变分法

x1
x1
I%
I% a0


dI%
da
a0
a


d 2I%
da2
a0
a2 2!



I%
I


dI%
da
a
0
a


d 2I%
da2
a0
a2 2!

a=0时， 为极值的必要条件为：

dI%
da
a

y2
dx
I取极值的条件： I 0
F d F 0 y dx y
具有多个因变量：
I
x2 x1
F

x,
y1,
y2
,


yn
,
y1,
y2
,


,
yn
dx
F d F 0
含有高阶导数： yi dx yi
i=1,2,3,…,n
x2 x1

F y

y

F y

y
dx

O
2
I
x2 x1

F y

y

F y

y
dx
I
x2 F
x1

y

d dx
F y


ydx


F y

y

x2 x1
I
x2 x1
y(x)称为“极值曲线”或“极值函数y”%(x，)
路径”
称为“可变
y%(x) y(x) a(x)
η(x)是一可微函数，a为一微量的参变数。 η(x1)＝η(x2)＝0
I% x2 F x, y%, y%dx x2 F x, y a, y adx a
为函数的其他函数（因变量）； 3) 泛函中，除一阶导数外，还可以包含有高阶导数。
经典变分问题
最速落径问题
在垂直平面内，两点p1、p2间确定一滑槽，使一物体在 自重作用下，以最短时间由p1下降到p2。
最短线程问题
给定曲面g(x,y,z)上确定一条曲线，使其在曲面上的两 点之间的长度最短。
等周问题
I F x2 x, y, y, y,, y(n) dx x1
Euler－Poisson方程：
F y

d dx
F y

d2 dx 2
F y
1n
dn dx n
F y ( n )

0
变分的算法
(1)


dy dx


d dx
T
2 ds
2
dx2 dy2
x2
1 y2
dx
1V 1
V
x1
V
(1)
根据能量守恒原理
mV12 2

mgy1

mV 2
2

mgy
V
[V12
2g y

1
y1 ] 2
T
x2 x1
[V12

1 y2
2
g

y

y1
]
1 2
dx
(2)
设物体从零点静止开始下落

y

,
y(n) y (n)
(2)
F1 F2 F1 F2
(3)
F1F2 F2 F1 F1 F2
(4)
F1 F2 F2 F1 F1 F2 F22
(5)
F n nF n1 F
(6)
x2 F x, y, ydx x2 F x, y, ydx

F y

d dx
F y


ydx
(T)I I O 2

x2 F
x1

y
d dx
F y


ydx

O
2
2I
x2 x1

2F y 2

y2

2
2F yy

y
y

2F
y2
y% y
y% x
y
yx
dy dx
x
y y% y a
y y% y a
利用δ沿可变曲线将F写成： F x, y y, y y
在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数：
F

x,
y


y,
y


y

F

x,
y,
y
在所有的封闭平面曲线中，若这些曲线有固定长度L，确 定一条曲线，使其所围成的面积A最大。
变分法
经典变分问题都是寻求一个问题的最优解答，其求解 过程为“最优化”过程。
经典变分问题的求解方法和过程是泛函求极值的方法
和过程。
研究泛函极值的方法就是所谓变分法，研究泛函极值 的近似方法就是所谓变分方法。
一阶变分：
F F y F y
y y
x2 F x, y y, y ydx x1
x2 F x, y, ydx
x1
x2 x1

F y

y

F y

y
dx

O
2
(T)I I% I
变分法
Variational Methods
任课教师：强士中 卫星
变分法简介
基本概念 经典变分问题 变分运算 变分的算法
基本概念
泛函 泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函
数，泛函是函数的函数。
I x2 F x, y, ydx x1
1) 除变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量； 2) 除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量
式(2)简化为： T
1 x2 2g x1
1 y2
dx y
(3)
F(x, y, y)
1


y2

12
y
(4)
将式(4)直接代入欧拉－拉格朗日方程
F 1 y3 2 1 y2
y 2
F y

1

y2
1

2
yy1
y
x2
x1
x2 x1

d dx

F y
dx

在两端点 0
x2 x1
F

y

d dx

F y
dx


0
∵ (x)为任意函数
∴
F y

d dx

F
y


0
欧拉－拉格朗日方程
最速落径问题


F y

y

F y

y

O
2
∴ F x, y y,
F的全变分：
y


y

F

x,
y,
y


F y

y

F y

y

O
2
(T) F F x, y y, y y F x, y, y
函数求极值
y=f(x)
局部最大值
拐点
局部最小值
x
f
x

f
a


df dx
xa
x
a
1 2!
d2 f dx2
xa
x
a2

1 3!
d3 f dx3
xa
x a3

f

x

f
a


f
a

x

a

1 2!
1 cos t 2
2
x C 2 t sin t

y

C
2
1

cos
t

(7)
方程(7)表示一条旋轮线，它是直径为C的圆轮滚动 时，轮周上一固定点的轨迹方程。
变分运算
引入“δ算子”，定义 y x y% x y x
δ算子表示当独立变量x为一固定值时，因变量函数y 的任意微小变化。

f
a

x

a2
wk.baidu.com

1 3!

f
a

x

a
3


一阶变分
I x2 F x, y, ydx x1
函数F对变量x,y和y`二次可微；
泛函I在两点之间的数值取决于两点间所选择的路径， 即函数y(x)。
设存在函数y(x)，使泛函I达到极值，其相邻路径为 y%(x)。
x1
x1
(7)
2F F , k F k1F
0

0


x2 x1

F dy% y%da
F dy%
y%
da
dx a0
0
注意到 dy%da ，dy% da
x2 x1

F y


F y


dx

0
x2 F dx F
x1 y
y
(5)
2 y

2
dy dx

d ydx

y
2


d dy

y2

d

y2

1 y2


1 y
dy
(6)
y
1


y
2


C
y dy dx Cy
y C 2 1 cos t
dy C 2 sin tdt
1 cos t C sin tdt dx C 1 cost dt dx
2
d dx

F y



1 2
y 3
2
y2 1 y2

y1 2
y
1


y
2

3
2
F y

d dx

F y


y1 2
1 y2

1
2y

1

y
y2


0
2y 1 y2