误差分析和数据处理

lim
3 x
其中：
lim 算术平均值的极限误差
x
算术平均值的标准差
Ⅱ-3系统误差的发现和消除
系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的 因素造成的，一般说来这些因素是可以掌握的。 对待系统误差的基本措施就是设法发现并消除它。
测量的目的是为了得到被测量的真值 Ts，但
每次都有随机误差（在不计粗大误差和系统误差
的情况下）。而通常把测量值的算术平均值 x 作
为被测量的近似真值。
（二）剩余误差
用 表示剩余误差，而 i xi x
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
（三）标准差
人们发现，标准差 可以比较好的表达正态分 布规律的分散性大小，在工程实际应用中， 用以
附录Ⅱ 误差分析和数据处理
被测量的真值和试验所得的给出值总存在一定 的差异，这就是测量误差。而误差的存在使我们 对客观事物的认识受到不同程度的歪曲，因此就 必须进行误差分析。
附录Ⅱ 误差分析和数据处理
另一方面，一般原始的测试技术都是参差不齐 的，需运用数学方法加以精选、加工，以求获得可 靠、真正反映事物内在本质的结论，这就是要进行 数据处理。
Ts 为被测量的真值。
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
将式绘制成曲线就是著名的高斯正态分布曲线， 如图
测量值落在区间[xa , xb ]内的概率为曲线在该
段的积分，有
p{xa x xb}
xb p(x)dx
xa
b
p( )d
a
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
三、随机误差的评价指标
（一）算Leabharlann Baidu平均值
U KV
其中：
V 合成不确定度；
K 置信系数； U 总不确定度。
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
一、正态分布规律
在工程应用中，大多数随机误差的分布具有 以下几个特点：
（一）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概 率相等。
（二）单峰性：绝对值得误差出现的概率大， 绝对值大的出现的概率小。
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
（三）粗大误差
Ⅱ-1 误差的基本概念
四、测试数据的精度
（一）准确度
表示测量结果中系统误差大小的程度。反映 测试数据的平均值与被测量真值的偏差。
（二）精密度 表示测量结果中随机误差大小的程度。反映
了测试数据相互之间的偏差。
Ⅱ-1 误差的基本概念
（三）精确度
表示测量结果中系统误差和随机误差综合大小 的程度，反映了测量结果与被测真值偏离的程度。
下算式估算
1 n 1
n i 1
2 i
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
（四）算术平均值的标准差
一般用算术平均值 x 作为真值 Ts的近似值，
而用 x表示算术平均值的标准差，用以表示 x 的
分散程度。有关系式：
x
n
2 i
i 1
n(n 1) n
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
四、置信概率和极限误差
（一）置信概率
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
二、正态分布线
高斯于1795年提出了正态分布的随机误差值 与其出现的概率之间的函数关系式：
y p( ) 1 e 2 / 2 2 2
其中
y 为误差出现的概率密度 为标准差或均方根差 lim
n
i 为随机误差 i xi Ts
1
n
n
i2
i 1
xi 为单次测量结果。
误差分析和数据处理是判断科学实验和科学 测试结果质量和水平的主要手段。
Ⅱ-1 误差的基本概念
一、误差的定义和表示方法
（一）误差定义：
测量误差：是指被测量的实测值与其真值的 差别。
Ⅱ-1 误差的基本概念
（二）表示方法 １、绝对误差
绝对误差=测量值-真值
其中真值在以下情况下被认为是已知的。
Ⅱ-1 误差的基本概念
Ⅱ-1 误差的基本概念
三、误差的分类
（一）随机误差
在相同条件下，对同一对象进行多次测量， 有一种大小、符号都作随机性变化而无确定规律的 误差，称为随机误差。
Ⅱ-1 误差的基本概念
（二）系统误差
在相同条件下，对同一对象进行多次测量， 有一种绝对值和符号不变，或按某一规律变化的 误差，称为系统误差。
Ⅱ-1 误差的基本概念
五、不确定度
根据国家计量局《关于表达不确定度的建议 草案》，把不确定度按估计其权值所用的方法不 同归并成两类：
A类分量：对一系统多次重复测量后，用统计方法计 算出的标准偏差。
B类分量：用其他方法估算出的近似的标准偏差。
Ⅱ-1 误差的基本概念
而后用方和根的方法合成A类分量和B类分量， 合成后仍以标准偏差的形式表征，称为合成不确 定度。合成不确定度乘以一系数，从而得到总不 确定度，用下式表示：
次测量，大约有68次的值是落在 的范围的。
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
当置信区间宽为 2时，对应概率为95.4%
当置信区间宽为 3 时，对应概率为99.7%
因此可认为绝对值大于3 的误差几乎不可能
出现，所以通常又把 3 的误差称为单次测量误
差，用lim 表示。
lim 3
（三）算术平均值的概率误差
在一组等精度的测量值中，大小 x为的测量值 落入指定区间 [xa , xb ]内的概率称为置信概率，而 该指定区间 [xa , xb ]称为置信区间。
（二）单次测量的极限误差
显然置信区间取得宽，置信概率就大，反之则 小。
一般，当置信区间宽为 时，测量值落入区
间(Ts )内的概率为68.3%，也就是说，进行100
引用误差=
仪表的最大示值误差 仪表的测量上限
100%
（又称基本误差，而仪表的基本误差应不超过所 允许的误差，允许误差可引用误差的形式表示， 且当允许误差去掉百分号、正负号后的数字被称
为仪表的准确度级，如0.1;0.2;0.5L L ）
Ⅱ-1 误差的基本概念
二、误差的来源
（一）测量装置误差 （二）环境误差 （三）方法误差 （四）人为误差
随机误差的分布的几个特点：
（一）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概 率相等。 （二）单峰性：绝对值得误差出现的概率大， 绝对值大的出现的概率小。
（三）有界性：在有限次的测量中，绝对值很大 的误差出现的概率近于零。
（四）抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差 的代数和趋近于零。
以上规律的概率分布成为正态分布。
（１）理论真值：由理论公式计算所得结果；
（２）规定真值：由国际上公认的某些基准量。 （如一米是光在真空中于1/299792458 秒时间内所 到之长度） （３）相对真值
Ⅱ-1 误差的基本概念
２．相对误差
相对误差
绝对误差 被测真值
100%
相对误差便于评价测量精度的高低。
Ⅱ-1 误差的基本概念
３、引用误差