x Q x x n n

。

（5）)(T ~

x n 是[-1 , 1]上首项系数为1的切比雪夫多项式。Q n (x ) ∈ H n 是任一首项系数为1的多项式，则

.)(max )(~

max 1

11

1x Q x T n x n x ≤≤-≤≤-≤

（6）当数据量很大时用最小二乘拟合比用插值好。

11．证明函数1, x , …, x n 线性无关。 12．证明 || f – g || ≥|| f || - || g || . 13．对f (x ), g (x ) ∈C 1 [a , b ]，定义 （1）x x g x f g f b

a d )()(),(''=⎰；

（2）)()(d )()(),(a g a f x x g x f g f b

a +''=

⎰。

问它们是否构成内积。 14．对权函数ρ (x ) = 1 + x 2，区间[-1 , 1]，试求首项系数为1的正交多项式ϕn (x ), n = 0, 1, 2, 3. 15．试证明第二类切比雪夫多项式族{u n (x )}是[-1,1]上带权21)(x x -=ρ的正交多项式。 16．证明对每一个切比雪夫多项式T n (x )，有

⎰

-=

-1

1

2

22

d 1)]([π

x x

x T n 。

17．用T 3 (x )的零点做插值点，求f (x ) = e x 在区间[-1, 1]上的二次插值多项式，并估计其最大误差界。

18．设]1,0[,23)(2

∈++=x x x x f ，试求f (x )在[0, 1]上关于ρ (x ) = 1，Φ = span{1, x }的最

佳平方逼近多项式，若取Φ = span{1, x , x 2}，那么最佳平方逼近多项式是什么？ 19．求f (x ) = x 3在[-1 , 1]上关于ρ (x ) = 1的最佳平方逼近二次多项式。 20．求函数f (x )在指定区间上对于Φ = span{1, x }的最佳平方逼近多项式； （1）]3,1[,1

)(x

x f =

； （2）]1,0[,e )(x x f =；

（3）]1,0[,cos )(x x f π=；

（4）]2,1[,ln )(x x f =。

上机实习题

1．求下表数据的1, 2, 3次最小二乘多项式

哪一种拟合曲线的误差最小？ 2．由实验给出数据表

试求3次、4次多项式的曲线拟合，再根据数据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线，用

图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。

3．一种抽样调查表明，某地的鱼的数量与种类的关系如下表

表中x 为鱼的数量，y 为鱼的种类，求此问题的线性一次最小二乘解。

4．用最小二乘法求一形如y = a + bx 2 的多项式，使之与下列数据相拟合：

5．用最小二乘法求一如R = bW a 的经验公式（a, b 为待定参数），使之与下列数据相拟合

若在形如ln R = ln b + a ln W 的基础上，加上一个二次项e (ln W )，求形如

2)(ln ln ln ln W e W a b R ++=

的最小二乘拟合曲线。 6．已知一组实验数据如下

利用构造正交多项式ϕk (x )的办法求最小二乘二次曲线拟合。

7．使用快速傅里叶变换确定函数x x x f cos )(2

=在],[ππ-上的16次三角插值多项式。

求运动方程。

用最小二乘法求形如y = a + bx 2的经验公式，并计算均方程误差。