2007量子力学试题(A)卷

2006~2007郑州大学物理工程学院物理专业量子力

(说明: 考试时间120分钟,共5页,满分100分)计分人： 复查人：

一． 填空题（每题2分，共20分）

1. 微观粒子具有 二象性, 德布罗意公

式为E= , p= .

2. 一个微观粒子的状态由波函数),(t x ψ描述, 那么在区间b x a ≤≤，发现这个粒子的几率是

3．在0=t 时刻，一个一维谐振子处于基态和第一激发态的迭加态

)(2

1)(2

1)(10x x x ψψ+

=

ψ，则能量的期待值是

3. 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 . 5. 对易关系=],[2x p x

6.费米子组成的全同粒子体系的波函数是

______________,玻色子所组成的全

同粒子体系的波函数是_________。

7．一个微观粒子的状态由波函数),(t x ψ描述，在动量表象相应的波函数为=),(t p c 8．电子自旋角动量满足的对易关系是=⨯S S 9．泡利不相容原理是指 10．线性谐振子占有数表象的产生与湮灭算符作用在谐振子能量本征函数上，有=+

∧n a

ψ ，=∧

n a ψ 。

二．选择题（每题只有一个答案是正确的，每题5分，共20分）

1．设粒子处于态2021103

12

1CY Y Y ++

=

ψ，ψ为归一化波函数，lm

Y 为归一化的球谐函数，则系数C 和∧

z L 的期待值为. （A ）6

1，

3 （B ）31，6 （C ）21，3 （D ）6

1

，

2．如果∧

A 和∧

C 是厄米算符，并且0,≠⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∧∧C A 则下列是厄米算符为

(A) ∧

∧C A (B) ∧

∧A C (C) ∧

∧∧

∧+A C C A (D) ∧

∧∧

∧-A C C A

3. 假定角动量平方算符21ˆJ 和22ˆJ 的本征值分别为2

2 和24

3 ,如果J ˆ =

1ˆJ +2ˆJ , 则可能是2ˆJ 本征值的选择为

（A ）22

43,

2 （B ）2243

,415 （C ）2245,411 （D ）2

22

15,23

4．由5个无相互作用的玻色子组成的一维谐振子体系，其基态能量为

（A ）ω 5 （B ）ω 2

5 （C ）ω )215(+ （D ）ω )21

15(+

三. 证明题（每题10分，共20分）

1. 利用角动量之间的对易关系,证明在z J 的本征态m j ,中算符x J 和

y J 的期待值x J =y J = 0.

2. 利用坐标算符x 、动量算符x p ∧

以及哈密顿算符Ĥ间的对易关系,证明在

哈密顿算符)(212x V p H +=∧∧

μ

的本征态中动量算符的期待值0__

=x p

四. 计算题 (第1，2题13分,第3题14分，共40分)

1．设氢原子处于状态

),()(2

3

),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=

Y r R Y r R r 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的期待值。

2. 设在

表象中，

的矩阵表示为⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛03*

*02

1E b a b E a E , 其中

，试用微扰论求能级二级修正。

3．在z S 的表象中，一个电子处在自旋态⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=43i A χ，

试求出归一化常数A 和自旋算符x S ，y S 和z S 的期待值。