数学分析中的典型问题和方法第一章课后习题答案裴礼文

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数学分析中的典型问题和方法第一章课后习题答案裴礼文

裴礼文第一章习题解答1.1.1 求复合函数表达式:(1) 已知,,求;(南京邮电大学等)(2) 设,试证明,并求(华中理工大学)1.1.2 是否存在这样的函数,它在区间上每点取有限值,在此区间的任何点的任意邻域内无界. (上海师范大学)1.1.3 试说明能有无穷多个函数,其中每个函数皆使为上的恒等函数.1.1.4 设为上的奇函数,,,.1)试用表达和;2)为何值时,是以为周期的周期函数. (清华大学)1.1.5 设(即的小数部分),,说明这时为何不是周期函数.类似地也如此.从而周期函数的和与差未必是周期函数.1.1.6设是上的实函数, 的图像以直线和直线分别作为其对称轴, 试证必是周期函数, 且周期为.1.1.7 设是上的奇函数, 并且以直线作为对称轴,试证必为周期函数并求其周期.1.1.8 设是上以为周期的周期函数, 且在上严格单调, 试证不可能是周期函数1.1.9 证明确界的关系式:1) 叙述数集的上确界定义, 并证明: 对于任意有界数列,总有(北京科技大学)2) 设是两个由非负数组成的任意数集, 试证1.1.10 试证:若,则必达到下确界(即使得). (武汉大学)1.1.11 设是上的实函数, 且在上不恒等于零，但有界，试证:、1.1.12 设是闭区间上的增函数，如果,试证，使得(山东大学)1.1.13 设在, 试证，使得. (福建师范大学)1.2.11) 已知, 求证:(武汉大学, 哈尔滨工业大学)2) 用语言证明(清华大学)1.2.2 用方法证明:1)2)3)1.2.3 设, 试用方法证明：若, 则1.2.4 设,试证收敛.1.2.5 为一数列.试证: 若(为有限数)则(首都师范大学)1.2.6 设且时有.已知中存在子序列.试证(武汉大学)1.2.7 设, 求证发散.1.2.8 判断题:设是一个数列, 若在任一子序列中均存在收敛子列则必为收敛数列. (北京大学)1.2.9 设为单调递增数列，为其一子列，若,试证(华中师范大学)1.2.10 设是一个无界数列,但非无穷大量,证明: 存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛子列. (哈尔滨工业大学)1.2.11 设函数在0的某个邻域有定义，;且当时，, ,时,对于一切, 有;另设.试证当右端极限存在时成立1.2.12 证明.并求1.3.1 求极限(北京航空航天大学,中国科技大学)1.3.2 证明公式:1.3.3 求1.3.4 求1.3.51.3.6 求(华中师范大学)1.3.7 求(湖北大学)1.3.8 设在上连续,求1.3.9 设极限存在,试求1)2)1.3.10 设,求(陕西师范大学)1.3.11 求.(内蒙古大学)1.3.12 .(中国科学院)1.3.13 计算(中国科学院)1.3.14 若求.(上海工业大学)1.3.15 求华中师范大学)1.3.16 证明: 当时,1.3.17 求(浙江大学)1.3.18 ,求(国防科技大学)1.3.19 求(华中师范大学)1.3.20 求(武汉大学)1.3.21 设是上的可微函数,,试证1.3.22 设是上的可微函数,,试证1.3.23 ,试证:1)2) (南开大学)1.3.24 对, ,,令试先证明:然后求解1.4.1 求,其中1) 设2) 设1.4.2 求(华中师范大学)1.4.3 已知数列满足条件证明:(四川大学, 国防科技大学)1.4.4 设.1) 若为有限数, 证明2) 若为, 证明: (南京大学)1.4.5 证明:若数列收敛于,且,,则(东北师范大学)1.4.6 已知存在,为单调增加的正数列,且,求证:(北京师范大学)1.4.7 若且,试证:1.4.8 求极限1)2)1.5.1 已知试证:存在并求其值.(中国科技大学,北京大学,哈尔滨工业大学,北京邮电大学等)1.5.2 设,证明:收敛,并求.(哈尔滨工业大学,华中理工大学等)1.5.3 设,证明:收敛并求其极限.(武汉大学,华中师范大学)1.5.4 设证明收敛并求其极限(华东师范大学)1.5.5 设,试证收敛,并求其极限.(华中理工大学,厦门大学,工程兵学院)1.5.6 求证:1.5.7 证明:1)存在唯一的使得;2)任给定则有(中国人民大学)1.5.8 证明数列.收敛.(北京师范大学)1.5.9 设,求. (武汉大学)1.5.10 设,数列由如下递推公式定义:求(浙江大学)1.5.11 设如果数列收敛,计算其极限,并证明数列收敛于上述极限.（武汉大学）1.5.12 设,其中:,试证:存在且为克普勒方程的唯一根.1.5.13 设(),试证:收敛.1.5.14 设是二正数,令.试证:和均收敛且极限相等. (大连理工大学)1.5.15 设和是任意两个整数,并且,还设求证: 和均收敛且极限相等.(中国科学院,安徽大学）1.5.16 讨论由所定义的数列的收敛性(南京大学)1.5.17 设中数列满足其中,证明:当有界时,有界. (清华大学)1.5.18 设,求极限.1.5.19 则1)(中国科学院)1.5.20 设连续函数在上是正的,单调递减的,且.证明:数列收敛(清华大学)1.5.21 已知证明:及存在且相等,并求出该极限. (内蒙古大学)1.5.22证明:数列的极限存在,并求其极限. (国外赛题)1.5.23 设是如此数列:证明收敛并求其极限. (国外赛题)1.5.24 设,求1.5.25 设证明1.5.26 设试计算:(国外赛题)1.5.27 收敛,数列()由下式确定:证明是递增的收敛数列(福建师范大学)1.6与1.7 习题机动跳过1.8.1 设函数在有限区间上有定义,满足,存在的某个开邻域,使得在上有界.(1).证明:当时,在上有界;(2).当时,在上一定有界吗? (厦门大学)1.8.2 设在上有定义且在每一点处函数的极限存在,求证:在上有界. (哈尔滨工业大学)1.8.3 设在内有定义,当时,有1.8.4 用有限覆盖定理证明:任何有界数列必有收敛子列.(西北大学)1.8.5 试用区间套定理重新证明练习1.1.13:“上,”(福建师范大学)。

裴礼文网用勘误表

数学分析中的典型问题与方法《勘误表》(1) 原书第4页的例1.1.5有错, 2011年6月21日, 作者将此题更改写为: 例1.1.5 试证: 设 y = f(x) 是R 上的有界实函数. 且有 2f(x)2h)f(x h)f(x ++=+ (∀x R ∈). (1)(其中h 为某一正数). 则h 必是函数f 的周期. 证根据式 (1), 有f (x + 2h ) – f (x + h ) = f (x + h ) – f (x ) (∀x R ∈). 令 F (x) = f (x + h ) – f (x ) . 上式即为 F (x + h ) = F (x ) (∀x R ∈).于是 f (x + n h ) = [ f (x + n h ) – f (x + (n - 1)h )] + [ f (x + (n – 1)h ) – f (x + (n - 2)h ) +…+ [f (x + h ) - f (x )] + f (x ) =∑=+1-n k ))(F 0kh x + f (x ) = n F (x ) + f (x ).若 F (x )≠0 , 当n +∞→时, nF (x ) 趋向无穷大, 与函数f 有界矛盾. 所以F (x )= 0. 即 f (x + h ) = f (x ). (∀x R ∈). 故h 是函数f 的周期.注意1. 对于任意给定的实数h , 若h 是函数f 的周期, 则条件 (1) 显然成立. 因此本例说明: 存在实数h 满足条件 (1), 是有界函数f 为周期函数的充分必要条件. 2. “有界”条件不可忽略, 例如f (x ) = x , 不是周期函数, 但是式 (1) 总成立.特别要道歉的是，更正中又出现了重大遗漏将2f(x)2h)f(x h)f(x ++=+写成了 2f(x)2h)f(x f(x)++=，虽然从证明里可以看出，但是题目写错，是有罪的。

关于导数问题的若干讨论

ｘｌ—ｘ２
１垫！二！！生！！曲．！！垄！二！！生！坠垫
ｘｔ—ｘＤ
抽一№
龟一如
均一迎
＝Ｆ（ｍｘ０）糕＋Ｆ（砬，ｘ０）鬻
根据条件知，ＨｍＦ（ｘ，ｘｏ）：ｂ。！盟二！堕
。＋～
ｒ．～Ｘ—ｘ０
＝ｆ（却），从而ｌｉｍＦ（№，峙）＝ｌｉｍＦ（血，如）＝ｆ（岛），
、呻ｉ
、一‘
注意到她ｘ２－ｘｌ＋冀乩毗
Ｆ（轧龟）一ｒ（岛）ｌ≤ＩＦ（ｑ，昂）一ｒ（均）Ｊ蠢Ⅲ
记Ｆ（：，ｙ）：地幽．设函数ｆ（ｘ）在数集Ｅ上有定义，任取ｘ，ｙ∈Ｅ，且ｘ＃ｙＸ—Ｖ１导数的各种定义定义１‰引：设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在（如一岛，而］上有定义
定义Ｄ—ｆ（两）＝虹Ｆ（ｘ，ｘＤ），
Ｄ—ｆ（Ｘｏ）＝ｔｉｍＦ（ｘ，ｘｏ），分别称Ｄ—ｆ（№）、Ｄ—ｆ（Ｘｏ）为函
Ｐｉ
数Ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘｎ处的左下导数左上导数或左下微分系数、左上微分系数．
定理１２（引：设函数ｆ（ｘ）在闭问区［ａ，ｂ］上可导，则ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ】上连续的充要条件是ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上一致可微．即：ＶＥ＞０，｜８＞０，当０＜ｈ＜８时，Ｖｘ∈［８．
ｂ］，有：Ｉ也掣—鱼一ｆ（。）｛ｃ。．
定理１３【ｌ】：设函数ｆ（ｘ）在点Ｘｏ的某邻域Ｕ（Ｘｏ）内连续，在空心邻域Ｉ】０（而）内可导，且极限Ｅｍｒ（ｘ）＝Ａ＇则ｆ
导，此极限值称为函数Ｙ＝ｆ（ｘ）在轴的左导数或左微分系数，记为ｆ／（确）．
定义５ｎ’４１：设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在［ｘ。，ｘｏ÷葡］上有定义，若极限ｌｉｍＦ（ｘ，№）存在，则称函数Ｙ＝ｆ（ｘ）在№处右可
ｒ＋寸
导，此极限值称为函数ｙ＝ｆ（ｘ）在硒的右导数或右微分系数，记为《（南）．
定义６”“１：设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在Ｘｏ的某邻域有定义，若极限ｌｉＩｎＦ（ｘ，两）存在，则称函数Ｙ＝ｆ（ｘ）在知处可导或可

导数在求极限中的应用

引言极限是研究变量的变化趋势的基本工具。

在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分和无穷级数等都是建立在极限的基本之上的。

极限的思想和方法产生某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用。

因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型条件下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练和灵活的掌握各种技巧的应用。

本文主要介绍了导数在求极限中的基本应用，包括导数定义法，L ’Hospital 法则，Taylor 展式法及微分中值定理在求极限中的应用。

旨在让大家掌握各种导数方法适用的函数类型，要注意的事项及它的一些推广结论。

达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题以使问题简单化的目的。

第1章导数在求极限中的基本应用1.1导数定义法这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是函数满足导数定义的形式且能够确定的变化趋向的极限易求出时，可以用此法比较方便的求出极限.定义若函数()y f x =在其定义域中的一点0x 处极限存在，则称在0x 处可导，称此极限值为()f x 在0x 处的导数，记为0()f x '.显然，()f x 在0x 处的导数还有如下的等价定义形式：000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-.下面通过两个例子让大家逐步领悟导数定义法的内涵例1求极限tan sin 0limsin b x b xx xαα+-→-.解由于tan sin tan sin tan sin tan sin sin b x b xb x b b b xx xxxxαααααα+-+----=+.所以，tan sin tan sin 0tan limlimlimsin tan sin sin b x b xb x b b b xx x x xxxxxαααααα+-+-→→→---=+ln ln 2ln b b b αααααα=+=.例2(本题选自《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第二版.)设(0)f k '=，试证00()()lim a b f b f a k b a-+→→-=-.证明（希望把极限式写成导数定义中的形式）（拟合法思想：把要证的极限值k 写成与此式相似的形式）两式相减，可得因0a -→，0b +→，所以有0b a >>，1a bb a b a<--又因(0)f k '=，故当0a -→，0b +→时右端极限为零，原极限获证.1.2L ’Hospital 法则本节主要总结了L ’Hospital 法则在求未定式极限中的应用，需要注意的问题，并深入分析了使用L ’Hospital 法则时实质是对无穷小或无穷大进行降阶.另外还指出L ’Hospital 法则与其他极限方法如无穷小的替换的结合.1. L ’Hospital 法则L ’Hospital 法则作为Cauchy 中值定理的重要应用，在计算未定式极限中扮演了十分重要的角色，这是因为对于未定式极限来讲极限是否存在，等于多少是不能用极限的四则运算法则解得的，而通过对分子分母求导再求极限能够很有效的计算出未定式的极限. 关于未定式：在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母都趋于零或都趋于无穷大的情况，由于这是无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很大的困难.事实上，这是极限可能存在也可能不存在.当极限存在时极限值也会有各种各样的可能.我们称这种类型的极限为0未定型或∞∞未定型.事实上，未定型除以上两种类型外还有0⋅∞，∞-∞，1∞，00，0∞等类型. L ’Hospital 法则：定理[]4若函数f 和g 满足:①0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；②在点0x 的某空心邻域00()U x 内可导，且()0g x '≠； ③0()lim()x x f x A g x →'='(A 可为有限数或∞)；则00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 注：以上结论在0x x ±→，或是x →∞（包括+∞和-∞）时也是成立的.2. L ’Hospital 法则的应用a) L ’Hospital 法则能处理的基本未定型极限是00型或∞∞型例1求lim n x x x e λ→∞（n 为正整数，0λ>）.（∞∞型）解连续使用L ’Hospital 法则n 次122(1)!lim lim lim lim 0n n n x x xn x x x x x x nx n n x n e e e e λλλλλλλ--→∞→∞→∞→∞-===⋅⋅⋅==. 从以上例中可看出L ’Hospital 法则的实质是对无穷小或无穷大进行降阶. 下面再看两个L ’Hospital 法则在解含有变限积分问题中的应用.例2求03(1cos )limxx t dt x→-⎰.分析：因为0(1cos )x t dt -⎰可导从而连续，所以此问题属于0型，可用L ’Hospital 法则求解.解032(1cos )(1cos )limlim03xx x t dt t dt x x →→--==⎰⎰.例3求极限110()lim x x f t x dt t αα++→⎰，其中0α>，()f x 为闭区间[]0,1上的连续函数. 解111100()()lim lim 1x x x x f t dt f t t x dt t x αααα++++→→=⎰⎰因0x →时，1x α单调递减趋于+∞，使用L ’Hospital 法则，则111110001()()()()(0)lim lim lim lim 11xxx x x x f t f x dt f t f x f t x x dt tx xααααααααα+++++++→→→→+-====-⎰⎰. （2）在使用L ’Hospital 法则时，必须验证条件是否满足①所求的极限是否未定型极限；②求完导数后极限是否存在.其中第二条容易忽略.例4设()f x 为可导函数，(0)(0)1f f '==，求极限0(sin )1limsin x f x x→-.解0(sin )1limsin x f x x →-00cos (sin )lim lim (sin )(0)1cos x x x f x f x f x→→'⋅''====. （此题不能用L ’Hospital 法则求解，错误出在题目中没有给出在处连续的条件，所以不知道的极限是否存在，即不满足条件②，题目中只是说在处可导，而定理中要求在的某个邻域中可导）当求导后的极限不存在时，原极限仍可能有极限，所以求导后极限不存在只能说明此时L ’Hospital 法则失效，不能说原式无极限.（3）对于其他未定型或极限0⋅∞、∞-∞、1∞、00、0∞等类型，可分别通过做商、通分、取对数转化成00型或∞∞型的极限，再使用L ’Hospital 法则.例5求极限1lim(1)tan2x x x π→-.解2111121122lim(1)tanlimlimlim sin 22cotcsc222x x x x xx x x x xπππππππ→→→→---====-.注：这是将0⋅∞型转化成了00型，如果选择不当把它化成∞∞型，则解题过程将会比较复杂.转化时一般规律是选择求导后式子简单的那种类型.例6求极限01limcot x x x→-.解将它改写成1cos sin cot sin x x x x x x x--=就化成了∞∞型，于是有01limcot x x x →-2000cos sin sin cos sin cos lim lim lim 0sin 2x x x x x x x x x x x xx x x x→→→---====. “1∞、00、0∞”可以通过如下转化化成型或型：例7 求极限2lim (arctan )x x x π→+∞.（1∞型）解因为2lim ln(arctan )2lim (arctan )x x x xx x eππ→+∞→+∞=而2lnarctan 2lim ln(arctan )lim1x x x x x xππ→+∞→+∞=所以22lim ln(arctan )2lim (arctan )x x x xx x eeπππ→+∞-→+∞==.例8 求极限1ln 0lim(cot )xx x +→.（0∞型）解因为当0x +→时tan x x :，所以0ln 111lim 1ln ln ln ln 00011lim (cot )lim ()lim ()tan x xxxx xx x x x e e x x+→+++--→→→====.（4）利用L ’Hospital 法则求数列极限——Stolz 公式Stolz 公式可以说是数列的L ’Hospital 法则，它对求数列的极限很有用. 定理1[4]（∞∞型的Stolz 公式）设{}n x 严格递增（即n N ∀∈有1n n x x +<）且lim n n x →∞=+∞，若①11limn n n n n y y a x x -→∞--=-（有限数），则lim n n nya x →∞=；②a 为+∞或-∞，结论仍然成立.定理2[4]（0型的Stolz 公式）设n →∞时0n y →，{}n x 严格单调下降趋于零，若11limn n n n n y y a x x -→∞--=-，则limnn ny a x →∞=（其中a 为有限数，+∞或-∞）. 例9 求极限limln n n n →∞.解由于1lim lim 1ln x x x x x→+∞→+∞==+∞，所以limln n nn→∞=+∞. 例10证明1121lim 1p p p p n n n p +→∞++⋅⋅⋅+=+（p 为自然数）.证11112(1)lim lim (1)p p p pp p p n n n n nn n +++→∞→∞++⋅⋅⋅++=+- 1(1)1lim (1)1(1)12p n pp n p p p p n n →∞-+==+++++⋅⋅⋅+. 下面说明Stolz 公式必要时可以重复使用例11 02ln nk nk n CS n ==∑（其中(1)(1)12kn n n n k C k-⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅），求lim n n S →∞.解因2n 单调递增趋于+∞，可应用Stolz 公式（再次使用Stolz 公式）1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1limlim(21)(21)22nn n n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+--.例12 求极限121112122223222lim()()()212121n n n n n ---→∞⋅⋅⋅---.解先取对数，再取极限.令121112122223222lim()()()212121n n n n n n x ---→∞=⋅⋅⋅---应用Stolz 公式故,原式1lim 2n n x →∞==.（5）L ’Hospital 法则与其他方法相结合使用，如与无穷小相结合.例13求极限22201cos lim sin x x x x →-.解422240011cos 12lim lim sin 2x x xx x x x →→-==. 有个别题目在使用L ’Hospital 法则时会出现循环现象，此时不能用L ’Hospital 法则求解，如下面一例.例14求极限lim x xx x x e e e e --→+∞-+.解221lim lim11x x xx x xx x e e e e e e ----→+∞→+∞--==++. 第2章Taylor 展式在求极限问题中的应用本节介绍运用Taylor 公式求解一些较复杂的未定型的函数极限及中值点的极限、无穷远处的极限.定理1[4]（带Peano 余项的Taylor 公式）设()f x 在0x 处有n 阶导数，则存在0x 的一个邻域，对于该邻域中的任一点x ，成立其中余项()()n r x 满足()0()(())n n r x o x x =- 定理2[4]（带Lagrange 余项的Taylor 公式）设()f x 在[],a b 上有n 阶连续导数，且在(,)a b 上有1n +阶导数.设[]0,x a b ∈为一定点，则对于任意[],x a b ∈，成立其中余项()()n r x 满足(1)()10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+，ξ在x 和0x 之间. 注：函数()f x 在0x =处的Taylor 公式又称为函数()f x 的Maclaurin 公式. 几个常用函数的Maclaurin 公式:（为了便于书写，我们写出带Peano 余项的Taylor 公式）①231()2!3!!nxn x x x e x o x n =++++⋅⋅⋅++;②352122sin (1)()3!5!(21)!n nn x x x x x o x n ++=-+-⋅⋅⋅+-++; ③24221cos 1(1)()2!4!(2)!n n n x x x x o x n +=-+-⋅⋅⋅+-+; ④230123(1)()()()()()()n n nx x x x x o x αααααα+=++++⋅⋅⋅++ 其中α为任意实数，(1)(1)()!k k k αααα-⋅⋅⋅-+=，并规定0()1α=；⑤2341ln(1)(1)()234nn n x x x x x x o x n -+=-+-⋅⋅⋅+-+； ⑥3521122arctan (1)()3521n n n x x x x x o x n +-+=-+-⋅⋅⋅+-++. 1.用Taylor 公式巧解未定型极限由于L ’Hospital 法则的实质是对分子分母进行降阶，这意味着当遇到分子分母都是较高阶的情况时，必须多次应用L ’Hospital 法则，遇到分子分母有带根号项时，会越微分形式会越复杂.而用公式则可进一步到位，所以在求解未定型极限时，应该灵活使用公式法解决.从而避免应用法则出现的解题困难. 例1求极限2240cos limx x x e x -→-.解这是个0未定型极限问题，如果使用L ’Hospital 法则，则分子分母需求导四次，但若使用Taylor公式，则44401()112lim 12x x o x x →-+==-. 例2求极限0x →解这也是个0未定型的极限问题，因2441()624x x o x =-+，4224sin ln(1sin )sin (sin )2x x x o x +=-+用324sin [()]6x x x o x =-+代入，即有42245ln(1sin )()6x x x o x +=-+于是240ln(1sin )1)lim x x x→+- 424244405[()]6[()]76624lim 12x x x x x o x o x x →-+--+==-. 2.用Taylor 公式求中值点的极限例3（《本题选自数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第2版.第251页）设（1）()f x 在00(,)x x δδ-+内是n 阶连续可微函数，此处0δ>；（2）当2,3,(1)k n =⋅⋅⋅-时，有()0()0n f x =但是(1)0()0n f x +≠；（3）当0h δ≠<时有000()()(())f x h f x f x h h hθ+-'=+①其中0()1h θ<<证明：lim ()h h θ→∞=证我们要设法从①式中解出()h θ，为此我们将①式左边的0()f x h +及右边的0(())f x h h θ'+在0x 处展开.由条件（2）知12,(0,1)θθ∃∈使得于是①式变成从而()h θ=因12,()(0,1)h θθθ∈，利用()()n f x的连续性，可得lim ()h h θ→∞=注：此题若用L ’Hospital 法则做将不胜其烦.例4设()()()()(),(01)!n n h f x h f x hf x f x h n θθ'+=++⋅⋅⋅++<<，且(1)()0n f x +≠，证明：01lim 1h n θ→=+. 提示：1()(1)1()()()()()()!(1)!n n n n n h h f x h f x hf x f x f x o h n n +++'+=++⋅⋅⋅++++ 从而有()()(1)()()()()1n n n f x h f x h hf x o h h n θθθ++-=++. 证明2()11()()()()()2!!n n f x h f x hf x f x h f x h h n θ'''+=+++⋅⋅⋅++ 另0,h →得到(1)(1)01lim ()()1n n h f x f x n θ++→⋅=+，再由(1)()0n f x +≠，两边消去(1)()n f x +，即得到01lim 1h n θ→=+.3.用Taylor 公式求无穷远处的极限例5（《本题选自数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第2版.第249页）设函数()x ϕ在[)0,+∞上二次连续可微，如果lim ()x x ϕ→+∞存在，且()x ϕ''在[)0,+∞上有界，试证：lim ()0x x ϕ→+∞'=.证明要证明lim ()0x x ϕ→+∞'=，即要证明：0,0ε∀>∃∆>当0∆>时()x ϕε'<利用Taylor 公式，210,()()()()2h x h x x h h ϕϕϕϕξ'''∀>+=++即11()[()()]()2x x h x h h ϕϕϕϕξ'''=+--①记lim ()x A x ϕ→+∞=因ϕ''有界，所以，0M ∃>使得()x M ϕ''≤,（对x a ∀≥）故由①知211()(()())2x x h A A x Mh h ϕϕϕ'≤+-+-+②对0ε∀>，首先可取0h >充分小，使得2122Mh ε<，然后将h 固定，因lim ()x x A ϕ→+∞=，所以0∃∆>，当0x >时，从而由②式，即得()22x εεϕε'<+=.第3章微分中值定理在求极限问题中的应用微分中值定理是Role 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理和Taylor 中值定理的统称。

《数值分析》第一章答案

《数值分析》第⼀章答案习题11．以下各表⽰的近似数，问具有⼏位有效数字？并将它舍⼊成有效数。

（1）*1x ＝451.023， 1x ＝451.01；（2）*2x ＝－0.045 113， 2x ＝－0.045 18；（3）*3x ＝23.421 3， 3x ＝23.460 4；（4）*4x ＝31， 4x ＝0.333 3；（5）*5x ＝23.496， 5x ＝23.494；（6）*6x ＝96×510， 6x ＝96.1×510；（7）*7x ＝0.000 96， 7x ＝0.96×310-；（8）*8x ＝－8 700， 8x ＝－8 700.3。

解：(1) =*1x 451.023 =1x 451.01=-1*1x x 0.01311021-?≤，1x 具有4位有效数字。

→1x 451.0(2) -=*2x 0.045 113 -=2x 0.045 18=-241021x x 0.045 18045113.0-=0.000 06731021-?<2x 具有2位有效数字，045.02-→x(3)=*3x x =-4604.234213.23=-4213.234604.231 10210391.0-?≤3x 具有3位有效数字，4.233→x (不能写为23.5) (4) =*4x 31 ，=4x 0.3333=-4*4x x 41021000033.0-?<,4x 具有4位有效数字，=4x 0.3333(5) =*5x 23.496，=5x 23.494=-5*5x x =-494.23496.2321021002.0-?<5x具有4位有效数字，→5x 23.50 (不能写为23.49)(6) =*6x 51096?710961.0?==-6*6x x 710001.0-?72101021--??≤6x 具有2位有效数字，57610961096.0?=?=x(7) =*7x 0.00096 371096.0-?=x3*71096.0-?=x =-7*7x x 0 7x 精确(8) 8700*8-=x 8x 3.8700-=8*8x x -010213.0?≤=8x 具有4位有效数字，8x 8700-=精确2.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747?6.83; (2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。

高等数学分析教材答案

高等数学分析教材答案混用格式的高等数学分析教材答案第一章微分学1.1 函数与极限1.1.1 极限的定义设函数$f(x)$在$x_0$的某个领域内有定义，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，就有$|f(x) - A| < \varepsilon$，则称函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限为$A$，记作$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。

【例题1】求极限$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$。

解：由题意，当$x \neq 2$时，可以将分式$\frac{x^2 - 4}{x - 2}$化简为$x + 2$。

因此，$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$。

1.1.2 极限的性质与运算法则性质1：唯一性如果函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限存在，那么极限必定唯一。

性质2：有界性如果函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限存在且有界，那么函数$f(x)$在$x = x_0$处连续。

性质3：保号性如果函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限存在且大于（或小于）零，那么函数$f(x)$在$x = x_0$处大于（或小于）零。

运算法则1：四则运算法则如果$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，$\lim_{x \to x_0} g(x) = B$，那么：（1）$\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = A + B$；（2）$\lim_{x \to x_0} [f(x) - g(x)] = A - B$；（3）$\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$；（4）$\lim_{x \to x_0} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] =\frac{A}{B}$（其中$B \neq 0$）。

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第沖实数集与函敷 (1)第一节实数 (2)第二节效集僅界原理 (7)第三节fiftO (10)第四节具有某些特性的阪数 (17)总练习題答案 (22)第二章财极限 (26)第一节数列极限徵公 (27)第二节收敛数列的性质 (33)第三节数刘极限存在的条件 (39)总终习願唇* (44)第三章甬数极限 ........................................... ：・ .. (49)第一节面数极限低念 (50)第二节函数极限的性质 (55)第三节函数极限存在的条件 (60)第四节两个重要的极限 (64)第五卡无穷小董与无穷大R (69)总竦习題答案 (74)第酵献的连鸵 (79)第一节连续性豪念 (80)第二节连縊船性质 (86)第三节初等甬数的连线性 ............ : . (93)总绦习題菩案 (95)第五章导数和微分 (99)第一节导数的柢念 (100)第二节求导法H (107)一-唏三节滲变静数的导数 (114)第四节酗导数 ...................................................... ・“・117第五节» 分 (123)总练习题答案 (127)第六章微分中龊理及其觎 (130)第一节拉格朗日定理m的单调性 .......................................... BI第二节柯西中值定理和不定式极限 (140)s s223背F玄山鳥谡央」 225濟山M耳曲漱丰229s233s•册曲M#J r(涯) 242s s s殆2…••：254盂雷養監258259s^ss s s264誥**B i盂盅査穿268普令鉴雷畫抽273s 277•1s s§282T M283漓I*s s285s292s298誥H 書養 H93156羽W H阿涔30矗M g渐 -63S 169•s s ^§175176矗蛙益兽 -82节*笛料莽霞專常雷 183删I I*188 •ss ^l 189194孟盂睪 196节H 盂睾期盥聲睾賈 197n*W蛰®盥盂睾琳22金：2一22一8尹M册曲R222第一章实数集与函数本章大纲要求1 •掌握实数的概念及其性质2 •理解数集与邻域的概念，掌握有界集及确界的定义和确界原理3 •理解函数的概念，掌握函数的表示法及其有界性、单调性、周期性和奇偶性4 •掌握基本初等函数的性质和图形，理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念实数及其性质买外绝对值与不等式有界性单调性奇函数和偶函数［周期函数本章知识结构实数、数集与确界原理j 数集与确界原現实数集写函数［区间与邻域的概念与性质（有界集确界原理〈确界、确界原理函数的定义及表示法函数的四则运算函数概念复合函数反函数初等函数数学分析同步捕导（上册）第一节实数一.基本内容SU — 2二、重点难点第一节实数及绝对值的相关概念及性质我们在屮学阶段均已接触过，只是那时尚未对一些性质做进一步讨论，如实数的阿基米德性及稠密性等，在本节的学习中我们应着重注意对学过的知识的系统归纳和总结，从更新的高度理解实数.三、典型例题分析例1.证明:对任意x e R,存在唯一的整数，记为［幻•使得［门<J<M+ I.这里称［刃为工的整数部分.证明先证存在性：若0 < I 时，则取［疋］=0,有［x］ < x < ［J］ +1.若h根据实数的阿基米德性质，存在正整数N■使得工< N,令E = | j<n,n为正整数”则E工0,因为N€ E，因此％= minE存在11有％—1丢工<心・令［x］= no-l,则［刃< X R］ +1・若X 0,则一工〉0,由上面所证，存在正整数［一/］使得［一刃〈一工 < ［一刃+ 1所以一(［—刃 +1)< x <一［—龙］当工=一［一幻时，一［一刃W工 <-［—工］+1.令［工］=—［-工］•则［x］ < X < ［刃 + 1当X <—［一王］时•则一［―工］—1 <工 <—［一攵］・令［工］=—［一文］一1 ,则［x］ < J < ［z］ +1综上,存在性成立.再证唯一性；设都为整数且"<x<n + l,w^x<m + l,那么—(?n + 1) <—x m由此得••n—(m + l)<0<M+l — Z/1 即”一加一1 < 0 < 九一m + 1U学分析15步■粤(上SB)得—1 < m — n < 1由此得加一刃=0,即加=几例2•试在数轴上表示出下列不等式的解；(1)|| 工+ 1 Hz-1 ||<1；⑵|卄2 |+|x-2|<12解(1)先对不等式两端平方并化筒得x2+y <1 J2 -1 I即疋一】>++* 或J2 - 1 <~ (J2 4-1-)显热前者不可能•故解得1 . . 1"7<J<2如图】一1・图1-1(2)令工一2 =蓟则得H + 4I+UK12 或"+ 4|<12-两边平方,化简得再对上式两端平方得/+竝一32£0于是一8©〈4即—6 £工g 6・如图1 一2・—4—I—>—•_・ 6-3036 x0B1-2例3・设实数“6满足丨a|<l,|i|<l.证明不等式第一章实槪靈与函槪乞+01 + ab证明要证明的不等式等价于即同时有一盂〉°与】+応〉。

裴礼文数学分析中的典型问题与方法第二版习题参考解答

裴礼文数学分析中的典型问题与方法第二版习题参考解答
裴礼文数学分析中的典型问题与方法第二版习题参考解答1.1函数习题参考解答
1.2用定义证明极限的存在性习题参考解答
1.3求极限值的若干方法习题参考解答
1.4O. Stolz 公式习题参考解答
1.5递推形式的极限习题参考解答
1.6序列的上、下极限习题参考解答
1.7函数的上、下极限习题参考解答
1.8实数及其基本定理习题参考解答
2.1连续性的证明与应用习题参考解答
2.2一致连续性习题参考解答
2.3上、下半连续习题参考解答
2.4函数方程习题参考解答
3.1导数习题参考解答
3.2微分中值定理习题参考解答
3.3Taylor 公式习题参考解答
3.4不等式与凸函数习题参考解答
3.5导数的综合应用习题参考解答
4.1积分与极限习题参考解答
4.2定积分的可积性习题参考解答
4.3积分不等式及综合性问题习题参考解答
4.4几个著名的不等式习题参考解答
4.5反常积分习题参考解答
5.1数项级数习题参考解答
5.2函数项级数习题参考解答
5.3幂级数习题参考解答
5.4Fourier 级数习题参考解答
6.1欧氏空间多元函数的极限与连续习题参考解答
6.2多元函数的偏导数习题参考解答
6.3多元 Taylor 公式凸函数几何应用极值习题参考解答6.4隐函数存在定理及函数相关习题参考解答
6.5方向导数与梯度习题参考解答
7.1含参变量积分学习题参考解答
7.2重积分习题参考解答
7.3曲线积分与 Green 公式习题参考解答
7.4曲面积分 Gauss 公式及 Stokes 公式习题参考解答
7.5场论习题参考解答。

裴礼文数学分析中的典型问题与方法

裴礼文数学分析中的典型问题与方法《数学分析中的典型问题与方法》共分7章、36节、246个条目、l382个问题，包括一元函数极限、连续、微分、积分、级数；多元函数极限、连续、微分、积分。

《数学分析中的典型问题与方法》大量采用全国部分高校历届硕士研究生数学分析入学试题和部分国外赛题，并参阅了70余种教材、文献及参考书，经过反复推敲、修改和筛选，在几代人长期教学实践的基础上编写而成。

选题具有很强的典型性、灵活性、启发性、趣味性和综合性，对培养学生的能力极为有益，可供数学院（系）各专业师生及有关读者参考，书中基本内容（不标*、※符号）也可供参加研究生入学考试数学一的考生选择阅读。

此次改版，补充、更新了大量有代表性的新试题、基础性题。

增设了“导读”栏目。

习题给了提示、再提示或解答。

题目按
难易，分为五个档次，※部分是重点推荐内容，※号题约420道（占题目总数的三分之一）。

酌情选读可大大减轻负担和压力。

数学分析原理答案

数学分析原理答案数学分析原理答案【篇一：数学分析教材和参考书】：《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月参考书：（1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月（2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著科学出版社（1964）（3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954）（4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译高等教育出版社（1958）（5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译高等教育出版社（1979）（6）《数学分析》，陈传璋等编高等教育出版社（1978）（7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编，上海科学技术出版社（1983）（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编，高等教育出版社（1991）（9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编，北京大学出版社（1990）（10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编高等教育出版社（1999）（11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社（2002）（12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编，江苏教育出版社（1998）（13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编，北京大学出版社（2003）（14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编，高等教育出版社（1993）复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,asf播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程教师简介:陈纪修-基本信息博士生导师教授姓名：陈纪修任教专业：理学-数学类在职情况：在性别：男所在院系：数学科学学院陈纪修-本人简介姓名：陈纪修性别：男学位：博士职称：教授（博士生导师）高校教龄22年，曾获2001年上海市教学成果一等奖、获2001年国家级教学成果二等奖、获2002年全国普通高等学校优秀教材一等奖、2002年获政府特殊津贴；获宝钢教育奖（优秀教师奖）；被评为“九五”国家基础科学人才培养基金实施和基地建设先进工作者。

数值分析课后习题与解答

课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

数分问题与方法 2014年勘误表 (定)

xn (1 – x ) =|
m2ຫໍສະໝຸດ xn(1 – x)2 =|
m
n |n ≤ 1 n | | n
n |n ≤ 1 n | | x
13
618
倒 6 行首
= xi
i 1
=(
x
i 1
2 i
)2
14
708
第 1 行中部
+ ln2 (x - 1) (y - 1)
+ 2ln2 (x - 1) (y - 1)
只在 ln2 之前插入一个 2
15
798
第 1 行中部

y a y b
e y x
2
dx

y a y b
e y dx x2
只积分的上下限有错 y 上限应为 a ; 下限应为
y b
16
811
倒 8 中部
关于 y [0. A] 一致收敛 (A>ε>0), = lim
0
关于 y [ε. A] 一致收敛(A>ε>0),
n x b
max
a x b
max
7
443
倒 2 行首
k n 1
n
> n 1 f ( x)dx
(n 1)
1 p 1
2n
1
k n 1
k
2n
1
8 9
451 475
倒 6 行后部第 2 行末
>(n-1) ]
n P

1
f ( x)dx
(n 1)
1 p
只需最后的括号里插入 xn [由于软件的原因正误栏里未能标出红字体] 只将两处 h 的指数 2 删去 (请注意倒 2 行和倒 3 行各一处, 共有两处, 都要改) 只将底标 n 更正为 a [由于软件的原因正误栏里未能标出红字体] 只将分母里的 n 更正为 k [由于软件的原因正误栏里未能标出红字体] 只将字母 n 改正为(n-1) ] 只将指数里改为 -

数学分析课后习题答案1.1

第一章实数集与函数§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数，试证明：⑴x a +是无理数.⑵当0≠a 时，ax 是无理数.证： ⑴ 假设x a +是有理数，则x a x a =−+)(是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾，故x a +是无理数.⑵假设ax 是有理数，则x aax =为有理数，这与题设x 为无理数相矛盾故ax 是无理数.1、试在数轴上表示出下列不等式的解：⑴ 0)1(2>−x x ；⑵⑶2、设a 、R b ∈.证明：若对任何正数ε有ε<−b a ，则b a =.证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有b a >或b a <;若b a >,则又由绝对值定义知:b a b a −=−.令b a −=ε,则ε为正数,但这与ε<−=−b a b a 矛盾;若b a <,则又由绝对值定义知:a b b a −=−.令a b −=ε,则ε为正数,但这与ε<−=−a b b a 矛盾;从而必有b a =.3、设0≠x ,证明21≥+xx ,并说明其中等号何时成立. 证:因x 与x 1同号,从而21211=⋅≥+=+xx x x x x , 等号当且仅当xx 1=,即1±=x 时成立.4、证明:对任何R x ∈,有 ⑴ 121≥−+−x x ；⑵2321≥−+−+−x x x证: ⑴因为21111−=+−≤−−x x x , 所以121≥−+−x x . ⑵因为21132−+−≤−≤−−x x x x , 所以2321≥−+−+−x x x5、设a 、b 、+∈R c (+R 表示全体正实数的集合),证明:c b c a b a −≤+−+2222 证:对任意的正实数a 、b 、c 有)(22222c b a bc a +≤,两端同时加244c b a +,有224222222242c b a c a b a bc a c b a +++≤++,即))(()(222222c a b a bc a ++≤+ bc c a b a a 2))((2222222−≤++−,两端再同加22c b +,则有c b c a b a −≤+−+2222其几何意义为:当c b ≠时,以),(b a ,),(c a ,)0,0(三点为顶点的三角形,其两边之差小于第三边.当c b =时,此三角形变为以),(c a ,)0,0(为端点的线段,此时等号成立6、设0,0>>b x ,且b a ≠,证明x b x a ++介于1与b a 之间. 证:因为x b a b x b x a +−=++−1,)()(x b b a b x b a x b x a +−=−++,且0,0>>b x 所以当b a >时, ba xb x a <++<1; 当b a <时, 1<++<xb x a b a ; 故x b x a ++总介于1与b a 之间.7、设p 为正整数,证明:若p 不是完全平方数,则p 是无理数证:假设p 是有理数,则存在正整数m 、n 使n m p =，且m 与n 互素. 于是22m p n =.可见n 能整除2m .由于m 与n 互素,从而它们的最大公因数为1,由辗转相除法知:存在整数u 、v 使1=+nv mu .从而m mnv u m =+2因n 能整除2m ,又能整除mnv ,故能整除其和,于是n 可整除m ,这样1=n因此2m p =.这与p 不是完全平方数相矛盾, 故p 是无理数8、设a 与b 为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： ⑴ b x a x −<−；⑵b x a x −<−；⑶b a x <−2. 解: ⑴原不等式等价于11<−−−b x b a 这又等价于20<−−<bx b a 即 −<−<>b x b a b x 220或 −>−><bx b a b x 220即 >+>>b a b a x b x 2或 <+<<ba b a x b x 2 故当b a >时,不等式的解为2b a x +> 当b a <时,不等式的解为2b a x +< 当b a =时,不等式无解.⑵原不等式等价于 −<−>b x a x b x 且 −<−>bx x a b x即 >>b a b x 且+>>2b a x b x 故当b a >时,21b x +>; 当b a ≤时,不等式无解.⑶当0≤b 时,显然原不等式无解, 当0>b 时原不等式等价于b a x b a +<<−2 因此①当0≤+b a 或0≤b 时,无解②当0>+b a 且0>b 时,有解 Ⅰ 如果b a ≥,则解为b a x b a +<<− 即b a x b a +<<−或b a x b a +>>−−Ⅱ 如果b a <,则解为b a x +< 即b a x b a +<<+−。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案01

第一章实数集与函数习题§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数。

证明：（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。

2、试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。

3、设a 、b ∈R 。

证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。

4、设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。

5、证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。

6、设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。

证明|22b a +-22c a +|≤|b-c|。

你能说明此不等式的几何意义吗？7、设x>0，b>0，a ≠b 。

证明xb x a ++介于1与ba 之间。

8、设p 为正整数。

证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。

9、设a 、b 为给定实数。

试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|<b 。

§2数集、确界原理 1、用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6；（3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<c ）；（4）sinx ≥22。

2、设S 为非空数集。

试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；（2）S 无界。

3、试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。

4、求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n21，n ∈+N }。

数学分析中的典型问题和方法第二章课后练习题答案裴礼文

裴礼文第二章习题解答2.1.1 研究函数2.1.2 设试研究2.1.3 设2.1.4 设函数在上连续且恒大于零,按:在2.1.5 设则对任意一个实数,必有实数,使(上海交通大学)2.1.6 函数在内连续,证明:在内存在点,使(华中理工大学,长春理工大学)2.1.7 设在上连续,证明:存在,使得(北京大学)2.1.8 设上连续,若,且在处达最小值,若,证明:至少在两点达到最小值. (哈尔滨工业大学)2.1.9 若函数在上连续,,则对任何,存在,使得(湖北大学)2.1.10 设证明:1)方程在上有唯一的实根;2)数列2.1.11 讨论函数的连续性与可微性. (内蒙古大学)2.1.12 用语言证明:如果,连续,且2.1.13 设,(湖南大学)2.1.14 证明:若函数处处连续且为一一映射,则在上必为严格单调.2.1.15 如果上连续,且(为有限数),则在上有界. (复旦大学)2.1.16 设函数试证:在上有最大值. (西北大学)2.1.17 若函数在上有界,令证明:1)当时的极限存在;2)函数在处连续的充要条件是2.1.18 设函数在区间上有界,试证函数在上左连续,并举例说明它们可以不右连续.2.1.19 已知其中求函数在时的具体表达式,并指出在各点处的左右连续性.(北京航空航天大学)2.1.20 设在上定义,并且有界,为二常数,时,有试证在处右连续.2.1.21 设试证为.2.1.22 函数在2.1.23 使得2.1.24 试证:至少存在组不同的解使得2.1.25用确界存在原理(非空有上(下)界数集必有上(下)确界)证明:若(西北大学)2.1.26 设在至少存在一点2.1.27 用有限覆盖定理证明连续函数的零点定理:若上连续.2.1.28 用闭区间套定理证明连续函数有界性定理,即若在闭区间上连续,则存在.(华中师范大学)2.2.1 设是区间2.2.2 今设计如下的实验:取一根内孔直径为的圆形直管,截取长度为的一段(),将直管中轴与轴平行放好.然后让的曲线平移从管内穿过.若不论曲线就能平移穿过此管,整个穿越过程,无需改变,那么就在上一致连续.否则就是非一致连续.问这种理解正确吗?2.2.3 函数定义证明:2.2.4 设在2.2.5 证明:2.2.6 用不等式叙述不一致连续.(内蒙古大学)2.2.7 证明:2.2.8 证明:函数内一致连续.但在非一致连续.(北京航空航天大学)2.2.9 证明:周期函数只要连续必定一致连续.2.2.10 证明:在区间一致连续.2.2.11 证明:有极限则2.2.12 设单调有界函数上连续,求证2.2.13 证明:在有限开区间上一致连续的二函数之和仍一致连续.问商的情况怎么样?无穷区间上关于积的结论是否还成立?证明之.2.2.14 求证:2.2.15 设实函数在上连续,在.证明:当且仅当为有限时,在上一致连续.(清华大学)2.2.16 函数2.2.17 若为什么？2.2.18 讨论下列函数在所给区间里的一致连续性.1).2).2.2.19试证2.2.20 设函数求证2.2.21 证明上一致连续.2.2.22 设函数具有下述性质:2.3一节习题从略.2.4.1 设函数2.4.2 试用推归法,重新证明例2.4.3与例2.4.4 2.4.3 证明:在的唯一单调函数是2.4.4 证明:,则如下三条件等价:2.4.5 证明:若则2.4.6 证明:当的唯一不恒等于0的连续函数是2.4.7 求在的一切连续函数,并证明不连续函数2.4.8 设函数及2.4.9 设试证2.4.10 证明:满足函数是2.4.11 设试证。

数学分析讲义答案

数学分析讲义答案【篇一：学习数学分析的一些建议和书籍】本帖最后由 ke.xigui 于 2009-5-21 21:49 编辑首先，只是觉得这篇东西写得很好，对学习数学分析的人可能有帮助，所以粘上来。

希望作者莫见怪。

旧版网站里许多有用的东西，但是现在找不到了，实在很可惜。

数学专业参考书整理推荐学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理：从数学分析开始讲起：数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。

也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。

当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。

数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。

将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。

记住以下几点：1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。

2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。

3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。

4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。

5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。

6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。

7，经常回头看看自己走过的路以上几点请在学其他课程时参考。

数学分析书：初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。

我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。

另外建议看一下当不了教材的16，20。

中国人自己写的：1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。

我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。

数学分析中的典型问题和方法第二章课后练习题答案裴礼文

山东大学2017年数学分析考研试题及解答

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山东大学2017年数学分析考研试题参考解答
小花爱数学
因为
∞ (−1)k−1(a cos x)k ∞ (−1)k−1(a cos x)k
ln(1 + a cos x) − ln(1 − a cos x) =
+
k
k
k=1
k=1
∞ (a cos x)2k+1
=2
,
2k + 1
k=0
故求导得
因为极限 limx→0 f (x) 不存在, 故 f (x) 在 J 上不是一致连续的.
二. 1. 此题为裴礼文编写的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第333页练习题4.2.2中第一
小题, 这里其实应该单独定义下 f (0), 比如定义 f (0) = 0. 至于为什么可积, 我们只需要考
虑 f (x) 的间断点, 间断点为
2. 此题为裴礼文编写的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第951页练习题7.3.3, 把曲线
参数化后计算即可.
x=
a 2
+
a 2
cos
t,
y=
a 2
sin
t,
z
=
a
sin
t 2
,
t ∈ [0, 2π],
计算结果略.
四. 首先易得 fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0, 又由于在原点附近
π 2
∞
a2k+1 cos2k x
I(a) = 2
dx,
0 k=0 2k + 1
π∞
π
2
2
I (a) = 2
(a cos x)2k dx = 2

数学分析中的典型问题和方法第一章课后习题答案裴礼文