2013年全国初中数学联赛四川省(初二组)初赛试卷及其解析

2013年全国初中数学联赛（初二组）初赛试卷及其解析

（考试时间：2013年3月8日下午4:00—6:00）

一、选择题（本大题满分42分，每小题7分） 1、0

3(1)π---的值是（ ）

A 、4

B 、5

C 、8

D 、9

解析：此题利用算术平方根、绝对值、非零数的零次幂的意义，即可解答。答案为A 2、若2(2)()2x x a x bx -+=+-，则a b +=（ ）

A 、-1

B 、0

C 、1

D 、2

解析：利用多项式相等，原等式化为22(2)22x a x a x bx +--=+-，∴22a -=-，2a b -= 求得1,1a b ==-，故0a b +=，答案为B

3、如图已知在△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，且O M ∥AB ，ON ∥AC ，若CB=6，则△OMN 的周长是（ ）

A 、3

B 、6

C 、9

D 、12

解析：利用角平分线性质、平行线性质，可证得BM=OM,CN=ON ，由图易得△OMN 的周长就等于BC 的长，故答案为B.

4、不等式组1

121

23

32x x x x ⎧+≥+⎪⎨⎪<+⎩

的解是（ ） A 、61x -<≤ B 、61x -<< C 、61x -≤< D 、61x -≤≤ 解析：解不等式组的问题，答案为C

5、非负整数,x y 满足2

2

16x y -=，则y 的全部可取值之和是（ ）

A 、9

B 、5

C 、4

D 、3

解析：由22

16x y -=，,x y 为非负整数，可知()()16x

y x y +-=，且x y >，而16可分解为整

数相乘的有1×16、2×8、4×4，于是便有16

84124

x y x y x y x y x y x y +=+=+=⎧⎧⎧⎨

⎨⎨-=-=-=⎩⎩⎩或或，可求得符合条件

的只有54

3,0x x y y ==⎧⎧⎨⎨

==⎩⎩

，答案为D 6、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，M 点为CD 边上的中点，若M 点是A 点关于线段EF 的对称点，则

A E E D

=( )

A 、

53

B 、

35

C 、2

D 、

12

解析：连结EM ，可知由题EF 垂直平分AM ，所以AE=EM ，AE+ED=4，所以EM=4-ED ，，易知DM=2，在R t △EDM 中，由勾股定理有2

2

2

ED DM

EM +=,所以2222(4)ED ED +=-，

解之，32

E D =，故AE=

52

，∴

5

5

2332

AE

ED ==，答案为A 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 1

30y +=，则22

x y +=

2x =，再由非负数和为0可求3y =-，∴22x y +=13

2

3=，则2

31

x x x ++=

解析：由已知可知0x ≠

13=两边平方，可得17x x

+

=，

∴2

11

1131

73

10

3x x x x x

=

=

=+++++

3、设23234536

x y z x y z ++=⎧⎨

++=⎩，则32x y z -+=

解析： 将2323(1)

4536(2)x y z x y z ++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎨++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩

中（1）×2—（2），就得32x y z -+=10

4、如图，在△ABC 中，AC=BC ，且∠ACB=90°，点D 是AC 上一点，AE ⊥BD,交BD 的延长线于点E,且12

A E

B D =

，则∠ABD=

解析：延长AE 、BC 交于点F,

∵∠ACB=∠AEB=90°, ∠ADE=∠BDC ， ∴∠FAC=∠DBC ， 在△AFC 和△BDC 中

F A C

D B C C B 90A C B C D F C A ∠=∠⎧⎪

=

⎨⎪∠=∠=︒⎩

∴ △AF C ≌△BDC ， ∴ BD=AF ， 又∵12

A E

B D =

∴12A E A F =

∴ E 是AF 的中点， ∵AE ⊥BD ∴ BE 是AF 的垂直平分线，

∴ BE 平分∠ABC ，即∠ABD=

1A B C 2

∠

∵ AC=BC ，且∠ACB=90° ∴∠ABC=45° ∴ ∠ABD=

1A B C 2

∠=22.5°

三、（本大题满分20分） 先化简后，再求值：2

2

214()244

2

a a a a a

a a a ----

÷

++++，

其中1a =.

解：2

2

214()244

2

a a a a a

a a a ----

÷

++++

2

2

2

2

2

212(

)(2)

(2)4

42(2)4

42(2)

4

1(2)

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --+=-

⨯++---++=⨯

+--+=⨯

+-=

+

当

1a =

原式

1=

=

四、（本大题满分25分） 如图，已知直角梯形OABC 的A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，OC=6，OA=OB=10，P Q ∥AB 交AC 于D 点，且∠ODQ=90°，求D 点的坐标.

解：连结OB ，延长OD 交AB 于点E

∵A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，OC=6，OA=10 ∴ C （0,6） A （10，0） 设AC 直线的解析式为16y kx =+ ∴ 1060k +=

35

k =- 1365

y x =-

+

∵ OB=10 B C ∥OA 令(,6)B b (0)b > 由两点距离公式，

10= ∴ 8b = ∴ (8,6)B

∵ P Q ∥AB,∠ODQ=90° ∴ O E A B ⊥

又 ∵ OA=OB ∴ E 是AB 的中点，

由中点坐标公式 得 (9,3)

E