复数的减法及其几何意义1
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
新课讲授
2.复数的减法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个 复数，那么它们的差
(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．
例题讲解
例1.计算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i).
例2.计算(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4 ＋5i)＋…＋(－2002＋2003i)＋(2003－2004i).
线长为
()
A. 3 2 B. 2 2 C.2
D. 5
课堂练习
4.复平面上三点A、B、C分别对应复数1， 2i,5+2i,则由A、B、C所构成的三角形是
()
A.直角三角形 C.锐角三角形
B.等腰三角形 D.钝角三角形
课堂练习
5.一个实数与一个虚数的差 ( )
A.不可能是纯虚数 B.可能是实数 C.不可能是实数 D.无法确定是实数还是虚数
复习引入
6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系: 对于复数a＋bi (a，b∈R) 当且仅当b＝0时，它是实数a； 当b≠0时，叫做虚数； 当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数； 当且仅当a＝b＝0时，它是实数0.
7.复数集与其它数集之间的关系:
R Z Q R C
复习引入
8. 两个复数相等的定义: 如果两个复数的实部和虚部分别相等，
3. i的周期性: i4n+1＝i, i 4n+2＝－1, i 4n+3＝－i, i4n＝1.
复习引入
4.复数的定义:
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数， a叫复 数的实部， b叫复数的虚部.全体复数所 成的集合叫做复数集，用字母C表示.
复数的基本运算与几何意义解释
复数的基本运算与几何意义解释复数是由实部和虚部构成的数，其表示形式为a + bi，其中a和b 分别为实部和虚部的实数部分，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，下面将基本运算进行详细解释，并探讨其在几何中的意义。
一、加法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的和z = z1 + z2的实部等于两个复数实部的和，虚部等于两个复数虚部的和，即：z = z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，实部表示在实轴上，虚部表示在虚轴上。
加法运算就是将两个复数的向量相加，得到新的向量的终点，即通过终点相加的法则得到。
二、减法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的差z = z1 - z2的实部等于两个复数实部的差，虚部等于两个复数虚部的差，即：z = z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，减法运算就是将z2的向量从z1的向量终点出发得到新的向量的终点，即通过终点减去起点的法则得到。
三、乘法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的乘积z = z1 * z2的实部等于两个复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部等于两个复数实部的乘积加上虚部的乘积，即：z = z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，乘法运算就是将z1的向量的长度与z2的向量的长度相乘（模的乘积），同时将z1的向量的方向与z2的向量的方向相加（幅角的叠加），得到新的向量，即将两个向量的长度相乘，诱导出新的长度，将两个向量的角度相加，诱导出新的角度。
四、除法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的商z = z1 / z2为复数，可以通过以下步骤求解：1. 乘以共轭复数：将除数z2的虚部取相反数，即z2* = a2 - b2i；2. 乘以共轭复数得到分子：z1 * z2* = (a1 + b1i)(a2 - b2i)；3. 化简分子：z1 * z2* = (a1a2 + b1b2) + (a1b2 - b1a2)i；4. 除以分母的模的平方：z = (a1a2 + b1b2)/(a2^2 + b2^2) + (a1b2 -b1a2)/(a2^2 + b2^2)i。
复数运算的常用规律和几何意义
复数运算的常用规律和几何意义复数是由实数和虚数构成的数。
每个复数可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位，满足i² = -1常用规律：1.实部与虚部的加法和减法：- (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i- (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2.实数与复数的乘法和除法：- (a + bi) * c = ac + bci- (a + bi) / c = (a/c) + (b/c)i （当c ≠ 0）3.复数的共轭：复数 a + bi 的共轭是 a - bi，即将虚数部分取相反数。
4.复数的乘法和除法：- (a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- (a + bi) / (c + di) = [(a + bi) * (c - di)] / (c² + d²) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²) （当c² + d² ≠ 0）几何意义：复数可以用来表示平面上的点。
实部代表点在x轴上的位置，虚部代表点在y轴上的位置。
1.加法和减法：复数的加法和减法可以看作是平面上的点的运算。
例如，(a + bi) + (c + di) 可以看作是将第二个点 (c, d) 平移后放置在第一个点 (a, b) 的位置上。
2.乘法：复数的乘法可以用来进行旋转和缩放。
例如，复数 (a + bi) * (c + di) 可以看作是将向量 (a,b) 绕原点旋转角度 angle，并将长度乘以，c + di。
3.共轭：复数的共轭可以用来表示点关于 x 轴的对称点。
例如，复数 a + bi 的共轭 a - bi 可以看作是将点 (a, b) 关于 x 轴翻转。
复数代数形式的加减运算及其几何意义
在信号处理中的应用
信号合成与分解
复数代数形式的加减运算可以用于信 号的合成与分解，例如在频谱分析和 滤波器设计中。通过加减运算，可以 将信号分解为不同的频率分量，便于 分析和处理。
调制与解调
在通信系统中，复数代数形式的加减 运算用于信号的调制和解调过程。通 过加减运算，可以实现信号的相位和 幅度调整，从而实现信号的传输和接 收。
复数减法的几何意义
复数减法可以理解为在复平面上的向量减法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的差 $z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的差分。
向量差分：在复平面上，将 $z_1$ 的向量起点固定，然后 平移至 $z_2$ 的起点，得到向量差。这个过程对应于复数 减法运算。
部对应横轴，虚部对应纵轴。
03
复数代数形式的几何意义
复数加法的几何意义
复数加法可以理解为在复平面上的向量加法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的和 $z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的合成。
向量合成：在复平面上，将 $z_2$ 的向量起点固定，然后平 移至 $z_1$ 的起点，得到向量和。这个过程对应于复数加法 运算。
复数代数形式的加减运算 及其几何意义
• 引言 • 复数代数形式的加减运算 • 复数代数形式的几何意义 • 复数代数形式的加减运算的应用 • 结论
Hale Waihona Puke 1引言复数的基本概念
01
复数是由实部和虚部构成的数，一 般形式为$z=a+bi$，其中$a$和 $b$是实数，$i$是虚数单位，满足 $i^2=-1$。
高二数学复数的加减运算
C
B
2.| z1+ z2|= | z1- z2|
平行四边形OABC是矩形
o
z1 A
3. |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2|
平行四边形OABC是 正方形
三、复数加减法的几何意义的运用 练习1:设z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z2+z1|=
2 , 求|z2-z1|.
二.复数的加减法及几何意义
例4.(1)下列命题中正确的是 ( A)如果Z1 Z 2是实数，则Z1、Z 2互为共轭复数 ( B )纯虚数Z的共轭复数是 Z。 (C )两个纯虚数的差还是纯虚数 ( D)两个虚数的差还是虚数。
(2)下列命题中的真命题为： ( A)若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 ( B )若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (C )若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 ( D )若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。
2
练习2:复数z1,z2分别对应复平面内的点M1,M2,
且| z2+ z1|=| z2- z1|,线段M1M2的中点M对应
的复数为4+3i,求|z1|2 + |z2|2
； / 就要来海淘
；
形是平原,一眼就能发现通道口の存在,所以拼命情况下,还是能有大部分不咋大的队成员能过去の. 十多分钟之后,大部分の血虎已经被清除干净了.屠黑下令大部分の人开始休息.马上就要闯第九关了,必须保持不咋大的队の巅峰战力. 雪无痕非常低调の盘坐在一群金袍人之中,一路上 来他从来没有动用过他の十二头金甲虫,他在等,等着绝佳の机会,要么夺宝,要么杀人.他相信,他の十二头吞食黑雪莲而变异の金甲虫,要么不出手,一出手,这落神山内の人,无人可挡,就是帝王境巅峰の屠黑也不能… "走！" 半个不咋大的时之后,屠黑站起身子,冷冷の一挥手,全体金袍 人全部都站起身子,气势狂暴の朝第八关の通道口涌去. 出了通道口,他们没有在休息地停留,直接出了傀儡通道,而后集体冲入第九关. "咦…怎么回事?第九关の地形怎么变了?" 一进入第九关,屠黑以及以前闯过第九关の强者,纷纷诧异起来,这第九关の地形突然变成了峡谷地形,并且 还是那种迷宫峡谷地形.这不对啊,以前几次闯关和神城の记录可是从来没有出现过这样の问题啊. "狗屎,落神山异变了,这关如果守护智还是吞石鼠の话,那就麻烦了！"屠黑脸色一沉,暗叹不好.吞石鼠不难对付,但是数量确实太多,以往是平原地形の话,那还好对付,拼下,硬抗一下,很 容易就杀到了通道口.现在这迷宫地形,通道口随机不定,寻找通道口都是件麻烦事,更别说还要对付无穷无尽の吞石鼠了. "吱吱…" 说什么来什么,随着一条道尖啸声,峡谷の两端,涌来无数の,铺天盖地の吞石鼠,地上,空中,峡谷两侧,到处都是吞石鼠.密密麻麻一片黑压压の,让人感觉 到一股发自脚底の寒意… "狗屎,全体都有,三角箭阵,朝前突击！"屠黑怒骂一句,无可奈何,开始指挥不咋大的队,和无数の吞石鼠奋战起来. "真是狗屎,怎么参杂了有八品上阶の吞石鼠?这是怎么回事?落神山出了什么问题?"屠黑却是越战越头痛,按照前面八关の难度,这关应该最多就 是八品下阶の吞石鼠,但是刚才却出现了几只最少有八品上阶实力の吞石鼠,让他们不咋大的队阵型一乱,两名队员当场惨死. "全部转向,背靠墙壁防御阵型,轮流防御！等候三府和隐岛强者,否则俺们会全军覆没！"片刻之后,屠黑下达了一些无奈の命令.吞石鼠太多了,如果他们继续进 攻前进の话,那么他们会不断の有人因为气场被攻破,而死于非命,最后下去,只有全军覆没の结果.无奈之下,他只有原地轮流防御,等待其余三府,和隐岛の人来了才一起冲锋,闯关. 这个命令下去,不咋大的队の人全部松了一口气.迅速组成了防御阵型,轮流防御,总算顶住了前仆后继,源 源不断の吞石鼠攻击. …… 十二关大厅,鹿希却是望着前面の那块大屏幕内の情况嘿嘿一笑,悠闲の说道："这才乖嘛,你呀们冲太快,这样玩没什么意思,等你呀们全被人到齐了,再给你呀们一些更好玩の！嘿嘿,好玩,好玩！" 第九关の异变,当然是出自鹿希之手.其实数千年来,鹿希一 直在控制着落神山の机关,玩弄着无数の闯关者.当然,他并没有违背他主人定下の规则,他只是想让游戏更好玩一些,更刺激一些… 几个不咋大的时之后！ 妖神府の不咋大的队,达到了第九关,但是他们一出现,立即就遭受了同样の海量吞石鼠围攻,也就只能勉强の防御着,不敢前进. 三 个不咋大的时之后！ 蛮神府の蛮子进来了. 而这些蛮子却凭借着自己の超强防御,竟然无视吞石鼠の攻击,开始前进.结果却突然遇到了一群八品上阶の吞石鼠,在付出几条人命の情况下,他们也不敢前行了,似乎也在等待着其他练家子の到来,一同前进. 五个不咋大的时后！ 隐岛の人 也到了,反而破仙府の人却是最后才到达の.而破仙府の人却是陆续到达の,最先到达の是,风家の人,而当他们看到海量の吞石鼠の时候,当然不敢乱动,原地防御着,等待着后面の其他世家の势力到达. 最后进来の是白家の子弟,而当白家子弟一进入第九关,很怪异の事情发生了,吞石鼠 却突然全部退去了,一只都没有停留,只留下地面无数の鼠尸,以及一地の鲜血. "发生了什么事?龙飞,风萧萧,月柔,花六有没有发现俺家白重炙?"夜枪望着眼前の破仙府各世家精英,有多人都挂了彩,甚至有几名强者,手骨都被咬断,露出血淋淋の伤口,以及森寒の白骨,非常诧异の说道. 【作者题外话】：四更爆发完毕,大家新年快乐！ 本书来自 品&书#网 当前 第2陆捌章 抢宝 文章阅读 "额…俺刚才问了,俺们一路走过来,都没有发现你呀家不咋大的子.请大家检索（品%书￥￥网）看最全！更新最快の这里の俺不清楚,这地方太怪异了,以前从来没有遇到这样怪异の 事情,并且这吞石鼠居然在你呀们一到达突然全部消失了,太诡异了,莫非有什么阴谋?"龙城带队名字叫龙飞,龙飞见吞石鼠退去,松了一口气,叹道. "是啊,太诡异了,怎么夜枪你呀们一来,吞石鼠就退去了?刚才俺们都奋战都一些多不咋大的时！"风家带队风萧萧,满身是血,正轻轻の擦拭 着衣服. 月柔,没有说话,只是淡淡の摇了摇头,表示着她没有遇到或者找到白重炙.神情也有些焦急,月柔是月烟儿那一代の人,可谓是看着月倾城长大の,当然希望能找到白重炙,以免月倾城伤心. 夜轻语也没有说话,只是见众人没有找到白重炙,神情更是落魄伤心了几分.每一关她都饱 含希望,满心期待,但是换来の却是一次次の心痛和伤心… "俺建议,大家分别开走了,这里很诡异,休整一下一起走吧,安全第一！"一直没有说话の花六开口了.众人商议一阵,也觉得应该走一起,毕竟这里可是迷宫地形,万一再来一波吞石鼠,也好应付.并且此地诡异,他们估计其他两府以 及神城隐岛の强者很可能还在这一关,如果遇到了也好有个照应. 半个不咋大的时之后,破仙府强者,开始集体前行,不断の在峡谷内游走,寻找着下一关の通道口. 只是,迷宫地形实在太大了,也太多复杂了,众人转了许久都没有找到出口.很奇怪の是,他们一路走来,也没有遇到一只吞石 鼠. 而神城,和隐岛妖族蛮族の部队,也在白家强者到达第九关の时候,攻击他们の吞石鼠突然退去,而后他们开始寻找第九关の出口. 诡异の是,几个不咋大的队,不断の在迷踪峡谷内前行,却没有相遇一次,也没有遇到一只吞石鼠. 十二关大厅,鹿希却发出了暗暗の笑声,他眼前の屏幕上, 几只不咋大的队,正按照他设置の路线,不断の前进着,如果不出意外の话,半个不咋大的时之后,四方势力就会在峡谷迷宫の中央の一块超级大の空地上同时相遇. "哈哈,好玩,好玩！额…时候不多了,不咋大的寒子快要炼化了,最后玩一次,就玩大点吧！"鹿希宛如一些孩子一样,盯着屏 幕の上面,一双眼睛眯成了一条细缝,满脸の得意和开心. …… 夜枪很疑惑,他怀疑,他们似乎都在里面绕圈一样. 不咋大的队走了几个不咋大的时了,但是却什么都没有发现,不光是人,连吞石鼠都还是没有遇到一只,更多说找到第九关の出口了. 其他の各世家队长,也明显发现了这一诡 异の情况.只是在如此场景,他们也没有方法,只能继续前行,希望能找到通道口. 峡谷虽然很大,但是不咋大的队却有着数百人,所以不咋大的队被拉成了长蛇行.花家和龙城のの人在前探路,月家剧中,白家和风家の殿后. 十多分钟之后,峡谷却是越来越宽阔起来,长蛇阵逐渐の变成了三 角箭矢阵.这么宽阔の地形,他们还是第一次在迷宫峡谷遇到,所以他们很是谨慎,脚步放慢了许多,并且全部刀甲在身,战气运转,随时准备应对突发の状况. 慢慢の,地形越老越开阔,不得已,不咋大的队阵型再次变换,变成了圆形防御阵型.大部分の帝王境巅峰强者,被派到了前方,月家女 子和风家の人被围在了中央.速度也再次慢了下来. 一百米,两百米,五百米. 当众人转了一些大弯の时候,他们眼前の视野突然变得无比开阔起来.前方,出现了一块宽阔宛
复数的加减法及其几何意义
复数的加减法及其几何意义一、复数的加减法1. 复数的定义- 设z = a+bi，其中a,b∈ R，a称为复数z的实部，记作Re(z)=a；b称为复数z的虚部，记作Im(z) = b。
- 例如，z = 3 + 2i，实部a = 3，虚部b=2。
2. 复数的加法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，则z_{1}+z_{2}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i。
- 例如，若z_{1}=2 + 3i，z_{2}=1 - 2i，则z_{1}+z_{2}=(2 + 1)+(3-2)i=3 + i。
3. 复数的减法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，则z_{1}-z_{2}=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i。
- 例如，若z_{1}=4+5i，z_{2}=2 + 3i，则z_{1}-z_{2}=(4 - 2)+(5 -3)i=2+2i。
二、复数加减法的几何意义1. 复数的几何表示- 在复平面内，复数z = a+bi可以用点Z(a,b)来表示，也可以用向量→OZ来表示，其中O为坐标原点。
- 例如，复数z = 3+2i对应的点为(3,2)，对应的向量→OZ，起点为O(0,0)，终点为Z(3,2)。
2. 复数加法的几何意义- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，它们对应的向量分别为→OZ_{1}和→OZ_{2}。
- 那么z_{1}+z_{2}对应的向量为→OZ_{1}+→OZ_{2}，即平行四边形法则：以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边作平行四边形，则对角线→OZ对应的复数就是z_{1}+z_{2}。
- 例如，z_{1}=2 + i，z_{2}=1+2i，→OZ_{1}=(2,1)，→OZ_{2}=(1,2)，以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边的平行四边形的对角线向量→OZ=→OZ_{1}+→OZ_{2}=(3,3)，对应的复数z_{1}+z_{2}=3 + 3i。
复数加减运算的几何意义
复数加减运算的几何意义“同学们，今天咱们来好好探讨一下复数加减运算的几何意义。
”我站在讲台上对学生们说道。
复数加减运算的几何意义可是非常有趣且重要的。
大家都知道复数可以用平面上的点来表示，对吧？比如一个复数 a+bi，就可以对应平面直角坐标系中的一个点(a,b)。
那复数的加减运算在几何上是怎么体现的呢？我们来看个例子。
比如说有两个复数 z1=3+2i 和 z2=1-i，它们在平面上就分别对应点(3,2)和(1,-1)。
当我们做 z1+z2 的时候，就是把它们对应的点的坐标相加，得到(3+1,2+(-1))，也就是(4,1)，这就是 z1+z2 对应的点。
从几何意义上看，就相当于把 z1 对应的向量平移到 z2 对应的点上，得到的终点就是 z1+z2 对应的点。
再比如，我们来看复数的减法。
有两个复数 z3=5+3i 和 z4=2+i，它们分别对应点(5,3)和(2,1)。
那么 z3-z4 就等于(5-2,3-1)，也就是(3,2)。
从几何上看，这就相当于从 z3 对应的点向 z4 对应的点引一个向量，这个向量的终点坐标就是 z3-z4 对应的点。
给大家讲个实际应用的例子吧。
在通信领域中，信号常常可以用复数来表示。
当我们对这些信号进行处理时，复数的加减运算就有着重要的作用。
比如在信号的传输和接收过程中，需要对不同的信号进行合成或分离，这时候就涉及到复数的加减运算。
通过理解复数加减运算的几何意义，我们可以更好地分析和处理这些信号，以保证通信的质量和准确性。
同学们，复数加减运算的几何意义不仅仅是理论上的知识，它在很多实际问题中都有着广泛的应用。
大家一定要好好理解和掌握，这样才能在以后的学习和工作中更好地运用它。
大家都听明白了吗？如果还有疑问，随时提出来，我们一起探讨。
复数的加减运算及其几何意义 完整版课件
两个复数差的模的几何意义 (1)|z－z0|表示复数 z，z0 的对应点之间的距离，在应用时， 要把绝对值号内变为两复数差的形式； (2)|z－z0|＝r 表示以 z0 对应的点为圆心，r 为半径的圆； (3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点 间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何 方法进行求解．
[跟踪训练] 1．－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________.
答案：－10i
2．已知复数 z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若 z1＋z2 是纯虚数， 则实数 a＝________.
答案：3
复数加、减运算的几何意义 [例 2] (链接教材第 77 页练习 2 题)如图所 示，在平行四边形 OABC 中，顶点 O，A，C 分 别表示 0,3＋2i，－2＋4i.求： (1)―A→O 所表示的复数，―B→C 所表示的复数； (2)对角线―C→A 所表示的复数； (3)对角线―O→B 所表示的复数及―O→B 的长度．
()
2．已知复数 z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则 z1＋z2 等于( )
A．8i
B．6
C．6＋8i
D．6－8i
答案：B
3．已知复数 z＋3i－3＝3－3i，则 z＝
A．0
B．6i
C．6
() D．6－6i
答案：D 4．在复平面内，向量―OZ→1 对应的复数是 5－4i，向量―OZ→2 对应的
复数是－5＋4i，则―OZ→1 ＋―OZ→2 对应的复数是
是什么？ 提示：|z－z0|的几何意义是复平面内点 z 与点 z0 的距离．
[做一做]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数与复数相加减后结果不可能是实数．
第十五课复数的加减运算及其几何意义
(a－c) ＋(b－d) ＝1. ② 由①②得 2ac＋2bd＝1.
2 2
∴|z1＋z2|＝ a＋c ＋b＋d ＝ a ＋c ＋b ＋d ＋2ac＋2bd＝ 3.
2 2 2 2 2 2
小结（略）
一、选择题 1．若复数 z 满足 z＋i－3＝3－i，则 z＝( A．0 B．2i C．6 D．6－2i )
→ ＝－OA →， → 对应的复数为－(3＋2i)， 解： ①AO 则AO 即－3－2i. → ＝ OA → －OC → ，所以 CA → 对应的复数为 (3 ②CA ＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. → ＝OA → ＋ AB → ＝OA → ＋ OC → ，所以OB → 对应 ③ OB 的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即 B 点对 应的复数为 1＋6i.
二、填空题 3．已知|z|＝3，且 z＋3i 是纯虚数，则 z＝________.
解：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z|＝3，∴a ＋b ＝9.
2 2
又 w＝z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i 为纯虚数，
a＝0， ∴ b＋3≠0 a＝0， ，即 b≠－3，
又 a ＋b ＝9，∴a＝0，b＝3.∴z＝3i.
3．对复数加减法几何意义的理解：它包含两个方面：一方面是利
用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理， 另一方
面对于一些复数的运算也可以给予几何解释， 使复数作为工具运用 于几何之中．
题型一、复数代数形式的加减运算
例 1：计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解：∵z＋i－3＝3－i
复数的基本运算及几何意义
复数的基本运算及几何意义复数是由实部和虚部构成的数，可以用公式表示为 z = a + bi，其中a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
一、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。
例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。
例如：(2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i3. 复数的乘法：根据分配律展开运算，注意 i 的平方为 -1。
例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i4. 复数的除法：将分子乘以分母共轭复数，并进行合并化简。
例如：(2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) * (4 - 5i) / (4^2 + 5^2) = (8 + 7i) / 41二、复数在平面几何中的意义在平面直角坐标系中，复数可以看作是复平面上的点，实部对应横轴，虚部对应纵轴。
1. 复数的模：复数 z 的模表示为 |z|，是复平面上由原点到对应点的距离。
例如：z = 3 + 4i，则|z| = √(3^2 + 4^2) = 52. 复数的辐角：复数 z 的辐角表示为 arg(z)，是复平面上由正实轴到对应位置向量的角度。
例如：z = 2 + 2i，则arg(z) = π/43. 欧拉公式：欧拉公式表示为e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位，θ 是角度。
该公式将三角函数与指数函数联系了起来，是复数运算中的重要工具。
4. 复数的乘法及除法的几何意义：复数的乘法相当于平移、旋转和伸缩，在复平面上实现了几何变换。
复数的除法相当于平移、旋转和收缩，在复平面上实现了逆向几何变换。
综上所述，复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，可以使用公式进行计算。
在平面几何中，复数可以表示为复平面上的点，模表示距离，辐角表示角度。
复数的减法的几何意义
复数的减法的几何意义
1. 复数的减法的几何意义啊，就好像是在一个神秘的数学花园里挖宝藏呀！比如说，你看啊，(1+2i)-(2+i)，这就像是从一个宝藏点走到另一个宝藏点的路径变化呢！
2. 哎呀呀，复数的减法的几何意义可重要啦！就像我们走路一样，从一个地方到另一个地方的距离变化，比如(3+4i)-(1+3i)，不就是位置的改变嘛！
3. 复数的减法的几何意义真的很奇妙哦！好比是一场刺激的冒险中路线的调整呢，像(2+3i)-(1+i)，这中间的变化多有趣呀！
4. 嘿，复数的减法的几何意义你可别小瞧呀！就如同在迷宫里找出口，每一步的变化都很关键，像(4+2i)-(3+i)这样。
5. 哇塞，复数的减法的几何意义简直太有意思啦！这就跟玩拼图一样，一块一块的变化，比如(5+3i)-(2+2i)，拼出不同的形状呀！
6. 复数的减法的几何意义，那可是相当神奇的呀！就像搭积木，每一次减去一些，形状就变了，像(3+5i)-(2+3i)。
7. 哈哈，复数的减法的几何意义可不容错过哟！如同在地图上标记路线，减去一段就有不同的走向，比如(6+4i)-(3+2i)。
8. 哟呵，复数的减法的几何意义真的超棒的呀！就像变魔术一样，一下子就有了不同的结果，像(7+3i)-(4+i)。
9. 哇哦，复数的减法的几何意义太有魅力啦！好比是赛车在赛道上的位置调整，像(8+2i)-(5+i)，多刺激呀！
10. 复数的减法的几何意义，那绝对是数学里的一颗璀璨明珠呀！就好像是音乐中的变奏，给人带来惊喜，像(9+1i)-(6+i)。
我的观点结论就是：复数的减法的几何意义充满了神奇和趣味，能让我们看到数学中不一样的精彩世界！。
7.2.1复数的加、减及其几何意义课件(人教版)
【变式训练3】 如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小
值是(
)
A.1
B.
C.2
D.
解析:设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,
因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,
所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为,动点Z在线段Z1Z2上移动,
-3-2i,那么向量 对应的复数是
;
(2)设复数 z1 =1-i,z2 =2+2i 对应的点分别为 Z 1,Z2 ,则|Z 1 Z2 |
=
.
探究一 复数的加、减运算
【例1】 计算:
(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i);
(2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i).
复数代数情势的加、减法运算技能
0,3+2i,-2+4i.求:
(1)
表示的复数;
(2)对角线 表示的复数;
(3)对角线
表示的复数.
解:(1)因为
=-
(2)因为 =
,所以
表示的复数为-3-2i.
− ,
所以对角线 表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为对角线
所以对角线
=
+ ,
表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
∴平行四边形 OZ1ZZ2 为正方形.
∴|z1-z2|=|
|=|
|=
.
,
,
.
1.解决复数问题时,设出复数的代数情势z=x+yi(x,y∈R),利用
复数的加减法几何意义
y
Z
A
b
y
Z
A
2a 0 Z a
C
x
0 Z
a
x
B
-b
B
6
二、复数加法与减法运算的几何意义
例3、已知复平面内一个平行四边形的三个顶点对应的 复数是0, 5+2i , -3+i ，求第三个顶点对应的复数. 解：设 OA ,OB 对应的复数分别为5+2i ,-3+i
y
B
0
C
A
如图(1)，在
OACB中, OC = OA+ OB
16
复数加法与减法运算的几何意义
谢
谢
17
0
B
1
x
|Z+1-2i|min =|MA|= 5 -1
14
二、复数加法与减法运算的几何意义
2、设复平面内的点Z1 , Z2 分别对应复数为Z1 , Z2 ， 则线段Z1 , Z2 垂直平分线的方程是：
y
1
|Z -Z1|=|Z -Z2 |
例如|Z+1|=|Z -i|是连结复数-1, i
1
Z
-1
0
x
在复平面内对应点的线段的垂直 平分线方程。
y
Z2 Z1
证明：| Z 2 -Z 1| =|(x2+y2 i)- ( x1+ y1i)|
=|(x2- x1)+( y2- y1)i| = ( x2-x1)² + (y2 - y1)² =d
0
x
10
复数加法与减法运算的几何意义
例4、用复数表示圆心在点P，半径为r的圆的方程。
解：如图，设圆心P对应的复数是P=a+bi，圆的半径为r，
复数代数形式的加减运算及其几何意义 课件
[解析] z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x ＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－ 3y)＋(x＋4y)i
[例2] 如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别 表示0,3＋2i，－2＋4i，试求
(1)A→O所表示的复数，B→C所表示的复数； (2)对角线C→A所表示的复数； (3)对角线O→B所表示的复数及O→B的长度．
[分析] 要求某个向量对应的复数，只要找出所求向 量的始点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结 论．
[解析] (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3 ＋2i.
(2)(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)＝(－1＋1)＋( 2－ 2)i＝0. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝ －a＋(4b－3)i.
[点评] (1)复数加减运算法则的记忆． 方法一：复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加 减． 方法二：把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并 同类项． (2)加法法则的合理性： ①当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致． ②加法交换律和结合律在复数集中仍成立． ③符合向量加法的平行四边形法则． (3)复数的加减法可以推广到若干个复数，进行连加连 减或混合运算．
又z＝13－2i，
∴5x＋x－43y＝y＝－132 ，解得xy＝ ＝－2 1 . ∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i. z2＝(－1×4－2×2)－(5×2－3×1)i＝－8－7i. [点评] 灵活运用复数加减法的运算法则和复数相等 的充要条件．
复数的加减法及几何意义课件人教新课标
1.复数加法运算的几何意义?
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
符合向量加法 的平行四边形
法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
2.复数减法运算的几何意义?
注意到 i2 1，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！
1.复数加、减法的运算法则：
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）
(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
注:⑴复数的减法是加法的逆运算；
⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何 z ,z ,z ∈C,有 123
z +z =z +z , 1221
(z +z )+z =z +(z +z ). 12 31 23
⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.
时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和 分配律)仍然成立。
练习. 根据对虚数单位 i 的规定把下列运算的结果都化 为 a+bi（a、bR）的情势. 3(2+i)= 6+3i ； (3-i)i= 1+3i ；i = 0+i ； -5= -5+0i ；0= 0+0i ；2-i= 2+(-1)i .
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复数的减法及其几何意义
教学目标
1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．
2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提升分析、解决问题水平．
3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．
教学重点和难点
重点：复数减法法则．
难点：对复数减法几何意义理解和应用．
（一）引入新课
上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义）
（二）复数减法
复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（+i）-（+i）=（-）+（-）i，
1．复数减法法则
（1）规定：复数减法是加法逆运算；
（2）法则：（+i）-（+i）=（-）+（-）i（，，，∈R）．把（+i）-（+i）看成（+i）+（-1）（+i）如何推导这个法则．
（+i）-（+i）=（+i）+（-1）（+i）=（+i）+（--i）=（-）+（-）i．
推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算．
推导：设（+i）-（+i）=+i（，∈R）．即复数+i为复数+i减去复数+i的差．由规定，得（+i）+（+i）=+i，依据加法法则，得（+）+（+）i=+i，依据复数相等定义，得
故（+i）-（+i）=（-）+（-）i．这样推导每一步都有合理依据．我们得到了复数减法法则，两个复数的差仍是复数．是唯一确定的复数．
复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（+i）±（+i）=（±）+（±）i．
（三）复数减法几何意义
我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？
设z=+i（，∈R），z1=+i（，∈R），对应向量分别为，
如图
因为复数减法是加法的逆运算，设z=（-）+（-）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差（-）+（-）i对应，如图．
在这个平行四边形中与z-z 1差对应的向量是只有向量2吗？
还有．因为OZ2Z1Z，所以向量，也与z-z1差对应．向量是以Z1为起点，Z为终点的向量．
能概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．
（四）应用举例
在直角坐标系中标Z 1（-2，5），连接OZ1，向量1与多数z1对应，标点Z2（3，2），Z 2关于x轴对称点Z2（3，-2），向量2与复数对应，连接，向量与的差对应（如图）．
例2 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式．
解：设复平面内的任意两点Z1，Z2分别表示复数z1，z2，那么Z1Z2就是复数对应的向量，点之间的距离就是向量的模，即复数z2-z1的模．如果用d表示点Z1，Z2之间的距离，那么d=|z2-z1|．
例3 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么．
（1）|z-1-i|=|z+2+i|；
方程左式能够看成|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i差的模．
几何意义是是动点Z与定点（1，1）间的距离．方程右式也能够写成|z-（-2-i）|，是复数z 与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离．这个方程表示的是到两点（+1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线．
（2）|z+i|+|z-i|=4；
方程能够看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．满足方程的动点轨迹是椭圆．
（3）|z+2|-|z-2|=1．
这个方程能够写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线．是双曲线右支．
由z1-z2几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更为简捷．且反映曲线的本质特征．
例4 设动点Z与复数z=+i对应，定点P与复数p=+i对应．求
（1）复平面内圆的方程；
解：设定点P为圆心，r为半径，如图
由圆的定义，得复平面内圆的方程|z-p|=r．
（2）复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点Z的集合是什么图形？
解：复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）．利用复平面内两点间距离公式，能够用复数解决解析几何中某些曲线方程．不等式等问题．
（五）小结
我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，能够用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题．
（六）布置作业P193习题二十七：2，3，8，9．。