变分法
数学中的变分法
数学中的变分法变分法是一种数学方法，它在许多物理学原理的证明和应用中被广泛使用。
变分法的基本思想是将一个对象视为其可能的所有函数中一种函数。
例如，如果我们考虑曲线上的能量问题，我们将尝试确定曲线的最小能量。
在这种情况下，我们将使用变分法来确定能量的最小值，同时识别导致最小值的曲线。
变分法被广泛运用于许多科学和工程领域中的分析问题。
其中一些领域包括最优控制理论、力学、统计学、经济学和化学等。
变分法是这些领域的基础，并广泛应用于生物力学、流体力学、材料科学以及其他科学和工程领域的问题。
变分法的核心思想是通过应用变分运算符来寻找函数的极值。
对于一个实变函数f，它的变分是指通过对f进行微小调整来找到f的变化方向，例如δf。
对于函数f(x)，它的变分可以表示为如下形式：δf(x)=f(x+εv)-f(x)其中，v是任意的可微向量函数，而ε是一小的正实数。
变量v 被称为变分方向或测试函数。
此时，我们可以考虑将上式变化为以下形式：δf(x;v)=lim（ε -> 0）[f(x+εv)-f(x)] / ε当ε趋近于0时, δf(x;v)的极限被称为f在v方向的变分。
当δf(x;v)等于0时，我们可以说f在v方向上不变。
因此，我们可以通过使用变分法来确定f的最小值或最大值。
例如，如果我们要找到一条曲线，其起点和终点都已知，同时满足总长度最小的条件。
在这个问题中，我们需要确定曲线的形状来最小化熵函数。
最小化长度问题的变分形式可以表示为：L[y]=∫[a,b]L（y，y'）dx其中y是曲线的方程，L（y，y'）是曲线的弧长元素。
此时，我们需要找到这条曲线，其满足以下条件：∫L（y，y'）dx≤∫L（y0，y'0）dx其中y0和y'0是固定的曲线。
我们可以取v为x的变化方向，而L（y，y'）可以视为动能或势能。
因此，我们可以将上式改写为：∂L[y]/∂y- d/dx∂L[y]/∂y'=0这里的d/dx是导数。
变分法
tf
t0
M (t )(t )dt 0 。则在 [t 0 , t f ] 内， M (t ) 0 。
（用反证法容易证明，略） 。 二、无约束条件的泛函极值 求泛函 J
tf
t0
(t ), t ]dt （1）的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找 F[ x(t ), x
一条曲线 x(t ) ，使给定的二阶连续可微函数 F 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为 极值曲线（或轨线） ，记为 x (t ) 。 1．端点固定的情况 设容许曲线 x(t ) 满足边界条件 x(t 0 ) x0 , x(t f ) x f ，且二次可微。 首先计算（1）式的变分：
t t f dt f 。寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定发问进行推导，即有
0 J
t f dt
t0
x , t ]dt | 0 F[ x x, x
t f dt
t0
)dt | 0 F ( x x, x x , t f dt f )dt f | 0(t t f dt f ) ( Fxx Fx x
tf x , t ] 0 dt J [ x(t ) x(t )] 0 F[ x x, x t0 tf
J
ห้องสมุดไป่ตู้
, t )x Fx , t )x ]dt [ Fx ( x, x ( x, x
t0
（2）
对上式右端第二项做分布积分，并利用 x(t 0 ) x(t f ) 0 ，有
件，有 J
tf
[ Fx
它是这类最简泛函取极值的必要条件。 最简泛函取极值的必要条件可以推广到多元泛函的情 况，如二元泛函
数值分析中的变分法及其收敛性
数值分析中的变分法及其收敛性在数值分析中，变分法（Variational Method）是一种通过变分问题求解数值解的方法。
它利用泛函分析的理论和方法，通过构建一个被最小化的泛函，来求解给定问题的最优解。
本文将介绍变分法的基本原理，并讨论其在数值分析中的应用以及收敛性。
一、变分法的基本原理变分法的基本原理可以通过极小化泛函的方法进行描述。
对于一个给定的泛函J[y]，其中y是一个函数，我们的目标是找到一个y*，使得J[y*]达到最小值。
为了找到这个最小值，我们可以将问题转化为一个极小化问题，即找到一个y*，使得对于任意的形状变化δy，J[y*]的变化率为零。
这可以通过求解变分问题来实现：δJ[y*] = 0，对任意δy通过变分法，我们可以通过求解变分问题来得到原问题的最优解。
二、变分法在数值分析中的应用1. 最小化问题：变分法可以用于最小化问题的求解。
例如，对于一个函数y(x)，我们可以通过构建一个泛函J[y]，然后使用变分法来求解最小化问题。
2. 边值问题的求解：变分法在边值问题的求解中也有广泛的应用。
通过构建适当的泛函，我们可以将边值问题转化为一个变分问题，并通过变分法来求解。
3. 偏微分方程的数值解：变分法在偏微分方程的数值解中也有重要的应用。
通过构建适当的泛函，并选择合适的试验函数空间，我们可以使用变分法来求解偏微分方程的数值解。
三、变分法的收敛性在使用变分法求解数值问题时，我们更关注的是变分法的收敛性。
收敛性指的是在一系列逼近过程中，逼近的解是否趋近于真实的解。
对于变分法而言，它的收敛性与使用的试验函数空间以及变分问题的性质有关。
1. 试验函数空间的选择：试验函数空间的选择对于变分法的收敛性至关重要。
通常，我们会选择适当的空间，使得试验函数满足一定的光滑性和边界条件。
选择合适的空间可以提高解的逼近精度，从而提高收敛性。
2. 变分问题的性质：变分问题的性质也会影响到变分法的收敛性。
如果变分问题满足一定的正则性条件，如强解的存在性和唯一性等，那么变分法的收敛性可以得到保证。
变分法
x1
x0
F ( x) ( x)dx 0
(1.18)
则在 [x0,x1] 上就有F(x)≡0. 证明用反证法
1.3.2 欧拉方程
x1
[ y] F ( x, y, y )dx
x0
x1
x1
x0
F y F ydx y y b a
数ui(i=1,2,3)而变，[u]也是一个泛函。而ui必须满足的体积不
变条件
L、As、Φ都是依赖于可变化的函数。称其为自变函数，随 自变函数而变的量称为泛函。用符号φ、J 表示，记作 φ[y(x)]或φ(y)等。 • 变分法就是研究求泛函极大值和极小值的方法。
1.1.2 泛函自变函数的变分
• 函数y=y(x) ,自变量为x ，增量 △x, 称dx为自变 量x微分。 • 泛函φ[y(x)],自变函数为y(x)，当△y(x) 变化无 限小时，称为自变函数的变分，表为δy(x) ，δy • δy是指函数y(x) 和跟它相接近的另一函数y1(x) 的微差。
x0 x0
x1
x1
(dy ) d ( y )
dy d ( y ) , 或 ( y) ( y) dx dx
3.注意：d ( xy) ydx xdy
( xy) x y
1.2.2 泛函极值的条件
泛函极值条件与函数极值条件具有相似的定义。如果
(u v) u v,
(uv) u v v u, (u v) (v u u v) / v 2
2
变分号可由积分号外进入积分号内
x1 x1 x0 x0
F ( x, y, y)dx F ( x, y, y)dx
变分法的应用
变分法的应用在物理、工程、数学等领域中，变分法是一种非常重要的工具。
变分法可以被用来解决各种数学问题，如微积分、偏微分方程、力学问题和最优化问题等等。
本文将介绍变分法的定义、基本原理、应用以及其在实践中的意义。
一、什么是变分法？变分法是一种数学方法，它通过不断调整函数的形式来寻找一个极值问题的解。
变分法可以用来解决一系列的优化问题，如最优控制问题和最小能量问题等等。
在它最简单的形式中，变分法是一个求解“泛函”的问题：“找到一个函数使得某个固定泛函取得最小值”。
例如，我们想要找到长度为 L 的钢条上的最小弯曲量。
这个问题可以表示成一个泛函：J(y) = ∫[0,L] (y''(x))^2 dx,其中y表示弯曲的函数。
这个泛函是一个带有一个未知函数y的函数J。
我们的任务是找到一个函数y，使得J(y)的值最小。
二、变分法的基本原理变分法的基本原理可以归结为“求解一系列微积分变分问题”。
根据变分法的基本原理，我们可以从微积分和函数分析的角度来理解它。
变分法的原理是基于函数的连续性和光滑性的，即给定一个函数的任意两个点之间的连续性和可微性。
在求解变分问题时，我们首先需要找到一个函数，这个函数满足一些预定的条件。
然后，我们可以对这个函数进行微小的变化，来看看这个函数如何改变。
最后，我们可以通过对这个函数进行积分来得到一个新的函数值。
然后我们可以对这个函数进行微小的变化，得到y(x) → y(x) + εφ(x) (其中，ε很小，φ是一个任意函数)。
在这个情况下，我们可以用函数y(x)的一个小变化y(x) + εφ(x)来重新计算泛函J的值。
这个新的泛函的值可以表示为J(y + εφ) = ∫[0,L] F(x,y,y',y'') φ(x)dx,其中F(x,y,y',y'')为J(y)的一类一阶偏导数，我们需要将其解释为x和y的函数。
然后，通过对泛函J(y+εφ)中的项进行扩展，我们得到：J(y+εφ) = J(y) + ε∫[0,L] (F_yφ + F_{y'}φ' + F_{y''}φ'') dx。
变分法基本原理
变分法基本原理【1】变分法（Variational method）是一种数学方法，用于解决泛函的极值问题。
泛函是把函数映射到实数的映射，而泛函的极值问题是要找到使得泛函取得极值的函数。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域中的最优化问题。
【2】变分法的基本原理可以概括为以下几个步骤：步骤一：定义泛函首先，要明确定义所研究的泛函。
泛函可以是一个函数的积分、一个函数的级数或者其他数学表达式。
要根据具体问题的特点来选择合适的泛函。
步骤二：提出变分函数接下来，通过引入一个假设的函数（称为变分函数）作为泛函的自变量，使泛函成为这个变分函数的函数。
变分函数通常具有一定的约束条件，如满足特定边界条件或其他限制条件。
步骤三：计算变分利用变分函数的小扰动，即在该函数上加上一个小的修正项，计算泛函的变分。
变分是泛函在变分函数上的一阶近似变化率。
步骤四：应用欧拉-拉格朗日方程将变分代入到泛函中，得到泛函的表达式。
然后，通过应用欧拉-拉格朗日方程，将泛函转化为一个微分方程。
这个微分方程是通过对变分函数求导，然后令导数为零得到的。
步骤五：求解微分方程解决微分方程，得到最优解的表达式。
这个最优解是使得泛函取得极值的函数。
【3】变分法的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
这种方法的优势在于可以将复杂的极值问题转化为求解微分方程的问题，简化了求解的过程。
【4】变分法在物理学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于求解经典力学中的最小作用量原理，即通过将作用量泛函取极值来得到物体的运动方程。
此外，变分法还可以应用于量子力学中的路径积分方法、场论中的泛函积分等问题的求解。
【5】总之，变分法是一种数学方法，用于求解泛函的极值问题。
它的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域，并具有很好的应用前景。
变分法
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
最优控制问题的变分方法
最优控制问题的变分方法在数学与控制理论中，最优控制问题是研究如何选择最佳的控制策略，以使系统的性能达到最优的问题。
变分方法便是解决最优控制问题的一种重要数学方法。
一、引言最优控制是控制理论中一个重要的分支，它通过对系统建模和优化理论的应用，旨在找到使系统性能达到最佳的控制策略。
而变分方法，则是解决最优控制问题的一种有效途径。
二、变分法概述变分法是以变分运算为基础的数学方法，在最优控制问题中得到了广泛的应用。
它通过对控制信号进行微小的变分，并得到变分函数的极值来确定最优控制策略。
变分法的基本思想是将最优控制问题转化为求解变分问题，从而得到最优解。
三、变分法的基本原理1. 贝尔曼原理贝尔曼原理是变分法的核心原理之一。
它通过将最优控制问题分解为两个部分，即值函数和最优策略。
通过解反向动态规划方程，可以得到最优策略和值函数。
2. 泛函极值原理泛函极值原理是变分法的另一个重要原理。
它通过对泛函进行变分，并通过求解变分问题来得到泛函的极值。
在最优控制问题中，泛函可以表示系统性能的指标，如性能函数、代价函数等。
四、变分法的应用变分法在最优控制问题中有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 高维空间中的最优控制在高维空间中的最优控制问题中，变分法能够通过求解变分问题，得到最优控制策略。
2. 动态规划动态规划是最优控制中一个重要的方法，变分法能够通过解反向动态规划方程，得到最优策略和值函数。
3. 时间最优控制时间最优控制问题中，变分法可以通过求解变分问题，得到最优控制策略以及最小时间。
五、总结变分方法是解决最优控制问题的一种重要数学方法。
它通过对控制信号进行微小的变分，并求解变分问题来得到最优控制策略。
变分法的应用非常广泛，能够解决包括高维空间中的最优控制、动态规划和时间最优控制等问题。
通过变分方法，我们能够有效地求解最优控制问题，并得到系统性能达到最优的控制策略。
最优控制问题的变分方法就是如上所述的一种有效的数学方法。
数学物理中的变分方法
数学物理中的变分方法在数学和物理学中，变分方法是一种重要的数学工具，用于研究函数的极值问题。
它的基本思想是将问题转化为求解某个泛函的极值，通过变分运算来找到泛函的极值条件。
变分方法在许多领域中都具有广泛的应用，包括优化问题、微分方程、力学以及最优控制等。
本文将介绍数学物理中的变分方法的基本原理和应用。
1. 变分运算的基本概念变分运算是对函数进行微小改变，并计算这种改变对泛函的变化量。
我们考虑一个函数f(x)，其中x是自变量。
对函数f进行微小变化，可以表示为f(x+δx)，其中δx是一个无穷小量。
定义变分算子为∂/∂x，它表示对函数f进行微小的变化。
通过计算变分算子作用在函数f上的结果，可以得到泛函的变化量。
2. 泛函的极值条件对于一个泛函J[f]，我们希望找到函数f的一个极值，使得J[f]取得最小或最大值。
为了得到这个极值条件，我们需要求解变分方程。
变分方程的一般形式为：δJ[f] = 0如果函数f满足这个方程，那么它就是泛函J的一个极值。
3. 单变量变分法单变量变分法是变分方法中最简单的一种形式。
它适用于只有一个自变量的函数。
假设我们有一个泛函J[f]，其中f=f(x)，x是自变量。
首先，我们引入辅助函数g(x)，其中g(x)在与f(x)相等的区域内任意变化，在其他区域内为零。
然后，考虑泛函J的一个线性组合：J[f+εg] = J[f] + εJ[g] + O(ε^2)其中ε是一个无穷小量。
通过计算这个线性组合的变化量，并忽略高阶无穷小量，我们可以得到泛函J的变分：δJ = J[f+εg] - J[f] = εJ[g]现在，我们需要将这个变分等于零，得到一个变分方程：δJ = εJ[g] = 0通过求解这个变分方程，我们可以得到使得泛函J取得极值的函数f(x)。
4. 多变量变分法多变量变分法适用于有多个自变量的函数。
假设我们有一个函数f=f(x1,x2,...,xn)，其中xi是自变量。
类似于单变量情况，我们引入辅助函数g(xi)，并考虑泛函J的线性组合：J[f+εg] = J[f] + εJ[g] + O(ε^2)同样地，通过计算这个线性组合的变化量，并忽略高阶无穷小量，我们可以得到泛函J的变分：δJ = J[f+εg] - J[f] = εJ[g]类似于单变量情况，我们将这个变分等于零，得到一个变分方程：δJ = εJ[g] = 0通过求解这个变分方程，我们可以得到使得泛函J取得极值的函数f(x1,x2,...,xn)。
数学的变分法
数学的变分法数学的变分方法是一种研究函数变化的数学工具，被广泛应用于数学分析、物理学等领域。
它通过寻找函数的变化率最小值或最大值，揭示了许多自然界和社会现象的规律。
本文将介绍变分法的基本原理和主要应用，以及一些经典的变分问题。
一、变分法的基本原理在介绍变分法之前，我们需要先了解变分和变分算子的概念。
变分是指通过微小的函数偏移来研究一个函数的性质。
而变分算子是对这种微小的函数偏移进行数学上的描述。
变分法的基本思想是通过对一个函数进行变分，得到它的一阶变分和二阶变分，然后利用边界条件和变分的性质，求解出变分方程的解。
具体步骤如下：1. 假设函数的解是一个特定形式的函数表达式，其中包含一个或多个未知的参数。
2. 对这个函数进行变分，得到函数的一阶变分和二阶变分。
3. 将变分代入原方程，得到一个含有未知参数的函数方程。
4. 利用边界条件，求解出未知参数的值。
5. 将参数代入原方程，得到函数的解。
二、变分法的主要应用变分法具有非常广泛的应用领域，下面将介绍其中的几个重要应用。
1. 物理学中的作用量原理作用量原理是变分法在物理学中的重要应用之一。
它通过对作用量进行变分，得到物理系统的基本方程。
作用量原理在经典力学、电磁学、量子力学等领域均有广泛应用，是研究物理系统的基本工具。
2. 凸优化问题凸优化是变分法在应用数学领域的典型应用之一。
它研究如何寻找一个凸函数的最小值或最大值。
变分法可以帮助我们建立凸函数的变分问题，并通过求解变分问题来解决凸优化问题。
3. 经典的变分问题变分法在数学中的一个重要应用是解决一些经典的变分问题，比如著名的布拉赫罗恩极小曲面问题。
这个问题是在确定一个特定边界条件下，找到曲面的形状使其表面积最小。
三、经典的变分问题经典的变分问题是对变分法应用的经典案例，下面将介绍其中的两个。
1. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，描述了微观粒子的运动行为。
通过对薛定谔方程进行变分，可以得到微观粒子的能量本征值和能量本征态。
变分法的基本思想
变分法的基本思想变分法是一种数学方法，用于研究函数的极值问题。
这一方法的基本思想是将函数的变化量表示成一个函数的积分，然后通过求积分的极值来求解函数的极值。
变分法不仅应用广泛，而且在理论上也有较大的价值。
一、变分法的历史变分法可以追溯到十七世纪，当时著名数学家莱布尼兹和尤拉分别独立地提出了这一方法。
莱布尼兹用变分法解决了曲线和曲面的最短路径问题，而尤拉则将其应用于力学中的最小作用量原理。
在之后的两个世纪里，变分法被广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
二、变分法的基本思想变分法的基本思想是将函数的变化量表示成一个函数的积分，然后求解积分的极值。
具体来说，假设有一个函数y(x)满足某些条件，如y(x)在一个区间[a,b]内连续、光滑等等，那么可以构造一个函数J[y(x)]，称为泛函，其表达式为：J[y(x)] = ∫[a,b] L(x,y,y’)dx其中L(x,y,y’)称为被积函数，y’表示y对x的导数，∫[a,b]表示在区间[a,b]内积分。
这里的J[y(x)]就是一个关于y(x)的函数，如果能够求出J[y(x)]的极值，那么对应的y(x)就是所要求的函数。
三、最小作用量原理最小作用量原理是变分法应用于力学中的一个重要例子。
假设有一质点从时刻t1到时刻t2经过一条路径，路径上有一个势场V(x)，则质点的作用量可以表示为：S = ∫[t1,t2] L(x,v)dt其中L(x,v) = T(v) – V(x)，T(v)表示质点的动能，V(x)表示势能。
根据最小作用量原理，实际上质点遵循的是作用量取极小值的路径。
换句话说，如果从t1到t2有多条路径，那么实际上质点所走的是其中作用量最小的路径。
四、应用举例变分法可以用于求解很多问题。
以下是一些应用举例：1、最短路径问题：这是莱布尼兹最早提出的应用之一。
假设有一条曲线y(x)，要使得从点A到点B的路径长度最短，即曲线y(x)在[a,b]内的弧长最小，可以通过应用变分法求解。
数学中的变分法
数学中的变分法数学中的变分法是一种重要的数学分析方法，它在各个领域具有广泛的应用。
本文将介绍变分法的基本概念、原理和应用，以及一些典型的例子。
一、基本概念1.1 变分问题在数学中，变分法主要用于研究变分问题。
所谓变分问题，是指要找到一个函数，使得特定的泛函取得极值。
泛函是一个对函数进行操作的函数，通常表示为一个积分形式。
1.2 泛函泛函是一个映射，它将一个函数空间中的每个函数映射到一个实数。
泛函的极值问题是变分法关注的核心内容。
二、原理与方法2.1 欧拉-拉格朗日方程变分法的核心思想是通过欧拉-拉格朗日方程来求得泛函的极值。
欧拉-拉格朗日方程是微分方程的一种形式，其推导基于变分学习中的一些基本假设。
2.2 性质与特点变分法具有以下性质和特点：（1）对连续问题和离散问题皆适用；（2）使用变分法可以简化求解过程；（3）可以应用于求解一些无法通过传统数学方法解决的问题。
2.3 常用方法常见的变分法方法包括变分法、极大极小值原理、最小二乘方法等。
这些方法在不同的数学问题中有不同的应用。
三、应用领域3.1 物理学中的应用变分法在物理学中有广泛的应用，例如，它可以用于解决力学、电磁学、量子力学等领域的问题。
其中，著名的费马原理和哈密顿原理就是基于变分法的。
3.2 工程学中的应用在工程学中，变分法可以应用于结构力学、流体力学、电气工程等领域。
例如，通过应用变分法，可以得到最优化设计问题的解。
3.3 经济学中的应用变分法在经济学中也有一些应用。
例如，在经济学中，当我们面临一个最优决策问题时，可以把问题转化为一个泛函的极值问题，并使用变分法求解。
四、典型例子4.1 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题。
我们可以通过变分法来解决最短路径问题，其中泛函表示为路径长度的积分形式。
4.2 边值问题边值问题是微分方程中常见的问题。
通过应用变分法，我们可以将边值问题转化为泛函的极值问题，并进一步求解。
4.3 牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的重要定理之一。
变分法与变分方程的基本概念与应用
变分法与变分方程的基本概念与应用变分法和变分方程是数学中重要的概念和工具，在科学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍变分法和变分方程的基本概念，探讨其原理和应用，并列举一些实际问题中的案例。
一、变分法的基本概念1.1 变分的定义变分是函数对输入参数微小改变的响应，用于描述函数在其定义域上的变化情况。
1.2 变分的原理变分原理是变分法的核心思想，它基于极值原理，寻找函数使得变分为零的条件。
也就是说，通过变分法可以找到使得泛函（函数之间的映射）取得极值（最大值或最小值）的函数。
1.3 变分的求解变分的求解可以通过欧拉方程来实现，欧拉方程是变分法的求解工具。
通过求解欧拉方程，可以得到函数的极值条件。
二、变分方程的基本概念2.1 变分方程的定义变分方程是函数的导数方程，其中函数可以是标量函数、矢量函数或函数的集合。
变分方程描述了泛函的最小化问题，即在给定的约束下，找到使得泛函取得极值的函数。
2.2 变分方程的原理变分方程的原理是利用变分法求解方程，通过求解约束条件下使得泛函取得极值的函数，可以得到变分方程的解。
2.3 变分方程的求解变分方程的求解需要将方程转化成一个变分问题，然后使用变分法进行求解。
具体求解方法与问题的性质和约束条件有关。
三、变分法与变分方程的应用3.1 物理学中的应用在物理学中，变分法和变分方程有着广泛的应用。
例如，在经典力学中，变分法被用来推导和求解拉格朗日方程，描述物体在给定约束下的最小作用量原理。
此外，变分法还应用于量子力学、电磁学和热力学等领域。
3.2 工程学中的应用在工程学中，变分法和变分方程被广泛应用于结构力学、电子学和材料科学等领域。
例如，在结构力学中，变分法可以用于求解复杂结构下的应力和位移分布，以及优化设计问题。
3.3 经济学中的应用在经济学领域，变分法和变分方程也有一些应用。
例如，在经济学中，变分法可以用来优化生产函数和成本函数，以及求解最优控制问题。
四、变分法与变分方程的案例分析4.1 案例一：自然界的最小作用量原理自然界的很多现象都可以通过最小作用量原理进行解释。
变分法第八章
又因为 b F y' dx b F d (y)dx
a y'
a y' dx
b
（分步积分） F y b d ( F )ydx 0
y'
a
dx y'
a
在简朴变分问题中， 端点是固定旳
y xa 0,y xb 0
所以，得
b [ F d ( F )](y)dx 0
a y dx y'
F d ( F ) 0 y dx y'
1 3
(c0 2
c0c1
2 5
c2 ) 1
由 即
1 y2dx 1 0
1 0
[ x( x 1)(c0 c1 )]2 dx 1
成果是
1 30
(c0 2
c0c1
2 7
c2 ) 1
1
把
ห้องสมุดไป่ตู้
c0 2
c0c1
30 2 c2 代入
7
J[ y(x)]
1
1
3
(c0 2
c0c1
2 5
c2 ) 1
得
J[ y(x)]
第八章 变分法
前述各章讨论旳数理方程旳解均为解析解
若偏微分方程复杂或边界条件不规则时，则方程难以 求得解析解，不得不求满足近似程度要求旳近似解。 变分法是常用旳近似措施之一，而且，变分法旳原 理和应用遍及物理学旳各个领域。 所谓变分法即为泛函旳极值问题。 泛函分析是一门较为专业旳数学课程。
本章将从数学在物理学中应用旳角度，来讨论变分法 旳基本概念、原理，以及用来求解当选理方程旳思绪
1 本征问题与变分问题旳关系
Helmhotz本征值问题u lu 0
us 0
变分法的概念与应用
变分法的概念与应用变分法是数学分析的一个重要分支，它主要研究函数的极值问题。
变分法的概念和应用在物理学、工程学以及经济学等领域中都有广泛的运用。
本文将介绍变分法的基本概念、变分问题的一般形式以及变分法在不同领域中的应用。
一、变分法的基本概念变分法是数学中研究最值问题的一种方法，它主要依赖于变分和泛函的概念。
在变分法中，我们不仅仅研究函数的值，而是研究由函数组成的集合的性质。
1. 变分变分是指函数的微小改变。
在变分法中，我们考虑函数在其定义域内的某个小区间上的变化情况。
通过对函数进行微小的变化，我们可以得到函数的变分。
2. 泛函泛函是指由函数所组成的对象。
与函数不同，泛函是将函数映射到一个实数上的规则。
泛函可以被看作是函数的函数，它描述了函数集合中的某种性质。
二、变分问题的一般形式在变分法中，我们通常关注泛函的极值问题。
这类问题可以表示为：找到一个函数使得某个泛函取得最大或最小值。
1. 极小值问题极小值问题是变分问题中最常见的一类问题。
对于一个给定的泛函，我们希望找到一个函数使得该泛函取得最小值。
2. 极大值问题与极小值问题类似，极大值问题是指在给定的泛函下找到一个函数使得该泛函取得最大值。
三、变分法在不同领域中的应用变分法在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。
以下将分别介绍其中的几个典型应用。
1. 物理学应用在物理学中，变分法被广泛用于描述自然界中的各种物理现象。
其中最著名的应用之一是费马原理，它描述了光的传播路径满足光程最短的原理。
通过使用变分法，可以导出折射定律和反射定律等光学定律。
2. 工程学应用在工程学领域，变分法被应用于结构力学、流体力学以及电磁学等问题的求解。
例如，在结构力学中，通过变分法可以求解桥梁和建筑物等结构的最小曲线和最小表面形状。
3. 经济学应用变分法在经济学中的应用主要集中在最优控制问题的求解上。
在经济学中，我们经常关注如何通过制定最优决策来达到特定的目标。
通过变分法，可以求解出最优控制策略，从而实现最大化利润或最小化成本等经济目标。
变分法
18
方法II 使用第二种试探波函数
( x ) Ae
x2
1. 对第二种试探波函数确定归一化系数：
1 ( x )* ( x )dx | A |
| A|
2
2
2
e
2
x2
dx | A |
2
2
2.求能量平均值
H( ) | A | | A |
2
ˆ * H dx
e e
x2
ˆ x 2 dx He [
2 d2 2 dx 2
2
x2
1 2
x ]e
2 2
x2
dx
2 1 2 1 2 8
19
3.变分求极值
dH ( ) 2 1 2 2 0 d 2 8
0 j j
I c* y* k k
k
ˆ G G c y d
j
ˆ = c* y* c j G G0 y j d k k
= c* c j G j G0 k
k j
j
y y d
* k j
= c* c j G j G0 kj k
1 2
1
2
代入上式得基态能量近似值为：
2 1 1 1 2 2 H 2 2 8 2
这正是精确的一维谐振子基态能量。这是因为若将 代入试探波函数，得：
( x ) Ae
x
2
1 2
9
变分法
变分法综述1.变分法1.1.变分法起源变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，主要是古典变分法，它理论完整，在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛应用。
20世纪中叶发展起来的有限元法，其数学基础之一就是变分法。
[1]变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。
譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。
变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。
有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A 到达不直接在它底下的一点B 。
在所有从A 到B 的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。
它对应于泛函的临界点。
在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。
它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。
变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。
变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。
它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。
而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。
最优控制的理论是变分法的一个推广。
[2]同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。
变分一词用于所有极值泛函问题。
微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。
极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau 问题。
1.2变分问题类型固定边界的变分问题，可动边界的变分问题，条件极值变分问题和参数形式的变分问题。
[3]（1）古典变分问题举例 例1：最速降线或捷线问题（Brachistorone or curve of Steepest descent ）问题。
这是历史上出的第一个变分法问题，1696年约翰·伯努利提出的。
数学物理方法-13-变分法市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
变分法旳优点:
(1) 变分法在物理上能够归纳定律．因为几乎全部旳自 然定律都能用变分原理旳形式予以体现；
(2) 变分法易于实现数学旳统一化．因为一般而言，数学 物理方程旳定解问题都能够转化为变分问题．尤其是前面 简介旳斯特姆－刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变 分法提供了施－刘型本征值问题旳本征函数系旳完备性等 结论旳证明；
E-L方程除了上面给出旳形式(13.2.6)之外， 另外还有四种特殊情况：
(1) F 不显含 x
且
F 0 x
因为
F F ( y, y),
d (F y F ) F y[F d (F )] y[F d (F )]
dx
y x y dx y
y dx y
若 y 0, E-L方程等价于
F y F c y
y(x) 旳泛函，而称 y(x) 为可取旳函数类，为泛函 T[ y(x)]
旳定义域。简朴地说，泛函就是函数旳函数（不是复合函数
旳那种含义）．
一般来说，设C是函数旳集合，B是实数或复数旳集合， 假如对于C旳任一元素 y(x) 在B中都有一种元素 J 与之相应， 则称 J 为 y(x) 旳泛函，记为
J J[ y(x)]
设 u(x, y) 为 x, y 旳二元函数，则
J
x2 x1
y2 y1
F
(
x,
y,
u,ux
,
u
y
)dxdy
u(x1, y) u(x2 , y) u(x, y1) u(x, y2 ) 0
与此泛函极值问题相应旳E-L方程为
F F F ( ) ( )0
yi |xa 0,
yi |xb =0
(i 1, 2,, n)
则与此泛函极值问题相应旳E-L方程为
变量分离和变分法
变量分离和变分法一、变量分离变量分离是一种将问题简化的数学技术，它通过将多个变量分离到不同部分的方法来处理多变量问题。
在复杂的数学模型和物理问题中，经常存在多个变量相互作用的情况，这时可以通过变量分离技术将它们分别考虑，使问题更容易处理。
变量分离的基本思想是通过变换或拆分方式，将原始问题分解为若干个简单的子问题，从而简化问题的求解过程。
二、变分法变分法是数学中的一种重要方法，用于解决泛函的极值问题。
这类问题常见于最优控制、金融优化、物理学和工程学等领域。
变分法基于变分原理，即对于某个函数的极值问题，可以转化为求解这个函数的变分问题的临界点。
在实际应用中，我们通常需要考虑在一定约束条件下的最优解问题，变分法能够通过找到满足约束条件的函数，使原函数取得极值。
三、欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是变分法中的一个重要方程，它描述了函数的极值条件。
对于一个给定的泛函，如果它在某一点达到极值，那么这个点一定是欧拉-拉格朗日方程的解。
欧拉-拉格朗日方程是一个偏微分方程，它根据不同的约束条件和问题背景会有不同的形式。
在最优控制、流体动力学等领域中，欧拉-拉格朗日方程都发挥着重要的作用。
四、约束条件在许多实际问题中，我们需要考虑各种约束条件来限制变量的取值范围或满足特定条件。
这些约束条件可以是等式约束或不等式约束，它们限制了问题的可行解空间。
在优化问题中，约束条件通常与目标函数相互作用，使得在满足约束的条件下最大化或最小化目标函数成为必要。
因此，在解决多变量优化问题时，需要特别注意约束条件的处理方式。
五、无约束优化无约束优化是指在没有任何限制或约束条件下寻找函数的最优解的问题。
相比之下，有约束优化问题则需要考虑满足某些特定条件的解。
无约束优化问题可以通过各种优化算法来解决，如梯度下降法、牛顿法等。
这些算法通常迭代地寻找最优解，不断逼近函数的极值点。
在实际应用中，无约束优化问题广泛应用于机器学习、图像处理和控制系统等领域。
变分法
§ 7.2 变分法变分法是解决泛函极值的基本方法。
1. 泛函例 指标 0[(),(),]d [()]Tt J F x t u t t t S x T =+⎰的值依()x t 、0(),[,]u t t t T ∈是函数的函数 泛函 ()x t 和()u t 作为泛函的“自变量”，称为泛函的宗量例7.1 最短弧长问题：设()y y x =过11(,())A x y x 和22(,())B x y x若()y x 连续可微，则 2121d x x J yx =+⎰，(7.5) 是()y x 的泛函. 2. 泛函极值 设 (())J J y x =，(){}y x Y ∈=函数集若有y Y *∈，使()min ()y YJ y J y ∈*=或()max ()y YJ y J y ∈*=，则称泛函J 有极小值或极大值。
xo y))(,(22x y x B ))(,(11x y x A ∙∙)(x y 7.1图3. 变分 ≈函数的微分 宗量变分：在()y x 处的增量()()()y x yx y x δ=- Ox()y x ()y x ()yx ()()()y x yx y x δ =-O x泛函增量：[()][()]J J yx J y x ∆=- [()()][()]J y x y x J y x δ=+-泛函变分： 若[(),()][(),()],J L y x y x r y x y x ∆δδ=+式中：[(),()]L y x y x δ是()y x δ的线性连续泛函，即[(),()][(),()]L y x k y x k L y x y x δδ⋅=⋅ [(),()]r y x y x δ是()y x δ的高阶无穷小项，则称泛函J 是可微的，而称[(),()]L y x y x δ为泛函的变分，记为[(),()]J L y x y x δδ=。
引理7.1 若泛函可微，则变分[]()()a J J y x a y x aδδ=∂=+∂.证[]0()()a J y x a y x aδ=∂+∂0lima Ja∆→=00[(),()][(),()]lim lim a a L y x a y x r y x a y x a aδδ→→=+00[(),()][(),()]lim lim ()()[(),()]a a aL y x y x r y x a y x y x a a y x L y x y x J δδδδδδ。
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y
x2
x1
x2 x1
d dx
F y
dx
在两端点 0
x2 x1
F
y
d dx
F y
dx
0
∵ (x)为任意函数
∴
F y
d dx
F
y
0
欧拉－拉格朗日方程
最速落径问题
一阶变分：
F F y F y
y y
x2 F x, y y, y ydx x1
x2 F x, y, ydx
x1
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
O
2
(T)I I% I
y% y
y% x
y
yx
dy dx
x
y y% y a
y y% y a
利用δ沿可变曲线将F写成： F x, y y, y y
在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数：
F
x,
y
y,
y
y
F
x,
y,
y
y
,
y(n) y (n)
(2)
F1 F2 F1 F2
(3)
F1F2 F2 F1 F1 F2
(4)
F1 F2 F2 F1 F1 F2 F22
(5)
F n nF n1 F
(6)
x2 F x, y, ydx x2 F x, y, ydx
y(x)称为“极值曲线”或“极值函数y”%(x，)
路径”
称为“可变
y%(x) y(x) a(x)
η(x)是一可微函数，a为一微量的参变数。 η(x1)＝η(x2)＝0
I% x2 F x, y%, y%dx x2 F x, y a, y adx a
0
0
x2 x1
F dy% y%da
F dy%
y%
da
dx a0
0
注意到 dy%da ，dy% da
x2 x1
F y
F y
dx
0
x2 F dx F
x1 y
T
2 ds
2
dx2 dy2
x2
1 y2
dx
1V 1
V
x1
V
(1)
根据能量守恒原理
mV12 2
mgy1
mV 2
2
mgy
V
[V12
2g y
1
y1 ] 2
T
x2 x1
[V12
1 y2
2
g
y
y1
]
1 2
dx
(2)
设物体从零点静止开始下落
y
(5)
2 y
2
dy dx
d ydx
y
2
d dy
y2
d
y2
1 y2
1 y
dy
(6)
y
1
y
2
C
y dy dx Cy
y C 2 1 cos t
dy C 2 sin tdt
1 cos t C sin tdt dx C 1 cost dt dx
x1
x1
(7)
2F F , k F k1F
变分法
Variational Methods
任课教师：强士中 卫星
变分法简介
基本概念 经典变分问题 变分运算 变分的算法
基本概念
泛函 泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函
数，泛函是函数的函数。
I x2 F x, y, ydx x1
1) 除变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量； 2) 除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量
F y
y
F y
y
O
2
∴ F x, y y,
F的全变分：
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
(T) F F x, y y, y y F x, y, y
为函数的其他函数（因变量）； 3) 泛函中，除一阶导数外，还可以包含有高阶导数。
经典变分问题
最速落径问题
在垂直平面内，两点p1、p2间确定一滑槽，使一物体在 自重作用下，以最短时间由p1下降到p2。
最短线程问题
给定曲面g(x,y,z)上确定一条曲线，使其在曲面上的两 点之间的长度最短。
等周问题
式(2)简化为： T
1 x2 2g x1
1 y2
dx y
(3)
F(x, y, y)
1
y2
12
y
(4)
将式(4)直接代入欧拉－拉格朗日方程
F 1 y3 2 1 y2
y 2
F y
1
y2
1
2
yy1
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
O
2
I
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
I
x2 F
x1
y
d dx
F y
ydx
F y
y
x2 x1
I
x2 x1
2
d dx
F y
1 2
y 3
2
y2 1 y2
y1 2
y
1
y
2
3
2
F y
d dx
F y
y1 2
1 y2
1
2y
1
y
y2
0
2y 1 y2
F y
d dx
F y
ydx
(T)I I O 2
x2 F
x1
y
d dx
F y
ydx
O
2
2I
x2 x1
2F y 2
y2
2
2F yy
y
y
2F
y2
f
a
x
a2
1 3!
f
a
x
a
3
一阶变分
I x2 F x, y, ydx x1
函数F对变量x,y和y`二次可微；
泛函I在两点之间的数值取决于两点间所选择的路径， 即函数y(x)。
设存在函数y(x)，使泛函I达到极值，其相邻路径为 y%(x)。
I F x2 x, y, y, y,, y(n) dx x1
Euler－Poisson方程：
F y
d dx
F y
d2 dx 2
F y
1n
dn dx n
F y ( n )
0
变分的算法
(1)
dy dx
d dx
函数求极值
y=f(x)
局部最大值
拐点
局部最小值
x
f
x
f
a
df dx
xa
x
a
1 2!
d2 f dx2
xa
x
a2
1 3!
d3 f 3
xa
x a3
f
x
f
a
f
a
x
a
1 2!
在所有的封闭平面曲线中，若这些曲线有固定长度L，确 定一条曲线，使其所围成的面积A最大。
变分法
经典变分问题都是寻求一个问题的最优解答，其求解 过程为“最优化”过程。
经典变分问题的求解方法和过程是泛函求极值的方法
和过程。
研究泛函极值的方法就是所谓变分法，研究泛函极值 的近似方法就是所谓变分方法。
y2
dx
I取极值的条件： I 0
F d F 0 y dx y
具有多个因变量：