集合与映射
高数-集合与映射
并集：A B { x | x A或x B} 集合的运算： 交集 : A B { x | x A且x B}
差集 : A \ B { x | x A且x B}.
文式图：
AB
AB
AB
AB
AB
A\ B
特 别 ， 若B A,则 称 差A \ B为B关 于A的 余 （ 或 补 ） 集 ， 记 为C AB， 若 全 集 记为X， 则 称X \ A为A的 余 （ 或 补 ） 集 ，
记 为AC。 若A B , 称A与B不 相 交 ， 若A B , 称A与B相 交 。
运算律： 交换律: A B B A, A B B A 结合律: ( A B) C A (B C ),
(A B)C A(B C) 分配律: ( A B) C ( A C ) (B C ),
解 ： 及 大 于 的 一 切 数 都 是2 上 界 ，
6
6
及 小 于 的 一 切 数 都 是 下 界 。
2
2
一个数集若有上（下）界则有无穷个上（下）界， 其中最重要的是最小（大）的上（下）界，此即 为上（下）确界。
定义1.2 设A R，且A ，若 R，满足： （1）x A，有x , （2） 0，x0 A, 使x0
邻域
N ( x0 , ) { x | | x x0 | }
x0 的 邻域
N( x0 , ) { x | 0 | x x0 | }
x0 的去心 邻域
简记： N ( x0 ) N ( x0 )
有限集 集合的类型： 空集：
无限集
集合间的关系
A是B的子集：A B或B A A是B的真子集：A B或B A A与B相等 : A B A B且B A
第一章 一元函数的极限与连续
高一数学映射与集合知识点
高一数学映射与集合知识点数学是一门抽象而又重要的学科，而映射与集合作为数学中的基础概念之一，是我们学习数学的重要内容。
本文将以高一数学的角度来探讨映射与集合的知识点，并且分析它们在实际应用中的意义和价值。
一、映射的概念和特征映射是数学中的一种函数关系，它描述了一个集合中的每个元素都对应着另一个集合中的唯一元素。
映射通常用箭头表示，箭头的起始点表示输入，箭头的终点表示输出。
映射具有以下特征：1. 单射：如果一个映射中不同的输入元素对应不同的输出元素，则该映射是单射。
简而言之，单射意味着每个输入只对应一个输出。
2. 满射：如果一个映射中的每个输出元素都有对应的输入元素，则该映射是满射。
也就是说，满射保证了每个输出都被至少一个输入对应。
3. 双射：如果一个映射既是单射又是满射，则该映射是双射。
双射保证了每个输入都对应唯一的输出，并且每个输出都有对应的输入。
映射在实际应用中有着广泛的运用。
例如，地图是一种常见的映射形式，将实际空间上的点映射到纸面上，帮助我们理解和导航真实世界。
而在数学建模中，映射也被广泛应用于描述各种关系，帮助我们分析和解决问题。
二、集合的基本概念和操作集合是数学中另一个重要的概念，它是由一些确定的元素构成的整体，这些元素称为集合的成员。
集合有以下基本概念和操作：1. 元素：集合中的每个个体都被称为一个元素。
元素可以是数字、字母、符号等等，甚至可以是其他集合。
2. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，我们称这个集合为另一个集合的子集。
3. 并集：将两个或多个集合中所有的元素合并在一起，形成一个新的集合，该操作被称为并集。
4. 交集：将两个或多个集合中共有的元素提取出来，形成一个新的集合，该操作被称为交集。
5. 补集：给定一个全集，然后从全集中减去一个集合中的元素，得到的结果称为该集合关于全集的补集。
集合论在数学中有着广泛的应用，它帮助我们描述和分析各种数学概念和关系。
例如，在概率论中，集合的概念使我们能够描述和计算不同事件的发生概率。
第1章 集合、映射与关系
≜
{������ ∶ ������, ������ ∈ ������}称为������形成的关于������的等价类或以������为代
例 ： 设 ������ = {������, ������, ������, ������, ������} ， ������ 上 的 一 个 等 价 关 系 ������ =
• 补集运算（余集运算）
基本集合：限制在一定范围内的研究对象的全体形成 的集合称为基本集合（全集）. 补集（余集）：给定基本集合������及其子集������ (⊂ ������), 称 差集������\������为集������的补集（余集）, 记������������ = ������\������.
第1章 集合、映射与关系
1.1 集合
1、集合的概念
• 若干个 (有限或无限) 确定的事物的全体叫做一个集合, 通常用大写字母������, ������, ������, ⋯ 表示集合. • 组成一个集合的事物叫做这个集合的元素, 用小写字 母 ������, ������, ������, ⋯表示集合的元素.
① 元������与元������有关系������即(������, ������) ∈ ������时, 简记为������������������.
② 若������, ������ 之间的二元关系������ 具有性质∀������ ∈ ������, ∃! ������ ∈ ������ , 使得������������������, 则关系������决定了������到������的一个映射. 因此， 二元关系是映射概念的推广.
• 多个集合的直积（笛卡尔积） ������1 × ������2 × · · ·× ������������ = { ������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ∶ ������������ ∈ ������������ , ������ = 1, 2, ⋯ , ������}
数学分析1
第1章 集合与映射 █ █1《数学分析Ⅰ》第1讲 教学内容：数学分析总概第1章 集合与映射一、数学分析总概牛顿（Newton.I 1642-1727）英国数学物理学家，在1665－1666年间发表著名公式()()()baf x dx F b F a =-⎰。
莱布尼兹（Leibniz.G.W 1646-1716）德国数学家，在1673－1676年间发表著名公式()()()b af x dx F b F a =-⎰。
二、集合 §1.1集合概念：一些事物所汇聚的总体通常称为一个集合，总体中的每一个成员，叫做该集合的元素。
一般用大写英文字母表示集合，小写英文字母表示集合中的元素，例如：,,...A B C 通常表示集合；,,...,...a b c x y 等表示集合中的元素。
－自然数集； －整数集； －有理数集； －实数集； {|0}x x +==>▇ ▇ 数学分析2有限集 可列集 无限极 空集 子集 ∙集合的运算：（1）并集：A B{|A B x x A =∈ 或}x B ∈见(图1-1)（2）交集：A B{|A B x x A =∈ 且}x B ∈见(图1-2)（3）差集：A B -{|A B x x A -=∈且}x B ∉见(图1-3)（4）设 A X ⊂，即A 为X 的子集，补集：CA X A =-称为A 的补集。
见(图1-4)（5）无限并：设12,,...,...n A A A 是一 列集合，定义1{|,}nn n x n x A ∞=A=∃∈∈（6）无限交：设12,,...,...n A A A 是一 列集合，定义1{|,}nn n Ax n x A ∞==∀∈∈设Γ是任意的一个非空集合（拓扑集），α∀∈Γ，对应有集合A α， {:}A αα∈Γ称为集合族，无论Γ是有限集、可列集、还是不可列集（不可数集），都可定义（1） 不可数并：{|,}A x x A αααα∈Γ=∃∈Γ∈ （2） 不可数交：{|,}A x x A αααα∈Γ=∀∈Γ∈第1章 集合与映射 █ █3命题1.1 设{ A α：α∈Γ}中每一个集合都是某个大集合X 的子集，记 A C＝X －A ，其中A ⊂X ，则 （3） ()c αα∈ΓA ＝c αα∈ΓA （4）()c αα∈ΓA ＝c αα∈ΓA 上面公式（9）和（10）通常称为DeMorgan 公式（隶末根定理）。
高等工程数学课件--第1章 集合与映射
定义1.2.3 设X、Y、Z是三个非空集合，并设 有两个映射 f1 : X Y , f2 : Y Z , 由 f1 , f 2 确定 X 到 Z 的映射 f3 : x f2 ( f1 ( x))( x X ) 称为映射 f1 和 f 2 的乘积(product)，记为 f 3 f 2 f1 定理1.2.1 设有映射 f1 : X Y , f2 : Y Z , f3 : Z W , 则
lim An Ak .
n k 1
如果 An n 1是单调递减集合序列，则
lim An Ak .
n k 1
1.2 映 射(mapping)
定义1.2.1 设X、Y是两个非空集合，如果存在一
个X 到Y 的对应法则 f ，使得对 X中的每一个元素 x 都有Y中唯一的一个元素 y 与之对应，则称 f 是X 到Y的一个映射,记为 y f (x).
若 B A ，则称 A\B 为B 在A中的余集或B c 的补集，记为 B 。
定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合, Ai (i I )为集合X的 子集，则
(1) A ( B C ) ( A B) ( A C ); A ( B C ) ( A B) ( A C );
（2） f 是X 到 Y的满映射当且仅当 Y R( f ).
非空集合，X 到自身的双映射称为X的一 一变换(one-to-one transformation)；如果X 是有限集，X 的一一变换称为X 的置换 (permutation)。
非空集合X 上的恒等映射是一个双映射。 例. 微分算子，积分算子，矩阵。
定理1.2.3 映射f :X→Y是可逆映射的充分必 要条件是 f 是X到Y的双映射。 定理1.2.4 设映射f : X→Y ， g :Y→Z，则 (1) 如果 f 和 g 都是单映射，则g f 是单映射；
专升本数学集 合与映射基础知识梳理
专升本数学集合与映射基础知识梳理专升本数学：集合与映射基础知识梳理在专升本数学的学习中，集合与映射是非常基础且重要的概念。
理解和掌握好这部分知识，对于后续数学课程的学习起着至关重要的作用。
接下来，让我们一起系统地梳理一下集合与映射的基础知识。
一、集合的概念集合，简单来说，就是把一些具有特定性质的对象放在一起组成的一个整体。
这些对象称为集合的元素。
比如，我们可以把所有的正整数组成一个集合，把某班所有身高超过 18 米的同学组成一个集合。
集合通常用大写字母表示，如A、B、C 等，元素用小写字母表示，如 a、b、c 等。
如果一个元素 a 属于集合 A，我们记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，我们记作 b ∉ A。
集合的表示方法有多种，常见的有列举法、描述法和区间法。
列举法就是把集合中的元素一一列举出来，用逗号分隔，并用花括号括起来。
例如，集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
描述法是用元素所具有的特征来描述集合。
例如，集合 B ＝｛x ｜x 是大于 5 的整数}。
区间法通常用于表示连续的实数集合。
例如，区间（1, 5) 表示大于1 且小于 5 的实数组成的集合。
二、集合的基本关系集合之间存在着包含、相等、真包含等关系。
如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么我们说集合 A 包含于集合 B，记作 A ⊆ B；如果集合 A 包含于集合 B，且集合 B 中存在元素不属于集合 A，那么我们说集合 A 真包含于集合 B，记作 A ⊂ B；如果集合 A 和集合 B 中的元素完全相同，那么我们说集合 A 等于集合B，记作 A ＝ B。
三、集合的运算集合的运算包括交集、并集和补集。
交集：集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由既属于集合 A又属于集合 B 的所有元素组成的集合。
并集：集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于集合 A 或者属于集合 B 的所有元素组成的集合。
《集合与映射》课件
如果函数在一定周期内重复出现，则称该函数为周期函数。
05
集合与映射的关系
集合与映射的联系
集合是数学中一个基本概念， 它表示一组对象的集合体。
映射是集合之间的一种关系， 它表示从一个集合到另一个集 合的对应关系。
集合与映射相互联系，通过映 射可以将一个集合中的元素与 另一个集合中的元素建立对应 关系。
03
映射的基本概念
映射的定义
总结词
映射是集合论中的基本概念，它描述了从一个集合到另一个 集合的对应关系。
详细描述
映射是一种特殊的对应关系，它把一个集合中的每一个元素 都唯一地对应到另一个集合中的一个元素。这种对应关系具 有方向性，即只能从左边的集合映射到右边的集合，而不能 反过来。
映射的性质
总结词
集合与映射的区别
集合是具有某种特定属性的对象的全体，而映射则是表示这些对象之间的关系。
集合中的元素是无序的，而映射中的对应关系是有序的，即必须明确指出每个元素 对应的象。
集合的元素可以重复出现，而映射中的对应关系是唯一的，即每个元素只能有一个 确定的象。
集合与映射在现实生活中的应用
在计算机科学中，集合可以用来表示 一组数据，而映射可以用来表示数据 之间的关系，如数据库中的表与表之 间的关系。
单射和满射是两种特殊的映射，它们分别描述了从集合到集合的映射关
系。
02 03
1. 单射
如果对于任意两个不同的元素x和y，如果x在集合A中，y也在集合A中 ，且x和y在映射f下的像不相同，则称f是从集合A到集合B的单射。也就 是说，单射不允许一个元素在集合B中有多个原像。
2. 满射
如果对于集合B中的每一个元素，都能在集合A中找到一个元素与之对 应，则称f是从集合A到集合B的满射。也就是说，满射要求集合B中的 每一个元素都有原像。
集合与映射的基本概念及其运用
集合与映射的基本概念及其运用集合与映射是数学中的基础概念，它们在数学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍集合和映射的基本概念，并讨论它们在实际问题中的应用。
一、集合的基本概念集合是一组由元素组成的整体，用大括号{}括起来。
一个集合可以包含任意数量的元素，这些元素可以是数值、文字、函数等，它们的类型可以是同一类型，也可以是不同类型。
例如，{1, 2, 3, 4, 5} 是一个数字集合，{"apple", "banana", "orange"}是一个水果集合，{f(x) | x∈R} 是一个由实数集合到实数集合的函数集合。
其中，符号“∈”表示“属于”的意思。
集合之间可以进行基本的运算，包括并集、交集、补集、差集等。
其中，集合的并集是指将两个集合中的所有元素合并起来，得到一个新的集合；集合的交集是指两个集合中共有的元素构成的一个新的集合；集合的补集是指包含了某个集合所没有的所有元素的集合；集合的差集是指第一个集合中有的元素，而第二个集合中没有的元素所构成的集合。
二、映射的基本概念映射是一种将一个集合的元素映射到另一个集合中的元素的函数。
它可以用于描述各种各样的实际问题，例如建立数学模型、图形处理、数据分析等。
映射通常用箭头“→”来表示，例如f : A→B 表示从集合 A 到集合 B 的映射 f。
其中，A 称为原集合，B 称为象集合。
映射有多种类型，包括单射、满射和双射等。
其中，单射是指每个元素都有唯一的象元素，满射是指每个元素都有对应的原元素，双射是指既是单射也是满射。
三、集合和映射的应用集合和映射在数学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
它们可以用于概率论、统计学、代数学、拓扑学等方面。
在实际应用中，集合和映射可以用于描述各种各样的实际问题。
例如，我们可以使用集合来描述一个公司的员工名单，每个员工是集合中的一个元素。
我们也可以使用映射来描述一个移动电话的通讯录，将每个人的电话号码映射到他的名字上。
集合的函数和映射的定义及性质
集合的函数和映射的定义及性质一、集合的函数定义及性质函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素都与另一个集合中的元素对应起来。
在数学中，函数可以用来描述一种映射关系。
下面是函数的定义及其性质。
1. 定义：给定两个集合A和B，一个从A到B的函数f是这样一个映射关系，对于A中的每个元素a，都有唯一的对应元素b在B中，称为f(a) = b。
用数学符号表示为f: A → B。
2. 性质：a. 单射：如果对于任意两个不同的元素a1和a2，其映射后的结果f(a1)和f(a2)也不相同，则称函数f为单射。
b. 满射：如果对于B中的每个元素b，都能找到A中的至少一个元素a，使得f(a)=b，则称函数f为满射。
c. 双射：如果函数f既是单射又是满射，则称函数f为双射。
d. 逆映射：如果函数f是双射，那么可以定义它的逆映射g，满足g(f(a)) = a和f(g(b)) = b，其中a属于集合A，b属于集合B。
二、映射的定义及性质映射是一种函数的特殊情况，它有更严格的性质要求。
下面是映射的定义及其性质。
1. 定义：给定两个集合A和B，一个从A到B的映射是这样一个函数f，对于A中的每个元素a，都有唯一的对应元素b在B 中，称为f(a) = b。
用数学符号表示为f: A → B。
2. 性质：a. 总映射：如果对于A中的每个元素a，都能找到B中的唯一元素b使得f(a) = b，则称映射f为总映射。
b. 单值映射：如果对于A中的每个元素a，其映射后的结果f(a)都是唯一的，即不存在不同的元素a1和a2使得f(a1) = f(a2)，则称映射f为单值映射。
c. 线性映射：如果对于A中的每个元素a，其映射后的结果f(a)都满足f(ka) = kf(a)，其中k为常数，则称映射f为线性映射。
以上是关于集合的函数和映射的定义及性质的简要介绍。
希望对你有所帮助。
研究生抽象代数课件
抽象代数第一章 集合与映射1.1逻辑命题：能判断正误的一句话。
逻辑：研究命题之间的关系。
1.2 集合集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。
集合中元素的特性：（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的。
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序。
集合的表述方法：列举法，描述法。
元素与集合的关系（1）属于： 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作 要注意“∈”的方向，不能把a∈A 颠倒过来写。
集合与集合的关系：包含与不包含。
包含：如果集合B 的元素都是A 的元素,就称B 为A 的子集,或A 包含B,记为B ⊂A 。
例如，偶数全体包含于自然数全体。
集族：以集合为元素的集合。
以I 为指标集的一个集族，可以记作：{}是集合，i iA AI i ∈∀。
例如：},,,{321 A A A 是以自然数集为指标集的集族。
直积或笛卡尔积：设A 、B 是非空集合，定义A 、B 的直积或笛卡尔积},|),{(B b A a b a B A ∈∀∈∀=⨯。
问题：如何定义无限的集族的笛卡尔积？1.3 映射一、映射的相关定义映射：设A 、B 是非空集合，:f A B → 的对应关系。
如果B y A x ∈∃∈∀1, 使得 ()f x y =,则称f 是从集合A 到集合B 的映射。
判断映射的数学法则：原像相同则像也相同，即A x x ∈∀21,，如果 21x x =，那么 )()(21x f x f =。
单射：若映射满足原像不同则像也不同，即A x x ∈∀21,，如果 21x x ≠，那么)()(21x f x f ≠。
等价判断：如果)()(21x f x f =，那么21x x =。
满射：设:f A B → 的映射，如果对于B 中任意的元素都存在原像，那么称f 为满射；即A B y ∈∃∈∀x ，使得y )(=x f 。
高等代数 集合与映射
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换
§6.1 集合·映射
一、集合 二、映射
§6.1 集合 映射
一、集合(set)
1、定义
把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 组成集合的这些事物称为集合的元素（element）． ☆ 常用大写字母A、B、C 等表示集合；
（8）M=Z，M´＝2Z，
σ：σ(n)＝2n, n Z
（双射） （双射）
§6.1 集合 映射
4、可逆映射
定义 设映射 : M M ', 若有映射 : M ' M , 使得 IM , IM
则称σ为可逆映射（invertible mapping），τ为σ的 逆映射，记作σ－1．
§6.1 集合 映射
☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法
描述法（description）： 给出这个集合的元素所具有的特征性质. M＝｛x | x具有性质P｝
列举法（enumeration）： 把构成集合的全部元素一一列举出来. M＝｛a1，a2，…，an｝
§6.1 集合 映射
例1 M {( x, y) x2 y2 4, x, y R}
用小写字母a、b、c 等表示集合的元素．
当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作 a A ； 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作 a A .
§6.1 集合 映射
注意
关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一 个描述性的说明．集合论的创始人是19世纪中期德 国数学家康托尔（G．Cantor），他把集合描述为： 所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的，彼此有 明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果； 集合中的那些事物就称为集合的元素．即，集合中 的元素具有：确定性、互异性、无序性.
高代第六章 线性空间
数量乘法满足下面两条规则： (5) 1α = α (6) k(lα) = (kl)α 数量乘法与加法满足下面两条规则： (7) (k + l)α = kα + lα (8) k(α + β) = kα + kβ
满足以上8条的加法和数量乘法通常称为线性运算。 线性空间中的元素也称为向量，因此线性空间也称为向量 空间，但这里的向量比几何中向量的含义要广得多。
A1 A 2 A n A i
i 1 n
n
A1 A 2 A n A i
i 1
线性空间
§1 集合和映射
几个运算规律：
(1) A∩B⊂A (2) A∪B⊃A A∩B⊂B A∪B⊃B
(3) A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A
(4) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
线性空间
第六章
线性空间
线性空间
§1 集合和映射
§1 集合和映射
一、集合
集合：由一堆东西组成的整体，通常用大写字母A、B、C表示。 元素：组成集合的个体，通常用小写字母a、b、c表示。 集合与元素的关系：
(1) a∈A 表示a是集合A中的元素。 (2) a∈A 表示a不是集合A中的元素。 (3) 无限集：由无限个元素组成的集合。 (4) 有限集：由有限个元素组成的集合。
线性空间
§2 线性空间的定义和性质
例10 按通常数域P上矩阵的加法与数量乘法，下列数域P上的 矩阵集合是否构成数域P上的线性空间。 (1) 全体n阶对称矩阵所组成的集合V。 (2) V={ X | AX=0 }，其中A为给定的n阶矩阵。 例11 按通常数的加法和乘法运算，下列各数集是否构成指定 数域P上的线性空间。 (1) 实数域R是否分别构成实数域、复数域上的线性空间。 (2) 复数域C是否分别构成实数域、复数域上的线性空间。
数学分析 第一章 集合与映射
4. 有限集与无限集 若集合S由有限个元素组成，则称集合S为有限集， 不是有限集的集合称为无限集。
例如 N、Z、Q、R都是无限集。
S x x2-3x+2=0 是有限集。
如果无限集中的元素可以按某种规律排成一个序列
换句话说，这个集合可表示为
a1, a2, , an,
则称其为可列集。 显然无限集并非一定是可列集。
左 邻域 :
右 邻域 :
2. 集合之间的关系及运算
定义1.1.2 设有集合A, B ,若 x A 必有 x B , 则称A是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B.
例如 ,
,
,
若A 是 B 的一个子集，但存在一个元素 xB但 xA,
则称 A 是 B 的一个真子集。
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
显然有下列关系 :Fra bibliotek定义1.1.3 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
A B
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\B AB
补集 BAc A \ B (其中B A)
B ABAc
例如：有理数关于实数集的补集是无理数集
容易知道，集合补与差满足如下关系
第一章 集合与映射
§1 集 合 §2 映 射 §3 函 数
第一章
§1 集合
1. 定义及表示法
定义 1.1.1 具有某种特定性质的具体或抽象的对象 的总体称为集合。组成集合的对象称为元素。 通常用大写字母如 A, B, S, T,¨¨表示集合 , 而用小写字母如 a,b,x,y,¨¨表示集合的元素。 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
集合与映射的基本概念
集合与映射的基本概念在数学中，集合和映射是基础概念，它们被广泛应用于数学和计算机科学中的各个领域。
本文将详细介绍集合和映射的基本概念，以及它们在实际应用中的重要性。
一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由一些确定的对象所组成的整体。
其中的对象称为元素，没有重复元素，且元素的顺序不重要。
2. 集合的表示方法：常用的表示方法有列举法、描述法、集合运算法等。
3. 集合间的运算：包括并集、交集、差集和补集等运算。
4. 集合的性质：包括子集、真子集、空集、全集等性质。
二、映射的基本概念1. 映射的定义：映射是指一种元素之间的对应关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
2. 映射的表示方法：常用的表示方法有箭头图、列表法、公式法等。
3. 映射的分类：包括单射（一对一映射）、满射（映射到）、双射（一一映射）等不同类型的映射。
4. 映射的合成和逆映射：映射之间可以进行合成操作和逆映射的求解。
三、集合与映射的应用1. 集合与概率：在概率论中，随机试验的样本空间可以用集合来表示，而事件则是样本空间的子集。
2. 集合与关系：在离散数学中，关系可以看作是一个由序偶组成的集合，而集合的运算可以应用于关系的操作。
3. 映射与函数：在数学分析中，函数是一种具有映射关系的特殊映射，它将自变量的取值映射到因变量的取值。
4. 映射与数据库：在计算机科学中，映射可用于数据库中的关联操作，帮助实现数据的关联与查询。
综上所述，集合和映射是数学和计算机科学中的基础概念。
它们不仅具有理论上的重要性，还广泛应用于各个领域中，为问题的建模和求解提供了有效的工具。
因此，掌握集合和映射的基本概念，对于进一步学习和理解相关领域的知识具有重要意义。
同时，在实际应用中，我们也需注意合理运用集合和映射的运算和性质，以提高问题求解的有效性和准确性。
现代应用数学基础第1章
反对称性 若 x y 且 y x ，则 x y ,
为序
则称“ ”为X上的一个半序(偏序)，称 ( X , ) 若半序“ ”还满足序公理
空间，称赋予了半序的集合X为半序集(偏序集)．
(4) 全序性 x, y X , x y 与 y x 必居其一, ”为全序，称 ( X , ) 为全序空间，称赋予 则称“ 了全序的集合X为全序集．半序集和全序集统称有
定义1.2.2 设映射 f : X Y．
1. 若 x1 , x2 X , x1 x2 ，有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则
称f 为单射；
2. 若y Y , x X 满射； ，使 f ( x) y ，则称f 为
3. 若f 既是单射又是满射，则称f 为双射（一对一 映射）．此时 y Y ，都存在唯一确定的 x X ， 使 y f ( x) ，称这一映射为f 的逆映射，记为 f 1 ． 如： 恒等映射（单位映射） I : x X , I ( x) x
iI
c
Ai
iI
A
c i
iI
c
Ai
iI
Aic
1.1.3 集合序列的极限
单调的集合序列
Xn
递增的 A1 A2 递减的 A 1 A 2
An
An
如：对于任意给定的一个集合序列 {An } n 1 ，令
Ak
k n
Yn
Ak
k n
于集合B的势，记为 | A || B |． 定理1.4.1(Bernstein) 设A和B是两个集合，若存在 单射 f : A B 和单射 g : B A ，则存在双射 h : A B .
人教版高中数学必修一课件：集合-映射
已知 ⑴
的映A射有多{1少,个2?,3},取,适B当的{对5应,法6}则
A到B ⑵以 为定义域, 为值域的函数有多少个?
⑶在所有的以 为定义域, 为值域的函数中,
满足 A
B 的函数有多少个?
A
B
f (1) f (2) f (3)
9
A B {a,b,c, d,e,, x, y, z}
A {a, b, c, d ,, x , y , z } B {a, b, c, d , , x , y , z }
考察下面的问题,集合A,B与集合C之间有什么关系?
(1)A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12} ,C={8}； (2)A={x|x是我班的女同学},
B={x|x是我班戴眼镜的同学}, C={x|x是我班戴眼镜的女同学}.
发现：集合C是由集合A中和集合B中的公共元素所 组成的.
交集
一一映射：设A，B是两个集合，f : A B 是集合A到集合B
的映射，如果在这个映射下，对于A中的不同元素，在集合B中 有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做 A到B上的一一映射
7
• 答：主要有两点区别： • (1) 映射要求A中的元素在B中有唯一的象，
而一一映射不仅要求A中的元素在B中有唯 一的象，还要求A中不同的元素在B中有不 同的象； • (2) 映射不需要B中的元素都有原象，而一 一映射则要求B中的每一个元素都必须有原 象。
映射
A 开平方
B93来自－342－2
1
1
－1
A
B
求平方
1
－1
1
2
－2
4
3
－3
9
A 求正弦 B
集合与映射练习题及解析
集合与映射练习题及解析1. 集合基础练习题（1）已知集合A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，求A∪B的结果。
解析：A∪B表示A和B的并集，即包含所有A和B中的元素，不考虑重复。
因此，A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
（2）若集合C={x | x^2 = 9}，求C的结果。
解析：C表示由满足x^2=9的x组成的集合。
由x^2=9可解得x=±3，因此C={-3, 3}。
（3）给出集合D={x | x是奇数且-5≤x≤5}，求D的结果。
解析：D表示由满足x是奇数且-5≤x≤5的x组成的集合。
因为奇数包括-5, -3, -1, 1, 3, 5，所以D={-5, -3, -1, 1, 3, 5}。
2. 集合运算练习题（1）已知集合E={1, 2, 3, 4, 5}，F={4, 5, 6, 7}，求E∩F的结果。
解析：E∩F表示E和F的交集，即包含同时存在于E和F中的元素，不考虑重复。
因此，E∩F={4, 5}。
（2）若集合G={x | x是偶数且-10≤x≤10}，H={x | x是负数且x≤-5}，求G∪H的结果。
解析：G∪H表示G和H的并集，即包含所有G和H中的元素，不考虑重复。
根据给定条件，G包括-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10；H包括-10, -9, -8, -7, -6, -5。
因此，G∪H={-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10}。
3. 映射基础练习题（1）若映射J: X → Y 表示任意一个自然数x对应x+5，X={1, 2, 3, 4}，则映射J的象集Y是什么？解析：映射J的象集Y即为所有映射J的结果所组成的集合。
根据给定条件，X={1, 2, 3, 4}，则映射J的结果为Y={6, 7, 8, 9}。
（2）如果映射K: P → Q 表示任意一个字母P对应它的后继字母，其中P表示大写字母A到Z，Q表示大写字母B到Z及小写字母a到z。
高等代数集合与映射
则 ( y) ( ( y)) (x) y IM( y),
∴σ为可逆映射．
即 IM
§6.1 集合 映射
反之，设 : M M 为可逆映射，则 对y M, 有y 1( y) ( 1( y)) 即, x 1( y) M ,使y ( x).
所以σ为满射.
其次，对 x1, x2 M ,若 (x1) (x2 ) ，则
§6.1 集合 映射
又 h ( f 1 g1 ) ( g f ) ( f 1 g1) IC 同理 ( f 1 g1 ) h I A. h1 f 1 g1
§6.1 集合 映射
h(a1) g f (a1) g( f (a1)) g( f (a2)) g f (a2 ) h(a2 ) 这与h是单射矛盾，∴ f 是单射．
§6.1 集合 映射
（2）如果 h 是满射，那么 g 也是满射； 证： ∵ h 是满射，c C,a A,使h(a) c ，即 c h(a) g f (a) g( f (a)) 又∵ f (a) B ，∴ g 是满射．
则称σ是M到M´的一个单射（injection）或称σ 为1-1（one to one）；
（3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射 （bijection）, （或称σ为 1-1对应）.
§6.1 集合 映射
例6 判断下列映射的性质
（1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝ σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2（既不单射，也不是满射） τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1 （双射）
乘积 定义为：
(a)＝τ(σ(a)) a M
即相继施行σ和τ的结果， 是 M 到 M" 的一个
映射．
§6.1 集合 映射
注意