2.3 线性相关和线性无关

第二章 线性方程组与向量
第一节 线性方程组的消元法 第二节 n维向量 第三节 线性相关与线性无关 第四节 向量的秩 第五节 矩阵的秩
第三节 线性相关和线性无关
一、线性表出
1、线性表出 设 k1, k2, …, ks ∈R, α1, α2, …, αs 是 n 维向量， 若β = k1α 1+ k2α2 + … + ksαs，则称 β 为向量
α 1 = k2 α 2+ k3 α3 + … + kn α n
于是 1⋅α 1+ (− k2) α 2 + … + (− kn ) α n= 0 其系数 不全为零，故 α1, α2, …, αn 线性相关。
推论 向量组α1, α2,
…, αn 线性无关的充要条件是
向量组中的每个向量不能由其余向量线性表出。 性质2 性质2 如果向量组 a1 , a2 ,L , an线性无关，而向量组
证明 若
k1ε 1 + k 2ε 2 + L + k nε n = ο
得
(k1 , k 2 ,L, k n ) = (0,0,L,0)
由此可知，只有 k1 = k 2 = L = k n = 0 时
k1ε1 + k2ε 2 + L + knε n = 0
所以基本向量组 ε 1 , ε 2 ,Lε n 线性无关。
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a x + a x + L + a x = 0 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLL an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = 0
例 设向量组 a1 , a 2 , a3 线性无关，证明向量组
k1α1 + k 2α 2 + L + k sα s = ο
即有
a11k1 + a21k 2 + L + as1k s = 0 a k + a k + L+ a k = 0 s2 s 12 1 22 2 L a1r k1 + a2r k2 + L + asr k s = 0 a k + a k + L + a k = 0 sr +1 s 1r +1 1 2r +1 2 L a1n k1 + a2n k2 + L + asn k s = 0
性质4 性质4 设r维向量组 α i = (ai1 , ai 2 L air )i = 1, 2,L , s 线性无关，则在每个向量上再添上n-r个分量， 得到的n维向量组
βi = (ai1 , ai 2 L air , α ir +1 ,Lα in )i = 1, 2,L , s
也线性无关。 证明 设存在数 k1 , k2 ,L, k s ，使得
a1 , a2 ,L , an , β 线性相关，则向量 β 可以由向
量组 a1 , a2 ,L , an 唯一线性表示。 证明 先证向量β 可由 a1 , a2 ,L , an 线性表出，因为
a1 , a2 ,L , an , β 线性相关，故存在不全为零 的数 k1 , k2 ,L , kn , k ，使得 k1α1 + k2α 2 + L + knα n + k β = ο
(1, 0, 2,3), (0,1,9, 0) 也一定线性无关。
推论 设 a1 , a 2 , L , a s 是s个r维向量， 1 , β 2 , L , β s是添 β 加了n-r个分量的n维向量，若 β 1 , β 2 , L , β s 线性 相关，则 a1 , a 2 , L , a s必线性相关。 性质5 性质5 n个n维向量
所以表示方法唯一。 性质3 性质3 如果向量组 a 1 , a 2 , L , a s 线性相关，则添加 若干个向量以后得到的新的向量组
a1 , a 2 , L , a s , α s +1 , L , α n 也线性相关。
证明 因为向量组 a1 , a2 ,L, as线性相关，则存在一组 不全为0的数 k1, k2 ,L, ks ，使得
α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 1也线性无关（证明略）。
三、性质
1、性质
性质1 性质1 当 n≥2 时，向量组
α1, α2, …, αn 线性
相关的充分必要条件是其中至少有一向量能由 其余向量线性表出。 证明 必要性 设 α1, α2, …, αn 线性相关，则有不全为零的实数
k1α1 + k2α2 +L+ ksαs = ο
于是有
k1α1 + k2α2 +L+ ksαs + 0αs+1 +L+ 0αn = ο
显然 k1, k2 ,L, ks ,0,0,L0不全为零，所以向量组
a1, a2 ,L, as ,αs+1,L,αn 线性相关。
这个定理可以概括为“部分相关，整体必相关 部分相关，整体必相关”。 部分相关 是一组线性无关的向量，则从 推论 如果 a1 , a2 ,L , an 中任意取出若干个向量都是线性无关的。 推论的结论也可概括为“整体无关，部分必无关”。 整体无关，部分必无关 整体无关
β 可以由 α1 , α 2 ,L , α n 线性表出的充要条件是
下列线性方程组有解：
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
由此可知 β 可由 α1 , α 2 , α 3 线性表出，为了给出一 个表达式，令 c = 0 则 k1 = 7, k 2 = 5, k 3 = 0 ，于是有
β = 7α 1 + 5α 2 + 0α 3
一般的
a11 a12 a1n b1 a a a b 21 , α = 22 ,L , α = 2 n , β = 2 α1 = n M 2 M M M am1 am 2 amn bm
β = k1α 1 + k 2α 2 + k 3α 3
即
k1 − k 2 + 2 k 3 = 2 − k1 + 2k 2 − 3k 3 = 3 2k − 3k + 5k = −1 2 3 1
解此线性方程组，得其一般为：
k1 = 7 − c k 2 = 5 + c k =c 3
k1, k2, …, kn ，使k1α 1+ k2α2+ … + knα n= 0。 。
不妨设 ks≠ 0, 于是
− k n −1 − k1 αn = α1 + L + αn −1. kn kn
即 αn 可由 α1, α2, …, αn−1 线性表出. 充分性 若某个向量例如 α1 可被其余向量线性表出，不放设
2 1 −1 2 3 , α = −1 , α = 2 , α = −3 β = 1 2 3 −1 2 −3 5
试判断 β 可否由α1 , α 2 , α 3 线性表出，如果可以， 请给出它的一种表达式。 解 设
例 单个非零向量线性无关：事实上，若非零向量
α = (a1 , a2 ,L , an ) ≠ ο
若
kα = k (a1 , a2 ,L , an ) = (0, 0,L , 0)
则必有 k = 0 ，所以单个非零向量必线性无关。 例 证明：n维基本向量组线性无关：
ε1 = (1, 0,L , 0) ε = (0,1,L , 0) 2 LLLLL ε n = (0, 0,L ,1)
其中必有
k ≠ 0，否则，若 k = 0 ，上式成为
k1α1 + k2α 2 + L + knα n = ο
这与 a1 , a2 ,L , an 线性无关相矛盾，因此 k 故
≠0
kn k1 k2 β = − α1 − α 2 − L − α n k k k
即β 可由 a1 , a2 ,L , an 线性表出。 再证表示方法唯一，如果 β 还可以表示为
α1, α2, …, αs 的一个线性组合， 线性组合， 线性组合
或称 β 可由向量组 α1, α2, …, αs 线性表出. 线性表出. 2、例题
例 设
α1 = (1, 2, −1, 2), α 2 = (2, 4,1,1), β = (−1, −2, −2,1)
因为 β = α1 − α 2 所以 β 是 α1和 α 2 的线性组合。 例 设
1、向量的个数大于向量的维数，所以向量组是 线性相关的； 2、由于向量组中含有零向量，则该向量组是线 性相关的；
3、由于 α 3 关的。
= 3α 1，所以 α 1 , α 3 是线性相关的，由
“部分相关，则整体相关”，所以该向量组是线性相
【复习思考题 复习思考题】 复习思考题 1、利用非齐次和齐次线性方程组的向量形式,谈谈 你是怎样理解线性组合、线性相关、线性无关这几 个概念的. 2、叙述证明一个向量组线性无关(或线性)的过程. 3、一个行向量组的线性相关性与它们对应的列向量 组的线性相关性否相同?为什么?