§3二重积分的变量代换

§3 二重积分的变量代换

也有一种情形，函数f 在D 上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。 例：2

2()

x

y D

I e dxdy -+=

⎰⎰，D={}222(,)|x y x y a +≤

分析：∵f(x,y)=22()

x y e -+在D 上几乎处处连续，有界函数{}

222(,)|x y x y a +≤=∂D 是零测度集，∴f ∈R

（D ）

22

2222

()

a

a x x y a

a x

I dx e dy --+---=⎰⎰

=22

2

2

22

a

a x x y a

a x

e

dx e dy ------⎰⎰

or 22

2222

()

a

a x x y a

a x I dy e

dx --+---=

⎰

⎰

=22

2

2

22

a

a x y x a

a x e

dy e dx ------⎰⎰

计算不出来！f ∈R （D ），但化为二次积分后算不出来。说明我们的计算方法有问题。因此，我们有必要寻找

更有效的计算二重积分的方法。联想到定积分的计算方法，换元法、分部积分法、N-L 公式等，特别是换元法，是一种化难为易的有效方法。在二重积分中能否利用这种化难为易的思想呢？是可以的。这就是我们今天给大家要讲解的，二重积分的变量代换，利用这种方法，就可以解决上面的计算问题。在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用。对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分区域或被积函数。

1． 极坐标交换

先介绍极坐标变换：cos ,sin x r y r θθ== (0,02)r θπ≤<+∞≤≤。

设D 是2

R 中的有界闭区域，且D ∂是2

R 中的零测度集；再设f 在D 上几乎处处连续的有界函数，根据上节内容可知：f ∈R （D ）∴

(,)D

f x y dxdy ⎰⎰有意义的；它的值不因对区域D 的分割方式不同而变化。

在直角坐标系中，我们是以平行于x 轴和y 轴的两族直线来分划区域D 为一系列小矩形的，在极坐标系中，若用极坐标网分割，即用r=常数的一族同心圆以及θ=常数的一族过极点的射线来分划D （如左图示），得出若干个小块ij σ，这时小块的面积若极为ij σ∆，（,i j i j x y σ∈）则Rieman 和为 1

1

(,)n m

i

j

ij

i j f x y σ

==∆∑∑ ，

注意到

ij σ∆=221[()]2j j i j i r r r θθ+∆∆-∆=1(2)2j j j i r r r θ+∆∆∆=21

2

j j i j i r r r θθ∆∆+∆∆

易见,当i θ∆，j r ∆充分小时，ij σ可近似地看成一个矩形，边长分割为：j r ∆和j i r θ∆，即 ij σ∆≈j j i r r θ∆∆，若有Rieman 和

1

1

(,)n m

i

j

ij

i j f x y σ

==∆∑∑中以 j j i r r θ∆∆代替ij σ，并按极坐标交换：cos ,sin x r y r θθ==

c o s

,s i n i j i

j

j i x r y r θθ==，1

1(,)n

m

i

j

ij

i j f x y σ

==∆∑∑≈

1

1

(cos ,sin )n

m

j

i

j

i

j

j

i

i j f r r r r θθθ==∆∆∑∑。当分割的精度→

0是，由上面分析知：

1

1

(,)n

m

i

j

ij

i j f x y σ

==∆∑∑→

(,)D

f x y dxdy ⎰⎰。

记

(,)||,max ij

ij x y d x y σ∈=- 0,0{}max ij

i n j m

d d ≤≤≤≤=

，0

11lim (,)n m i

j

ij

d i j f x y σ→==∆∑∑=11

(cos ,sin )n m

j i j i j j i

i j f r r r r θθθ==∆∆∑∑

即

(,)D

f x y dxdy ⎰⎰='

(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ⎰⎰ 直角坐标下的二重积分化为极坐标系下的二重积分的公式）

在x=cos r θ,y=sin r θ 交换下，调和函数(,)(cos ,sin )f x y f r r θθ→，dxdy rdrd θ→， 区域'

D D →

[说明]：①注意，

D

f ⎰⎰虽经极坐标交换，但又变成极坐标系下二重积分，这是如何计算极坐标系下二重

积分，在极坐标下，二重积分一样可以化为二次积分来计算，下面分情况讨论之：

情形1 若'

D ={}1212(,)|()(),r r r r θθθθθθ≤≤≤≤， 1

()r θ，2()r θ为[1θ，2θ]上的连续函数，则称之为θ型区域（如左图）。这时，类似于上节的x-y-型区域的取法，可将之化为下面形式：

'

(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ⎰⎰

=221

1()

()

(cos ,sin )r r d f r r rdr θθθθθθθ⎰⎰

情形2 若'

D ={}1212(,)|()(),r r r r r r θθθθ≤≤≤≤，其中1

()r θ，2()r θ∈C[1r ，2r ] （r-型区域），此时有

'

(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ⎰⎰

=221

1()

()

(cos ,sin )r r r r dr f r r rd θθθθθ⎰⎰

情形3 若极点O 是积分区域的内点，则交换后的区域为：'

D ={}(,)|0(),02r r r θθθπ≤≤≤≤ 此处r =()r θ是'

D 的边界曲线，

'

(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ⎰⎰

=2()

(cos ,sin )r d f r r rdr πθθθθ⎰⎰

情形4 若积分区域的边界曲线r =()r θ通过极点O 时，应先求出极径，继使()r θ=0的两个角度1θ，

2θ，此时有：'

(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ⎰⎰=2

1

()

(cos ,sin )r d f r r rdr θθθθθθ⎰⎰

②何时使用极坐标变换？当积分区域是圆域或是圆域的部分或被积函数的形式为2

2

()f x y +时，采用极坐标交换来计算往往简便得多。 例1 22()

x y D

I e

dxdy -+=

⎰⎰，D={}

222(,)|x y x y a +≤

例2

221D

dxdy

I x y =--⎰⎰

，D 为圆域

2214x y +≤

例3求球面2222

x y z R ++=被圆柱面

22

x y +=Rx 所割下的立体（成为维维安尼（Viviani ）体）的

体积。