合同与相似概念区别
矩阵相似与合同
矩阵相似与合同1. 矩阵相似矩阵相似是线性代数中一个重要的概念,它描述了两个矩阵之间的一种关系。
在讨论矩阵相似之前,我们先来回顾一下什么是矩阵。
1.1 矩阵的定义矩阵是由m行n列的数排成的一个矩形阵列,记作A=(a ij)m×n。
其中,a ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵相似的定义给定两个n阶矩阵A和B,如果存在一个可逆矩阵P,使得B=P−1AP,则称矩阵A和B相似。
矩阵相似关系具有以下性质:•自反性:任意矩阵A都与自身相似,即A相似于A。
•对称性:如果矩阵A与矩阵B相似,则矩阵B与矩阵A相似。
•传递性:如果矩阵A与矩阵B相似,矩阵B与矩阵C相似,则矩阵A与矩阵C相似。
矩阵相似关系可以看作是一种矩阵之间的等价关系,它保持了矩阵之间的某些性质不变。
2. 矩阵合同矩阵合同是另一种描述矩阵之间关系的概念。
与矩阵相似类似,矩阵合同也是通过一个可逆矩阵来表示两个矩阵之间的关系。
2.1 矩阵合同的定义给定两个n阶矩阵A和B,如果存在一个可逆矩阵P,使得B=P T AP,则称矩阵A和B合同。
矩阵合同关系具有以下性质:•自反性:任意矩阵A都与自身合同,即A合同于A。
•对称性:如果矩阵A与矩阵B合同,则矩阵B与矩阵A合同。
•传递性:如果矩阵A与矩阵B合同,矩阵B与矩阵C合同,则矩阵A与矩阵C合同。
矩阵合同关系也可以看作是一种矩阵之间的等价关系,它同样保持了矩阵之间的某些性质不变。
3. 矩阵相似与矩阵合同的关系矩阵相似和矩阵合同都是描述矩阵之间关系的概念,它们之间的区别在于变换矩阵的不同。
对于矩阵相似,变换矩阵是可逆矩阵P,而对于矩阵合同,变换矩阵是可逆矩阵P的转置P T。
矩阵相似和矩阵合同之间的关系可以通过以下定理来描述:定理 1:设A为n阶矩阵,A与对角矩阵D相似,即存在可逆矩阵P,使得D=P−1AP。
则存在正交矩阵Q,使得D=Q T AQ,其中Q是P的标准正交化矩阵。
定理 2:设A为n阶矩阵,A与对称矩阵S合同,即存在可逆矩阵P,使得S=P T AP。
矩阵的合同,等价与相似
矩阵的合同,等价与相似一、矩阵的合同,等价与相似的定义、性质及判定条件(一)矩阵的等价:1、定义:若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ,则称矩阵A 与B 等价,记为A B ≅。
2、性质:(1)反身性:即A A ≅.(2)对称性:若A B ≅,则B A ≅(3)传递性:即若A B ≅,B C ≅,则A C ≅(4) 若A 为m n ⨯矩阵,且()r A r =,则一定存在可逆矩阵P (m 阶)和Q (n 阶),使得000rm nI PAQ B ⨯⎛⎫==⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. (5) 设A B 、是两m n ⨯矩阵,则A B ≅当且仅当()()r A r B =3、判定:矩阵等价的充要条件:两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为:存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的n 阶矩阵Q ,使B PAQ =由矩阵的等价关系,可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件: (1)矩阵A 与B 必为同型矩阵(不要求是方阵).(2)存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.(二)矩阵的合同: 1、定义:两个n 阶方阵A,B ,若存在可逆矩阵P ,使得A B ≅P T AP B =成立,则称A,B 合同,记作A B ≅该过程成为合同变换。
2、性质:(1)反身性:任意矩阵A 都与自身合同.(2)对称性:如果B 与A 合同,那么A 也与B 合同.(3)传递性:如果B 与A 合同,C 又与B 合同,那么C 与A 合同. 因此矩阵的合同关系也是等价关系,而且由定义可以直接推得:合同矩阵的秩等.(4) 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同. (5) 复数域上秩为r 的二次型,可以用适当的满秩线性变换化为标准形: 22212r f y y y =++3、判定定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵,若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ,使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵(若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵),由矩阵的合同关系,不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件: (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵,而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =(三)矩阵的相似 1、定义:n 阶方阵A,B ,若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立,则称矩阵A,B 相似,记为~A B 。
合同与相似概念区别
代数中“合同”与“相似”概念的区别辨析在《高等代数》中队与多个矩阵有“合同”与“相似”的概念,关于这两组概念在定义上有很多相似的地方(合同——'B C AC =,相似——-1B C AC =),并且在《高等代数》在讲到“(欧式空间下)实对称矩阵的标准形”时有如下的定理:因此在这里给我们一种印象,即矩阵间的合同与相似在某种条件下画了=“”,这究竟是怎么回事,为此我们应该去深入的探求矩阵“合同”与“相似”之间的联系。
这个过称是循序渐进的,在学习“双线性函数”后,又对这个问题有了更深刻的理解,并且大胆的估计,“合同”与“相似”在概念上的区别会是代数问题上的一类大问题,现在对这个问题的思考结果归纳如下让我们先从线性变换这一概念出发,我们知道在对线性空间上的线性变换的有关性质直接的进行研究是不好做的,为此我们引进了“线性变换的矩阵”这一概念,即在一个线性变换,n 维空间的一组基,一个n 阶矩阵之间建立起了一对一的关系,关系如图而我们知道同一个线性变换在不同的一组基下,它所对应的矩阵是不同的,而这些矩阵之间的关系我们把它定义为“相似”,并且我们可以知道这些相似矩阵之间有这样的关系1B X AX -=,X 为这两组基之间的过渡矩阵,回顾“相似”概念,我们可以看出,“相似”的提出时基于“线性变换”。
“相似”是同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系,我们在提炼一下,“相似”的出现是同一个线性变换在不同背景之下的不同的表现形式之间的关系,这对后面区别“合同”与“相似”有很重要的意义下面我们再来看看“合同”概念。
《高等代数》在二次型的章节中对二次型化标准形的过程中首次提出了“合同“的概念。
对一个二次型进行非退化的线性替换,这样的二次型的不同矩阵之间的关系定义为“合同”,即'B C AC =。
而回顾“合同”的概念,我们可以发现,“合同”的概念是基于二次型的化简中产生的概念,而当我们学习了双线性函数的内容后就会发现“合同”的概念是基于双线性函数提出的,因此在这里我们有必要提出双线性函数的有关内容:双线性函数类比欧式空间中的线性变换是线性空间上的一种映射,所谓的“双线性”是指在固定一个自变量的情况下,另一个自变量满足“线性”的关系。
相似和合同的判定
相似和合同的判定
相似和合同是法律记述中常用的两个概念。
相似通常用于比较两个或多个事物、概念或情况之间的相似性和相同性。
在法律领域,相似可以指的是两个或多个案例、行为、条款或标准之间的相似之处。
例如,在刑事法中,可以通过比较两个案件的事实和法律要素来确定它们之间的相似性,以此为依据作出类似的判决或处理。
合同是指两个或多个当事人之间达成的协议或约定。
当事人通过签署或口头同意等方式来约定双方的权利和义务。
在法律上,合同是一种法律约束力强制性的文件,涉及到各种交易和业务关系。
合同可以是书面的或口头的,但为了明确权利和义务,书面合同通常会被要求。
判断两个事物、概念或情况之间的相似性可以通过比较它们的共同点和相同之处来实现。
而判断是否存在合同关系则需要查看当事人之间的协议或约定的存在和内容。
如果存在一个正式的合同文件,那么可以通过解读合同条款来确定双方的权利和义务。
如果合同是口头达成的,可能需要证人证言或其他证据来证明当事人之间的约定。
总的来说,相似和合同的判定都需要根据具体的案件和情况进行具体分析和解读。
在法律实践中,法官、律师或相关从业者会根据相关法律条款和先例进行判断和解释。
合同与相似的区别
合同与相似的区别
合同范本专家建议书。
尊敬的客户:
作为合同范本专家,我了解您对合同与相似的区别有所疑惑。
在合同起草过程中,确保合同的合法性和有效性是非常重要的。
在此,我建议您关注以下几点,以便更好地理解合同与相似的区别:
1. 合同的定义,合同是指双方或多方当事人约定的权利和义务关系,具有法律约束力。
而相似的文件可能是指协议、协议书、备忘录等,它们可能不具备法律约束力,或者约束力较弱。
2. 合同的要素,合同的要素包括合意、标的、形式和当事人的法律行为能力。
相似的文件可能不需要具备所有合同要素,或者要素的要求较为灵活。
3. 合同的效力,合同在符合法律规定的情况下具有法律效力,一旦违约,可依法采取法律手段进行维权。
相似的文件可能在法律效力上存在差异,需要根据具体情况进行分析。
4. 合同的法律适用,合同的法律适用受到法律的约束,需要遵循相关法律规定。
相似的文件可能受到不同的法律规范,需要根据具体情况进行审慎处理。
总之,合同与相似的文件在法律效力、法律适用等方面存在一定的区别,需要在起草和签订过程中谨慎对待。
如果您需要针对特定合同类型的范本或者有任何相关问题,欢迎随时与我联系,我将竭诚为您提供专业的建议和服务。
祝好!
合同范本专家敬上。
矩阵的合同等价与相似的联系与区别
矩阵的合同,等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质(一)等价:1、概念。
若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ,则称矩阵A 与B 等价,记为A B ≅。
2、矩阵等价的充要条件:A B ≅.{P Q A B ⇔同型,且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和,使得PAQ=B 成立3、向量组等价,两向量组等价是指两向量组可相互表出,有此可知:两向量组的秩相同,但两向量组各自的线性相关性却不相同。
(二)合同:1、概念,两个n 阶方阵A,B ,若存在可逆矩阵P ,使得A B ≅P T AP B =成立,则称A,B 合同,记作A B ≅该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件:矩阵A,B 均为实对称矩阵,则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数,即有相同的标准型。
(三)相似1、概念:n 阶方阵A,B ,若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立,则称矩阵A,B 相似,记为~A B 。
2、矩阵相似的性质:~A B 11~,~,~(,)|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提,均可逆即有相同的特征值(反之不成立)r(A)=r(B)即的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件:①充分条件:矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件:~()()A B E A E B λλ⇔-≅-二、矩阵相等、合同、相似的关系(一)、矩阵相等与向量组等价的关系:设矩阵 12(,,,)n A λλλ=L ,12(,,,)m B βββ=L1、若向量组(12,,,m βββL )是向量组(12,,,n λλλL )的极大线性无关组,则有m n ≤,即有两向量等价,而两向量组线性相关性却不同,钱者一定线性无关,而后者未必线性无关。
而矩阵B 与A 亦不同型,虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。
矩阵的合同-等价与相似的联系与区别
矩阵的合同,等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质(一)等价:1、概念。
若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称矩阵A与B 等价,记为 A B 。
2、矩阵等价的充要条件:A B { A.B同型,且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=成立3、向量组等价,两向量组等价是指两向量组可相互表出,有此可知:两向量组的秩相同,但两向量组各自的线性相关性却不相同。
(二)合同:1、概念,两个n阶方阵A,B,若存在可逆矩阵P,使得A B P T AP B 成立,则称A,B 合同,记作 A B 该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件:矩阵A,B 均为实对称矩阵,则 A B 二次型X T A X 与X T B X有相等的E负惯性指数,即有相同的标准型。
(三)相似1、概念:n阶方阵A,B,若存在一个可逆矩阵P使得B P1AP成立,则称矩阵A,B 相似,记为A~B。
2、矩阵相似的性质:A T~B T, A k~ B k,A 1~ B 1(前提,A,B 均可逆)| E-A | | E B|即A,B有相同的特征值(反之不成立)A~ B r(A)=r(B)tr(A) tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件:①充分条件:矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件:A~ B ( E A) ( E B)二、矩阵相等、合同、相似的关系(一)、矩阵相等与向量组等价的关系:设矩阵 A ( i, 2,L , n),B ( i, 2,L , m)1、若向量组(1, 2,L , m)是向量组(1, 2丄,n)的极大线性无关组,则有m n,即有两向量等价,而两向量组线性相关性却不同,钱者一定线性无关,而后者未必线性无关。
而矩阵B与A亦不同型,虽然r(A) r(B)但不能得出A B。
2、若m=n,两向量组(1, 2,L , n) ( 1, 2,L , m )则有矩阵A,B同型且r(A) r(B) A~ B, A; B,A B r( A) r(B) A B。
浅谈矩阵的等价、合同与相似之间的关系
1 、引 言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念,在线性代数的学习中,矩阵的相似与合同作为研究工具,得到广泛的应用,起着非常重要的作用,能够把要处理的问题简单化,本文对矩阵的等价,合同,相似进行了简单的介绍 ,对矩阵的应用学习有一定的帮助.2、矩阵的等价,相似,合同2.1矩阵的等价2.1.1矩阵等价的定义:矩阵等价用矩阵乘法表示出来就是,如果有两个m ×n 阶矩阵A 和B ,而且这两个矩阵满足B=QAP ,其中P 是n ×n 阶可逆矩阵,Q 是m ×m 阶可逆矩阵,那么这两个矩阵是等价的。
即,矩阵A 经过有限次的初等变换得到矩阵B2.1.2初等变换(1)换法变换:对调矩阵的两行(列),得初等矩阵E(i,j).用m 阶初等矩阵),mj i E (左乘nm ij a A ⨯=)(,相等于对矩阵A 实行第一种矩阵初等行变换,把A 的第i 行与第j 行对调,记作(r r j i ↔)类似的,用n 阶初等矩阵()j i E n ,右乘矩阵n m ij a ⨯=)(A ,相当于都矩阵A 实行第一种矩阵初等列变换,把A 的第i 列与第j 列对调,记作)c c j i ↔( (2)倍法变换:以数K ≠0乘某一行(列)中的全部元素,得初等矩阵))((K i E 。
用))((K i m E 左乘矩阵A ,相当于以数K 乘A 的第i 行,记作(K r i ⨯)。
用))((K i nE 右乘矩阵A ,相当于以数K 乘A 的第i 列,记作(K ⨯c i )。
(3)消法变换: 以数K 乘某行(列)加到另一行(列)上去,得初等矩阵))((K E ij ,以))((K E ij m 左乘矩阵A ,相当于把A 的第j 行乘以K 加到第i 行上,记作(r r j i K +)。
以))((K E ij n右乘矩阵A ,相当于把A 的第i 列乘以K 加到第j 列上,记作(c c i j K +)。
矩阵的合同和相似之间的联系和区别20120979
矩阵的合同和相似之间的联系和区别
矩阵的相似本质上是通过一系列操作把具有相同本征值的矩阵归为一类,具有相同的本征值的矩阵不一定具有相同的对应的本征向量,因此矩阵的相似就是借用相似矩阵的不同的本征向量之间的变换来找到这两个矩阵之间的相似变换。
例如:在直角坐标系下,我们写出对角矩阵A,也就表明A的本征向量就是(1,0,0,0,0……),(0,1,0,0,0……)……
而G具有与A相同的本征值,但是其本征向量在直角坐标系下的表示为(P00,P01,P02,P03……),(P10,P11,P12,P13……)……
那么我们就可以直接得到G与A之间的相似变换,就是P(G的本征向量在A的本征向量为基底的表示下排成的矩阵)
矩阵的合同并不保特征值不变,只保正负特征值的数量不变。
在这里我们考虑是对称矩阵的合同。
合同好像和本征值与本征矢量没有多大的关系。
合同的关系怎么找呢,合同保的是二次型不变。
给你一个实对称矩阵Q,作为二次型,它始终可以通过元的配方写成没有交叉项的形式。
合同和相似的区别
合同和相似的区别
合同范本专家。
标题,合同和相似的区别。
在合同范本专家的工作中,了解合同和相似的法律文件之间的
区别是至关重要的。
虽然合同可能与其他法律文件有相似之处,但
它们在法律效力和法律约束方面可能存在着重要的区别。
首先,合同是一种具有法律约束力的协议,它涉及到双方或多
方之间的权利和义务。
合同通常包括了双方的意愿和同意,并且在
双方之间产生了法律效力。
与之相似的文件可能包括协议、备忘录
或声明,它们可能是双方之间的约定,但并不一定具有法律约束力。
其次,合同通常需要满足一定的法律要求,比如必须包括合法
的对象、合法的目的、双方的真实意愿和合法的方式等。
而相似的
文件可能并不需要满足这些法律要求,因此在法律效力上可能存在
差异。
此外,合同可能需要满足特定的形式要求,比如需要以书面形
式订立或者需要经过特定的程序。
相似的文件可能并不需要满足这
些形式要求,因此在证明和执行上可能存在差异。
作为合同范本专家,我将根据客户的需求和具体情况,为他们
提供专业的建议和指导,确保他们了解合同和相似文件之间的区别,并能够选择合适的法律文件来满足他们的需求和目的。
我将根据客
户的具体情况定制合适的合同范本,确保合同的合法性和有效性,
以及客户的满意度。
合同与相似的区别
合同与相似的区别在商业、法律等领域中,合同和相似概念经常被提及。
虽然两个词语的含义有一定的重叠,但它们的定义和特点还是有所不同的。
在本文中,我们将对这两个概念进行分析,以便更好地理解它们的区别。
一、合同的定义和特点合同是指两个或多个人之间达成的文本协议。
它们可以是口头的,也可以是书面的。
合同的目的是明确各方之间的权利和义务,并约束各方按照协议的规定履行自己的义务。
合同可以是商业合同、房屋租赁合同、劳动合同、婚姻合同等任何形式的协议。
合同的特点主要包括以下几点:1.双方自愿:合同必须是双方自愿达成的。
这意味着各方必须意识到自己在签署合同时负有一定的责任。
2.规范性:合同是一种法律文件,对各方都具有约束力。
如果某一方未能履行合同所规定的义务,对方可以要求其赔偿。
3.契约性:合同是一种双方都必须遵守的契约。
这意味着,合同不仅规定了各方的权利和义务,而且也为各方确立了一种互惠互利的关系。
与合同相似的概念包括协议、协议书、声明、保证书、承诺书等。
这些文件在某些方面类似于合同,但在其他方面则有所不同。
以下是相似概念的定义和特点:1.协议:协议是指各方之间的口头或书面协商,以达成一种一致意见或共识。
2.协议书:协议书是一种书面文件,用于记录各方之间的协议,以更清晰地表达双方的意图和责任。
3.声明:声明是一种正式的宣布,通常用于说明某种事实或表达某种观点。
4.保证书:保证书是一种书面协议,保证某种承诺得到履行,通常与贷款、保险等交易有关。
5.承诺书:承诺书是一种书面文件,承诺某种行为或要求某种行为得到履行。
尽管合同和相似概念在某些方面有所不同,但它们之间的界限并不总是清晰。
然而,下面是将合同和相似概念区别开来的几个方面:1.法律约束力不同:合同是一种法律文件,对各方都具有约束力。
而相似概念不一定有法律约束力,有些是纯粹的口头承诺。
2.内容不同:合同必须是双方在明确规定下达成的协议。
另一方面,协议、声明、保证书、承诺书等概念可以是单方或多方之间的口头或书面协议。
矩阵合同和相似
矩阵合同和相似引言矩阵是线性代数中的重要概念,广泛应用于各个领域。
在线性代数中,矩阵合同和相似是两个常见的关系,它们在矩阵的性质和应用中起到了关键作用。
本文将对矩阵合同和相似进行介绍和讨论。
矩阵合同矩阵合同是指两个矩阵具有相同的秩、特征多项式以及特征值的多重性。
具体而言,设A和B是n阶矩阵,如果存在非奇异矩阵P,使得PTAP = B,则称矩阵A和B是合同的。
矩阵合同的性质矩阵合同具有以下性质: - 对于任意n阶矩阵,矩阵与自身合同。
- 若矩阵A与矩阵B合同,则矩阵B与矩阵A合同。
- 若矩阵A与矩阵B合同,且矩阵B与矩阵C合同,则矩阵A与矩阵C合同。
矩阵合同的应用矩阵合同在实际应用中具有广泛的应用,例如: - 物体的正交变换:在三维几何中,通过正交矩阵对物体进行旋转、平移和缩放等变换。
这些变换可以表示为合同关系,通过合同矩阵可以实现物体的坐标变换。
- 矩阵的相似性:矩阵合同是矩阵相似性的一种特殊情况。
在线性代数中,矩阵相似是一种重要的关系,它描述了矩阵在不同基下的表示和性质。
矩阵相似矩阵相似是指两个矩阵具有相同的特征值。
具体而言,设A和B是n阶矩阵,如果存在非奇异矩阵P,使得P-1AP = B,则称矩阵A和B是相似的。
矩阵相似的性质矩阵相似具有以下性质: - 对于任意n阶矩阵,矩阵与自身相似。
- 若矩阵A与矩阵B相似,则矩阵B与矩阵A相似。
- 若矩阵A与矩阵B相似,且矩阵B与矩阵C相似,则矩阵A与矩阵C相似。
矩阵相似的应用矩阵相似在实际应用中具有广泛的应用,例如: - 矩阵对角化:通过相似变换将矩阵对角化,可以简化矩阵的运算和求解。
对角化后的矩阵具有简洁的形式,更容易研究和分析。
- 矩阵的特征值问题:矩阵相似性与特征值问题密切相关。
通过矩阵相似变换,可以将复杂的特征值问题转化为简化的形式,从而更容易求解。
结论矩阵合同和相似是矩阵理论中的两个重要概念,它们在矩阵的性质和应用中起到了关键作用。
矩阵的合同,等价与相似的联系与区别
矩阵的合同,等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质(一)等价:1、概念。
若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称矩阵A与B等价,记为A B。
2、矩阵等价的充要条件:A B{A.B同型,且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=B成立3、向量组等价,两向量组等价是指两向量组可相互表出,有此可知:两向量组的秩相同,但两向量组各自的线性相关性却不相同。
(二)合同:1、概念,两个n阶方阵A,B,若存在可逆矩阵P,使得A成立,则称A,B合同,记作A B该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件:矩阵A,B均为实对称矩阵,则A B BPAP BT二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数,即有相同的标准型。
(三)相似1、概念:n阶方阵A,B,若存在一个可逆矩阵P使得B P1AP成立,则称矩阵A,B相似,记为A~B。
2、矩阵相似的性质:A~B,A~B,AA~B TTkk1~B(前提,A,B均可逆)1|E-A||E B|即A,B有相同的特征值(反之不成立)r(A)=r(B)tr(A)tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件:①充分条件:矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件:A~B(E A)(E B)二、矩阵相等、合同、相似的关系(一)、矩阵相等与向量组等价的关系:设矩阵A(1,2,,n),B(1,2,,m)1、若向量组(1,2,,m)是向量组(1,2,,n)的极大线性无关组,则有m n,即有两向量等价,而两向量组线性相关性却不同,钱者一定线性无关,而后者未必线性无关。
而矩阵B与A亦不同型,虽然r(A)r(B)但不能得出A B。
2、若m=n,两向量组(1,2,,n)(1,2,,m)则有矩阵A,B同型且r(A)r(B)A~B,A B,A Br(A)r(B)A B。
3、若A B r(A)r(B)两向量组秩相同,两向量组等价,即有A B(1,2,,n)(1,2,,n)综上所述:矩阵等价与向量等价不可互推。
合同与相似的区别
合同与相似的区别
合同是指双方或多方之间就某种事项达成协议并具有法律约束
力的文件,而相似的文件包括协议、协定、承诺书等。
虽然它们在
形式上有些相似,但在法律效力和约束力上存在一些区别。
首先,合同是指双方或多方之间就特定事项达成的协议,具有
法律约束力,一旦违约将受到法律制裁。
而相似的文件可能只是双
方之间的口头约定或书面承诺,没有法律效力,一旦发生争议,很
难通过法律手段解决。
其次,合同具有明确的法律条款和约定,双方在签署合同之前
通常会进行充分的协商和讨论,确保各项权利和义务得到充分保障。
而相似的文件可能缺乏详细的条款和约定,容易导致双方在事后产
生分歧和纠纷。
此外,合同的签订通常需要遵循一定的法律程序和形式,例如
需要经过公证或者具有法律资格的机构进行认证。
而相似的文件可
能只是双方之间的书面或口头约定,没有经过法律程序的认证,因
此在法律上的约束力较弱。
总的来说,合同具有明确的法律效力和约束力,是法律上认可的文件,而相似的文件在法律上的约束力较弱,容易导致纠纷和争议。
因此,在签订文件时,双方应当慎重考虑,确保选择合适的文件类型并经过法律程序的认证。
简述相抵、合同、相似的联系、差别和不变量
简述相抵、合同、相似的联系、差别和不变量摘要:相抵、合同、相似是矩阵中的三种等价关系,在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系.本文首先介绍三种等价关系的定义、性质、相关定理以及简单应用;其次,讨论三种等价关系的联系、差别和不变量.关键词:相抵、合同、相似、秩、对角化、相似标准形、二次型标准形正文:一、 相抵的定义、性质、相关定理及简单应用:1、 定义:若矩阵A 经过初等变换化为B (或:若存在可逆矩阵P 和Q ,使得PAQ B =),就称A 相抵于B ,记为A B ≅.2、 性质:1)、反身性:即A A ≅.2)、对称性:若A B ≅,则B A ≅(由于有对称性,A B ≅一般就说A 和B 相抵).3)、传递性:即若A B ≅,B C ≅,则A C ≅.由以上三点可知相抵是一种等价关系,相抵也可叫为等价.4)、相抵矩阵可以是n 阶方阵,也可以不是n 阶方阵,即A 、B 可以为m n ⨯矩阵.设A 是一个m n ⨯矩阵,存在m m n n E E ⨯⨯,,使得m nm m m n n n A E A E ⨯⨯⨯⨯=成立.5)、对于相抵矩阵A 、B 有()()r A r B =.证明:设A 、B 为m n ⨯矩阵,存在m 阶、n 阶可逆矩阵P Q 、,使得m n m m m n n n B P A Q ⨯⨯⨯⨯=由于可逆矩阵P Q 、可以表示为若干个初等矩阵的乘积,而初等变换不改变矩阵的秩,故()()()r A r PAQ r B ==. 3、 相关定理及简单应用:定理:若A 为m n ⨯矩阵,且()r A r =,则一定存在可逆矩阵P (m 阶)和Q (n阶),使得000rm nI PAQ B ⨯⎛⎫==⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵.证明:对A 作初等行变换,将A 化为有r 个非零行的行简化阶梯矩阵1B ,即存在初等矩阵12,S P P P ,使得211S P P P B = .再对1B 做倍加列变换和列对换可将1B 化为B ,即存在初等矩阵12,,,t Q Q Q ,使得112t BQQ Q B = .记21S P P P P = ,12,,,t Q Q Q Q = (P Q 、均可逆)则有000rm nI PAQ B ⨯⎛⎫==⎪⎝⎭我们把000rI ⎛⎫⎪⎝⎭称为A 的相抵标准形.推论:设A B 、是两m n ⨯矩阵,则A B ≅当且仅当()()r A r B =.证明:设A 与B 相抵标准形为000rI ⎛⎫⎪⎝⎭,000sI ⎛⎫⎪⎝⎭,则()r A r =,()r B s =.从而A B ≅当且仅当000rI ⎛⎫⎪⎝⎭=000s I ⎛⎫⎪⎝⎭,当且仅当()()r A r B =.例题:设A 是m n ⨯矩阵(m n >),()r A n =.证明:存在n m ⨯矩阵B ,使得n BA I =.证明:由上面定理,存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ,使得10n I PAQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭,于是111100n I Q PA Q --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中10是()m n n-⨯零矩阵,取2(,0)C Q =,其中20是()n m n ⨯-零矩阵,则112211(,0)000n Q CPA Q QQ I --⎛⎫==+= ⎪⎝⎭故存在BCP =,使得n BA I =.相抵是矩阵三个等价关系中最简单、最普通的一种,它常与矩阵的秩联系起来应用.它的重要特征是A 相抵于B ,则()()r A r B =.二、 相似的定义、性质、定理及相关问题1、 定义:对于矩阵A 和B ,若存在可逆矩阵P ,使1P A P B -=,就称A 相似于B ,记A B.由定义可以看出相似条件要强于相抵,因此,相似矩阵必相抵.相似也是矩阵的种等价关系,这种关系具有下面三种性质: 1)、反身性:A A;2)、对称性:如果A B ,那么B A ;证:如果A B,存在可逆矩阵X,使1B X AX -=.令1Y X -=,就有11A XBX Y BY --==,即B A .3)、传递性:如果A B ,B C ,那么A C .证:已知有,X Y使11,B X AX C Y BY--==,令Z XY =,就有:111C Y X AXY Z AZ ---==.因之A C .2、 性质:相似矩阵除了具有等价关系的三种性质外,还有以下这些性质: 1)、11111221122()P k A k A P k P A P k P A P ---+=+(其中12,k k 是任意常数);2)、1111212()()()PA A P P A P P A P ---=;3)、若A B,则m m A B (m 为正整数);证明:因为A B,所以存在可逆矩阵P ,使1P AP B -=,于是1111()()()mB P AP P AP P AP P AP ----==故mm A B .4)、若A B,则()()f A f B ,其中111011101110()()()n n n n n n n n n n n n f x a x a x a x a f A a A a A a A a I f B a B a B a B a I------=++++=++++=++++用1)、3)的结论,容易证明4)成立.5)、相似矩阵有相同的秩,而且,如果1B P AP -=为满秩矩阵,那末11111()B P AP P A P -----==.即满秩矩阵如果相似,那么它们的逆矩阵也相似.6)、相似的矩阵有相同的行列式; 因为如果1B P AP -=,则有:11B P AP P A P A --===7)、相似的矩阵或者都可逆,或者都不可逆;并且当它们可逆时,它们的逆矩阵相似; 设1B P AP -=,若B 可逆,则11111()B P AP PA P -----==从而A 可逆.且1B -与1A -相似.若B 不可逆,则1()PAP -不可逆,即A 也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论,因此我们把它写成以下定理:8)、定理:相似矩阵的特征值相同.证明:只需证明相似矩阵有相同的特征多项式.设A B ,则存在可逆矩阵P ,使得1P AP B -=.于是:()11E B E P AP P E A Pλλλ---=-=-1P E A P E A λλ-=-=-(因11P P -=).但是这个定理的逆命题不成立,即有相同的特征值(多项式)的矩阵不一定似.例如:1011,0101A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭它们的特征多项式都是2(1)λ-,但它们不相似.这是因为与A 相似的矩阵只能是它自身,因此A 与B 不相似. 推论:相似矩阵有相同的迹. 3、 相似的相关问题:(1)、例1:证明:若11A B 且22A B ,则{}{}1212,,diag A A diag B B .证明:若11A B ,则存在可逆矩阵1P ,使11111P A P B -=;若22A B ,则存在可逆矩阵2P ,使12222P A P B -=.因为111111111112222222000000000A PB P P A P A P B P P A P ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即11111222200000000P A P B P A P B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以11220000A B A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即{}{}1212,,diagA A diagB B .例2:证明:与幂等矩阵相似的矩阵仍是幂等矩阵.证明:设A 为幂等矩阵,2A A =若A B ,则存在可逆矩阵P 使得:1B P AP -=又2121BP A P P AP B --=== 2B B ∴=即B 仍是幂等矩阵.(2)、已知A ,B 相似,反求A ,B 中的参数.若A 、B 相似,则有最一般的结论:A 、B 的特征多项式相同,即E A E B λλ-=-,至于A B =,()()r A r B =均可由此导出,因此这类问题一般从E A E B λλ-=-着手.例:A 与B 相似,其中20010022,02031100A x B y --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1) 求x 和y 的值; (2) 求可逆矩阵P ,使得1PAP B -=.解:(1)、因A B,有E A E Bλλ-=-得:23313220010020210xa a a yλλλλλλ++--=---()()()(2)[()(1)2]12x y λλλλλλ+---=+--令0λ=.代入得:2(2)22x y y x -=⇒=-;令1λ=-.代入得:04(2)20y y x =--⇒=-⇒=.(2)、由(1)知:200100202,020311002A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A 的特征值为1231,2,2λλλ=-==-.求对应的特征向量:对11λ=-,求解123120*********x x x -+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---= ⎪⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭.解得:1021ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;对22λ=,求解123220022203121x x x +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭.解得:2011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;对32λ=-,求解123220022203121x x x -+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---= ⎪⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭.解得:301ξ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.令123001(,,)210111P ξξξ⎛⎫ ⎪== ⎪⎪--⎝⎭,则P 可逆,且1P AP B -=.(3)、求矩阵A 的相似标准形.例:已知142010122A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,求可逆矩阵P ,化A 为相似标准形Λ,并写出对角矩阵Λ.解:先求A 的特征值、特征向量,由214210(1)(2)2(1)12E A λλλλλλλλ---=+=++-++--2(1)()λλλ=++所以A 的特征值是-1(二重)、0.对1λ=-,解:1231142011001212x x x ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+= ⎪⎪ ⎪⎪---+⎝⎭⎝⎭得特征向量:1210ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2101ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;对0λ=,解1231420100122x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭,得特征向量:301ξ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.令123212(,,)100011P ξξξ-⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭,则由212100100010100010011001011001212100-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭100010100010011001010120001121001121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1010120121P -⎛⎫⎪∴=-- ⎪⎪-⎝⎭有:1010142212120010100121122011P AP ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=Λ=--- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭110-⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭.(4)、n 级矩阵A 可相似对角化:1)、n 级矩阵A 可相似对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量; 2)、若n n A ⨯有n 个互异的特征值12,,,n λλλ ,则A 与对角矩阵12n λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 相似.(5)、求矩阵A 的高次幂nA .例:已知110220421A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,求n A .解:由于211022(1)()421E A λλλλλλλ+--=-=----1λ⇒=(二重),0λ=.对11λ=,由123111021*******x x x +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭所以:1120ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2001ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;对20λ=,由1230110202004201x x x +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭所以:3112ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.123101(,,)201012P ξξξ⎛⎫ ⎪∴== ⎪ ⎪-⎝⎭,可求得1110421210P --⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭.于是1110P AP -⎛⎫⎪=Λ= ⎪⎪⎝⎭则:1101111020114210120210n nA P A P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪==- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭100110110200421220010210421--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例:已知三阶矩阵A 的特征值为1,-1,2,设矩阵325B A A =-,试求:(1)、B 的特征值及其标准形,并说明理由; (2)、行列式B 以及5A E -,(E 为三阶单位阵).解:(1)设A 相应于特征值1,-1,2的特征向量分别为123∂∂∂,,.由于不同的特征向量线性无关,令123T=∂∂∂(,,),则T 为可逆阵,且1112T AT -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭,所以,113125T BT T A T T A T ---=-因为13131212TA T T AT T A T T AT ----==(),()所以111415168412T BT --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.B ∴有特征值-4,-6,-12,且B 的相似标准形为对角阵:4612-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.(2)、因为14612T BT --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭得: B =(-4)*(-6)*(-12)=-28811545156253T A E T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭() 所以5A E -=(-4)*(-6)*(-3)=-72.小结:矩阵相似主要与特征值、特征向量相结合来求矩阵的对角化问题.三、 合同1、 定义:对两个矩阵A 和B ,如果存在可逆矩阵C ,使T CAC B =,就称A 合同 于B ,记为A B .合同这种关系也满足等价的三个规律:1)、反身性:A A ;2)、对称性:假如A B ,那么B A ;3)、传递性:假如1223,A A A A ,那么13A A .因此矩阵的合同关系也是等价关系,而且由定义可以直接推得:合同矩阵的秩相等.2、 合同的性质和相关问题:(1)、合同矩阵的定义中所指的矩阵是一般的矩阵,多是针对对称矩阵研究合同关系的.任一个对称矩阵,都存在对角阵与它合同,与对角阵合同的矩阵必定是对称矩阵.也可以说合同保持对称性不变.(2)、实对称矩阵A 为正定矩阵的充要条件是A 与E 合同,为负定矩阵的充要条件是A 与E -合同.证明:若A 是正定的,即二次型12(,,)T n f x x x X TX = 是正定的,从而可通过实满秩线性代换X CY =化为:2221212(,,)()T T T n n g y y y Y X TX Y y y y Y EY ==++=于是T C AC E =.即A 与E 合同.反之,若A 与E 合同,则由g 可通过实满秩线性代换化为f ,因g 正定的,故f 也是正定的,即A 为正定矩阵.(3)、合同保持矩阵的惯性指数、有定性不变;(4)、合同可用来化二次型的标准形.定理:复数域上秩为r 的二次型,可以用适当的满秩线性变换花为标准形: 22212r f y y y =++例:将二次型2221231122233(,,)2244f x x x x x x x x x x =++++用合同变换化为标准形.解:2221231122233(,,)2244f x x x x x x x x x x =++++所对应的矩阵为: 110122024A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,于是有: 1101001001001221120120100240240240001001101101120100100100120010********⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故f 的标准形为:2221230f y y y =++⋅.而变换矩阵为:112012001P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭. (5)、例:若A 为正定矩阵,则1A -也是正定矩阵.证明:A 为正定矩阵,故A 为对称矩阵.0,A A E > ,于是1A -存在,并且: (1)111()()T T A A A ---==,1A -为对称矩阵.(2)存在满秩矩阵P ,使T PAP E = 于是1111()()T T P AP P A P E ----==.取1()T Q P-=,则Q 为实满秩矩阵,使1T Q A Q E -=,即 1AE - 综上,1A -为正定矩阵.四、 相抵、合同、相似的联系、差别和不变量.上面非常粗略的介绍了三种等价关系,下面我们再来看看它们之间的相互关系:1、 三者都是等价关系,都具有反身性、对称性与传递性;2、 相抵矩阵可以是m n ⨯矩阵A B 、,相抵的充要条件为存在m 级可逆矩阵P 与n级可逆矩阵Q ,使得PAQ B =. 相似、合同比相抵条件要强,相似、合同的矩阵必是方阵;若A B 、相似、合同,则A B 、一定相抵,反之不对. 3、 若实对称矩阵A B 、合同,则A B 、一定相抵;若实对称矩阵A B 、相似,则必合同.因为A B,则有相同的特征值12,,,n λλλ ,于是存在正交矩阵12P P 、,使得:111111222{,,,}T T n P AP P AP diag P BP λλλ-===从而:112112T T T P P A PP P AP B --==()(), 其中111122121T T T T T P PP P P P P P ---===,()().但反之不成立.如:10100102A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, A B 、合同,但A 与B 不相似. 4、 最后,让我们看看相似、相抵、合同各自的不变量.1)、相抵保持秩不变; 2)、相似则保持秩、迹、行列式、特征多项式、可逆性、对称性、有定性不变;3)、合同不变量有:秩、特征值、行列式、有定性、对称性、可逆性.这些可以从上面的性质看出,这里就不加以讨论.参考文献:《高等代数习题解》杨子胥编山东科技出版社《线性代数》居余马编清华大学出版社《线性代数》李湘云编湖北科学技术出版社《高等代数》辅导及习题精解滕加俊编陕西师范大学出版社《高等代数》教材《高等代数》熊全淹主审高等教育出版社《矩阵分析》刘丁酉编武汉大学出版社。
合同与相似的区别
合同与相似的区别
合同范本专家建议:
在合同范本中,我们通常会提到“合同”和“相似”之间的区别。
合同是一种具有法律约束力的协议,它规定了双方当事人之间的权利和义务。
而“相似”则指的是类似但不具有法律约束力的协议或协议草案。
在合同范本中,我们需要明确区分合同和相似的区别,以避免产生误解或纠纷。
合同范本应当包括清晰的条款和定义,确保双方当事人对合同的理解一致。
同时,范本中也应当明确指出哪些部分是具有法律约束力的合同条款,哪些部分是供参考或协商的相似内容。
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我们的目标是确保合同的合法性和有效性,以及双方当事人的权益得到保障。
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合同和相似
合同和相似
合同与相似,共同点与区别。
合同和相似这两个词似乎没有太多关联,但是它们之间其实有着一些共同点和区别。
在生活中,我们经常会遇到合同和相似的情况,无论是在工作中还是日常生活中,了解它们的共同点和区别对我们的生活都是有帮助的。
首先,合同和相似都是指两个或多个事物之间的关系。
合同是一种法律文件,它规定了双方之间的权利和义务,是一种法律上的约束力。
而相似则是指两个或多个事物在某些方面具有相同的特点或属性,但并不是完全相同。
在这一点上,合同和相似都是指两个或多个事物之间的关系,但是合同是一种法律上的关系,而相似则是一种事物之间的相似性关系。
其次,合同和相似在使用上也有所不同。
合同是一种法律文件,它需要双方签字盖章才能生效,而且在法律上具有约束力。
而相似则是一种描述性的词语,它在日常生活中常常用来形容两个或多个事物之间的相似性。
在这一点上,合同和相似的使用方式有所不同,合同需要遵守法律程序才能生效,而相似则是一种描述性的词语,可以随时使用。
最后,合同和相似在意义上也有所不同。
合同是一种法律文件,它具有法律上的约束力,双方需要遵守合同规定的权利和义务。
而相似则是一种描述性的词语,它用来形容两个或多个事物之间的相似性。
在这一点上,合同和相似的意义有所不同,合同具有法律上的约束力,而相似则是一种描述性的词语。
综上所述,合同和相似虽然在表面上看起来没有太多关联,但是它们之间确实有着一些共同点和区别。
了解它们的共同点和区别对我们的生活都是有帮助的,可以帮助我们更好地理解和运用它们。
两实对称矩阵合同但不相似的例子
我们来探讨两实对称矩阵的合同和相似的概念。
实对称矩阵是指矩阵的转置与原矩阵相等,合同矩阵是指存在一个可逆矩阵P,使得A =P^(-1)BP,而相似矩阵是指存在一个可逆矩阵P,使得A = P^(-1)BP。
根据这两个定义,我们可以看到,合同矩阵和相似矩阵之间的关系是相似矩阵是合同矩阵的一个特例。
接下来,我们需要找到两个实对称矩阵,它们是合同但不相似的。
为了更深入地理解这个概念,让我们先从一个简单的例子开始。
假设我们有以下两个实对称矩阵:A = [1 0][0 -1]B = [2 0][0 -1]现在我们来分析这两个矩阵的合同性和相似性。
我们需要找到一个可逆矩阵P,使得A = P^(-1)BP。
如果我们令P = [1 0],我们可以发现A = P^(-1)BP,即A和B是合同的。
这是因为合同矩阵的定义是存在一个可逆矩阵P,使得A = P^(-1)BP,而我们已经找到了这样的P。
然而,让我们尝试找到一个可逆矩阵P,使得A = P^(-1)BP。
如果我们令P = [1 0],我们可以发现A = P^(-1)BP,即A和B是相似的。
这是因为相似矩阵的定义是存在一个可逆矩阵P,使得A = P^(-1)BP,而我们已经找到了这样的P。
我们可以得出结论,矩阵A和B既是合同的,也是相似的。
这表明我们的初始猜想是错误的。
这个例子告诉我们,两个实对称矩阵合同必相似。
在我看来,这个例子揭示了实对称矩阵合同与相似之间微妙的关系。
通过深入研究这个例子,我们不仅可以更好地理解合同和相似的概念,还可以在日常工作中更好地运用这些知识。
通过学习这个例子,我们可以更好地理解数学中的抽象概念,提高自己的数学思维能力。
通过分析两实对称矩阵合同但不相似的例子,我们深入探讨了合同和相似的概念,并从中获得了许多启发。
希望通过这篇文章,读者们能对这个主题有更深入的理解,也能从中获得一些启发。
让我们来更深入地探讨合同矩阵和相似矩阵的概念。
在线性代数中,矩阵的相似性与合同性是非常重要的概念,它们可以帮助我们理解矩阵之间的关系,以及如何在不同空间中对矩阵进行变换和操作。
等价相似和合同的关系以及条件
等价相似和合同的关系以及条件一、等价相似与合同的关系大家好,今天咱们聊一聊“等价相似”和合同之间的关系。
你可能会觉得,这两个词听起来有点高深,但真要说起来,也没那么复杂。
说白了,等价相似就像是在讲两件事情它们之间差不多,差不多是指在本质上或者是效果上,差异不大,差不多就行了,能互相替代。
而合同嘛,说白了就是两个人或几个人达成的一个协议,一种承诺。
听起来是不是有点像你跟朋友一起约好了去吃烧烤,互相约定谁买单,谁负责烤肉的那种感觉?对,就是那种简单明了的意思。
等价相似跟合同的关系呢,基本上就是这样:合同里边的约定如果有多种方式可以实现,而这些方式在效果上差不多,或者说其中的一种能代替另一种,那我们就可以说它们是“等价相似”的。
比如说,合同里规定了你可以选择某个产品,或者选择别的类似的产品,只要符合合同目的、效果没有变,那就算是等价相似。
通俗点说,就像你去餐馆点菜,菜单上有多种选择,吃哪个其实都差不多,关键看你喜欢不喜欢。
这也能理解成两件事情的“换汤不换药”。
就像你买手机,商家说可以选苹果,也可以选华为,这俩看似不同,但放在同一个合同背景下,它们的功能、作用差不多,反正都能让你打电话、发信息、刷微博。
合同里如果提到了这些等价相似的选项,你就有了选择的空间,也不会担心一旦改变了选项,合同的本质就变了。
所以,合同的条款里,等价相似就是为了解决这种“变换而不改变”的需求,让你既能保持灵活性,又能确保合同的核心目的不受影响。
二、等价相似的条件说到等价相似,大家肯定会问:那要怎么才能算等价相似呢?它是不是随便一换就行?不行!不行!要符合一些条件才行。
第一个条件就是“效果一致”。
就是说,无论你是选择了合同里列出的A,还是选了B,最终达成的结果必须差不多。
如果A能完成合同目标,B也得能。
如果有一个选项不行,那就不能叫等价相似了,没法替代,理解吗?第二个条件就是“性质相似”。
这个相似不光是结果上的,还得看性质上。
就像是你想喝果汁,菜单上有橙汁、葡萄汁,你选哪个不重要,只要它们是果汁类,能让你解渴,味道好,性质上就差不多。
为什么相似不一定合同
为什么相似不一定合同
在合同范本撰写中,经常会遇到相似的情况,但是相似并不代表合同。
因为合同是一种法律文件,需要符合法律规定和双方当事人的意愿。
相似的情况可能会存在于不同的合同类型中,但是每种合同都有其独特的法律要求和约定条款。
首先,相似的情况可能会存在于不同的合同类型中。
例如,商业合同和劳动合同可能会涉及到相似的经济交易,但是双方的权利和义务却有所不同。
商业合同需要考虑到市场竞争、商业机密等因素,而劳动合同则需要考虑到劳动者的权益和劳动条件。
因此,即使涉及相似的经济交易,合同范本也需要根据具体情况进行调整和定制。
其次,相似的情况也可能会存在于同一种合同类型中。
比如,不同的租赁合同可能涉及到相似的租赁物品和租赁期限,但是具体的租金、违约责任等条款却可能有所不同。
因此,合同范本需要根据具体的租赁情况进行调整,确保合同的合法性和有效性。
因此,相似的情况并不代表合同,合同范本需要根据具体情况进行定制。
作为合同范本专家,我会根据客户的需求和具体情况,
提供高质量的合同范本,确保合同的合法性和有效性。
无论是商业合同、劳动合同还是租赁合同,我都能提供准确而全面的建议和指导,帮助客户达成理想的合同协议。
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代数中“合同”与“相似”概念的区别辨析
在《高等代数》中队与多个矩阵有“合同”与“相似”的概念,关于这两组概念在定义上有很多相似的地方(合同——'B C A C =,相似——-1B C AC =),并且在《高等代数》在讲到“(欧式空间下)实对称矩阵的标准形”时有如下的定理:
因此在这里给我们一种印象,即矩阵间的合同与相似在某种条件下画了=“”,这究竟是怎么回事,为此我们应该去深入的探求矩阵“合同”与“相似”之间的联系。
这个过称是循序渐进的,在学习“双线性函数”后,又对这个问题有了更深刻的理解,并且大胆的估计,“合同”与“相似”在概念上的区别会是代数问题上的一类大问题,现在对这个问题的思考结果归纳如下
让我们先从线性变换这一概念出发,我们知道在对线性空间上的线性变换的有关性质直接的进行研究是不好做的,为此我们引进了“线性变换的矩阵”这一概念,即在一个线性变换,n 维空间的一组基,一个n 阶矩阵之间建立起了一对一的关系,关系如图
而我们知道同一个线性变换在不同的一组基下,它所对应的矩阵是不同的,而这些矩阵之间的关系我们把它定义为“相似”,并且我们可以知道这些相似矩阵之间有这样的关系1B X AX -=,X 为这两组基之间的过渡矩阵,回顾“相似”概念,我们可以看出,“相似”的提出时基于“线性变换”。
“相似”是同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系,我们在提炼一下,“相似”的出现是同一个线性变换在不同背景之下的不同的表现形式之间的关系,这对后面区别“合同”与“相似”有很重要的意义
下面我们再来看看“合同”概念。
《高等代数》在二次型的章节中对二次型化标准形的过程中首次提出了“合同“的概念。
对一个二次型进行非退化的线性替换,这样的二次型的不同矩阵之间的关系定义为“合同”,即'B C A C =。
而回顾“合同”的概念,我们可以发现,“合同”的概念是基于二次型的化简中产生的概念,而当我们学习了双线性函数的内容后就会发现“合同”的概念是基于双线性函数提出的,因此在这里我们有必要提出双线性函数的有关内容:
双线性函数类比欧式空间中的线性变换是线性空间上的一种映射,所谓的“双线性”是指在固定一个自变量的情况下,另一个自变量满足“线性”的关系。
为了研究着这种特殊的映射在空间下的性质,我们有引进了双线性函数的“度量矩阵”,并以此矩阵来研究双线性函数的有关性质。
于是双线性函数与空间的一组基、一个n 阶矩阵也建立起了一种一一对应的关系,如图
1'n A n T T AT T AT
-=对于任意一个级实对称矩阵,都存在一个级正交矩阵,使得
→
对空间元素的作用直接体现在基上变换的运算可反映在矩阵的运算上线性变换空间的一组基一个矩阵线性变换→
对空间元素的作用直接体现在基上变换的运算可反映在矩阵的运算上双线性函数空间的一组基一个矩阵双线性函数
因此,我们可以对“合同”的概念有了这样的理解:“合同”的出现是同一个双线性函数在不同背景下的不同的表现形式之间的关系
至此我们回顾了“相似”与“合同”的概念的来由,从中我们可以看出,两者概念的提出是基于不同的背景而提出的,“相似”是基于“线性变换”;“合同”是基于“双线性函数”。
所以可以这样说,“相似”与“合同”是不同的映射的不同表现形式的一种关系
而在《高等代数》讲到“实对称矩阵的标准形”时的定理,暗示了我们尽管“合同”与“相似”是基于不同的背景提出的,但是他们之间在某种时候是可以划等号的,这又是问什么呢?我们在研究线性变换与双线性函数的性质时,都将矩阵引入作为一种工具,也就是说无论是线性变换还是双线性函数的性质,都可以从矩阵的角度来体现。
因此如果我们单纯给出一个n 阶矩阵,我们既可以把它看成一个线性变换在一组基下的矩阵,也可以看成是一个双线性函数在一组基下的度量矩阵,这样一个单纯的矩因我们的视角不同就有了不同的理解。
现在我们再来回顾“实对称矩阵的标准形”的定理:
对于这个定理我们给出这样的解释:对于一个n 级实对称矩阵,如果我们把它看成是线性变换在一组基下的实对称矩阵A ,而这个线性变换在另一组基下的矩阵是对角矩阵B ;那么把A 看成是一个双线性函数在一组基下的矩阵,那么这个双线性函数在另一组基下矩阵也同样是对角矩阵B (《高等代数》P411),并且在这两个过程中的那个乘在A 左右两边的那个可逆矩阵是同一个正交矩阵T . 在这里需要注意的是:定理只是说明了同实对称一个矩阵在不同背景下的对应的另一个矩阵这个结果只是在形式上是一样的,即'C A C 和1C AC -是同一个矩阵,但是我们应该明确的是,即使他们是同一个矩阵但他们的意义是不一样的,一个反映的是线性变换的矩阵,一个是反映双线性函数的矩阵。
通过上面的分析我们可以看出:“合同”与“相似”的提出时基于不同的背景,只是在实对称矩阵的形式上相等了。
因此在这里我们可以做出一个结论,“合同”与“相似”的概念在本质上是有区别的,他们反映的不同空间变换在不同基下的矩阵之间的关系。
以上是我们对“合同”与“相似”概念在本质上的辨析,但是我们需要注意的一个问题是,“双线性函数”与“线性变换”是有一定联系的,当把双线性函数中的一个变量固定为常量,那么双线性函数就成为了空间上的线性变换,因此我们可以把线性变换看成是一种特殊的双线性函数,在这种想法的驱使下我们就可以把“相似”理解成一种特殊的“合同”。
例如我们给出n 维空间的一个线性变换A (且它有n 个线性无关的特征向量) ,它在一组基下的矩阵是实对称A ,在一组合适的基下面一定对应于一个对角矩阵B ,即A B 与是相似的。
但从另一个角度来说,我们可以这样理解:有一个n 维空间的一个双线性函数f (f 是对1'n A n T T AT T AT
-=对于任意一个级实对称矩阵,都存在一个级正交矩阵,使得
称双线性函数) ,它在一组基下的矩阵是实对称矩阵A ,在一组合适的基下面一定对应于一个对角矩阵B ,即A B 与是合同的。
所以对于实对称矩阵来说,如果他是相似的,它也就一定是合同的,但是合同却不一定相似。
哎。
至此费了两页纸才勉强将二者的关系阐明。
下面我们来看看判断两个矩阵合同与相似的方法。
先来看相似的判断方法:
首先我们必须明确一点不是所有的线性变换所对应的矩阵都能对角化,n 维空间的一个线性变换A 且它有n 个线性无关的特征向量的变换所对应的矩阵才能对角化。
在这样条件下的线性变换在任意一组基下所对应的矩阵是一定能够相似于一个对角矩阵的,因此我们以实对称为例来讨论时不失一般性的。
在求这个对角矩阵的过程中我们引入了特征向量与特征值,我们知道特征值是衡量一个线性变换的重要因素,因此我们明确一点,如果矩阵是能够对角化的(以后我们都),那么以它的特征值为对角线元素的那个对角矩阵就是他所相似的对角矩阵。
因此我们给出判断矩阵是否相似的条件:对于两个实对称矩阵来说如果他们的特征值相同(特征值的重数也相同),那么我们说这两个矩阵一定是相似的(注意:如果矩阵是实对称的,那么他们也是合同的;如果不是实对称的,就不一定合同) 我们再来看合同的判断方法:
在讲到二次型的规范形时,《高等代数》给出了代数中的惯性定理(即复、实二次型的规范形唯一),并定义了正负惯性指数的概念,如下:
正负惯性指数的引进为我们判断两个矩阵是否合同有了很好的工具。
我们指出:如果两个矩阵它们的正负惯性指数相等,那么它们就是合同的
至此我们对“合同”与“相似”的概念及判断问题就基本讨论清楚了,在这里我们用一个框图的形式来梳理一下我们的思路
()()()121212,,......,,,......,,,......,n n n f x x x p f x x x r p f x x x 2p r --在实二次型的规范形中,正平方项的个数称为的正惯性指数;负平方项的个数称为的负惯性指数;它们的差称为符号差
()='B C AC ↑→↑一种特殊的双线性函数
线性变换:在一组基下的矩阵间的关系相似—判断:看特征值()()1=B C AC -⎧⎪⎪↓⎨⎪→⎪⎩
仅针对实对称矩阵双线性函数:在一组基下的矩阵间的关系合同—判断:看正负惯性指数。