16第五章定积分(定积分的应用)

s
b
a
f
(
x)
g
(
x)
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dx
y
y1=f(x)
y2=g(x)
O
x
3 由x1 ( y), x2 ( y), ( )
与y c, y d所围成的图形的面积
s
d
c
(
y)
(
y)dy
y x2 ( y)
x1 ( y)
O
x
4.求平面图形面积的步骤：
(1).求出曲线的交点，画出草图； (2).确定积分变量，由交点确定积分上下限； (3).应用公式写出积分式，并进行计算.
y 4 x
Vx
4 y2dx
1
4 ( 4 )2 1x
dx
16
4 1
x 2dx
16
x 1
4 1
16
(
1 4
1)
12
c
x (y)
1.
求 曲 线y cos x与 直 线y 2, x 及y轴
2
所围图形的面积。
解 S 2 (2 cos x)dx 0
(2x sin x) 2 0
s
in
2
1
例 2 求曲线xy 4, x 1, x 4, y 0所围图形
绕 x 轴旋转所得旋转体得体积.
解： xy 4
2.旋转体的体积
1 曲线y f ( x) 0,与x a, x b 及 x 轴所围
图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积：
Vx
b f 2 ( x)dx
a
0
a
bx
2 由曲线x ( y) 0,与y c, y d 及 y 轴所围
成图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积：
Vy
d 2 ( y)dy
三 定积分的应用
1.平面图形的面积 2.旋转体的体积
1.平面图形的面积
1 由y f ( x) 0, x a, x b, (a b)
b
与x轴所围成的图形的面积s y
a
f ( x)dx
y=f(x)
O
a
bx
2 由y1 f ( x), y2 g( x), ( f g) 与x a, x b所围成的图形的面积