概率统计基础知识

xipi E (X) = xp(x)dx
若X是离散分布
若X是连续分布
17
方差用来表示分布的散步大小，用Var（X）表示，方差大意味着分布的散步程度较大，也即分 布较分散；方差小意味着分布的散步程度小，也即分布较集中。方差的计算公式为：
[xi －E（X）] pi Var (X) =
a
2
若X是离散分布
(5，1） （5，2） （5，3） （5，4 （5，5） （5，6）
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4）（ 6，5）（6，6）
设X表示“掷两颗骰子，6点出现的次数”，它的分布为：
X
P
0
25/36
1
10/36
2
1/36
12
（二）连续随机变量的分布
连续性随机变量X的分布可用概率密度函数p(x)表示，也可记作f(x)。下面以产品质量特性x （如机械加工轴的直径）为例来说明p（x）的由来。 假定我们一个接一个地测量产品的某个质量特性值X，把测量得到的x值一个接一个地放在 数轴上。当累计到很多x值时，就形成一定的图形，为了使这个图形稳定，把纵轴改为单位长 度上的频率，由于频率的稳定性，随着被测量质量特性值x的数量愈多，这个图形就愈稳定， 其外形显现出一条光滑曲线。这条曲线就是概率密度曲线，相应的函数表达式f（x）称为概率
还是大大低于0.5？
解：从图上的50分处引一条垂线，则及格概率是： P（X ≥50）＝ 从50到100之间的面积。 地区（a）的及格概率大大超过0.5。 地区（b）的及格概率大大低于0.5。 地区（c）的及格概率约为0.5.
16
（三）随机变量分布的均值、方差与标准差
随机变量的分布有几个重要的特征数，用来表示分布的集中位置（中心位置）和散步大小。 均值用来表示分布的中心位置，用E（X）表示。对于绝大多数的随机变量，在均值附近出现的 机会较多。计算公式为：
18
[例]某厂生产的三极管，每100支装一盒，记X为一盒中不合格品数，厂方经过多次抽查，根据 近千次抽查记录，用统计方法整理出如下的分布：
X 0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.002
P 0.142 0.278 0.260 0.180 0.090 0.036 0.010 0.002
请计算不合格品数X的均值、方差和标准差。
24
（1）标准正态分布表，它可以用来计算形如“U≤u”的随机事件发生得概率。根据u的值可在
标准正态分布表上查得，例如事件“U≤1.52” 的概率可从附表中查得 P（U ≤ 1.52）＝ Φ（1.52）＝ 0.9357 它表示标准正态随机变量U取值不超过1.52的概率，在数量上恰好为1.52左侧的一块阴影面积。
一个铸件上的缺陷数 一平方米玻璃上气泡的个数 一件产品因擦伤留下的痕迹个数 一页数上的错字个数 从这些例子可以看出，泊松分布总与计点过程相关联，并且计点是在一定时间内、或一定区 域内、或一特定单位内的前提下进行的，若用λ表示某特定单位内的平均点数（ λ＞0），又令 X表示某特定单位内出现的点数，则X取x值的概率为：
6
[例] 1 历史上抛硬币试验中正面出现频率
试验者 德●摩根 蒲丰 皮尔逊 皮儿孙 微尼
抛的次数n 2048 4040 12000 24000 30000
出现正面次数k 1061 2048 6019 12012 14994
正面出现频率k/n 0.5180 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
变量X的取值来表示事件，如“X＝0”表示事件“铸件上无瑕疵”。
2 一台电视机的寿命X是在0到正无穷大区间内取值的连续随机变量，“X＝0”表示事件“一台 电视机在开箱时就发生故障”，“X＞40000”表示“电视机寿命超过40000小时”。
10
2）随机变量的分布
随机变量的取值是随机的，但内在还是有规律的，这个规律可以用分布来描述。分布包括 如下两方面内容： （1）X可能取哪些值，或在哪个区间内取值。 （2）X取这些值的概率各是多少，或X在任一区间上取值的概率是多少？ （一）离散型随机变量
为概率密度曲线，一定位于x轴的上方 （即p（x）≥０），并且与x轴所夹面积恰好为1。而X在
区间（a，b）上取值的概率P（a＜X＜b）为概率密度曲线以下，区间（a，b）上的面积。
15
[例]考试得分是一个随机变量，下面是三个不同地区同一课程考试得分的概率密度函数。得分可 以取0到100分中的任意值，及格是50分，对每一地区，及格率大约是0.5呢？还是大大超过0.5？
23
2. 标准正态分布
μ＝0且σ＝1的正态分布称为标准正态分布，记为N(0,1)。它是特殊的正态分布，服从标准正态
分布的随机变量记为U,它的概率密度函数记为Φ（u），它的图形如图：
实际上很少有一个质量特性（随机变量）的均值恰好为0，方差与标准差恰好为1。但一些质量 特性的不合格品率要通过标准正态分布才能算得。
E(X) = 0 × 0.142 + 1 × 0.278 + 2 × 0.260 + 3 × 0.180 + 4 × 0.090 + 5 × 0.036 + 6 × 0.010 + 7× 0.002 + 8 × 0.002 = 1.968 Var(X) = (0 – 1.968) × 0.142 + (1-1.968) ×0.278 + …. + (8 － 1.968) × 0.002
（三）概率
定义：一个随机事件A发生可能性的大小称为这个事件的概率，用P(A)表示。 概率是一个介于0到1之间的数。概率越大，事件发生的可能性就越大；概率越小，事件发生 的可能性也就越小。特别，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。P(φ)＝ 0, P(Ω)＝1。
5
二、 概率的统计定义 （1）与事件A有关的随机现象是可以大量重复事件的；
U
M P Y W
0.028
0.026 0.022 0.015 0.015
X
J Q Z
0.003
0.001 0.001 0.001
8
3 一批产品共100件，其中5件不合格，现从中随机抽出10件，其中最多有2件不合格品的概率是 多少？ 解：设Ai表示事件“抽出10件中恰好有i件不合格品”，于是所求事件A＝“最多有2件不合格品” 可表示为： A ＝ A0 ∪ A1 ∪A2 P(A)＝ P(A0) ＋ P(A1)＋ P(A2)
P(X) =
n p (1-p) x
1-x
记作b (n, p)
均值：E(X) = np 方差：Var(X) = np(1-p) 标准差：σ(X) = *np(1-p)]
1/2 20
（二）泊松分布 泊松分布可用来描述以下随机变量： 在一定时间内，电话总站接错电话的次数
在一定时间内，其操作系统发生的故障数
（2）若在n次重复试验中，事件A发生kn次，则事件A发生的频率为：
fn(A)= kn/n＝事件A发生的次数/重复试验的次数
频率fn(A)能反应事件A发生的可能性大小。
（3）频率fn(A)将会随着试验次数不断增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件A的概率。
在实际中人们无法把一个试验无限次重复下去，只能用重复试验次数n较大时的频率去 近似概率。
密度函数，它就是一种表示质量特性X随机取值内在统计规律性的函数。
13
概率密度函数p（x）有多种形式，有的位置不同，有的散布不同，有的形状不同。这些不同 的分布形式反应了质量特性总体上的差别，这种差别正是管理者应特别关注之处。
14
这里应强调的是：图上的纵轴原是“单位长度上的频率”，由于频率的稳定性，可用概率 代替频率，从而纵轴就成为“单位长度的概率”，这是概率密度的概念，故最后形成的曲线称
95！
P(A0)＝ ＝ ×
10!×95!
=0.5837
10!×85!
P(A1)＝ 0.3394
100！
P(A2)＝ 0.0702
P(A)＝ 0.9933
9
第二节 随机变量及其分布
一、随机变量
定义：表示随机现象的结果的变量称为随机变量。
常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，他们的取值用相应的小写字母x，y，z表示。 假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点，则称此随机变量为离散型随机变量。 假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上的一个区间（a，b），则称此变量为连续型 随机变量。 [例] 1 设X是一只铸件上的瑕疵数，则X是一个离散随机变量，它可以取0，1，2，….等值。可用随机
∫b
σ ＝ σ（X） ＝ [Var(X)]
[x- E（X）] p(x)dx
2
若X是连续分布
方差的量纲是X的量纲的平方，为使表示分布散步大小的量纲与X的量纲相同，常对方差开平方， 记它的平方根为σ，并称它为X的标准差：
1/2
由于σ与X的量纲相同，在实际使用中更常使用标准差σ来表示分布散步大小，但它的计算通常 是要通过现计算方差，然后开方获得。
P(X = x) =
λx
x!
e x-λ 0,1,2, , =
… 记作P（ λ）
1/2
21
E(X) = λ , Var(X) = λ, σ(X) = λ
（三）正态分布
正态分布是在质量管理中最重要也是最常使用的分布，它能描述很多质量特性X随机取值的统 计规律性。 1、正态分布的概率密度函数：
它的图形是对称的钟形曲线，称为正态曲线。
正态分布含有两个参数μ与σ，常记作N( μ， σ ）。其中μ为正态分布的均值，它是正态分布的 中心，质量特性X在μ附近取值的机会最大。 σ 2 是正态分布的方差， σ＞0是正态分布的标准差， σ越大，分布越分散； σ越小，分布越集中。
2
22
固定标准差σ时，不同的均值，如μ1＜ μ２，对应的正态分布曲线完全相同，仅位置不同。 固定均值μ时，不同的标准差，如σ 1＜ σ ２，对应的正态曲线的位置相同，但形状（高低与胖 瘦）不同。
7
2 英语字母出现的频率 字母 E T O A 频率 0.130 0.090 0.081 0.078 字母 D L C F 频率 0.044 0.036 0.029 0.028 字母 G B V K 频率 0.014 0.013 0.010 0.004
N
I R S H
0.073
0.068 0.067 0.065 0.058
（4）一顾客在超市排队等候付款的时间
（5）一台电视机从开始使用道发生第一次故障的时间
3
认识一个随机现象首要的罗列出它的一切发生的基本结果。这里的基本结果称为样本点， 随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为Ω。 “抛一枚硬币”的样本空间 Ω＝{正面，反面} ； “掷一颗骰子”的样本空间 Ω＝{1，2，3，4，5，6}； “一天内进入某超市的顾客数”的样本空间 Ω＝{n：n ≥０}
“一顾客在超市排队等候付款的时间” 的样本空间 Ω＝{t：t≥０}
“一台电视机从开始使用道发生第一次故障的时间”的样本空间 Ω＝{t：t≥０}
4
（二）随机事件 定义：随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称时间，常用大写字母A、B、C等
表示。
[例子]掷一个骰子时，“出现奇数点”是一个事件，它由1点、3点和5点共三个样本点组成，若 记这个事件为A，则有A＝ { 1，3，5}。
X P
x1 p1
x2 p2
… …
xn pn
11
[例]掷两颗骰子，其样本空间为：
（1，1） （1，2） （1，3)
(1，4) (1，5)
(1，6)
（2，1） （2，2） （2，3)
Ω＝
(2，4) (2，5)
wenku.baidu.com
(2，6)
(3，1） （3，2） （3，3） （3，4 （3，5） （3，6） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4 （4，5） （4，6）
概率统计基础知识
目录
第一节 概率基础知识 第二节 随机变量及其分布 第三节 统计基础知识 第四节 参数估计
第五节 假设检验
第六节 抽样样本量
2
第一节 概率基础知识
一、事件与概率
（一）随机现象
在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。 特点：随机现象的结果至少有两个； 至于那一个出现，事先并不知道。 [例子]：（1）抛硬币 （2）掷骰子 （3）一天内进入某超市的顾客数
2 2 2
= 1.91
σ(X) = 1.91
1/2
= 1.41
19
四 常用分布
（一）常用的离散分布
1、二项分布 二项分布可用来描述由n次随机试验组成的随机现象，它满足如下条件： 重复进行n次随机试验 n次试验相互独立，即一次试验结果不对其它试验结果产生影响
每次试验结果仅有两个可能结果
每次试验成功的概率为p，失败的概率为1－p 概率函数为：