二次根式的化简与计算(讲义及答案)

二次根式的化简与计算（讲义）

➢ 课前预习

1. 回顾实数的相关概念，并完成下列各题．

（1）二次根式：

①定义：一般地，形如___________的式子叫做二次根式． ②性质：

2=_______（a ≥0=_______（a ≥0）．

=_______（a ≥0，b ≥0=______（a ≥0，b ＞0）． ③乘除法则：

=_____（a ≥0，b ≥0=_____（a ≥0，b ＞0）． ④加减法则：

先化成最简二次根式，再合并_______________． （2）实数混合运算顺序：

先算__________，再算______，最后算______．同级运算，从左向右进行．如果有括号，先算括号里面的．

2. 成立的x 的取值范围是（ ）

A ．x ≥1

B ．x ≥2

C ．1≤x ≤2

D ．x ≤2

➢ 知识点睛

1. 二次根式的双重非负性：

a ____00． 2. 二次根式双重非负性的常见应用：

（120b c +=，则a =______，b =______，c =_____．

（2a =______． 3. 实数混合运算处理方法：

①观察________，划________； ②有序操作，依________； ③每步推进一点点．

做运算时往往需要估计工作量

．．．．．，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算．4.二次根式与数形结合：

被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理

．．．．．．．．．．．．．解决问题．

➢精讲精练

1.若x，y

为实数，且满足10

x-=，则xy=______．

2.若x，y，z

2

(3)20 y x z

-++=

，则

=_______．

3.若实数x，y

2210

y y

++=，则x y=_______．

4.若实数a，b

(0

b-=，则a2+2b的平方根为________．

5.若实数x，y

满足3

y=，则2xy=________．

6.若实数x，y

满足1

y=

=____．

7.已知a，b为一等腰三角形的两边长，且a，b

满足等式4

b

=-，则此等腰三角形的周长为______．

8.计算：

（1

2

1

3

-

⎛

⎫

---+

⎪

⎭⎝⎭

（2

）22-；

（3

）3

20192020

0(1(1(-+-π-；

（4

）2(3(12---；

（5

）20

33

32-⎛⎛+- ⎝⎝

．

9. 古希腊几何学家海伦曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦公式：如果

一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2

a b c

p ++=

，那么三角形的面积为

S =．

如图，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别记为a ，b ，c ，若a =5，b =6，c =7，则△ABC 的面积为__________．

A

C a

b

10.数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以

相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来．通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而优化解题思路．

（1）【思想应用】已知m，n均为正实数，且m+n=4

的最小

值．

通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：

如图，AB=4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=2，BD=1，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE=m，BE=n．

①用含m的代数式表示CE=__________，用含n的代数式表示DE=_________；

的最小值．

（2

的最小值是

________．

A B

C

D

E

11.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．

（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；

（2）如果把图2中的阴影部分图形剪开，拼接成一个新正方形，那么这个新正方形的边长是__________，请你在图3中画出这个正方形．

图

1图

3图1

图1 图2 图3 12.问题背景：

在△ABC中，AB，BC，AC

ABC的面积．

小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积，他把这种解决问题的方法称为构

图法．

（1）图1中△ABC的面积为__________；（2）思维拓展：

若△DEF

的三边长分别为

，请在图2的正方形网格（每个小正

方形的边长为1）中画出△DEF，并计算△DEF的面积．

（3）探索创新：

如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF．若

PQ

=PR

QR

，则六边形AQRDEF的面积为__________．图1

C

B

A

图2图3

Q

P

R

F

E

D

A

备用图