概率论与数理统计复习资料要点总结

《概率论与数理统计》复习资料

一、复习提纲

注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。

1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义

2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义

3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式

4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。

5、理解随机变量的概念，了解(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。

6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。

7、掌握指数分布(参数 )、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算

8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。

9、会求分布中的待定参数。

10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、

条件密度函数，会判别随机变量的独立性。

11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。

12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。

13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。

14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。

15、较熟练地求协方差与相关系数.

16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。

17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。

18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握 2分布(及性质)、t分布、F 分布及其分位点概念。

19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。

20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。

21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均值与方差的置信区间。

二、各章知识要点 第一章 随机事件与概率

1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃

（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃ （3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃

3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP

（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===n

k k n

k k A P A P 1

1

)()( （n 可以取

∞）

（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=

（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，

)()(B P A P ≤

（7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃

（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率

（1） 定义：若0)(>B P ，则)

()

()|(B P AB P B A P =

（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==n

i i i B A P B P A P 1)|()()(

（4） B ayes 公式： ∑==

n

i i

i

k k k B A P B P B A P B P A B P 1

)

|()()

|()()|(

7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）

第二章 随机变量与概率分布 1．

离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）

0≥i p ，（2）∑i

i p =1

（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈D

x i i

i p

D X P :)(

2．

连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）

1)( ,0)(-=≥⎰

+∞∞

dx x f x f ；

（2）⎰=≤≤b

a dx x f

b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P 3．

几个常用随机变量

4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质

（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=

x x i i

i p

x F :)(；

（6）对连续随机变量，⎰∞-=x

dt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F = 5．

正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函

数，则有

（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则

)(

)(σ

μ

-Φ=x x F ；

（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则

)(1)(αααu u X P Φ-==>

6． 随机变量的函数 )(X g Y =

（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；

（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。