热力学部分习题课

Q1 T1 S2 S1 .Βιβλιοθήκη Baidu
在由状态 等温（温度为 ） 压缩为状态 的过程中， 平衡辐射放出的热量为 Q 2 T2 S2 S1 .
T2 S2 S1 Q2 T 1 1 1 2 . Q1 T1 S2 S1 T1
A 1.22 有两个相同的物体，热容量为常数， 初始温度同为 ������������。今令一制冷机在这两个物 体间工作，使其中一个物体的温度降低到 ������2 为止。假设物体维持在定压下，并且不发生 相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需 的最小功为
Wmin Ti 2 C p ( T2 2Ti ) T2
解: 系统不对外做功且绝热，因此内能不变。
N1Cv (T f T1 ) N 2Cv (T f T2 ) 0 N1T1 N 2T2 p1V1 p2V2 Tf N1 N 2 ( N1 N 2 ) R ( N1 N 2 ) RT p1V1 p2V2 pf V1 V2 V1 V2
2 u Const , ( 1) 2 h Const 1
解： Mu
RT u0 1 RT Mh h0 1
理想气体
2 p V p 2 ( )S ( )S M V pV RT M M
p ( p,S) （ )S V (V , S ) ( p, S ) ( p, T ) (V , T ) ( p, T ) (V , T ) (V , S ) C p p p ( )T Cv V V
G x 4 x dx 16G r V x 15 0
r 4 3 3 2 2 2 5
5 3
1.3 对于理想气体，求麦克斯韦速度分布中的 两个常数C和 a。提示：用到归一化条件以及 平均动能与温度的关系。 f (vx , v y , vz ) f (vx ) f (v y ) f (v z )
求 Otto 循环效率（2 绝热 +2 等容）
Q1 Cv (T3 T2 ) Q2 Cv (T4 T1 ) Q1 Q2 T3 T2 Q1 T4 T1 1 1 V1 1 ( ) V2
由绝热过程： T2 V1 1 ( ) T1 V2 T3 V1 1 ( ) T4 V2
V1' V1

pdV T
pf
p1

N1 RT p1 p ( )dp NR ln( ) 2 T p pf
' （ N1 , p f ,V1 f , T f ） N , p , V 等压过程（ 1 f 1 , T1 ）
Tf
S2
T1

C p dT T
C p ln
Tf T1
另一边同理，因此
3.20 一圆筒中有一导热活塞把它分为两部分， 一部分装有 ������1 ������������������ 气体，另一部分装有 ������2 ������������������ 气体，两部分最初的压强和体积各为 ������1、 ������1 和 ������2、������2 ，令活塞自由运动，使两边气 体达到平衡态，假设圆筒与外界是绝热的， 并设气体为理想气体，它的两种比热容之比 ������ 是常数，求最后的共同温度和压强，并计算 出熵的增加值。
p1 (V1 V2 ) p2 (V1 V2 ) S R[ N1 ln N 2 ln ] p1V1 p2V2 p1V1 p2V2 N1 ( p1V1 p2V2 ) N 2 ( p1V1 p2V2 ) C p [ N1 ln N 2 ln ] p1V1 ( N1 N 2 ) p2V2 ( N1 N 2 )
热力学部分习题课
主讲人：余辛炜 2016.04.10.
1.2 引力势能（长程相互作用）是不是广延量？ 考虑半径为r ，密度均匀为 的球，说明该系 统的引力势能正比于 V n，V 是体积，并求n 。 解：半径为 ������ 的球，把最外一层厚为 ������������ 的薄 球壳均匀扩大直到半径为+∞，需要做的功是：
解： W
Q1 Q2 C p (T1 T2 2Ti )
T1 S1 C p ln Ti T2 S 2 C p ln Ti S3 0 (制冷机进行可逆循环） T1T2 S C p ln 2 0 Ti Ti 2 T1 T2 Wmin Ti 2 C p ( T2 2Ti ) T2
计算熵增，以一边为例： 初始状态 （ N1 , p1 ,V1 , T1 ）， 平衡态（ N1 , p f ,V1 f , T f ）。 构造等温过程+等压过程计算熵增： ' N , p , V N , p , V , T 等温过程：（ 1 1 1 1 ） （ 1 f 1 , T1 ）
S1
也可以构造等温过程+等容过程 or 等压过程+ 等容过程，结果是等价的。
A 2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强 正比于其热力学温度。试证明在温度保持不 变时，该气体的熵随体积而增加。
S p ( )T ( )V 0 V T
试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环， 计算其效率
在由状态 等温（温度为 ） 膨胀至状态 的过程中， 平衡辐射吸收的热量为
2 2 Cexp[ a(v 2 v v x y z )] 意义：粒子在速度空间中处于（ vx , v y , vz ）~ （ vx dvx , v y dvy , vz dvz ）的概率
A 1.10 声波在气体中的传播速度为

p ( )s
假设气体是理想气体，其定压和定容热容量 是常量，试证明气体单位质量的内能 u 和焓 h 可由声速及 ������ 给出：