第十七章-----在无界区域上定义的函数PPT课件
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函数的概念ppt课件
已学函数的定义域和值域
反比例函数 一次函数
y
k x
(k 0)
y ax b (a 0)
二次函数
y ax2 bx c (a 0)
a> 0
a< 0
图像
y ox
y ox
y ox
y ox
定义域 {x| x 0} R 值域 {y| y 0} R
R
R
{y
|
y
4ac 4a
b2}
{y
|
y
4ac 4a
(2) y (x 1)0 2 x 1
(1)
x 1 4 x
0 ,1
0
x
4,定义域是x
1
x
4
(2)
x
2 1
0
,
解得x
1且x
1, 定义域为
x
x 1且x 1
x 1 0
x2 x 12
解析:由题意得x2-x-12≥0,解得x≤-3或x≥4. 定义域为{x｜x≤-3或x≥4}
2x2 x 3 0, 2x2 x 3 0, (2x 3)(x 1) 0, 1 x 3
2 y 2x2 x 3 2(x 1)2 25 5 2
484
[0, 5 2 ] 4
2
o12 5 x
4.求下列函数的值域 (1).y 2x x 1
设t x 1，则t 0且x t2 1, 所以y 2(t2 1) t 2(t 1)2 15 ,[15 , )
它对应，就称f: A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作:
a
e
b
f
c
g
…
h …
A
B
f: A→B
y=f(x) , x∈A
函数的概念函数的概念与性质优秀课件
三
一二3.一个函数的构成有哪些要素?起决定作用的是哪些?为什么
一
二
6.判断正误:(1)对应关系与值域都相同的两个函数是相等函数.( )(2)函数的值域中每个数在定义域中都只存在一个数与之对应.( )答案:(1)× (2)×
三
一二6.判断正误:三公开课课件优质课课件PPT优秀课件PPT
一
二
二、区间的概念及表示1.阅读教材P64相关内容,关于区间的概念,请填写下表:设a,b∈R,且a<b,规定如下:
探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练函数的定义公开课课件
探究一
探究二
探究三
探变式训练 1集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是( )答案:C
探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练变式训练 1集合A=
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
随堂演练
探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练4下列各组函数: ④
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解析:①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一个函数;③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一个函数;④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系都相同,是同一个函数.答案:⑤
随堂演练
探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练 2(1)集合{x|
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
求函数的定义域例3求下列函数的定义域:分析:观察函数解析式的特点→列不等式(组)→求自变量的取值范围
一二3.一个函数的构成有哪些要素?起决定作用的是哪些?为什么
一
二
6.判断正误:(1)对应关系与值域都相同的两个函数是相等函数.( )(2)函数的值域中每个数在定义域中都只存在一个数与之对应.( )答案:(1)× (2)×
三
一二6.判断正误:三公开课课件优质课课件PPT优秀课件PPT
一
二
二、区间的概念及表示1.阅读教材P64相关内容,关于区间的概念,请填写下表:设a,b∈R,且a<b,规定如下:
探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练函数的定义公开课课件
探究一
探究二
探究三
探变式训练 1集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是( )答案:C
探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练变式训练 1集合A=
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
随堂演练
探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练4下列各组函数: ④
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解析:①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一个函数;③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一个函数;④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系都相同,是同一个函数.答案:⑤
随堂演练
探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练 2(1)集合{x|
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
求函数的定义域例3求下列函数的定义域:分析:观察函数解析式的特点→列不等式(组)→求自变量的取值范围
函数的定义域课件
函数的定义域ppt课件
了解函数的定义域对于理解函数的性质和应用至关重要。本课程将介绍定义 域的基础知识、分类以及实际应用。
函数的定义域是什么？
• 函数的定义域是指能使函数有意义的输入元素的集合。 • 定义域的概念对于研究函数的性质和范围至关重要。
基础知识
1
实数集与有理数集
实数集由所有的有理数和无理数组成，在函数的定义域中起着重要作用。
有理函数、根式函数和三角 函数的定义域的确定需要考 虑分母、根号内的实数范围 以及角度的限制。
复合函数的定义域
复合函数的定义域由其各个 组成函数的定义域决定，需 要注意定义域的匹配性。
实际应用
1 函数的定义域在数学中的应用
定义域对于解方程、求极限、绘制图像等数 学问题有着重要的应用。
2 函数的定义域在计算机科学中的应用
在计算机科学领域，定义域常用于函数的输 入验证、数据处理和算法设计。
总结
• 通过本课程的学习，我们了解了函数的定义域的重要性和应用。 • 为了巩固所学内容，提供一些练习题供学生进行进一步练习和理解。 • 在问答环节中，回答学生的问题，加深他们对定义域的理解。
参考资料学课本、高等数学等
2
闭区间、开区间、半开区间的概念
不同类型的区间对于定义域的确定具有不同的含义和影响。
3
无定义域的函数
了解无定义域的函数能够避免定义错误和错误的应用。
分类
一次函数和二次函数的 定义域
一次函数和二次函数的定义 域的确定需要数、根式函数、 三角函数的定义域
了解函数的定义域对于理解函数的性质和应用至关重要。本课程将介绍定义 域的基础知识、分类以及实际应用。
函数的定义域是什么？
• 函数的定义域是指能使函数有意义的输入元素的集合。 • 定义域的概念对于研究函数的性质和范围至关重要。
基础知识
1
实数集与有理数集
实数集由所有的有理数和无理数组成，在函数的定义域中起着重要作用。
有理函数、根式函数和三角 函数的定义域的确定需要考 虑分母、根号内的实数范围 以及角度的限制。
复合函数的定义域
复合函数的定义域由其各个 组成函数的定义域决定，需 要注意定义域的匹配性。
实际应用
1 函数的定义域在数学中的应用
定义域对于解方程、求极限、绘制图像等数 学问题有着重要的应用。
2 函数的定义域在计算机科学中的应用
在计算机科学领域，定义域常用于函数的输 入验证、数据处理和算法设计。
总结
• 通过本课程的学习，我们了解了函数的定义域的重要性和应用。 • 为了巩固所学内容，提供一些练习题供学生进行进一步练习和理解。 • 在问答环节中，回答学生的问题，加深他们对定义域的理解。
参考资料学课本、高等数学等
2
闭区间、开区间、半开区间的概念
不同类型的区间对于定义域的确定具有不同的含义和影响。
3
无定义域的函数
了解无定义域的函数能够避免定义错误和错误的应用。
分类
一次函数和二次函数的 定义域
一次函数和二次函数的定义 域的确定需要数、根式函数、 三角函数的定义域
函数的概念和性质PPT课件
x 0为第二类间断点 .
这种情况称为的振荡间 断点.
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
★ 狄利克雷函数
1, 当x是有理数时, y D( x ) 0, 当x是无理数时,
在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点. ★
x , 当x是有理数时, f ( x) x , 当x是无理数时,
0
0
连续函数必有极限, 有极限不一定是连续函数. 例如
limsin x / x 1, 但函数sin x / x在x 0处不连续.
x 0
1 x sin , x 0, 例1 试证函数 f ( x ) 在x 0 x x 0, 0, 处连续. 1 证 lim x sin 0, x0 x
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点 .
这种情况称为无穷间 断点.
1 例7 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性. x 解 在x 0处没有定义,
1 且 lim sin 不存在. x0 x
y sin 1 x
2
x0 是否连 续？又若| f ( x ) | 、 f ( x ) 在x0 连续， f ( x ) 在 续？
2
思考题解答
1、一类；一类；二类。 2、 f ( x ) 在x0 连续， lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
且 0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 )
f ( x ) f ( x 0 ) (或 f ( x ) f ( x 0 )) 则称 f ( x 0 )是函数 f ( x )在X上的最大值(最小值).
函数的定义域-课件
复合函数
复合函数的定义域是由内部和外部函数的定义域之间的交集决定。
问题求解中函数定义域的应用
1
最值问题
根据函数的定义域范围，确定函数的最大值或最小值。
2
不等式问题
通过计算函数的定义域，解函数的定义域给出解释。
函数定义域的局限性分析
数学世界的边界
函数的定义域-PPT课件
欢迎来到《函数的定义域-PPT课件》。在本课程中，我们将详细介绍函数的 定义域的概念和应用，带您进入数学的奇妙世界。
什么是函数的定义域？
1 精确定义
函数的定义域是指能够使 函数有意义、有定义的所 有可能输入值的集合。
2 关键概念
3 例子
定义域决定了函数图像上 的每个点的横坐标范围， 对于函数的研究至关重要。
定义域的理解对于我们解 题和解决实际问题起到关 键的作用。
如何计算函数的定义域？
1 基础原则
必须考虑函数的所有限制，如根式、分母、对数等。
2 案例演示
通过几个具体的例子，我们将一起掌握计算函数的定义域的技巧。
3 技巧总结
掌握常见函数的定义域计算方法，能够更高效地分析和解决问题。
常见函数的定义域案例演示
二次函数
示例：y = x^2 + 1
指数函数
示例：y = e^(-x)
有理函数
示例：y = (x^2 - 1) / (x - 1)
三角函数
示例：y = sin(x)
特殊函数的定义域讨论
无界函数
特殊函数如正弦函数和余弦函数没有定义域的上界和下界。
分段函数
分段函数的定义域由各段的条件决定，涉及条件的合理性和连续性。
函数的定义域只能在数学定义的范围内，存在一些 不可计算的数。
复合函数的定义域是由内部和外部函数的定义域之间的交集决定。
问题求解中函数定义域的应用
1
最值问题
根据函数的定义域范围，确定函数的最大值或最小值。
2
不等式问题
通过计算函数的定义域，解函数的定义域给出解释。
函数定义域的局限性分析
数学世界的边界
函数的定义域-PPT课件
欢迎来到《函数的定义域-PPT课件》。在本课程中，我们将详细介绍函数的 定义域的概念和应用，带您进入数学的奇妙世界。
什么是函数的定义域？
1 精确定义
函数的定义域是指能够使 函数有意义、有定义的所 有可能输入值的集合。
2 关键概念
3 例子
定义域决定了函数图像上 的每个点的横坐标范围， 对于函数的研究至关重要。
定义域的理解对于我们解 题和解决实际问题起到关 键的作用。
如何计算函数的定义域？
1 基础原则
必须考虑函数的所有限制，如根式、分母、对数等。
2 案例演示
通过几个具体的例子，我们将一起掌握计算函数的定义域的技巧。
3 技巧总结
掌握常见函数的定义域计算方法，能够更高效地分析和解决问题。
常见函数的定义域案例演示
二次函数
示例：y = x^2 + 1
指数函数
示例：y = e^(-x)
有理函数
示例：y = (x^2 - 1) / (x - 1)
三角函数
示例：y = sin(x)
特殊函数的定义域讨论
无界函数
特殊函数如正弦函数和余弦函数没有定义域的上界和下界。
分段函数
分段函数的定义域由各段的条件决定，涉及条件的合理性和连续性。
函数的定义域只能在数学定义的范围内，存在一些 不可计算的数。
解析函数在无穷远点的性质ppt课件
定义5.4 设函数f(z)在无穷远点(去心)邻域 N-{∞}:+∞>|z|>r≥0
内解析,则称点∞为f(z)的一个孤立奇点.
如果点∞是f(z)的奇点的聚点，就是非孤立奇点.
设点∞为f(z)的孤立奇点,利用变换z/=1/z,
于是 (z') f ( 1 ) f (z)
z'
(5.12)
在去心邻域:
K {0}: 0 | z'| 1 (如r 0规定1 )内解析
r
r
z 0就为(z)之一孤立点.我们还看出:
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结束
铃
(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域 N-{∞},有扩充z/平面上的原点的去心邻域;
(2)在对应点z与z/上,函数 f (z) (z')
(3) lim f (z) lim(z'), 或两个极限都不存在.
z
z0
定义5.5 若z/=0为 (z') 的可去奇点(解析点),
m级极点或本性奇点,则我们相应地称z=∞为 f(z)的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点.
设在去心邻域K-{0}:0<|z’|<1/r内将 ( z ' )
展成罗朗级数: (z') cn z'n
n
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结束
铃
令z/=1/z,根据(5.12),则有 (z') f ( 1 ) f (z)
(1) f(z)在 z=∞的主要部分为
b1z b2 z 2 bm z m (bm 0);
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结束
铃
(2)f(z)在z=∞的某去心邻域N-{∞}内能表成
内解析,则称点∞为f(z)的一个孤立奇点.
如果点∞是f(z)的奇点的聚点，就是非孤立奇点.
设点∞为f(z)的孤立奇点,利用变换z/=1/z,
于是 (z') f ( 1 ) f (z)
z'
(5.12)
在去心邻域:
K {0}: 0 | z'| 1 (如r 0规定1 )内解析
r
r
z 0就为(z)之一孤立点.我们还看出:
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(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域 N-{∞},有扩充z/平面上的原点的去心邻域;
(2)在对应点z与z/上,函数 f (z) (z')
(3) lim f (z) lim(z'), 或两个极限都不存在.
z
z0
定义5.5 若z/=0为 (z') 的可去奇点(解析点),
m级极点或本性奇点,则我们相应地称z=∞为 f(z)的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点.
设在去心邻域K-{0}:0<|z’|<1/r内将 ( z ' )
展成罗朗级数: (z') cn z'n
n
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铃
令z/=1/z,根据(5.12),则有 (z') f ( 1 ) f (z)
(1) f(z)在 z=∞的主要部分为
b1z b2 z 2 bm z m (bm 0);
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铃
(2)f(z)在z=∞的某去心邻域N-{∞}内能表成
函数的概念课件
函数的概念课件在数学中，函数是一个核心的概念。
它描述了变量之间的依赖关系，用函数的观点去看待问题，是数学学习中一个极为重要的思想方法。
因此，大家要认真理解函数的概念，掌握函数的基本性质，为后续学习做好准备。
函数是数学中的一种关系，它把一个数集中的元素与另一个数集中的元素对应起来，其中对应的规则称为对应关系。
我们可以用解析式、图象、表格等多种形式来表示函数。
例如，如果y是x的函数，那么可以用y=x^2表示一个二次函数。
（1）函数的单调性：在区间(a,b)上，如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在(a,b)上单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在(a,b)上单调递减。
（2）函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
（3）函数的值域：函数值的取值范围称为函数的值域。
（2）定义域为[0,∞)，值域为[1,∞)解：（1）在区间(-∞,0)上单调递减，在区间(0,∞)上单调递增。
本节课我们学习了函数的概念和基本性质，掌握了函数的表示方法，了解了函数的单调性、奇偶性和值域等概念。
希望大家能够认真领会函数的思想方法，为后续学习做好准备。
函数是高中数学的核心概念，是数学学习中不可或缺的一部分。
函数的概念是理解函数的基础，也是进一步学习函数性质和应用的前提。
本课件旨在帮助学生理解函数的基本概念，掌握函数的定义和性质，为后续的学习奠定坚实的基础。
通过本课件的学习，学生应能理解函数的基本概念，掌握函数的定义和性质，能够判断一个映射是否为函数，并能够根据函数的定义和性质解决一些基本问题。
函数的定义：我们将介绍函数的定义，包括自变量、因变量和对应关系。
通过举例和反例，帮助学生理解函数的定义。
函数的概念(优秀课)ppt课件
函数的表示方法
解析法、列表法和图象法。
函数的定义域、值域与对应关系
01
函数的定义域
使函数有意义的自变量$x$的 取值范围。
02
函数的值域
函数值的集合，即${ y|y=f(x),x in D}$。
03
函数的对应关系
自变量$x$与因变量$y$之间的 对应法则。
函数的性质：奇偶性、周期性、单调性
奇偶性
01
角度计算
反三角函数可以用于计算角度，如已知三角形的两边长，可以利用反正
弦或反余弦函数计算出夹角。
02
工程应用
在工程中，反三角函数常用于解决与角度、长度等相关的实际问题，如
建筑设计、机械制造等领域。
03
复合函数
反三角函数可以与其他函数组合形成复合函数，用于解决更复杂的数学
问题。例如，可以将反三角函数与多项式、指数函数等进行复合，得到
0，+∞）上是减函数。
指数函数与对数函数的应用举例
增长率问题
通过指数函数可以描述某些量的增长速 度，如人口增长、细菌繁殖等。
利息计算
通过指数函数可以计算复利问题中的本 金和利息。
对数运算
通过对数函数可以简化某些复杂的运算 ，如计算幂、开方等。
数据分析
通过对数函数可以对某些数据进行归一 化处理，以便更好地进行数据分析和可 视化。
对数函数的图像与性质
对数函数的定义
形如y=log_a x（a>0且a≠1） 的函数称为对数函数。
对数函数的图像
当a>1时，图像在x轴上方，且 随着x的增大，y值也增大；当 0<a<1时，图像在x轴下方，且
随着x的增大，y值减小。
对数函数的性质
解析法、列表法和图象法。
函数的定义域、值域与对应关系
01
函数的定义域
使函数有意义的自变量$x$的 取值范围。
02
函数的值域
函数值的集合，即${ y|y=f(x),x in D}$。
03
函数的对应关系
自变量$x$与因变量$y$之间的 对应法则。
函数的性质：奇偶性、周期性、单调性
奇偶性
01
角度计算
反三角函数可以用于计算角度，如已知三角形的两边长，可以利用反正
弦或反余弦函数计算出夹角。
02
工程应用
在工程中，反三角函数常用于解决与角度、长度等相关的实际问题，如
建筑设计、机械制造等领域。
03
复合函数
反三角函数可以与其他函数组合形成复合函数，用于解决更复杂的数学
问题。例如，可以将反三角函数与多项式、指数函数等进行复合，得到
0，+∞）上是减函数。
指数函数与对数函数的应用举例
增长率问题
通过指数函数可以描述某些量的增长速 度，如人口增长、细菌繁殖等。
利息计算
通过指数函数可以计算复利问题中的本 金和利息。
对数运算
通过对数函数可以简化某些复杂的运算 ，如计算幂、开方等。
数据分析
通过对数函数可以对某些数据进行归一 化处理，以便更好地进行数据分析和可 视化。
对数函数的图像与性质
对数函数的定义
形如y=log_a x（a>0且a≠1） 的函数称为对数函数。
对数函数的图像
当a>1时，图像在x轴上方，且 随着x的增大，y值也增大；当 0<a<1时，图像在x轴下方，且
随着x的增大，y值减小。
对数函数的性质
函数的概念 课件
不是都能用具体的式子表示出来．
解析 ①③正确，②是错误的，对于不同的 x，y 的值可以相同，
这符合函数的定义，④是错误的，f(x)表示的是函数，而函数并
不是都能用具体的式子表示出来．
些要素？
答 定义域 A、对应关系 f 和值域{f(x)|x∈A}，共三个要素． 问题 2 在函数的三个要素中，起决定作用的是哪两个要素？
问题 4 函数的概念如何从集合及对应的角度定义？函数的定义域及 值域是指什么？ 答 函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的 对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有 唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到 集合 B 的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
函数的概念
1．函数 (1)设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的 对应关系f ， 使对于集合 A 中的 任意一个数x ，在集合 B 中都有
唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称 f：A→B
为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y＝f(x)，x∈A .其中 x 叫做自变量 ，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 ，与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值 ，函数值的集合{f(x)|x∈A} 叫做函数的 值域 ． (2)值域是集合 B 的 子集 ．
∴这个函数的定义域是{x|x≥－1 且 x≠2}．
小结 求函数定义域的原理：使函数表达式有意义的自变量的取 值范围．已知函数 y＝f(x)： (1)若 f(x)为整式，则定义域为 R； (2)若 f(x)为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合； (3)若 f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于 零的实数的集合； (4)若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是 使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实 数的集合的交集)； (5)若 f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本 身有意义且符合实际意义的实数的集合．
函数的定义域与值域PPT精品课件
函数 f(x)=x3-3x+1 在闭区间 [-3，0]上的值域及最大值、最小 值。
八、导数法
综合
设函数f(x)=x3―x2/2―2x＋5，当 x∈［1,2］时，f(x)＜m恒成立， 求实数m的取值范围。
求函数值域的方法：
1、数形结合 2、反函法
3、 Δ法
4、单调法
5、换元法 6、复合函数
7、结构分析 8、导数法
形如：y ax b cx d 的函数可令 cx d t(t 0)， 则 x t 2 d 转化为关于t的二次函数求值。
c
形如含有 a2 x2 的结构的函数，可用三角换元令
x=acosθ求解。
①反函数法或分离常数法：{y y 1 且y R}
2
例2．求下列函数的值域
① y 1 x 2x 5
⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求 最值，再得值域； ⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。
应用举例 例1．求下列函数的值域
① y 4 3 2x x2 ①配方法[2，4]
② y 2x 1 2x ③ y x 1 x2
②换元法：(, 5]
4
③三角换元法：[1, 2]
综合2
y 1 x2 x 在[m,n]的值域 2
为[2m,2n],求m,n=?
求y x 的值域 x 1
适用于一 次分式
二、反函法：适用于便于解出x(用y表示)
化代分式回归基础
分母除以分子
y 1 1 x 1
图象法： y 1 如何平移 y 1 1
x
x 1
界线法： x≠-1 , y≠1
2．确定函数的值域的原则 ①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中 实数y的集合； ②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的 定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题 的实际意义确定。
函数的概念课件(公开课)(含)
函数的概念课件(公开课)一、引言在数学领域中，函数是一个基本且重要的概念，它描述了两个量之间的依赖关系。
函数的概念起源于17世纪，经过几百年的发展，已经成为数学、自然科学和工程技术等领域不可或缺的工具。
本课件旨在阐述函数的基本概念、性质和应用，帮助大家深入理解函数的本质，为后续学习打下坚实基础。
二、函数的定义与表示1.函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合（称为定义域）中的每个元素对应到另一个集合（称为值域）中唯一的元素。
用数学符号表示为：f:X→Y，其中X表示定义域，Y表示值域。
函数通常用f(x)表示，x为自变量，f(x)为因变量。
2.函数的表示方法（1）解析法：直接给出函数的解析式，如f(x)=x²。
（2）表格法：列出定义域中部分元素的值和对应的函数值，如：x-f(x)-1-12-43-9（3）图象法：绘制函数的图象，展示函数的变化趋势。
三、函数的性质1.基本性质（1）单调性：函数在定义域内的某个区间上，随着自变量的增加（或减少），函数值单调增加（或减少）。
（2）奇偶性：若对于任意的x，都有f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数；若对于任意的x，都有f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数。
（3）周期性：若存在非零常数T，使得对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性，T为函数的周期。
2.极值与最值（1）极值：在函数的定义域内，若存在某个点x₀，使得在x₀的某邻域内，f(x₀)为最大值或最小值，则称f(x₀)为函数的极大值或极小值。
（2）最值：在函数的定义域内，若存在某个点x₀，使得对于任意的x，都有f(x₀)≥f(x)（或f(x₀)≤f(x)），则称f(x₀)为函数的最大值（或最小值）。
四、函数的应用1.数学分析函数是数学分析的基础，微积分中的导数、积分等概念都是建立在函数的基础上。
通过对函数的求导、积分等运算，可以研究函数的性质、解决实际问题。
2.应用数学函数在物理学、生物学、经济学等领域的模型建立中具有重要意义。
函数的定义域PPT课件
3 偶次根式下的式子不能小于0；
如果函数是由几个部分的式子构成，那么函数的定 义域是使各部分式子都有意义的实数集合的交 集．
2021/3/12
8
1 2x 3
课内练习 求下列函数的定义域：
(1) f (x) 1 2x 3
(2)f(x) 2x5
(3)f(x) x4 2 x1
(4)f(x) 3x4 2 6 5x1
2021/3/12
9
例2
(1)
f (x) 1 x2 1
解 (1)
f (x) 1 x2 1
＋因为，任取x R, 都有x2+1≠0，所以，
f (x) 1 x 2 1
的定． 义域为：R．
1
(2)
f (x) ＋ x2 1
x1
解 x2-1≠0，……①
x+1≥0．……②由①得，x≠±1，由②得，x≥-1，所以，
解 x+10，即 x-1 所以所给函数的定义域是：
2x0212/3/12
x2 D={x|x-1}∩{x|x2} ，即D=（-1,2)∩(2,+) 7
强调：
2）自然定义域的求法
对于一个用解析式给出的函数，如何求出它的自然 定义域呢？在目前，你可以从下面几条原则去考 虑：
1 没分式没根式的
2分式的分母不能为0；
2021/3/12
2
某人骑自行车从A地到B地，设A地到B地的距离 为 150 km，自行车的速度为20km/h，那么路程
s（km）与时间t（h）的函数关系可表示为
s=20 t ？ s=20 t,（0≤t≤7.5）？
2021/3/12
3
s=20 t,（0≤t≤7.5）与s=20 t是一个函数吗
如果函数是由几个部分的式子构成，那么函数的定 义域是使各部分式子都有意义的实数集合的交 集．
2021/3/12
8
1 2x 3
课内练习 求下列函数的定义域：
(1) f (x) 1 2x 3
(2)f(x) 2x5
(3)f(x) x4 2 x1
(4)f(x) 3x4 2 6 5x1
2021/3/12
9
例2
(1)
f (x) 1 x2 1
解 (1)
f (x) 1 x2 1
＋因为，任取x R, 都有x2+1≠0，所以，
f (x) 1 x 2 1
的定． 义域为：R．
1
(2)
f (x) ＋ x2 1
x1
解 x2-1≠0，……①
x+1≥0．……②由①得，x≠±1，由②得，x≥-1，所以，
解 x+10，即 x-1 所以所给函数的定义域是：
2x0212/3/12
x2 D={x|x-1}∩{x|x2} ，即D=（-1,2)∩(2,+) 7
强调：
2）自然定义域的求法
对于一个用解析式给出的函数，如何求出它的自然 定义域呢？在目前，你可以从下面几条原则去考 虑：
1 没分式没根式的
2分式的分母不能为0；
2021/3/12
2
某人骑自行车从A地到B地，设A地到B地的距离 为 150 km，自行车的速度为20km/h，那么路程
s（km）与时间t（h）的函数关系可表示为
s=20 t ？ s=20 t,（0≤t≤7.5）？
2021/3/12
3
s=20 t,（0≤t≤7.5）与s=20 t是一个函数吗
函数的定义域PPT课件
)
A、{x | x 1}
B、{x | x -2}
C、{x | x 1,且x -2} D、{x | x 1,或x -2}
求定义域的几种情况：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数R (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母 不等于0的实数的集合 (3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使 根号内的式子大于或等于0的实数的集合 (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那 么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数 集合.（即求各集合的交集）
四个字：“外定内值”
例2:已知f 2x 1的定义域(1,5],求f (x)的定义域
解： 由题意知:
1 x 5
3 2x 1 9
f (x)的定义域为 3,9
例如、若函数y=f(x+1)的定义域为[-2，3]，则
y=f(2x-1)的定义域是（ A ）。
A、[0，5/2]
B、[-1，4]
C、[-5，5]
解:
由y
kx 7 kx2 4kx
的定义域为一切实数, 可知 3
分母kx2 4kx 3 0对x R恒成立
Байду номын сангаас
(1)当k=0时, 3≠0成立
(2)当K 0时 : 0,解得: 0 k 3 4
综上(1),(2)知,当0 k 3 时 4
y
kx 7 的定义域是一切实数 kx2 4kx 3
f (x) x2 5x 6的定义域是: {x x 3或x 2}
x2
练习1、函数f (x) (x 1)0 的定义域为( C)
x x
A、x | x 0
B、{x | x 1}
C、{x | x 0, 且x 1} D、{x | x 0}
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m(a,b)=b-a 显然总有 m(a,b)>0
定义2:设G是不空的有界开集，则其一切构成区间
之长的和称为G的测度。即 mG=∑mδk
有界闭集的测度
定义3:设F是一不空的有界闭集，S=[A,B]是包含F
的最小闭区间，则定义F的测度 mF=B-A-m[CBF]
内测度
定义4:有界集E的内测度m*E是一切可能含在E中的闭
第十七章 在无界区域上定义的函数
§1.无界集的测度
知行1301 13275001 毕文彬
有界集的测度 无界集的测度 无界集测度的性质
证明
有界集的测度
可测集的性质 §6
§1
有界开集的测度
可测集
§5
有界集
§2 有界闭集的测度
外测度
§4
§3
内测度
有界开集的测度
定义1:区间(a,b)的测度，就是它的长b-a，记为
为可测，则称E是可测集。
极限
mE limm(E n)
n
称为这个集的测度。
注：对于无界集，上述性质(非负性，单调性，不完全可加
性，完全E1可E加2性E3 ).同.. 样成立。
mE1
定理:设
为可m测E集li而mmEE为n 其交集。如果 n
，则
无界集完全可加性的证明
即证：
mE mEk k1
设E1，E2，E3...是两两不相交的可测集又
E Ek
那么
k 1
E(n) Ek (n)
从而
k1
m(En)mkE(n)mkE
k1
k1
及
mE mEk
k1
（1） （2）
无界集完全可加性的证明
下证：
mE mEk k1
由（1）式推得，对于所有有限的N有：
令n→∞，得 再令N→∞，得
N
mEmEk(n) k1
N
mE mEk k1
mE mEk k1
从而由（2）式得到
集的测度的上确界，即 mk *E=sup{mF}
外测度
定义5:有界集E的外测度m*E是一切可能包含E的有界
开集的测度的上确界，即 m*E=inf{mG}
可测集
定义6:如果有界集E的外测度和内测度相等， 则称E是一个可测集。这时E的外测度和内测 度的数值就称作E的测度，记为mE：
mE=m*E=m*E 特别的，对于一切有界开集和有界闭集，其 外测度和内测度均相等
mF=m*F=m*F mG=m*G=m*G 即，一切有界开集和有界闭集都是可测集
可测集的性质
设S=(a,b)是基本集(有界)，E,Ei⊂S(i=1,2...)均为
有界可测集，则有CSE=S-E,E1∩E2,E1∪E2,E1-E2,和
∩Ei,∪Ei均可测，且
1)mE≥0,且E=Φ时，mE=0
(非负性)
mE mEk
k1
2)若E1⊂E2，则mE1≤mE2
(单调性)
m(E2-E1)=mE2-mE1
3)m(∪Ei)≤∑mEi
(不完全可加
性)
4)若Ei∩Ej=Φ(i≠j,i,j=1,2,3...)，则
m(∪Ei)=∑mEi
(完全可加性)
无界集的测度
设集E含在(-∞,+∞)中，如果对于任意的自然数n， 集
E(n)=[-n,n]∩E
定义2:设G是不空的有界开集，则其一切构成区间
之长的和称为G的测度。即 mG=∑mδk
有界闭集的测度
定义3:设F是一不空的有界闭集，S=[A,B]是包含F
的最小闭区间，则定义F的测度 mF=B-A-m[CBF]
内测度
定义4:有界集E的内测度m*E是一切可能含在E中的闭
第十七章 在无界区域上定义的函数
§1.无界集的测度
知行1301 13275001 毕文彬
有界集的测度 无界集的测度 无界集测度的性质
证明
有界集的测度
可测集的性质 §6
§1
有界开集的测度
可测集
§5
有界集
§2 有界闭集的测度
外测度
§4
§3
内测度
有界开集的测度
定义1:区间(a,b)的测度，就是它的长b-a，记为
为可测，则称E是可测集。
极限
mE limm(E n)
n
称为这个集的测度。
注：对于无界集，上述性质(非负性，单调性，不完全可加
性，完全E1可E加2性E3 ).同.. 样成立。
mE1
定理:设
为可m测E集li而mmEE为n 其交集。如果 n
，则
无界集完全可加性的证明
即证：
mE mEk k1
设E1，E2，E3...是两两不相交的可测集又
E Ek
那么
k 1
E(n) Ek (n)
从而
k1
m(En)mkE(n)mkE
k1
k1
及
mE mEk
k1
（1） （2）
无界集完全可加性的证明
下证：
mE mEk k1
由（1）式推得，对于所有有限的N有：
令n→∞，得 再令N→∞，得
N
mEmEk(n) k1
N
mE mEk k1
mE mEk k1
从而由（2）式得到
集的测度的上确界，即 mk *E=sup{mF}
外测度
定义5:有界集E的外测度m*E是一切可能包含E的有界
开集的测度的上确界，即 m*E=inf{mG}
可测集
定义6:如果有界集E的外测度和内测度相等， 则称E是一个可测集。这时E的外测度和内测 度的数值就称作E的测度，记为mE：
mE=m*E=m*E 特别的，对于一切有界开集和有界闭集，其 外测度和内测度均相等
mF=m*F=m*F mG=m*G=m*G 即，一切有界开集和有界闭集都是可测集
可测集的性质
设S=(a,b)是基本集(有界)，E,Ei⊂S(i=1,2...)均为
有界可测集，则有CSE=S-E,E1∩E2,E1∪E2,E1-E2,和
∩Ei,∪Ei均可测，且
1)mE≥0,且E=Φ时，mE=0
(非负性)
mE mEk
k1
2)若E1⊂E2，则mE1≤mE2
(单调性)
m(E2-E1)=mE2-mE1
3)m(∪Ei)≤∑mEi
(不完全可加
性)
4)若Ei∩Ej=Φ(i≠j,i,j=1,2,3...)，则
m(∪Ei)=∑mEi
(完全可加性)
无界集的测度
设集E含在(-∞,+∞)中，如果对于任意的自然数n， 集
E(n)=[-n,n]∩E