集合与映射

恒等映射
满 映 射
f ( A) B ， f 为满映射.
一一映射
若 f 使 A 中不同的元素对应 B 中不
同元素，则称它为一一映射。（可逆映射/双向映射）
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乘积映射
h(a) g ( f (a))，
g:B C f ： A B，
定义 h : A C
则称 h 为 g 和
f
的乘积映射。
集。
d.运算律
1）交换律 A B=B A；A B=B A
2）结合律 (A B) C=A (B C)，交集类同。
3）分配律(A B) C=(A C) (B C)
4）吸收律 (A B) A=A ； (A B) A=A 5）传递律 A B,B C,则A C。 6）反对称律A B，B A ，则A=B。
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二元映射
设f是A1和A2的直积集合到B的
映射，则称 f为二元映射：
f (a1 , a2 ) b,
a2 A ， b B） （ a1 A ，
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c. 变换
集合到其自身的映射称为该集合上的变
换。x、y平面绕z轴旋转 ，有
x x ' cos y ' y sin sin x cos y
，使得A中的任意元素a唯一对应B中元素b， 则称f为从A到B的映射。 记作 f : A B ，其元素为b f (a) ，定义 域为A，值域为 f (a) f (a) a A。
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b.映射分类
常数映射
恒等映射
f (a) b0 (b0 B ) 对任意 a A ，
对任意 a A，有 f (a) a ， f 为 A 的
( k 为任意整数)构成的
集合记作 a ，则N所分成的等价类为：
0 {...,2m,m,0, m,2m,...}
1 {..,2m 1,m 1,1, m 1,2m 1,...}
……
m 1 {...,m 1,1, m 1,2m 1,...}
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商集合：由 m 个同余类构成的集合就是商集合。
x, y R;0 2
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d.双向映射和其逆映射
若
ff
I a 、 Ib 分别为 A 与 B 的恒等映射，则
1
Ib ， f 1 f I a
e.靴袜关系 两个双向映射f和 g的乘积映射的逆映射
满足下面关系
( fg )
1
g f
1
1
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3 、等价关系（相等关系的延伸）
§1.2 集合与映射
一 、教学目标
1.熟练掌握集合概念及其运算性质 2.了解映射概念和性质
3.了解等价关系概念
二、重点与难点
1.直积集合、商集合 2.各类映射的区别
三 、教学内容： 1.集合
a .定义 由若干（有限或无限）个可相互区
别的具有一定特征的事物构成的总体称为集
合A。若事物a包含在集合A中，则称a是A的
a.等价条件
} 上的元 集合 A {a, b, c,
素间的等价关系满足以下条件：
自反律 a a, a A 对称律 若 a b, 则b a 传递律 若a b, b c, 则a c
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3 、等价关系（相等关系的延伸）
b.集合按等价关系分类—等价类
Aa 以 a 及与
元素，记为a A。否则记作a A。
b.集合分类
有限集合：集合包含有限个元素。 无限集合：包含无穷多个元素。
空
集：不包含任何元素。
c.集合之间的关系及运算
（1） A B, B A 子 集
A B, B A 真子集
（2）交集 C A B
（3）并集 A B
C
（4）补集 C A B 属于集合A,不属于 集合B的元素组成的集合。 补集:若 B A ，则称A-B为B的补
a
等价的所有元素
Ab 以 b 及与 b 等价的所有元素 一个不属于类 Aa 的元素 b 相对应的类 Ab 与
类 Aa 没有共同的元素，即不同类不相交。 例：A是平面上所有三角形的集合，相似关 系、全等关系都是等价关系。
13ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
每个等价关系都是A的一个子集，A的每个 元素必属于某个等价关系。 A被分成了两两不相交的等价类
A Aa Ab
c.商集合
将各个等价关系类整体作为一个元素，
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则这些新定义元素的集合称为商集合。 例 设N是整数集合， m 是个特定整数，若
a 与 b 之差能被 m
整除，则称
a 与b
对
于模 m 同余。记为 a b(m) 。“
为等价关系，等价类就是对于模

”
m 的同余
类。
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解：
a km a 所在类：
7）直积集合
设有集合A={
a
i
} 和B={ bi }， 定义新集合，它的
元素为有序元素对（ A
a ，b），使得
i
i

B={ (ai ， bi )|
a A ，b B }
i
i
(a,b)=( a ' , b ' ) a= a ' ,b=b '
2、映射
a. 定义 对于集合A、B，若存在对应法则f