数值计算方法第七章习题 2013

合集下载

《数值计算方法》习题答案

《数值计算方法》课后题答案详解吉林大学第一章习题答案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。

解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。

解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取并令可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。

(完整word版)《数值计算方法》复习资料全

《数值计算方法》复习资料课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。

第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。

二复习要求1. 知道产生误差的主要来源。

2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。

3. 知道四则运算中的误差传播公式。

三例题例1设x*= =3.1415926…近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即解因为x1m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a=2，相对误差限1x 2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m =－2，n=3，x 2=－0.002 00有3位有效数字. a 1=2，相对误差限εr ==0.002 5x 3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m =4, n=4, x 3=9 000有4位有效数字，a =9，相对误差限εr ＝＝0.000 056x 4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m =4，n=6，x 4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr ＝＝0.000 000 56由x 3与x 4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x 1,x 2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。

黄云清版数值计算方法习题解答

第一章引论〔习题〕2．证明：记 x x f =)( ，则)()(***x x x x x xx x f E r +-=-=)(21**x E x x x x x xr ≈-⋅+=.3．证明：令： )()()(b a fl b a fl b a **-*=δ可估计： 1|)(|-≥*c b a fl β 〔c 为b a *阶码〕，故： 121||--≤c t c ββδt-=121β 于是：)1)()(δ+*=*b a b a fl .4．解 (1) )21()122x x x++.(2) )11(2x x x x x-++.(3) xx x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-.6．解 a 的相对误差：由于31021|)(|-⋅≤-=a x x E .x ax x E r -=)(, 221018110921)(--⋅=⨯≤x E r . 〔1Th 〕)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.|11||)(|a x f E ---==()25.021011321⨯⋅≤-+---ax x a =310-33104110|)(|--⨯=-≤a f E r .9．解递推关系： 1101.100-+-=n n n y y y (1) 取初值 10=y ， 01.01=y 计算可得： 11001.10022-⨯=-y 10001.1-=410-=6310-=y ， 8410-=y ， 10510-=y ， …(2)取初值 50101-+=y ， 2110-=y ,记： n n n y y -=ε,序列 {}n ε ，满足递推关系，且 5010--=ε ， 01=ε1101.100-+-=n n n εεε, 于是： 5210-=ε, 531001.100-⨯=ε,55241010)01.100(---⨯=ε,55351002.20010)01.100(--⨯-⨯=ε,可见随着 n ε 的主项5210)01.100(--⨯n 的增长，说明该递推关系式是不稳定的.第二章多项式插值 (习题)1.方法一. 由 Lagrange 插值公式)()()()()(332211003x l f x l f x l f x l f x L ⋅+⋅+⋅+⋅=)1)((31)2)()(1()1)(()(2123210---=-----=x x x x x x x l ,))(1(2)1)()(1()(21221211--=--+=x x x x x x l ，x x x x x x l )1()()1()1!()(2382121232--=-⋅⋅-+=,)()1(12)()1()(2121213-+=⋅⋅-+=x x x x x x x l . 可得： )21()(23-=x x x L方法二. 令：)()21()(3B Ax x x x L +-=由 23)1(3-=-L ， 21)1(3=L ，定A ，B 〔称之为待定系数法〕2.证明(1) 由于 j i j i x l ,)(δ= 故： =)(x L n ∑=ni i k i x l x)( ，当 j x x = 时有： k j j n x x L =)( ， n j ,,1,0 =)(x L n 也即为 k x 的插值多项式，由唯一性，有：∑==ni k i ki x x l x)( ， n k ,,1,0 =证明(2)：利用Newton 插值多项式)(],[)()(0100x x x x f x f x N n -+=)()(],,[100---++n n x x x x x x f)()()()()()(00101x l x x x x x x x x x f n n =----=差商表：f(x) 一阶二阶 … n 阶差商0x 11x 0101x x -0 )()(11020x x x x --n x 00)()(1010n x x x x --代入)(*式有：)()()()()(1)(020*******n n n x x x x x x x x x x x x x x x N -----++--+=- .)(0x l 为n 次代数多项式，由插值多项式的唯一性：有 )()(0x N x l n ≡.4.解作)(x f 以b a a ,,ε+为节点的Lagrange 插值多项式，有：)()()(22x R x L x f +=，其中：)()()()()()()()()()(2εεεεε+-+--+-----=a fb a b x a x a f b a b x a x x L)()()()()(b f a b a b a x a x εε------+， )()()(!3)()(2b x a x a x f x R ----'''=εζ ， b a <<ζ令： 0→ε 有)()(6)()()(22b x a x f x R x R --'''=→ζ，又：)()()()([)()(2a f a b ax a f a b a x x b x L εεεεε----+----= )]()()()()(a f a b a x a f a b a x -------+εεεε )()()()()(b f a b a b a x a x εε------+)()()2()(2a f ab a b x x b --+-→)()()()(a f a b a x x b '---+ )()()()(22x P b f a b a x =--+ 故当0→ε 时，成立公式： )()()(x R x P x f +=.5.解：因为34)(3'-=x x f ，2''12)(x x f =)(x f 为凹函数.又从数值表可见：当]5.0,1.0[∈x 时，)(x f 单调下降.有反函数)(1y fx -=)(y f的Newton 插值多项式：)17440.0)(10810.0)(40160.0)(70010.0(01225.0)10810.0)(40160.0)(70010.0(01531.0)40160.0)(70010.0(0096436.0)70010.0(33500.01.0)(4+---+------+--=y y y y y y y y y y y N.337.0)0(4*≈=N x7．解 1)(37++=x x x f .有：=]2,,2,2[71f !7)()7(ξf =1,!8)(]2,,2,2[)8(810ηf f = 0=.9.证明：(1) =⋅-⋅=⋅∆++i i i i i i g f g f g f 11)(i i i i i i i i g f g f g f g f ⋅-⋅+⋅-⋅++++1111i i i i f g g f ∆+∆=+1.(3) n xnn)1()1(-=∆！)()(nh x h x x hn++此题可利用数学归纳法：设 k n = 成立，证明 1+=k n 成立.又 1=n 时是成立的.10.证明：记： 2]2/)1([)(+=n n n f ，33321)(n n g +++=有： 3)1()()1()(+=-+=∆n n f n f n f 故： ∑-=∆=10)()(n k k f n g ∑-=-+=1)]()1([n k k f k f2]2/)1([)0()(+=-=n n f n f .13．解作重节点差商的Newton 插值公式)1(]1,1[)1()(+--+-=x f f x P 22)1(]1,0,1,1[)1(]0,1,1[+--++--+x x f x f )1()1(]1,1,0,1,1[2-+--+x x x f重节点差商表：i x i f 一阶二阶三阶四阶10-=x 110-=x 1 201=x 1 0 -212=x 1 0 0 112=x 1 2 2 1 0得 22)1()1(2)1(21)(+++-++=x x x x x P 13+-=x x .17．证：取 ,00=x 211=x ， 12=x ， 21=h00=f ， 11=f ， 12=f记： )(i i x s M ''= ， 2,1,0=i有 h x x M h x x M x S 01101)(-+-=''x M x M 102)21(2+-= )21(2)1(2)(212-+-=''x M x M x S 又三弯矩方程为：(2],,[210-=x x x f )244210-=++M M M ， )24(41201M M M ++-=.分段积分：⎰⎰+''=''∆121221)]([)]([dx x s dx x s ⎰''12221)]([dx x s ⎰+-+=210201)]21([4dx x M x M ⎰-+-121221)]21()1([4dx x M x M⎰⎰-+-+-+-=121121221201)]21()1([4)]1()21([4dx x M x M dx x M x M由于⎰=-1212241)21(dx x ，⎰=-1212241)1(dx x ，⎰=--121481)1()21(dx x x ，于是：⎰++++=''∆1022212110202]2[61))((M M M M M M M dx x S 又： )24(41201M M M ++-=记 =),(20M M I ⎰∆''12))((dx x S=)()24(41[6120202220M M M M M M +++-+ ])24(81220M M +++ 由00=∂∂M I ， 02=∂∂M I. 得： ⎩⎨⎧=+-=-07072020M M M M 即当： 020==M M 时,),(20M M I 达最小故：⎰=⋅⋅≥''∆12212)24(8161))((dx x S ,由最小模原理： ⎰≥''1212)]([dx x f .20.解利用三弯矩方法 )(i i x s M ''= ， 2,1,0=i10=x ， 22=x ， 32=x⎪⎩⎪⎨⎧-=+=++=+542364622121010M M M M M M M解得： 70-=M ， 201=M ， 372-=M]2,1[∈x 72431729)(231-+-=x x x x s ]3,2[∈x 105229367219)(232+-+-=x x x x s .第三章最佳逼近与其实现 (习题)2.解(1) ⎰'⋅'=badx x g x f g f )()(),( 不是 ),(b a c '中的内积，事实上容易验证：),(),(f g g f = ， ),(),(g f g f λλ=),(),(),(w g w f w g f +=+但是0),(=f f 当且仅当 0)(≡x f . 条件不满足，因为：⎰='⋅'=badx x f x f f f 0)()(),(推出0)(≡'x f ，0)(≠=const x f . 因而 ),(g f 不是 ),(b a C '中的内积.(2) ),(g f 是 =],[10b a C {}],[)(,0)(:)(b a C x f a f x f '∈'=空间的内积，这是因为：0),(=f f 推出 0)(='x f ,C x f =)(，又],[10b a C f ∈ ，故 0)(=x f .4.解：由于 0)(],,[2≠''∈x f b a c f ，则)(x f ''于],[b a 上保号，由定理5的推论2可知：)()(1x P x f -的交错点组恰有三个交错点，且 a x =1，b x =3，即： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-'='-=+-==+-==+-=0)()(,)()()(,)()()(,)()()(122210223103311011αρααρααρααx f x e x x f x e x x f x e x x f x e 故：ab a f b f x f --='=)()()(21α，2)()(2)()(220x a a b a f b f x f a f +⋅---+=α记 c x =2 ，即证得(1).(2) 若 x x f cos )(= ，]2,0[],[π=b a此时由 ab a f b fc f --=')()()( 得：π2sin =c ， )2sin(πarc c =，πα21-=πππα2)4(2120-+=2)/2sin(2ππarc ⋅+)4(212-+=πππππ)2sin(arc +. 误差估计：)()(10b f b f E -+=-=ααρ)4(212-+=πππ1)2sin(-+ππarc5.解：选取 α ，使得：=)(αI ||max 211x x x α-≤≤ ，达到极小，即要求 x x *)(*αϕ= ，于]1,0[上一致逼近于2x ，如图应选*α ，使得： x x x *)(2αϕ-=,于 ]1,0[ 上有两个轮流为正负偏差点，其中之一为1，另一个假设为 ζ 于是： )()1(ζϕα-=,0)(='ζϕ ，〔 ζ为)(x ϕ的极值点〕得： αζζα+-=-2102=-αζ解得：ζα2= ，0122=-+ζζ,212,1±-=ζ取 12-=ζ ， 222-=α. 又： α 是唯一的.6.证明：由最佳一致逼近的特征定理，)(*x P n 为)(x f 的最佳一致逼近多项式，则存在2+n 个点b x x x a n ≤<<<≤+110使得： )()()(*k n k k x P x f x e -==*)1(n k P f --σ.又由于 ],[)(b a C x f ∈ ，于 ),(1+i i x x 中有一个点 i η ，1+<<i i i x x η ，使得： 0)()()(*=-=i n i i P f e ηηη,n i ,,1,0 =即： )(*x P n 为)(x f 满足插值条件： )()(*i i n f P ηη= ， n i ,,1,0 =的插值多项式.7．解：求C*，使得：C x f C I bx a R C -=≤≤∈)(max min *)(记 C x f x e -=)()(, 依最佳一致逼近的特征定理：应取)](min )(max [21*],[],[x f x f C b a b a +=*)()(C x f x e -=于 ],[b a 才有两个轮流正负的偏差点，〔即 )(x f 于],[b a 上的最大值点和最小值点〕1x ，2x)(max )(],[1x f x f b a = ， )(min )(],[2x f x f b a =此时： *)(max )1()(],[C x f x e b a ii --=σ即 *C 为)(x f 的零次最佳逼近多项式.8.解： 436)(23+++=x x x x f2)(34)3(62031T T T T +++=014T T ++01232112112323T T T T +++= 因为 )(413x T 与零偏差最小，故：012221121123)(T T T x P ++=421132++=x x .为)(x f 的最佳一致逼近多项式.9. 证明：我们仅证明)(x f 是偶函数时，)(x P n 亦是偶函数.由于)(x P n 为)(x f的最佳一致逼近多项式，有：)()()(max ],[f E x P x f n n a a =--和： [,max ()()()]n n a af x P x E f ----=即： )()()(max ],[f E x P x f n n a a =---)(x P n -亦是)(x f 的最佳一致逼近多项式，由最佳一致逼近多项式的惟一性，有： )()(x P x P n n =-即： )(x P n 为偶函数.11．解：设 x a a x P 10*1)(+= ， 2210*2)(x b x b b x P ++=分别为)(x f 的一次、二次最佳平方逼近多项式。

数值计算方法课后习题答案

第一章绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ，相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

数值计算方法思考题和习题

(4) 北京理工大学函大2004-2005学年第1学期计算机科学与技术专业专升本数值计算方法思考题和习题教科书：《科学与工程计算》廖晓钟赖汝编国防工业出版社 2003年版第1 章思考题p26 1,2,3,4,5第1 章习题pp26-27 1,3,4,5,6,11第2 章思考题p66 1,3,6,7,8,9,12.13第2 章习题pp67-68 2,3,4,5,7,11,12,13,14,17,18第3 章思考题p119 1,3,4，5，6,10,18,19第3 章习题pp119-121 1，2,3,4,5,12,13第4 章思考题p144 1,2,3,4,5,7,8第4 章习题pp144-146 1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13第5 章思考题p207 1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,12.13第5 章习题pp208-209 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15第6 章思考题p257 1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12.14第6 章习题pp257-259 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,15,16,17,18第7 章思考题p292 1,2,3,4,5,6,8,9第7 章习题pp293-295 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,20作业题第1 章习题pp26-27 1(1),(2),3(3),5,6第2 章习题pp67-68 2,4,5,11,13,17第3 章习题pp119-121 1(1),2(1),5(2),12第4 章习题pp144-146 1(1),2,10,11,12,13第5 章习题pp208-209 1,3,4,7,10,13,,15第6 章习题pp257-259 1(2),3,6（1）,12,16第7 章习题pp293-295 1,3,6,11,20数值计算方法复习题第1 章绪论1.说明数值算法的意义，计算机解题步骤和数值算法的特点。

数值计算方法倪勤习题答案

数值计算方法倪勤习题答案数值计算方法倪勤习题答案数值计算方法是一门研究如何利用计算机进行数值计算的学科。

它在科学计算、工程计算、金融计算等领域中有着广泛的应用。

倪勤的《数值计算方法》是该领域的经典教材之一，其中的习题是帮助学生巩固所学知识的重要资源。

下面是一些数值计算方法倪勤习题的答案，供大家参考。

一、插值与拟合1. 设有下列数据点：(0, 0)，(1, 1)，(2, 4)，(3, 9)。

试用拉格朗日插值多项式求x=2.5处的函数值。

解答：拉格朗日插值多项式的表达式为：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)] / ∑[l(xi)]其中，l(x) = ∏[(x - xj) / (xi - xj)]，i ≠ j根据给定的数据点，可以得到：l0(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) / (0 - 1)(0 - 2)(0 - 3) = -x(x - 1)(x - 2) / 6l1(x) = (x - 0)(x - 2)(x - 3) / (1 - 0)(1 - 2)(1 - 3) = x(x - 2)(x - 3) / 2l2(x) = (x - 0)(x - 1)(x - 3) / (2 - 0)(2 - 1)(2 - 3) = -x(x - 1)(x - 3) / 2l3(x) = (x - 0)(x - 1)(x - 2) / (3 - 0)(3 - 1)(3 - 2) = x(x - 1)(x - 2) / 6代入公式，得到：P(x) = 0 * l0(x) + 1 * l1(x) + 4 * l2(x) + 9 * l3(x)= -x(x - 1)(x - 2) / 6 + 4x(x - 1)(x - 3) / 2 + 9x(x - 1)(x - 2) / 6= -x(x - 1)(x - 2) / 6 + 2x(x - 1)(x - 3) + 3x(x - 1)(x - 2) / 2= x^3 - 3x^2 + 3x将x=2.5代入上式，得到：P(2.5) = 2.5^3 - 3 * 2.5^2 + 3 * 2.5 = 2.375因此，当x=2.5时，函数值为2.375。

数值计算方法第七章

第七章常微分方程初值问题数值解法7.1 引言科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问题．这类问题最简单的形式，是本章将要着重考察的一阶方程的初值问题()()'00,y f x y y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ()()1.11.2我们只要，只要函数(),f x y 适当光滑—譬如关于y 满足利普希茨()Lipschitz 条件()(),,f x y f x y L y y -≤-. ()1.3 理论上就可以保证初值问题()1.1，()1.2的解()y y x =存在并且唯一.虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法.所谓数值解法，就是寻求解()y x 在一系列离散节点121n n x x x x +<<<<<上的近似值121,,,,n n y y y y +.相邻两个节点的间距1n n n h x x +=-成为步长.今后如不特别说明，总是假定()1,2,i h h i ==为定数，这时节点为0,0,1,2,.n x x nh n =+= 初值问题()1.1，()1.2的数值解法有个基本特点，它们都采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进．描述这类算法，只要给出用已知信息,12,,n n n y y y --计算1n y +的递推公式.首先，要对方程()1.1离散化，建立求数值解的递推公式．一类是计算1n y +时只用到前一点的值n y ，称为单步法．另一类是用到1n y +前面k 点的值11,,,n n n k y y y --+称为k 步法．其次，要研究公式的局部截断误差和阶，数值解n y 与精确解()n y x 的误差估计及收敛性，还有递推公式的计算稳定性等问题．7.2 简单的数值方法与基本概念7.2.1 欧拉法与后退欧拉法我们知道，在xy 平面上，微分方程()1.1的解()y y x =称为它的积分曲线．积分曲线上一点(),x y 的切线斜率等于函数(),f x y 的值．如果按函数(),f x y 在xy 平面上建立一个方向场，那么，积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点方向相一致．基于上述几何解释，我们从初始点()000,p x y 出发，先依方向场在该点的方向推进到1x x =上一点1p ，然后再从1p 依方向场的方向推进到2x x =上一点2p ，循此前进做出一条折线012p p p （图91-）．一般地，设已做出该折线的顶点n p ，过(),n n n p x y 依方向场的方向再推进到()111,n n n p x y +++，显然两个定点n p ，1n p +的坐标有关系()11,,_n nn n n ny y f x y x x ++-=即()1,n n n ny y h f xy +=+ ()2.1 这就是著名的欧拉()Euler 公式．若初值0y 已知，则依公式()2.1可逐步算出()()10002111,,,,y y hf x y y y hf x y =+=+例1 求解初值问题()'201x y y y y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩()01x <<， ()2.2解为便于进行比较，本章将用多种数值方法求解上述初值问题．这里先用欧拉方法，欧拉公式的具体形式为12.n n n n n x y y h y y +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭取步长0.1,h =计算结果见表71-表71-计算结果对比n xn y()n y xn xn y()n y x0.10.2 0.30.4 0.51.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.43511.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.41420.6 0.7 0.80.9 1.01.5090 1.5803 1.6498 1.7178 1.78481.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321初值问题()2.2有解12y x =+，按这个解析式子算出的准确值()n y x 同近似值n y 一起列在表71-中，两者相比较可以看出欧拉方法的精度很差．还可以通过几何直观来考察欧拉方法的精度．假设()n n y y x =，即顶点n p 落在积分曲线()y y x =上，那么，按欧拉方法做出的切线n p 1n p +便是()y y x =过点n p 的切线．从图形上看，这样定出顶点1n p +显著地偏离了原来的积分曲线，可见欧拉方法是相当粗糙的．为了分析计算公式的精度，通常可采用泰勒展开将()1n y x +在n x 处展开，则有()()1n n y x y x h +=+ ()()()2''',2n n n h y x yx h y ξ=++ ()1,.n n n x x ξ+∈在()n n y y x =的前提下，()()()()',,.n n n n n f x y f x y x y x ==于是可得欧拉法()2.1的公式误差()()()22''''1122n n n n h h y x y y y x ξ++-=≈， ()2.3 称为此方法的局部截断误差．如果对方程()1.1从n x 到1n x +积分，得 ()()()()11,n n n nx y x y x f t y t dt x ++=+⎰． ()2.4 右端积分用左矩形公式()(),n n hf x y x 近似，再以n y 代替()n y x ，1n y +代替()1n y x +也得到()2.1，局部截断误差也是()2.3．如果在()2.4中右端积分用右矩形公式()()11,n n hf x y x ++近似，则得另一个式 ()()111,n n n n y y h f x y x +++=+ ()2.5称为后退得欧拉法．后退的欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别，后者是关于1n y +的一个直接的计算公式，这类公式称作是显式的；然而公式()2.5的右端含有未知的1n y +，它实际上是关于1n y +的一个函数方程，这类公式称作是隐式的．显式与隐式两类方法各有特点．考虑到数值稳定性等其他因素，人们有时需要选用隐式方法，但使用显式算法远比隐式方便．隐式方程()2.5通常用迭代法求解，而迭代过程的实质是逐步显示化．设用欧拉公式()()01,n n n n y y hf x y +=+给出迭代初值()01n y +，用它代入()2.5式的右端，使之转化为显示，直接计算得()()()10111,n n n n y y hf x y +++=+，然后再用11n y +代入()2.5式，又有()()()21111,n n n n y y hf x y +++=+．如此反复进行，得()()()1111,k k n n n n y y hf x y ++++=+ ()0,1,k =． ()2.6由于(),f x y 对y 满足利普希茨()Lipschitz 条件()1.3．由()2.6减()2.5得()()()()1111111,,k k n n n n n n y y h f x y f x y +++++++-=-()11.k n n hL y y ++≤-由此可知，只要1hL <迭代法()2.6就收敛到解1n y +．关于后退欧拉法的公式误差，从积分公式看到它与欧拉法是相似的．7.2.2 梯形方法为得到比欧拉法精度高的计算公式，在等式()2.4右端积分中若用梯形求积公式近似，若用n y 代替()n y x ，1n y +代替()1n y x +，则得()()111,,2n n n n n n hy y f x y f x y +++=++⎡⎤⎣⎦ ()2.7 称为梯形方法．梯形方法是隐式单步法，可用迭代法求解．同后退的欧拉法一样，仍用欧拉方法提供迭代初值，则梯形法的迭代公式为()()()()()()()011111,;,,;20,1,2,.nn n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k +++++⎧=+⎪⎪⎡⎤=++⎨⎣⎦⎪⎪=⎩()2.8 为了分析迭代过程的收敛性，将()2.7式与()2.8式相减，得()()()()1111111,,2k k n n n n n n h y y f x y f x y +++++++⎡⎤-=-⎣⎦，于是有()()11111,2k k n n n n hL y y y y +++++-≤- 式中L 为(),f x y 关于y 的利普希茨常数．如果选取h 充分小，使得12hL≤，则当k →∞时有()1k n y +1n y +→，这说明迭代过程()2.8是收敛的．7.2.3 单步法的局部截断误差与阶初值问题()()1.1,1.2的单步法可用一般形式表示为()11,,,,n n n n n y y h x y y h ϕ++=+ ()2.9其中多元函数ϕ与(),f x y 有关，当ϕ含有1n y +时，方法是隐式的，若不含1n y +则为显式方法，所以显式单步法可表示为 ()1,,,n n nn y y h x y hϕ+=+ ()2.10 (),,x y h ϕ称为增量函数，例如对欧拉法()2.1有(),,x y h ϕ(),f x y =．它的局部截断误差已由()2.3给出，对一般显式单步法则可如下定义．定义 1 设()y x 是初值问题()()1.1,1.2的准确解，称()()()()11,,n n n n n T y x y x h x y x h ϕ++=-- ()2.11为显式单步法()2.10的局部截断误差．1n T +之所以称为局部的，是假设在n x 前各步没有误差．当n y ()n y x =时，计算一步，则有()()()111,,n n n n n n y x y y x y h x y h ϕ+++-=-+⎡⎤⎣⎦()()()()11,,n n n n n y x y x h x y x h T ϕ++=--=．所以，局部截断误差可理解为用方法()2.10计算一步的误差，也即公式()2.10中用准确解()y x 代替数值解产生的公式误差．根据定义，显然欧拉法的局部截断误差()()()()11,n n n n n T y x y x h x y x ϕ++=--()()()'1n n n y x y x h y x +=--()()2''3,2n h y x h =+O 即为()2.3的结果．这里()2''2n h y x 称为局部截断误差主项．显然()21n T h +=O ．一般情形的定义如下，定义 2 设()y x 是初值问题()()1.1,1.2的准确解，若存在最大整数p 使显式单步法()2.10的局部截断误差满足()()()()11,,p n T y x h y x h x y h h ϕ++=+--=O ， ()2.12则称方法()2.10具有p 阶精度．若将()2.12展开式写成()()()121,p p n n n T x y x h h ψ+++=+O ，则()()1,p n n x y x h ψ+称为局部截断误差主项．以上定义对隐式单步法()2.9也是适用的．例如，对后退欧拉法()2.5其局部截断误差为()()()()1111,n n n n n T y x y x hf x y x ++++=--()()()2'''32n n h hy x y x h =++O()()()'''2n n h y x hy x h ⎡⎤-++O ⎣⎦()()2''3.2n h y x h =-+O这里1p =，是1阶方法，局部截断误差主项为()2''2n h y x -．同样对梯形法()2.7有()()()()''1112n n n n n h T y x y x y x y x +++⎡⎤=--+⎣⎦ ()()()23''''''23!n n n h h hy x y x y x =++()()()()()2'''''''422n n n n h h y x y x hy x y x h ⎡⎤-++++O ⎢⎥⎣⎦()()3'''4.12n h y x h =-+O所以梯形方法()2.7是二阶的，其局部误差主项为()3'''12n h y x -．7.2.4 改进的欧拉公式我们看到，梯形方法虽然提高了精度，但其算法复杂，在应用迭代公式()2.9进行实际计算时，每迭代一次，都要重新计算函数(),f x y 的值，而迭代又要反复进行若干次，计算量很大，而且往往难以预测．为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入下一步的计算，这就简化了算法．具体地说，我们先用欧拉公式求得一个初步的近似值1n y +，称之为预测值，预测值1n y +的精度可能很差，再用梯形公式()2.7将它校正一次，即按()2.8式迭代一次得1n y +，这个结果称校正值，而这样建立的预测-校正系统通常称为改进的欧拉公式：预测 1n y +(),,n n n y hf x y =+校正 1n y +()()11,,.2n n n nn hy f x y fx y ++⎡⎤=++⎣⎦()2.13或表为下列平均化形式()()()11,,,,1.2p n n n c n n p n p c y y hf x y y y hf x y y y y ++⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩ 例2 用改进的欧拉方法求解初值问题()2.2．解改进的欧拉公式为()112,2,1.2n p nn n n c n p p n p c x y y hf y y x y y hf y y y y y ++⎧⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪=+- ⎪⎨ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=+⎪⎩仍取0.1h =，计算结果见表92-．同例1中欧拉法的计算结果比较，改进欧拉法明显改善了精度．表72- 计算结果对比n xn y()n y xn xn y()n y x0.10.2 0.30.4 0.51.0959 1.1841 1.2662 1.3424 1.41641.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.41420.6 0.7 0.80.9 1.01.4860 1.5525 1.6153 1.6782 1.73791.4832 1.5492 1.6165 1.6733 1.73217.3 龙格-库塔方法7.3.1 显式龙格-库塔法的一般形式上节给出了显式单步法的表达式()2.10，其局部截断误差为()2.12，对欧拉法()21n T h +=O ，即方法为1p =阶，若用改进欧拉法()2.13，它可表为()()()1,,,2n n n n n n n n hy y f x y f x h y hf x y +⎡⎤=++++⎣⎦． ()3.1 此时增量函数()()()()1,,,,,2n n n n n n n n x y h f x y f x h y hf x y ϕ⎡⎤=+++⎣⎦． ()3.2 它比欧拉法的(),,n n x y h ϕ= (),n n f x y ，增加了计算一个右函数f 的值，可望2p =．若要使得到的公式阶数p 更大，ϕ就必须包含更多的f 值．实际上从方程()1.1等价的积分形式()2.4，即()()()()11,n nx n n x y x y x f x y x dx ++-=⎰， ()3.3若要使公式阶数提高，就必须使右端积分得数值求积公式精度提高，它必然要增加求积节点，为此可将()3.3的右端用积分公式表示为()()()()11,,.n nrx i n i n i x i f x y x dx c f x h y x h λλ+=≈++∑⎰一般来说，点数r 越多，精度越高，上式右端相当于增量函数(),,x y h ϕ，为得到便于计算的显示方法，可类似于改进欧拉法()()3.1,3.2，将公式表示为 ()1,,,n n n n y y h x y h ϕ+=+ ()3.4其中()1,,rn n i i i x y h c K ϕ==∑， ()3.5(),,i n n K f x y =11,i i n i n ij j j K f x h y K λμ-=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑ 2,,,i r = 这里i c ，i λ，ij μ均为常数．()3.4和()3.5称为r 级显式龙格-库塔()Runge Kutta -法，简称R K -方法．当1r =，()(),,,n n n n x y h f x y ϕ=时，就是欧拉法，此时方法的阶为1p =．当2r =时，要改进欧拉法()3.1，()3.2就是其中的一种，下面将证明阶2p =．要使公式()3.4，()3.5具有更高的阶p ，就要增加点数r ．下面我们只就2r =推导R K -方法．并给出3,4r =时的常用公式，其推导方法与2r =时类似，只是计算较复杂．7.3.2 二阶显式R K -方法对2r =的R K -方法，由()3.4，()3.5可得到如下的计算公式()()()11122122211,,,,.n n n n n n y y h c K c K K f x y K f x h y hK λμ+=++⎧⎪=⎨⎪=++⎩ ()3.6这里1c ，2c ，2λ，21μ均为待定常数，我们希望适当选取这些系数，使公式阶数p 尽量高．根据局部截断误差定义，()3.6的局部截断误差为()()11n n n T y x y x ++=-=()()12221,,,n nn n n h cf x y c f xh y h f λμ-+++⎡⎤⎣⎦()3.7 这里()(),,.n n n n n y y x f f x y ==为得到1n T +的阶p ，要将上式各项在(),n n x y 处做泰勒展开，由于(),f x y 是二元函数，估要用到二元泰勒展开，各项展开式为()()23''''''41,23!n n nn n h h y x y hy y y h +=++++O其中()()()()()()()()()()()'''''''''''2''''',,,,,,,2,,,,,;n n n n n n n x n n y n n n n xx n n n xy n n n yy n n y n n x n n n y n n y f x y f d y f x y x f x y f x y f dx y f x y f f x y f f x y f x y f x y f f x y ⎧==⎪⎪==+⋅⎨⎪⎪⎡⎤=++++⎣⎦⎩()3.8()221,n n n f x h y hf λμ++()()()''2221,,.n x n n y n n n f f x y h f x y hf h λμ=+++O 将以上结果代入()3.7则有()()2''1,,2n n x n n y n n n h T hf f x y f x y f +⎡⎤=++⎣⎦ ()()()()''312221,,n nx n n y n n n h c f c f f x y h f x y f h O h λμ⎡⎤-++++⎣⎦ ()()'2122211,2n x n n c c f h c f x y h λ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭()()'232211,2y n n n c f x y f h O h μ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭．要使公式()3.6具有2p =阶，必须使12222211110,0,0.22c c c c λμ--=-=-= ()3.9即222211211,, 1.22c c c c λμ==+=()3.9的解是不唯一的．可令20c a =≠，则得122111,.2c a aλμ=-==这样得到的公式称为二阶R-K 方法，如取1/2a =，则121/2c c ==，2211λμ==．这就是改进欧拉法()3.1．若取1a =，则211,0,c c ==2211/2λμ==．得计算公式()12121,,,,.22n n n n n n y y hK K f x y h h K f x y K +⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=++ ⎪⎪⎝⎭⎩()3.10称为中点公式，相当于数值积分公式的中矩形公式．()3.10也可表示为()1,,.22n n n n n n h h y y hf x y f x y +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭对2r =的R-K 公式()3.6能否使局部误差提高到()4O h ？为此需把2K 多展开一项，从()3.8的'''ny 看到展开式中()2'''yxyf f ff +的项是不能通过选择参数消掉的，实际上要使3h 的项为零，需增加3个方程，要确定4个参数122,,c c λ及21μ，这是不可能的．故2r =的显示方法的阶只能是2p =，而不能得到三阶公式．7.3.3 三阶与四阶显式R K -方法要得到三阶显式R K -方法，必须3r =．此时()()3.4,3.5的公式表示为()()()()111223312221133311322,,,,,,.n n n n n n n y y h c K c K c K K f x y K f x h y hK K f x h hK hK λμλμμ+=+++⎛= =++ =++⎝ ()3.11其中123,,c c c 及22133132,,,,λμλμμ均为待定参数，公式()3.11的局部截断误差为()()[]11112233.n n n T y x y x h c K c K c K ++=--++只要将23,K K 按二元函数泰勒展开，使()41n T O h +=，可得待定参数满足方程12322133132223322223332321,,,1,21,31.6c c c c c c c c λμλμμλλλλλμ++=⎧⎪=⎪⎪=+⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎪⎪=⎩()3.12这是8个未知数6个方程的方程组，解也不是唯一的．可以得到很多公式．满足条件的公式统称为三阶R K -公式．下面只给出其中一个常见的公式．()()()11231213124,6,,,,22,2.n n n n n n n n h y y K K K K f x y h h K f x y K K f x h y hK hK +⎧=+++⎪⎪=⎪⎨⎛⎫⎪=++ ⎪⎪⎝⎭⎪=+-+⎩ 此公式称为库塔三阶方法．继续上述过程，经过较复杂的数学演算，可以导出各种四阶龙格-库塔公式，下列经典公式是其中常用的一个：()()()11234121324322,6,,,,.22,,22,.n n n n n n n n n n h y y K K K K K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +⎧=++++⎪⎪⎪=⎪⎪⎛⎫=++⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪=++⎩ ()3.13四阶龙格-库塔方法的每一步需要四次函数值f ，可以证明其截断误差为()5O h ．不过证明极其繁琐，这里从略．例3 设取步长0.2h =，从0x =直到1x =用四阶龙格-库塔方法求解初值问题()2.2．解这里，经典的四阶龙格-库塔公式()3,13具有形式右面列出计算结果n y ，表中()n y x 仍表示准确解．比较例3和例2的计算结果，显然以龙格-库表73- 计算结果塔方法的精度为高．要注意，虽然四阶龙格-库塔方法的计算量（每一步要4次计算函数f ）比改进的欧拉方法（它是一种二阶龙格-库塔方法，每一步只要2次计算函数f ）打一倍，但由于这里放大了步长，表和表所耗费的计算量几乎相同．这个例子又一次显示了选择算法的重要意义．然后值得指出的是，龙格-库塔方法的推导基于泰勒展开方法，因而它要求所求的解具有较好的光滑性质．反之，如果解得光滑性差，那么，使用四阶龙格-库塔方法求得的数值解，其精度可能反而不如改进的欧拉方法．实际计算时，我们应当针对问题的具体特点选择合适的算法．7.3.4 变步长的龙格-库塔方法单从每一步看，步长越小，截断误差就越小，但随着步长的缩小，在一定求n x n y ()n y x0.2 0.4 0.6 0.8 1.01.1832 1.3417 1.4833 1.6125 1.73211.18321.3417 1.4833 1.6125 1.7321()()11234121132243322,62,2,222,222.n n n n n n n n n n n n n n h y y K K K K x K y y x h h K y K h y K x h h K y K h y K x h K y hK y hK +⎧=++++⎪⎪⎪=-⎪⎪+⎪=+-⎪+⎨⎪+⎪=+-⎪+⎪⎪⎪+=+-⎪+⎩解范围内所要完成的步数就增加了．步数的增加不但引起计算量的增大，而且可能导致舍入误差的严重积累．因此同积分的数值计算一样，微分发出的数值解法也有个选择步长的问题．在选择步长时，需要考虑两个问题：1 怎样衡量和检验计算结果的精度？2 如何依据所获得的精度处理步长？我们考察经典的四阶龙格-库塔公式()3,13．从节点n x 出发，先以h 为步长求出一个近似值，记为()1h n y +，由于公式的局部截断误差为()5O h ，故有 ()()511h n n y x y ch ++-≈， ()3.14 然后将步长折半，即取2h 为步长从n x 跨两步到1n x +，再求得一个近似值21h n y ⎛⎫⎪⎝⎭+，每跨一步的截断误差是52h c ⎛⎫⎪⎝⎭，因此有()521122h n n h y x yc ⎛⎫ ⎪⎝⎭++⎛⎫-≈ ⎪⎝⎭， ()3.15比较()3.14式和()3.15式我们看到，步长折半后，误差大约减少到116，即有 ()()()211111.16h n n h n n y x yy x y⎛⎫ ⎪⎝⎭++++-≈- 由此易得下列事后估计式()()2211111.15h h h n n n n y x yy y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++⎡⎤-≈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦这样，我们可以通过检查步长，折半前后两次计算结果的偏差()211h h n n yy ⎛⎫ ⎪⎝⎭++∆=-来判定所选的步长是否合适，具体地说，将区分以下两种情况处理：⒈ 对于给定的精度ε，如果ε∆>，我们反复将步长折半进行计算，直至ε∆<为止，这样取最终得到的21h n y⎛⎫ ⎪⎝⎭+作为结果；⒉ 如果ε∆<，我们将反复将步长加倍，直到ε∆>位止，这时再将步长折半一次，就得到所要的结果．这种通过加倍或折半步长的方法称为变步长方法．表面上看，为了选择步长，每一步的计算量增加了，但总体考虑往往是合算的．7.4 单步法的收敛性与稳定性7.4.1 收敛性与相容性数值解法的基本思想是，通过某种离散化手段将微分方程()1.1转化为差分方程，如单步法()2.10，即()1,,.n n nn y y h x y h ϕ+=+ ()4.1它在n x 处的解为n y ，而初值问题()()1.1,1.2在n x 处的精确解为()n y x ，记()n n n e y x y =-称为整体截断误差．收敛性就是讨论当n x x =固定且00n x x h n-=→时0n e →的问题．定义3 若一种数值方法（如单步法()4.1）对于固定的0n x x nh =+，当0h →时有()n n y y x →，其中()y x 是()()1.1,1.2的准确解，则称该方法是收敛的．显然数值方法收敛是指()0n n n e y x y =-→，对单步法()4.1有下述收敛定理：定理1 假设单步法()4.1具有p 阶精度，且增量函数(),,x y h ϕ关于y 满足利普希茨条件(),,,,x y h x y h L y y ϕϕϕ--⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭， ()4.2又设是准确的，即()00y y x =，则其整体截断误差()().p n n y x y O h -= ()4.3证明设以1n y -+表示取()n n y y x =公式()4.1求得的结果，即()()()1,,n n n n y y x h x y x h ϕ-+=+， ()4.4则()11n n y x y -++-为局部截断误差，由于所给方法具有p 阶精度，按定义2，存在定数C ，使()111p n n y x y Ch -+++-≤．又由式()4.4与()4.1，得()11n n n n y y y x y -++-≤- ()()(),,,,.n n n nh x yx h x y h ϕϕ+- 利用假设条件()4.2，有()()111,n n n n y y hL y x y ϕ-++-≤+-从而有()()111111n n n n n n y x y y y y x y --++++++-≤-+-()()11.p n n hL y x y Ch ϕ+≤+-+即对整体截断误差()n n n e y x y =-成立下列递推关系式()111p n n e hL e Ch ϕ++≤++， ()4.5据此不等式反复递推，可得()()0111.p nn n Ch e hL e hL L ϕϕϕ⎡⎤≤+++-⎢⎥⎣⎦ ()4.6 再注意到当0n x x nh T -=≤时()()1nnhL TL hL eeϕϕϕ+≤≤，最终得下列估计式()01.p TL TL n Ch e e ee L ϕϕϕ≤+- ()4.7由此可以断定，如果初值是准确的，即00e =，则()4.3式成立，定理证毕．依据这一定理，判断单步法()4.1的收敛性，归结为验证增量函数能否满足利普希茨条件．对于欧拉方法，由于其增量函数ϕ就是(),f x y ，故当(),f x y 关于y 满足利普希茨条件时它是收敛的．再考察改进的欧拉方法，其增量函数已由()3.2式给出，这时有()()1,,,,[,(,)2x y h x y h f x y f x y ϕϕ--⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭((,(,))(,(,))]f x h y h f x y f x h y h f x y --+++-++．假设(),f x y 关于y 满足利普希茨条件，记利普希茨常数L ，则由上式推得(),,,,1.2h x y h x y h L L y y ϕϕ--⎛⎫⎛⎫-≤+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设限定0h h ≤（0h 为定数）上式表明ϕ关于y 的利普希茨常数01,2h L L L ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因此改进的欧拉方法也是收敛的．类似地，不难验证其他龙格-库塔方法的收敛性．定理1表明时单步法收敛，并且当是初值问题的解，具有阶精度时，则有展开式1()()(,(),)n T y x h y x h x y x h ϕ+=+--'''2()()2y x y x h h =++'[(,(),0)(,(),0)]xh x y x x y x h ϕϕ-++ '2[()(,(),)]().h y x x y x h O h ϕ=-+所以1p ≥的充要条件是'()(,(),0)0y x x y x ϕ-=，而'()(,())y x f x y x =，于是可给出如下定义：定义4 若单步法()4.1的增量函数ϕ满足(,,0)(,)x y f x y ϕ=，则称单步法()4.1与初值问题()()1.1,1.2相容．以上讨论表明p 阶方法()4.1当1p ≥时与()()1.1,1.2相容，反之相容方法至少是1阶的．于是由定理1可知方法()4.1收敛的充分必要条件是此方法是相容的．7.4.2 绝对稳定性与绝对稳定前面关于收敛性的讨论有个前提，必须假定数值方法本身的计算是准确的．实际情形并不是这样，差分方程的求解还会有计算误差，譬如由于数字舍入而引起的小扰动．这类小扰动在传播过程中会不会恶性增长，以至于“淹没”了差分方程的“真解”呢？这就是差分方法的稳定性问题．在实际计算时，我们希望某一步产生的扰动值，在后面的计算中能够被控制，甚至是逐步衰减的．定义5 若一种数值方法在节点值n y 上大小为δ的扰动，于以后各节点值()m y m n >上产生的误差均不超过δ，则称该方法是稳定的．下面先以欧拉法为例考察计算稳定性．例4 考察初值问题()'100,0 1.y y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 其准确解()100x y x e -=是一个按指数曲线衰减得很快的函数，用欧拉法解方程'100y y =- 得()11100n n y h y +=-．若取0.025h =，则欧拉公式的具体形式为1 1.5,n n y y +=-计算结果列于表94-的第2列．我们看到，欧拉方法的解n y 在准确值()n y x 的上下波动，计算过程明显地不稳定．但若取10.005,0.5n n h y y +==则计算过程稳定．在考察后退的欧拉方法，取0.025h =时计算公式为113.5n n y y +=．计算结果列于表74-的第3列，这时计算过程是稳定的．表74- 计算结果对比节点欧拉方法后退欧拉方法 0.025 0.050 0.075 0.1001.5-2.253.375- 5.06250.2857 0.0816 0.0233 0.0067例题表明稳定性不但与方法有关，也与步长h 的大小有关，当然也与方程中的(),f x y 有关．为了只考察数值方法本身．通常只检验将数值方法用于解模型方程的稳定性，模型方程为'y y λ=， ()4.8其中λ为复数，这个方程分析较简单．对一般方程可以通过局部线性化化方程为这种形式，例如在(,)x y --的邻域，可展开为()',y f x y =''(,)(,)()(,)(),x y f x y f x y x x f x y y y --------=+-+-+略去高阶项，再做变换即可得到'u u λ=的形式．对于m 个方程的方程组，可线性化为'y Ay =，这里A 为m m ⨯的雅可比矩阵ii fy ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭．若A 有m 个特征值1,,m λλ，其中i λ可能是复数．所以，为了使模型方程结果能推广到方程组，方程()4.8中λ为复数．为保证微分方程本身的稳定性，还应假定()Re 0λ<．下面先研究欧拉方法的稳定性．模型方程'y y λ=的欧拉公式为()11.n n y h y λ+=+ ()4.9设在节点值n y 上有一扰动值n ε，它的传播使节点值1n y +产生大小为1n ε+的扰动值，假设用*n n n y y ε=+按欧拉公式得出*111n n n y y ε+++=+的计算过程不再有新的误差，则扰动值满足()11.n n h ελε+=+可见扰动值满足原来的差分方程()4.9．这样，如果差分方程的解是不增长的，即有1n n y y +≤，则它就是稳定的．这一论断对于下面将要研究的其他方法同样适用．显然，为要保证差分方程()4.9的解是不增长的，只要选取h 充分小，使1 1.h λ+≤ ()4.10在h μλ=的复平面上，这是以()1,0-为圆心，1为半径的单位圆域．称为欧拉法的绝对稳定域，一般情形可由下面定义．定义6 单步法()4.1用于解模型方程()4.8，若得到的解()1n n y E h y λ+=，满足()1E h λ<，则称方法()4.1是绝对稳定的．在h μλ=的平面上，使()1E h λ<的变量围成的区域，称为绝对稳定域，它与实轴的交称为绝对稳定区间．对欧拉法()1E h h λλ=+，其绝对稳定域已由()4.10给出，绝对稳定区间为20h λ-<<，在例5中100,21000h λ=--<-<，即02/1000.02h <<=为绝对稳定区间，例4中取0.025h =故它是不稳定的，当取0.005h =时它是稳定的．对二阶R K -方法，解模型方程()4.8可得到()211,2n n h y h y λλ+⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦故()()21.2h E h h λλλ=++绝对稳定域由()2112h h λλ++<得到，于是可得到绝对稳定区间为20h λ-<<，即02/h λ<<-．类似可得到三阶及四阶的R K -方法的()E h λ分别为()()()2312!3!h h E h h λλλλ=+++，()()()()2341.2!3!4!h h h E h h λλλλλ=++++由()1E h λ<可得到相应的绝对稳定域．当λ为实数时则得绝对稳定区间．它们分别为三阶R K -显示方法： 2.510,h λ-<<即0 2.51/.h λ<<- 四阶R K -显示方法： 2.780,h λ-<<即0 2.78/h λ<<-．从以上讨论可知显示的R K -方法的绝对稳定域均为有限域，都对步长h 有限制．如果h 不在所给的绝对稳定区间内，方法就不稳定．例5 '20y y =- ()01x ≤≤，()01y =分别取0.1h =及0.2h =用经典的R K -四阶方法()3.13计算．解本例20λ=-，h λ分别为2-及4-，前者在绝对稳定区间内，后者则不在，用四阶R K -方法计算其误差见下表：n x 0.20.40.60.81.00.1h = 0.2h =10.9310-⨯ 4.98 10.1210-⨯ 25.0 20.1410-⨯ 125.0 30.1510-⨯ 625.0 40.1710-⨯3125.0从以上结果看到，如果步长h 不满足绝对稳定条件，误差增长很快．对隐式单步法，可以同样讨论方法的稳定性，例如对后退欧拉法，用它解模型方程可得11,1n n y y h λ+=- 故 ()11E h h λλ=-．由()111E h h λλ=<- 可得绝对稳定域为11h λ->，它是以()1,0为圆心，1为半径的单位圆外部，故绝对稳定区间为0h λ-∞<<．当0λ<时，则0h <<∞，即对任何步长均为稳定的．对隐式梯形法，它用于解模型方程()4.8得112,12n n h y y h λλ++=-故 ()1/2.1/2h E h h λλλ+=- 对()Re 0λ<有()12112h E h h λλλ+=<-，故绝对稳定域为h μλ=的左半平面，绝对稳定区间为0h λ-∞<<，即0h <<∞时梯形法均是稳定的．7.5 线性多步法在逐步推进的求解过程中，计算1n y +之前事实上已经求出了一系列的近似值01,,,n y y y ，如果充分利用前面多步的信息来预测，则可以期望会获得较高的精度．这就是构造所谓线性多步法的基本思想．构造多步法的主要途径是基于数值积分方法和基于泰勒展开方法，前者可直接由方程()1.1两端积分后利用插值求积公式得到．本节主要介绍基于泰勒展开的构造方法．7.5.1 线性多步法的一般公式如果计算n k y +时，除用1n k y +-的值，还用到()0,1,,2n i y i k +=-的值，则称此方法为线性多步法．一般的线性多步法公式可表示为10,k kn k i n i i n i i i y y h f αβ-+++===+∑∑ ()5.1其中n i y +为()n i y x +的近似，()0,,,,n i n i n i n i i i f f x y x x ih αβ++++==+为常数，0α及0β不全为零，则称()5.1为线性k 步法，计算时需先给出前面k 个近似值011,,,k y y y -，再由()5.1逐次求出1,,k k y y +．如果0k β=，称()5.1为显示k 步法，这时n k y +可直接由()5.1算出;如果0k β≠，则()5.1称为隐式k 步法，求解时与梯形法()2.7相同，要用迭代方法可算出n k y +．()5.1中系数i α及i β可根据方法的局部截断误差及阶确定，其定义为：定义7 设()y x 是初值问题()()1.1,1.2的准确解，线性多步法()5.1在n k x +上的局部截断误差为();n k n T L y x h +=⎡⎤⎣⎦()()()1'0.k kn k i n i i n i i i y x y x h y x αβ-+++===--∑∑ ()5.2若()1p n k T O h ++=，则称方法()5.1是p 阶的，1p ≥则称方法()5.1与方程()1.1是相容的．由定义7，对n k T +在n x 处做泰勒展开，由于()()()()()2'''2!n n n n ih y x ih y x ihy x y x +=++()()3'''3!n ih y x ++，()()()()()2'''''''2!n n n n ih y x ih y x ihy x y x +=+++代入()5.2得()()()'2''012n k n n n T c y x c hy x c h y x +=++ ()()p p p n c h y x +++， ()5.3其中()0011,k c αα-=-++()()11210121,k k c k k αααβββ-=-+++--+++⎡⎤⎣⎦()()121121!qqq p k c k k q ααα-⎡⎤=-+++-⎣⎦()1112121!q q k k q βββ--⎡⎤-+++⎣⎦-2,3,.q = ()5.4若在公式()5.1中选择系数i α及i β，使它满足010,p c c c ==== 10p c +≠由定义可知此时所构造的多步法是p 阶的，且()()()1121.p p p n k p n T c h y x O h +++++=+ ()5.5称右端第一项为局部截断误差主项，1p c +称为误差常数．根据相容性定义，1p ≥，即010c c ==，由1,n n n y y hf +=+()5.4得0111101,.k k k i ii i i k ααααβ--==+++=⎧⎪⎨+=⎪⎩∑∑ ()5.6故方法与微分方程相容的充分必要条件是成立．显然，当1k =时，若10β=，则由()5.6可求得001, 1.αβ==此时公式()5.1为1,n n n y y hf +=+即为欧拉法．从()5.4可求得21/20c =≠，故方法为1阶精度，且局部截断误差为()()2''3112n n T h y x O h +=+，这和第2节给出的定义及结果是一致的．对1k =，若10β≠，此时方法为隐式公式，为了确定系数001,,αββ，可由0120c c c ===解得0011,1/2αββ===．于是得到公式()112n n n n hy y f f ++=++，即为梯形法．由()5.4可求得31/12c =-，故2p =，所以梯形法是二阶方法，其局部截断误差主项是()3'''/12n h y x -，这与第2节中的讨论也是一致的．对2k ≥的多步法公式都可利用()5.4确定系数,i i αβ，并由()5.5给出局部截断误差，下面只就若干常用的多步法导出具体公式．7.5.2 米尔尼方法与辛普森方法考虑另一个4k =的显示公式()13322110,n n n n n ny y h f f f f ββββ++++=++++ 其中0123,,,ββββ为待定常数，可根据使公式的阶尽可能高这一条件来确定其数值．由()5.4可知00c =，再令12340c c c c ====得到 ()()()01231231231234,22316,34964,4827256.βββββββββββββ+++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ 解此方程组得3210848,,,0333ββββ==-== 于是得到四步显示公式()4321422,3n n n n n hy y f f f ++++=+-+ ()5.11 称为米尔尼（Milne ）方法.由于514/45c =，故方法为4阶，其局部截断误差为 ()()()556414.45n nT h y x O h +=+ ()5.12 米尔尼方法也可以通过方程()1.1两端积分()()()()44,n n x n n x y x y x fx y x d x ++-=⎰得到．若将方程()1.1从n x 到2n x +积分，可得()()()()22,.n n x n n x y x y x fx y x d x ++-=⎰ 右端积分通过辛普森求积公式就有()2124.3n n n n n hy y f f f +++=+++ ()5.13 称为辛普森方法．它是隐式二步四阶方法，其局部截断误差为()()()5562.90n nh T y x O h +=-+ ()5.14 7.6方程组和高阶方程7.6.1 一阶方程组前面我们研究了单个方程'y f =的数值解法，只要把y 和f 理解为向量，那么，所提供的各种计算公式即可应用到一阶方程组的情形．考察一阶方程组()'12,,,,i i N y f x y y y = ()1,2,,i N =的初值问题，初始条件给为()00i i y x y = ()1,2,,i N =若采用向量的记号，记()12,,,,TN y y y y =()00012,,,,TN y y y y =()12,,,.TN f f f f =则上述方程组的初值问题可表示为()()'00,,.y f x y y x y ⎫=⎪⎬=⎪⎭()6.1求解这一初值问题的四阶龙格-库塔公式为()1123422,6n n hy y k k k k +=++++ 式中()1,,n n k f x y =21,,22n n h h k f x y k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭32,,22n n h h k f x y k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()43,.n n k f x h y hk =++或表示为(),11234226i n in i i i i hy y K K K K +=++++ ()1,2,,i N =其中()112,,,,,i i n n n Nn K f x y y y =21112211,,,,,2222i i n n n Nn N h h h h K f x y K y K y K ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭31122222,,,,,2222i i n n n Nn N h h h h K f x y K y K y K ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭41132233,,,,.2i i n n n Nn N h K f x y hK y hK y hK ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭这里in y 是第i 个因变量()i y x 在节点0n x x nh =+的近似值．为了帮助理解这一公式的计算过程，我们再考察两个方程的特殊情形：()()()()''0000,,,,,,.,y f x y z z g x y z y x y z x z ⎧=⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 这时四阶龙格-库塔公式具有形式()()112341123422,622.6n n n n h y y K K K K h z z L L L L ++⎫=++++⎪⎪⎬⎪=++++⎪⎭()6.2其中()()()()12113224331211322433,,,,,,222,,,222,,,,,,,,,222,,,222,,.n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n K f x y z h h h K f x y K z L h h h K f x y K z L K f x h y h K z hL L g x y z h hh L g x y K z L h h h L g x y K z L L g x h y h K z h L =⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭=+++=⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭=+++⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭()6.3这是一步法，利用节点n x 上的值,n n y z ，由()6.3式顺序计算1122334,,,,,,,K L K L K L K L，然后代入()6.2式即可求得节点1n x +上的11,n n y z ++． 7.6.2 化高阶方程为一阶方程组关于高阶微分方程（或方程组）的初值问题，原则上总可以归结为一阶方程组来求解．例如，考察下列阶微分方程()()'1,,,,,mm y f x y y y -= ()6.4初始条件为()()()()()11''000000,,,.m m y x y y x y y x y --=== ()6.5只要引进新的变量()1'12,,,,m m y y y y y y -===即可将m 阶方程()6.4化为如下的一阶方程组：()'12'23'1'12,,,,,,,.m m m m y y y y y y y f x y y y -⎫=⎪=⎪⎪⎬⎪=⎪⎪=⎭()6.6初始条件()6.5则相应地化为()()()()1'10020000,,,.m m y x y y x y y x y -=== ()6.7 不难证明初值问题()()6.4,6.5和()()6.6,6.7是彼此等价的．特别的，对于下列二阶方程的初值问题：()()()'''00''00,,,,.y f x y y y x y y x y ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩引进新的变量'z y =，即可化为下列方程组的初值问题：()()'''00,,,,.y z z f x y z z x y ⎧=⎪=⎨⎪=⎩针对这个问题应用四阶龙格—库塔公式()6.2，有()()112341123422,622.6n n n n h y y K K K K h z z L L L L ++⎧=++++⎪⎪⎨⎪=++++⎪⎩由()6.3式可得1,n K z = ()1,,;n n nL f x y z = 21211,,,;2222n n n n h h h h K z L L f x y K z L ⎛⎫=+=+++ ⎪⎝⎭32322,,,;2222n n n n h h h h K z L L f x y K z L ⎛⎫=+=+++ ⎪⎝⎭()43433,,,.n n n n K z hL L f x h y hK z hL =+=+++如果消去1234,,,K K K K ，则上述格式可表示为()()2112311234,622.6n n n n n h y y hz L L L h z z L L L L ++⎧=++++⎪⎪⎨⎪=++++⎪⎩这里()1,,,n n n L f x y z =21,,,222n n n n h h h L f x y z z L ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ 2312,,,2242n n n n h h h h L f x y z L z L ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ 2423,,.2n n n n h L f x h y hz L z hL ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭评注本章研究求解常微分方程初值问题的数值方法．构造数值方法主要有两条途径：基于数值积分的构造方法和基于泰勒展开的构造方法．后一种方法更灵活，也更具有一般性．泰勒展开方法还有一个优点，它在构造差分公式的同时可以得到关于截断误差的估计．基于泰勒展开构造出的四阶龙格-库塔方法（见3.3节）则是计算机上的常用算法．四阶龙格-库塔方法的优点是精度高，程序简单，计算过程稳定，并且易于调节步长．四阶龙格-库塔方法也有不足之处：它要求函数(),f x y 具有较高的光滑性．如果(),f x y 的光滑性差，那么，它的精度可能还不如欧拉公式（2.1节）或改进的欧拉公式（2.4节）．四阶龙格-库塔方法的另一个缺点是计算量比较大，需要耗费较多的机器时间（每一步需四次计算函数(),f x y 的值）．相比之下，汉明方法（5.4节）可以节省计算量（每一步只需两次计算函数(),f x y 的值）．但汉明方法是一种四步法，它不是自开始的，需要借助于四阶龙格-库塔方法提供开始值．对数值方法的分析还涉及到局部截断误差，整体误差，收敛性，相容性及稳定性等概念，特别是有关绝对稳定性的讨论，它涉及计算时步长的选取，如步长选的不合适，舍入误差恶性增长，结果完全错误．本章只对单步法的收敛性和稳。

数值计算方法(宋岱才版)课后答案

第一章绪论一本章的学习要求（1）会求有效数字。

（2）会求函数的误差及误差限。

（3）能根据要求进行误差分析。

二本章应掌握的重点公式（1）绝对误差：设x 为精确值，x *为x 的一个近似值，称e x x **=-为x *的绝对误差。

（2）相对误差：r e e x***=。

（3）绝对误差限：e x x ε***==-。

（4）相对误差限：r x x xxεε*****-==。

（5）一元函数的绝对误差限：设一元函数()()()0,df f x f x dx εε***⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭则。

（6）一元函数的相对误差限：()()1r df f x dx f εε****⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭。

（7）二元函数的绝对误差限：设一元函数()()(),0,f f x y f y y εε***⎛⎫∂==⋅ ⎪∂⎝⎭则。

（8）二元函数的相对误差限：()()()1r f f f x y x y f εεε******⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫⎢⎥=⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦。

三本章习题解析1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别估计1123A X X X ***=及224X A X **=的相对误差限。

12341.1021,0.031,385.6,56.430x x x x ****====解：（1）1x *有5位有效数字，2x *有2位有效数字，3x *有4位有效数字，4x *有5位有效数字。

（2）1111123231312123,,,,A A AA x x x x x x x x x x x x ∂∂∂====∂∂∂由题可知：1A *为1A 的近似值，123,,x x x ***分别为123,,x x x 近似值。

所以()()111rA A Aεε***=()()()12311111123A A A x x x A X X X εεε*******⎡⎤⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭43123131212311111010100.215222x x x x x x x x x **-**-**-***⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦()222222424441,,,X A Ax A X x x x x ∂∂===-∂∂则有同理有2A *为2A 的近似值，2x *，4x *为2x ，4x 的近似值，代入相对误差限公式：()()222rA A Aεε***=()()24212224A A X X A X X εε*****⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()33542224411*********X X X X X **--***⎡⎤⎢⎥=⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦2. 正方形的边长大约为100cm ，怎样测量才能使其面积误差不超过21cm ? 解：设正方形的边长为x ，则面积为2S x =，2dsx dx=，在这里设x *为边长的近似值，S *为面积的近似值：由题可知：()()1ds s x dx εε***=≤⎛⎫ ⎪⎝⎭即：()21x x ε**⋅≤ 推出：()10.005200xcm ε*≤=。

数值计算方法第07章数值微分与数值积分

h
2
f '( x) f ( x) f ( x h) f ''( x 2h) h O(h)
h
2
f '( x) f ( x h) f ( x h) 2h
f (3)( x 3h) f (3)( x 3h) h2 O(h2 )
12
心差商公式
sin x2 , cos x2 , sin x , 1 , 1 x3 , ex2 x ln x
17
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示,但表达式相当复杂,计算极不方便.
x x1 x0 x1
f
( x0 )
x x0 x1 x0
f
(
x1
)@
x
h
x1
f
( x0 )
x
x0 h
f ( x1 )
则
L1( x)
1 [ h
f
( x0 )
f
( x1 )]
(7.1)
L1( x0 )
1 [ h
f
( x0 )
f
( x1 )],
L1( x1 )
1 [ h
f
( x0 )
f
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
f
( x1)
(x (x2
x0 )( x x1 ) x0 )( x2 x1 )
f
(x2 )
(x
x1 )( x 2h2
x2 )
f
( x0 )
(x
x0 )( x h2
x2 )
f
(x ( x1 )
x0 )( x 2h2
x1 )
f (x2 )

数值计算方法习题答案(绪论,习题1,习题2)

引论试题（11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(2211222k k k k k k k kx a x ax x x x x +-⎫⎛-+-=+==⎪ ⎝⎭（2）取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218，而()kk k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。

8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。

数值计算方法(山东联盟)知到章节答案智慧树2023年中国石油大学(华东)

数值计算方法（山东联盟）知到章节测试答案智慧树2023年最新中国石油大学（华东）第一章测试1.数值计算方法研究的误差有()参考答案:截断误差;;舍入误差.2.参考答案:只有模型误差、观测误差与舍入误差；3.参考答案:4位4.对于下列表达式，用浮点数运算，精度较高是参考答案:5.参考答案:第二章测试1.参考答案:0.56252.参考答案:;3.关于Steffensen(斯蒂芬森)迭代方法，下列命题中正确的是：参考答案:Steffensen迭代法使得某些发散的迭代格式变为收敛。

;Steffensen迭代法使得某些收敛的迭代格式加速收敛。

4.关于Newton迭代法，下列命题中正确的是：参考答案:;Newton迭代格式可能收敛也可能发散。

5.参考答案:6第三章测试1.算法的计算量与近似成正比。

2.列主元Gauss消去法与Gauss顺序消元法相比，优点是：参考答案:提高了稳定性，减少了误差的影响。

3.参考答案:平方根法与Gauss列主元消去法相比，提高了稳定性，但增加了计算量。

;只要是对称正定矩阵，就可用平方根法求解。

4.参考答案:;5.;第四章测试1.给定n+1个互异的插值节点，求插值多项式。

下列命题中正确的是：参考答案:若要求插值多项式的次数等于n，则用不同方法求出的插值多项式是相等的。

;若要求插值多项式的次数小于n，则插值多项式可能不唯一。

2.关于插值多项式对被插值函数的逼近效果，正确的命题是：参考答案:插值点靠近所有插值节点时，插值余项的绝对值较小。

3.关于差商，下列命题中正确的命题是：参考答案:;4.关于多项式插值的Runge现象，下列命题中正确的命题是：参考答案:采用分段低次多项式插值可以避免Runge现象。

;用三次样条函数插值可以避免Runge现象。

5.关于三次样条函数，下列命题中正确的命题是：参考答案:三次样条函数是连续函数。

;三次样条函数具有连续导数。

;三次样条函数具有连续的2阶导数。

第五章测试1.用正交多项式求一个函数的最佳平方逼近多项式的主要优点是节省计算量。

数值计算课后习题答案(全)

习题一解答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。

求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。

注意，不应先求相对误差再求绝对误差。

有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。

有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。

根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。

解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。

相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。

而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。

（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。

相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。

而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。

（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。

数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)

第一章绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)

第一章绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

数值计算方法答案

数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，9习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。

解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。

（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。

解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）++；（2）+（+）哪个较精确解：（1）++ ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl ⨯+=210⨯（2）+（+）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =210⨯易见++=210⨯，故（2）的计算结果较精确。

4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些为什么（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++；（2）已知1x>>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。

数值计算方法课后习题答案吕同富

数值计算方法课后习题答案吕同富【篇一：《数值计算方法》(二)课程教学大纲】txt>课程编号： l124008课程类别：专业必修学分数： 3 学时数：48 适用专业：信息与计算科学应修(先修)课程：数学分析、高等代数一、本课程的地位和作用数值分析(二)为数值分析课程的第二部分，它是信息与计算科学专业的一门专业必修课。

主要内容包括函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程数值解法。

通过本课程的学习，学生将初步具备用计算机去有效地解决实际问题的能力。

二、本课程的教学目标通过本课程的学习，使学生了解和掌握求解函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程等问题所涉及的各种常用的数值计算方法、数值方法的构造原理及适用范围。

本课程坚持理论与实践教学并重的原则，理论上主要讲述求解函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程等问题的基本理论和基本方法。

与此同时，通过上机实验加深学生对各种计算方法的理解，为今后用计算机去有效地解决实际问题打下基础。

三、课程内容和基本要求(“*”记号标记难点内容，“▽”记号标记重点内容，“▽*”记号标记既是重点又是难点的内容)第六章函数最佳逼近 1．教学基本要求（1）理解：几类常用的正交多项式。

（2）掌握：最佳一致逼近和最佳平方逼近。

（3）掌握：曲线拟合的最小二乘法。

2．教学内容（1）*正交多项式。

（2）▽*最佳一致逼近。

（3）▽最佳平方逼近。

（4）正交多项式的逼近性质。

（5）▽曲线拟合的最小二乘法。

第七章数值积分 1．教学基本要求（1）理解：机械求积公式的基本思想、插值型求积公式的特点。

（2）掌握：newton-cotes求积公式、复合求积公式。

（3）掌握：romberg求积公式、gauss求积公式。

2．教学内容（1）*机械求积公式。

（2）▽newton-cotes求积公式。

（3）▽复合求积公式。

（4）变步长求积公式。

（5）▽romberg求积公式。

（6）▽*gauss求积公式第八章数值微分 1．教学基本要求（1）了解：数值微分的中点法。

数值计算方法》习题答案

《数值计算方法》课后题答案详解吉林大学第一章习题答案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。

数值计算方法第七章习题2013

3．什么是函数fC[a，b]在区［a , b］上的n次最佳一致逼近多项式?
4．什么是f在[a，b]上的n次最佳平方逼近多项式?什么是数据的最小二乘曲线拟合?
5．什么是[a，b]上带权（x）的正交多项式？什么是[ -1，1 ]上的勒让德多项式？它有什么重要性质?
6．什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？
0.6
0.75
yi
1.000
1。004
1.301
1。117
1.223
1.422
哪一种拟合曲线的误差最小？
2．由实验给出数据表
x
0.0
0。1
0.2
0。3
0。5
0.8
1。0
y
1。0
0。41
0.50
0。61
0。91
2.02
2。46
试求3次、4次多项式的曲线拟合，再根据数据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线，用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。
（6）当数据量很大时用最小二乘拟合比用插值好。
11．证明函数1,x,…，xn线性无关。
12．证明｜｜f–g｜｜≥|｜f｜|—｜｜g|| .
13．对f（x)，g（x）C1[a，b］，定义
（1）；
（2）。
问它们是否构成内积。
14．对权函数（x) = 1 +x2，区间[—1 , 1]，试求首项系数为1的正交多项式n(x)，n= 0, 1，2, 3。
由实验给出数据表0001020305081010041050061091202246次多项式的曲线拟合再根据数据曲线形状求一个另外函数的拟合曲线用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线
计算方法第七章习题
复习与思考题
1．设fC[a , b]，写出三种常用范数及。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

计算方法第七章习题
复习与思考题
1．设f ∈C [a , b ]，写出三种常用范数2
1
f
f
及∞
f。

2．f , g ∈C [a , b ]，它们的内积是什么？如何判断函数族{ϕ 0, ϕ 1, …, ϕ n }∈C [a , b ]在[a ,b ]上线性无关？ 3．什么是函数f ∈C [a , b ]在区[a , b ]上的n 次最佳一致逼近多项式？
4．什么是f 在[a , b ] 上的n 次最佳平方逼近多项式？什么是数据{}m
i f 0的最小二乘曲
线拟合？
5．什么是[ a , b ]上带权ρ (x )的正交多项式？什么是[ -1, 1 ]上的勒让德多项式？它有什
么重要性质？
6．什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？
7．用切比雪夫多项式零点做插值得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同？ 8．什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n 较大时为什么不直接求解法方程？
9．哪种类型函数用三角插值比用多项式插值或分段多项式插值更合适？ 10．判断下列命题是否正确？
（1）任何f (x ) ∈C [a , b ]都能找到n 次多项式P n (x ) ∈ H n ，使| f (x ) - P n (x ) | ≤ ε ( ε 为任给的误差限)。

（2）n n H x P ∈)(*
是f (x )在[ a , b ]上的最佳一致逼近多项式，则)()(lim *
x f x P n n =∞
→对
],[b a x ∈∀成立。

（3）f (x ) ∈C [a , b ]在[a , b ]上的最佳平方逼近多项式P n (x ) ∈ H n 则)()(lim x f x P n n =∞
→。

（4）)(P ~
x n 是首项系数为1的勒让德多项式，Q n (x ) ∈ H n 是任一首项系数为1的多项式，则
⎰⎰--1
1
21
1
2d )(d )](P ~
[x x Q x x n n。

（5）)(T ~
x n 是[-1 , 1]上首项系数为1的切比雪夫多项式。

Q n (x ) ∈ H n 是任一首项系数为1的多项式，则
.)(max )(~
max 1
11
1x Q x T n x n x ≤≤-≤≤-≤
（6）当数据量很大时用最小二乘拟合比用插值好。

11．证明函数1, x , …, x n 线性无关。

12．证明 || f – g || ≥|| f || - || g || . 13．对f (x ), g (x ) ∈C 1 [a , b ]，定义（1）x x g x f g f b
a d )()(),(''=⎰；
（2）)()(d )()(),(a g a f x x g x f g f b
a +''=
⎰。

问它们是否构成内积。

14．对权函数ρ (x ) = 1 + x 2，区间[-1 , 1]，试求首项系数为1的正交多项式ϕn (x ), n = 0, 1, 2, 3. 15．试证明第二类切比雪夫多项式族{u n (x )}是[-1,1]上带权21)(x x -=ρ的正交多项式。

16．证明对每一个切比雪夫多项式T n (x )，有
⎰
-=
-1
1
2
22
d 1)]([π
x x
x T n 。

17．用T 3 (x )的零点做插值点，求f (x ) = e x 在区间[-1, 1]上的二次插值多项式，并估计其最大误差界。

18．设]1,0[,23)(2
∈++=x x x x f ，试求f (x )在[0, 1]上关于ρ (x ) = 1，Φ = span{1, x }的最
佳平方逼近多项式，若取Φ = span{1, x , x 2}，那么最佳平方逼近多项式是什么？ 19．求f (x ) = x 3在[-1 , 1]上关于ρ (x ) = 1的最佳平方逼近二次多项式。

20．求函数f (x )在指定区间上对于Φ = span{1, x }的最佳平方逼近多项式；（1）]3,1[,1
)(x
x f =
；（2）]1,0[,e )(x x f =；
（3）]1,0[,cos )(x x f π=；
（4）]2,1[,ln )(x x f =。

上机实习题
1．求下表数据的1, 2, 3次最小二乘多项式
哪一种拟合曲线的误差最小？ 2．由实验给出数据表
试求3次、4次多项式的曲线拟合，再根据数据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线，用
图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。

3．一种抽样调查表明，某地的鱼的数量与种类的关系如下表
表中x 为鱼的数量，y 为鱼的种类，求此问题的线性一次最小二乘解。

4．用最小二乘法求一形如y = a + bx 2 的多项式，使之与下列数据相拟合：
5．用最小二乘法求一如R = bW a 的经验公式（a, b 为待定参数），使之与下列数据相拟合
若在形如ln R = ln b + a ln W 的基础上，加上一个二次项e (ln W )，求形如
2)(ln ln ln ln W e W a b R ++=
的最小二乘拟合曲线。

6．已知一组实验数据如下
利用构造正交多项式ϕk (x )的办法求最小二乘二次曲线拟合。

7．使用快速傅里叶变换确定函数x x x f cos )(2
=在],[ππ-上的16次三角插值多项式。

求运动方程。

用最小二乘法求形如y = a + bx 2的经验公式，并计算均方程误差。

10．在某化学反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下：。