电路第5章

（三要素）
u(t)=Umcos(t+u) 正弦稳态电路特点：
相位差：= u-
若所有激励为频率相同的正弦量，则线性电i 路响应
为同频率的正弦量。
•
•
正弦量的频域表示： I Ii U Uu
相量
将时间函数化为非时间函数、将变量计算化为常量计算
n•
m•
相量形式KCL和KVL： I k 0 U k 0
i2 (t) 10 2 cos(t 36.9)
•
I Ii
•
解： I 1 553.1
•
I 2 10 36.9
3 j4
8 j6
例2：写出下列正弦量的时域形式：
•
U1 3 j4 5126.9
•
U 2 8 j6 10 36.9
u1(t) 5 2 cos(t 126.9)
u2 (t) 10 2 cos(t 36.9)
三、频域分析
•
U Uu
(波形)
•
I Ii
UCu 90
1
X C C
+j
jCUu
(容抗)
•
•
•
I jC U jBC U
BC C
0
+1
或
•
U
1
•
I
jC
jXC
•
I
(容纳)
(相量图)
22
四、功率
1）瞬时功率: p(t) u(t)i(t)
i(t) 2I cos(t i )
u(t) 2U cos(t u )
讨论：
Z R j(L 1 ) R j(X C
1、复阻抗Z取决于电路结构、元件参数和
L
X Z
C)
arctan
X R
电路工作频率；
2、Z反映电路的固有特性： Z=R+jX
X=0 Z=R Z=0 电阻性
X>0 XL>XC Z>0 电感性
X<0 XL<XC Z<0 电容性
3、Z的物理意义：
Z U I
25
5-6 复阻抗、复导纳及等效变换
一、复阻抗：
Z
R
j(L
1)
C
R
j( X L
XC)
令：
L 1 C
XL
XC
X
Z R jX Z Z
•
•
U ZI
Z X
R Z
阻抗三角形
其中：R：电阻 X：电抗
Z： 复阻抗
|Z|—阻抗模 Z—阻抗角
Z R2 X 2
Z
arctan X R
26
Z R jX
u(t)=Umcos(t+u)
1、正弦稳态电路特点：
若所有激励为频率相同的正弦量，则线性电路响应 为同频率的正弦量。
2、正弦量相量表示：
i(t)=Imcos(t+i) u(t)=Umcos(t+u)
•
I Ii
•
U Uu
5
3、相量图: 在一个复平面表示相量的图。
i(t)=Imcos(t+i)
•
I Ii
UI
3）无功功率: Q UI
X
LI
2
U X
2 L
(Var)
0
意义:反映电感元件与电源进行能量交换的最大速率.
t
16
五、实际电感模型
例：如图所示实际电感模型中的R=10, L=50mH ,通过的电流为：
i(t) 10 2 cos(314 t 36.9) A
求电压uR(t),uL(t)和u(t)。
+j
•
I
•
I Ii I cosi jI sin i
0
+1
•
u(t)=Umcos(t+u)
•
U Uu
U
•
U Ui U cosi jU sin i
相量为一个复数，它可表示为极坐标形式，也可表示 为直角坐标形式。
6
例1：写出下列正弦量的相量形式：
i1(t) 5 2 cos(t 53.1)
Y G2 B2
Y
arctan B G
Y
B
G Y
例： Y G j(C 1 )
L
G j(BC BL )
29
Y G jB 讨论：
在正弦稳态电路中，对于任一节点，流出（或流入）该 节点的电流相量代数和等于零。
8
二、KVL：
时域: 对于任一集中参数电路，在任一时刻，对任一回路，按
一定绕行方向，其电压降的代数和等于零。
m
k 1
uk
(t)
0
m
k 1
2Uk cos(t uk ) 0
频域:
m•
以相量表示正弦量，有 U k 0 k 1
11
5-3 正弦交流电阻电路
一、时域分析：
二、频域分析
i(t) 2I cos(t i ) u(t) Ri(t)
•
I Ii
•
U Uu
2IRcos(t i ) 2U cos(t u)
RIi
•
•
U RI
∴ U=IR
u=i
（波形）
百度文库
+j
0
+1
(相量图)
12
三、功率
1）瞬时功率: p(t) u(t)i(t)
例1：已知：图示电路中电压有效值UR=6V,UL=18V,UC=10V。
求U=？
U=UR+UL+UC=34V ?
解：设
•
I I0
（参考相量）
•
UR 60
•
UL 1890
•
••
•
U UR UL UC
6 j18 j10
•
UC 10 90
6 j8
1053.1V
U 10V
24
例2 已知： 图示电路中电流表A1、A2读数均为10A。求
4、相量法：以相量表示正弦量对正弦稳态电路进行分析
的方法。
7
5-2 相量形式KCL和KVL
一、KCL：
时域:
对于任一集中参数电路，在任一时刻，流出（或流入）任
一节点的电流代数和等于零。
n
k 1
ik
(t)
0
n
k 1
2Ik cos(t ik ) 0
n•
频域: 以相量表示正弦量，有 I k 0 k 1
X L L (感抗)
jX L jL
(复感抗)
1）瞬时功率: p(t) u(t)i(t)
2）平均功率:
3）无功功率:
P 1
T
p(t)dt 0
Q
T0
UI
XLI
2
U2 XL
(Var)
20
5-5 正弦交流电容电路
一、线性电容元件：
1、定义：库伏特性为q-u平面一条 过原点直线的二端元件。
2、特性： 1） q(t)=Cu(t)； 2) 库伏特性为q-u平面过原点的一 条直线；
Z u i
•
Z
U
•
I
4、Z为复数，描述电路的频域模型，但不是相量。 27
举例：图示电路中已R=15,L=12mH, C=5F,
u(t) 100 2 cos(5000t)V
••
•
•
求Z , I ,U R ,U L ,U C .
解：U• 1000V
jL j60
1 j40
jC
Z R jL j 1 15 j20 2553.1
uR (t) 100 2 cos(314t 36.9)V uL (t) 157 2 cos(314t 126.9)V
17
正弦稳态电路的分析
有效值
激励为正弦量 正弦量的时域表示
I
Im 2
0.707Im
1、波形表示：T、f、 2、函数表示： i(t)=Imcos(t+i)
U
Um 2
0.707 U m
•
C
•
I
U
4 53.1A
• Z•
UR I R 60 53.1V
•
•
UL jL I 24036.9V
•
UC
j
1
C
•
I
160 143.1V
15 j60
j40
28
二、复导纳
•
•
I
U
Z
令：Y 1 （复导纳）
Z
Y G jB Y Y
导纳三角形：
其中：G：电导 B：电纳 Y： 复导纳 |Y|— 导纳模 Y —导纳角
第五章 正弦稳态电路分析 u(t)
5-1 正弦量及其描述 正弦量：
t
0
随时间按正弦规律变化的电流 或电压或功率等。（电量）
i(t)
正弦稳态电路：
t
0
激励为正弦量，且加入激励的时间 为t=-时的电路。
1
一、正弦量的时域表示
1、波形表示： f=1/T =2f=2/T 2、函数表示：
u(t)
Um
0
u(t)=Umcos(t+u) i(t)=Imcos(t +i) （瞬时值）
u3(t)
u2(t)
+
求 u3(t)
解： 以相量表示正弦量，有
u1(t) u2 (t) u3(t) 0
•
U1 630
•
U2 460
•
••
U3 U1 U2 (5.19 j3) (2 j3.45)
3.19 j0.45 3.22 8.03
u3(t) 3.22 2 cos(t 8.03)
其中：
Um、Im 最大值 角频率
i 、u 初相位 （三要素）
-Um i(t)
Im
0 -Im
tt T2
t
2
2
3、相位差
u(t)=Umcos(t+u)
i(t)=Imcos(t+i)
相位差：= u- i
<0 电压滞后
>0
电压超前
=0 同相
=±90º 正交
=±180º反相
3
4、有效值：周期信号一个周期内的方均根值。
u(t) L di(t)
L
dt
2ILsin(t i )
•
I Ii
•
U Uu
IL(i 90)
2ILcos(t i 90) jLIi
•
•
•
2U cos(t u)
U jL I jX L I
∴ U= L I u=i+90º
jX L jL (复感抗)
+j
(波形)
X L L (感抗)
U XLI
p(t) 2U cos(t u ) 2I cos(t i )
UI cos(2t 2u 90)
2）平均功率: P 1
T
p(t)dt
T0
0
3）无功功率: Q UI
XCI 2
U2 XC
(Var)
p(t)
UI
0
意义:反映电容元件与电源进行能量交换的最大速率.
t
23
五、应用举例
有效值和最大值不满足KVL！！
i(t) 2I cos(t i )
u(t) 2U cos(t u )
p(t) 2U cos(t ) 2I cos(t )
UI UI cos(2t 2 )
2）平均功率:
P 1 T
T
p(t)dt
0
UI
UI
RI 2 U 2 (W ) R
p(t)
2UI
0
t
13
5-4 正弦交流电感电路
k 1
k 1
18
正弦交流电阻电路
一、时域分析：
U=IR u=i
二、频域分析
•
•
U RI
（波形）
三、功率
1）瞬时功率: p(t) u(t)i(t)
2）平均功率:
P 1 T
T
p(t)dt
0
UI
RI
2
U2 19R
(W )
正弦交流电感电路
U= L I
•
•
•
U jL I jX L I
L u=i+90º
一、线性电感元件：
1、定义：韦安特性为-i平面一条 过原点直线的二端元件。
2、特性：
1） (t)=Li(t)；
2) WAR为-i平面过原点的
一条直线；
3）VAR:
u(t
)
L
d i
(t） dt
L
4) 无源元件 5) 储能元件 6）动态元件 7）记忆元件
14
二、时域分析：
三、频域分析
i(t) 2I cos(t i )
电流表A的读数。有效值和最大值不满足KCL！！
解：设
•
U U0
•
I1 10 90
选择参考相量
•
I2 1090
•
•
I1 I 2
•• •
I I1 I2 0
所以，电流表A的读数为零。
说明：
（1）参考相量选择：一般串联电路可选电流、并联电路 可选电压作为参考相量；
（2）有效值和最大值不满足KCL、KVL。
3）VAR: i(t ) C du (t） dt
4) 无源元件 5）储能元件
6）动态元件 7）记忆元件
21
二、时域分析：u(t) 2U cos(t ) u i(t) C du(t) dt 2UCsin(t u)
2UC cos(t u 90)
2I cos(t i ) ∴ I=UC i=u+90º
电压u(t)：
电流i(t)：
U 1 T u2(t)dt
T0
对于正弦量：i(t)=Imcos(t+i)
I 1 T i2(t)dt T0
I
Im 2
0.707Im
u(t)=Umcos(t+u)
U
Um 2
0.707 U m
物理意义： 在一个周期内与其产生相等热量的直流电量。
4
二、正弦量的频域表示
0
+1
(相量图)
15
四、功率
1）瞬时功率: p(t) u(t)i(t)
i(t) 2I cos(t i )
u(t) 2U cos(t u )
p(t) 2U cos(t u ) 2I cos(t i )
UI cos(2t 90 2i )
2）平均功率: P 1
T
p(t)dt
T0
0
p(t)
在正弦稳态电路中，对任一回路，按一定绕行方向， 其电压降相量的代数和等于零。
9
例1：如图，已知：
i1(t) 5 2 cos(t 53.1) i2(t) 10 2 cos(t 36.9)
求： i(t) i1(t) i2(t)
i1 (t )
i(t)
解： 以相量表示正弦量，有
•
I 1 553.1 3 j4
i2 (t)
•
I 2 10 36.9 8 j6
• ••
I I1 I 2 115116j.2 11.18 10.3
i(t) 11.18 2 cos(t 10.3)
10
例2 图示电路，已知：
+ u1(t) -
u1(t) 6 2 cos(t 30)
-
u2 (t) 4 2 cos(t 60)
解：I• 1036.9
•
•
UR I R 10036.9 80 j60
•
•
•
UL jXL I jL I 157126.9 94.27 j125.55
•
••
U UR UL 14.27 j185.55 186.194.4
u(t) 186.1 2 cos(314t 94.4)V