第十七章-----在无界区域上定义的函数PPT课件

2)若E1⊂E2，则mE1≤mE2
(单调性)
m(E2-E1)=mE2-mE1
3)m(∪Ei)≤∑mEi
(不完全可加
性)
4)若Ei∩Ej=Φ(i≠j,i,j=1,2,3...)，则
m(∪Ei)=∑mEi
(完全可加性)
无界集的测度
设集E含在(-∞,+∞)中，如果对于任意的自然数n， 集
E(n)=[-n,n]∩E
为可测，则称E是可测集。
极限
mE limm(E n)
n
称为这个集的测度。
注：对于无界集，上述性质(非负性，单调性，不完全可加
性，完全E1可E加2性E3 ).同.. 样成立。
mE1
定理:设
为可m测E集li而mmEE为n 其交集。如果 n
，则
无界集完全可加性的证明
即证：
mE mEk k1
设E1，E2，E3...是两两不相交的可测集又
E Ek
那么
k 1
E(n) Ek (n)
从而
k1
m(En)mkE(n)mkE
k1
k1
及
mE mEk
k1
（1） （2）
无界集完全可加性的证明
下证：
mE mEk k1
由（1）式推得，对于所有有限的N有：
令n→∞，得 再令N→∞，得
N
mEmEk(n) k1
N
mE mEk k1
mE mEk k1
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从而由（2）式得到
集的测度的上确界，即 mk *E=sup{mF}
外测度
定义5:有界集E的外测度m*E是一切可能包含E的有界
开集的测度的上确界，即 m*E=inf{mG}
可测集
定义6:如果有界集E的外测度和内测度相等， 则称E是一个可测集。这时E的外测度和内测 度的数值就称作E的测度，记为mE：
mE=m*E=m*E 特别的，对于一切有界开集和有界闭集，其 外测度和内测度均相等
m(a,b)=b-a 显然总有 m(a,b)>0
定义2:设G是不空的有界开集，则其一切构成区间
之长的和称为G的测度。即 mG=∑mδk
有界闭集的测度
定义3:设F是一不空的有界闭集，S=[A,B]是包含F
的最小闭区间，则定义F的测度 mF=B-A-m[CBF]
内测度
定义4:有界集E的内测度m*E是一切可能含在E中的闭
mE mEk
k1
第十七章 在无界区域上定义的函数
§1.无界集的测度
知行1301 13275001 毕文彬
有界集的测度 无界集的测度 无界集测度的性质
证明
有界集的测度
可测集的性质 §6
§1
有界开集的测度
可测集
§5
有界集
§2 有界闭集的测度
外测度
§4
§3
内测度
有界开集的测度
定义1:区间(a,b)的测度，就是它的长b-a，记为
mF=m*F=m*F mG=m*G=m*G 即，一切有界开集和有界闭集都是可测集
可测集的性质
设S=(a,b)是基本集(有界)，E,Ei⊂S(i=1,2...)均为
有界可测集，则有CSE=S-E,E1∩E2,E1∪E2,E1-E2,和
∩Ei,∪Ei均可测，且
1)mE≥0,且E=Φ时，mE=0
(非负性)