2全等三角形3讲义学生版

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人教版八年级上册第3讲全等三角形讲义

第3讲全等形和全等三角形全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

一个图形经过平移、翻折、旋转后位置变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转后的图形全等。

重合的顶点叫做对应点：A→D，B→E，C→F；重合的边叫做对应边:AB→DE，AC→DF，BC→EF；重合的角叫做对应角：∠A→∠D，∠B→∠E，∠C→∠F ；记作△ABC≌DEF全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等。

即AB=DE，AC=DF，BC=EF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F【例1--1】:△ABC△△DEF，△A的对应角是△D，△B的对应角△E，则△C与______ 是对应角；AB与____ 是对应边，BC与_______ 是对应边，AC与_______ 是对应边.【例1--2】如图的两个三角形全等.∠B和∠D，∠BAC与∠DCA是对应角。

（1）若按对应顶点写在对应位置上，则应写为△ABC△__________.（2）找出对应边和对应角.【例1--3】如图,已知△ABC≌△DEB,点E在AB上,DE与AC相交于点F,若DE=7,BC=4,∠D=35°,∠C=60°(1)求线段AE的长。

(2)求∠DFA的度数。

【例1--4】如图,A、D.E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE，试说明：(1)BD=DE+CE；(2)△ABD满足什么条件时,BD∥CE?A B C A’ B’ C’全等三角形的判定Ⅰ。

边边边（SSS ）三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”）。

书写格式：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵⎪⎩⎪⎨⎧===''''''C B BC C A AC B A AB∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（SSS ）【例2--1】：如图,已知AB=CD,BC=DA,E,F 是AC 上的两点,且AE=CF,DE=BF,那么图中全等三角形有( )A. 4对B. 3对C. 2对D. 1对练习：如图,在△ABC 和△BDE 中,点C 在边BD 上,边AC 交边BE 于点 F. 若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则∠ACB 等于( )A. ∠EDBC. 21∠AFB ABF【例2--2】如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB=DF ，AC=DE ，BE=FC.（1）证明：△ABC△△DEF.（2）若△A=65°，求△D 的度数.【例2--3】如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连接A 与BC 中点D 的支架。

《全等三角形》讲义

《全等三角形》讲义一、全等三角形的定义两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形。

“完全重合”意味着它们的形状和大小完全相同，对应边相等，对应角也相等。

例如，我们将一个三角形沿着某条直线对折，如果对折后的两部分能够完全重合，那么这就是一个全等三角形。

二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这是全等三角形最基本的性质之一。

如果两个三角形全等，那么它们对应的三条边的长度是相等的。

比如，三角形 ABC 全等于三角形DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。

2、全等三角形的对应角相等同样，如果两个三角形全等，它们对应的三个角的度数也是相等的。

还是以上面的例子来说，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。

3、全等三角形的周长相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长也必然相等。

4、全等三角形的面积相等由于全等三角形的形状和大小完全相同，所以它们所覆盖的面积也是相等的。

三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

比如说，有三角形 ABC 和三角形 DEF，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

假设在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么可以得出这两个三角形全等。

3、 ASA（角边角）当两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等时，这两个三角形全等。

例如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，∠C ＝∠F，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

比如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么这两个三角形全等。

初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版

初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版初中数学全等三角形综合复讲义——全面完整版一、基础知识1.全等图形的有关概念1)全等图形的定义：两个图形能够完全重合，就是全等图形。

例如，图13-1和图13-2就是全等图形。

2)全等多边形的定义：两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。

例如，图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

3)全等多边形的对应顶点、对应角、对应边：两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

4)全等多边形的表示：例如，图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。

表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。

5)全等多边形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。

6)全等多边形的识别：对边形相等、对应角相等的两个多边形全等。

2.全等三角形的识别1)根据定义：若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

2)根据SSS：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。

3)根据SAS：如果两个三角形有两边及夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。

4)根据ASA：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

5)根据AAS：如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3.直角三角形全等的识别1)根据HL：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

2)SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。

全等三角形的性质与判定(经典讲义)

全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）（3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠= .【仿练1】如图2，已知ABC ADE ∆≅∆，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是 . 【仿练2】如图3，ABC ADE ∆≅∆，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= .、图4EDCB A图2 图3M DA NBC 图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF ∵CM 是△的中线∴_____________( )∴____________________∴__________（）或 ∵AC=EF∴____________________∴__________（）AB=AB （）在△ABC 和△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （）例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．BFECAFE DCB ACMBA B A例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSS B．SAS C．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。

全等三角形的判定(HL)(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(学生版) 24-25学年八年级数学上册

专题12.7全等三角形的判定（HL）（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL）（1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.（2）书写格式：如图，在Rt△ABC 和△Rt DEF 中，AB DE AC DF=⎧⎨=⎩ABC DEF ∴∆≅∆（HL）【知识点二】判定两个直角三角形全等的方法判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等.【知识点三】判定两个直角三角形全等的思路（1）已知一条直角边对应相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；（2）已知斜边对应相等，可用判定方法“HL”“AAS”;（3）已知一锐角对应相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】用“HL”证明直角三角形全等【例1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点A 、E 、F 、B 在同一条直线上，CA AB ⊥，DB AB ⊥，AE FB =，CF DE=（1）求证：CAF DBE ≌ ；（2）若25AFC ∠=︒，求D ∠的度数【变式1】如图，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥，若用HL 判定Rt △ABD 和Rt BCD 全等，则需要添加的条件是（）A ．AD CB =B ．AC ∠=∠C ．BD DB =D ．AB CD=【变式2】（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，BD CF =，FD BC ⊥于点D ，DE AB ⊥于点E ，BE CD =，若145AFD ∠=°，则EDF ∠=．【题型2】全等的性质与“HL”综合【例2】（23-24八年级下·山东青岛·期中）已知：如图AD 为ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F 且有BF AC =，ED CD =．（1）问BF 与AC 的数量和位置关系分别是什么？并说明理由．（2）直接写出ABC ∠的度数．【变式1】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，EF AB ⊥于点F ，交AC 于点E ，BC BF =，连接BE 交CD 于点G ．下列结论：①CE EF =；②CG EF =；③BGC AEB ∠=∠．其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式2】（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在ABC 中，M 为边BC 的中点，ME AB ⊥于点E ，MF AC ⊥于点F ，且BE CF =．若25BME ∠=︒，则A ∠=°．【题型3】全等三角形的综合问题【例3】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，ABC 中，AC AB >，D 是BA 延长线上一点，点E 是CAD ∠的平分线上一点，过点E 作EF AC ⊥于F ，EG AD ⊥于G ．（1）求证：EGA EFA ≌△△；（2）若2BEC GEA ∠=∠，3AB =，5AC =，求AF 的长．【变式1】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，EB 交AC 于点M ，交FC 于点D ，90E F ∠=∠=︒，B C ∠=∠，AE AF =，给出下列结论：12∠=∠①；②BE CF =；③ACN ABM ≌；CD DN =④，其中正确的有（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，ABC 中，AH BC ⊥，BF 平分ABC ∠，BE BF ⊥，EF BC ∥，以下四个结论：①AH EF ⊥，②ABF EFB ∠=∠，③AF BE =，④E ABE ∠=∠．正确的是．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·陕西·中考真题）如图，在ABC 中，50B ∠=︒，20C ∠=︒．过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，延长EA 至点D ．使AD AC =．在边AC 上截取AF AB =，连接DF ．求证：DF CB =．【例2】（2023·山东·中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A B C D E ，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段,AB CD 交于点F ，若CFB α∠=，则ABE ∠等于（）A ．180α︒-B ．1802α︒-C ．90α︒+D ．902α︒+2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，从点O 引射线OM ，ON ，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，点C 为平面内一点，连接AC ，BC ，有ACB O ∠=∠．（1）如图1，若AO BC ∥，则AC 和ON 的位置关系是______；（2）如图2，若ABC ABO ∠=∠，AC OM ⊥，请求出CBD ∠和O ∠的度数的等量关系式；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OM ∥交射线ON 于点D ，当8CDN CBD ∠=∠时，求ABC ∠的度数．【例2】（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形ABCD 中，120AB AD BAD =∠=︒，，90ABC ADC ∠=∠=︒，且60EAF ∠=︒，求证：EF BE FD =+．（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E F 、分别是BC CD 、上的点，且12EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立？请说明理由．。

`122 三角形全等的判定(第3课时)(人教版八年级上)

D O B
E
C
∴BD=CE
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，
△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？ A C B D
E
F
有两角和其中一个角所对的边对应相等的两个
三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）.
有几种填法?
B
1.如图，应填什么就有 △AOC≌ △BOD C ∠A=∠B（已知） AC=BD （已知） _______ ∠C=∠D（已知） ∴△AOC≌△BOD（ ASA ）
=∠C(即使两角和它们的夹边对应相等).
(3)把你画好的Δ A′B′C′放到刚才同桌的Δ ABC上重叠（对应角对齐，对应边对齐）.你发现了什么？ (4)所画得三角形和同桌画的三角形都能相互（重合）.
三角形全等判定三
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“角边角”或“ASA”）.
O D
A
B
如图，应填什么就有△AOC≌△BOD∠A源自∠B（已知）C O
）
CO=DO ________ （已知）
∠C=∠D （已知）
∴△AOC≌△BOD（ AAS
D
A
B
如图，应填什么就有△AOC≌△BOD ∠A=∠B（已知）
C O D
AO=BO （已知） _______
∠C=∠D （已知） ∴△AOC≌△BOD（ AAS ）
A
4 2
1
E
3
F
D
B
C
G
【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD.
2 1 在△ABE和△DAF中, AB DA 4 3
∴△ABE≌△DAF（ASA）.

2全等三角形3讲义学生版

全等三角形常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、借助角平分线造全等【例1】如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F . （1）说明BE CF =的理由；（2）如果AB a =，AC b =，求AE BE 、的长.GFE DC BA【例2】如图，已知ABC △中，90BAC ︒∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BD ⊥ 求例题精讲证：2BD CE =.EDCBA【例3】如图，BC BA >，BD 平分ABC ∠，且AD CD =，求证：180A C ∠+∠=︒.CDAB【例4】如图，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，且180B D ∠+∠=︒，求证：AE AD BE =+.E DCBA二、倍长中线（线段）造全等【例5】已知，如图ABC △中，5AB =，3AC =，则中线AD 的取值范围是_________.D CBA【例6】如图，ABC △中，E F 、分别在AB AC 、上，DE DF ⊥，D 是中点，试比较BE CF +与EF 的大小.FEDCBA【例7】如图，∆ABC 中，90C AC BC ∠=︒=，，AD DB =，AE CF =。

2021秋八年级数学上册12、2三角形全等的判定3边角边应用的四种类型授课新人教版

第12章全等三角形
12.2 三角形全等的判定第3课时
“边角边”应用的四种类型
1
2
3
4
知识点 1 “边角边”在证明线段关系中的应用
1．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，DF⊥DE交AC于点F，延长ED至点G，使GD＝ED. 求证：(1)BE＝CG；
证明：∵D为BC的中点，
∴∠1＝∠2，∠D＝∠D′.
∴∠3＝∠4.
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，
即∠BAC＝∠B′A′C′.
Байду номын сангаас
又∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)．
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知识点 3 构造全等三角形，用“边角边”与
“边边边”说明两条线段的数量关系
3．如图，已知A，D，E三点共线，C，B，F三点共线，AB＝CD，AD＝CB，DE＝ BF，那么BE与DF之间有什么数量关系？请说明理由．
得MD＝AM，M′D′＝A′M′，连接CD，C′D′.
AM＝DM，
在△AMB和△DMC中， AMB＝DMC，
BM＝CM，
∴△AMB≌△DMC(SAS)．
∴AB＝DC，∠3＝∠D.
同理A′B′＝D′C′，∠4＝∠D′. ∵AB＝A′B′， ∴CD＝C′D′. 又∵AD＝2AM＝2A′M′＝A′D′， AC＝A′C′， ∴△ACD≌△A′C′D′(SSS)．
∴EF＝FG.
∵CF＋CG>FG，BE＝CG，
∴BE＋CF>EF.
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知识点 2 “边角边”与“边边边”的综合应用
2．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝ A′B′，AC＝A′C′，AM和A′M′是中线，且AM＝A′M′. 求证△ABC≌△A′B′C′.

全等三角形辅导讲义(Word完整版)

全等三角形【知识框架】【知识点&例题】知识点一：全等三角形的性质和判定全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴平移全等型⑵对称全等型⑶旋转全等型例1：不能确定两个三角形全等的条件是（）A ．三边对应相等B ．两边及其夹角相等C ．两角和任一边对应相等D ．三个角对应相等例2：如图，ABC △中，90C AC BC AD ∠=︒=，，平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E 且6AB cm =，则DEB △的周长为（） A ．40 cm B ．6 cm C ．8cm D ．10cm【变式一】如图，ABC △中，D E 、是BC 边上两点A E A D =，CD B E =，o 11021=∠=∠，o 60BAE =∠，则 CAD ∠等于（）A ．70︒B ．60︒C ．50︒D ．110︒例3：如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB 、AC 翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，则∠α度数为．例4：已知如图，B 是CE 的中点，AD BC AB DC ==，．DE 交AB 于F 点．求证：（1）AD BC ∥（2）AF BF =EDCBA21EDBA【巩固】如图，在ABC △中，AB AC DE =，是过点A 的直线，BD DE ⊥于点D ，CE DE ⊥于E ．（1）若BC 在DE 的同侧(如图①)且AD CE =，求证：BA AC ⊥；（2）若BC 在DE 的两侧（如图②）其他条件不变，问AB 与AC 仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由图①图②知识点二：三角形特殊线段的概念定理F EDCB AEDCBAE DCBA例5：如图在矩形ABCD ，E 为AB 边的中点,,G F 分别为,AD BC 边上的点,若1,2,90AG BF GEF ==∠=︒ ,求GF 的长【变式一】如图所示,在ABC ∆ 中, 4,7,AB AC M == 是BC 的中点,AD 平分BAC ∠ ，//MF AD 交AC 于F ,求FC 的长.例6：如图，∆ABC 中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠.【变式一】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．【角平分线】模型一两角平分线相交模型类型一：在ABC △中，如图1，BP CP 、为ABC ∠和ACB ∠的角平分线，P ∠与A ∠为1902P A ∠=︒+∠ECBAF GE DCBAxyyx ①ABCP推理方法：如图①，可得2()180A x y ∠++=︒，()180P x y ∠++=︒，化简可得1902P A ∠=︒+∠类型二：如图2，BP CP 、为ABC ∠和ACE ∠的角平分线，求P ∠与A ∠之间的关系为12P A ∠=∠推理方法：如图②，可得22y x A =+∠，y x P =+∠，化简可得12P A ∠=∠类型三：如图3，BP CP 、为CBD ∠和BCE ∠的角平分线，则P ∠与A ∠之间的关系为1902P A ∠=︒-∠推理方法：如图③，22180x y A +=︒+∠，180x y P ++∠=︒，化简可得1902P A ∠=︒-∠模型二对角互补模型条件：①DOC COE α∠=∠=，②∠AOB+∠DCE =180结论：①CD CE = ②2cos OD OE OC α+=⋅③2sin cos DOEC ODC OCE S S S OC αα=+=⋅⋅四边形△△ 一、往角两边截取相等的线段解读：在角两边截取相等的线段，这也是角平分线常用的辅助线，常用于解决线段和差问题把两条折线段“拉直”成线段，利用角平分线可以构造全等三角形.同样地，将长线段拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.常用方法分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.xyxyABC P②Eyxxy③EDPC B ACE DOBA例7：如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作E AB CE 于⊥，并且)(21AD AB AE +=，则ADC ABC ∠+∠等于多少？【变式一】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.例8：如图，在中，，、分别平分、，且与的交点为．求证：．【变式一】如图所示，在中，，，是ABC ∠的平分线，延长至，使．求证：EDCBAABC ∆60B ∠=︒AD CE BAC ∠BCA ∠AD CE F FE FD =FBEDCA ABC ∆100A ∠=︒40ABC ∠=︒BD BD E DE AD =BC AB CE =+EDCA例9：四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．知识点三：全等辅助线——截长补短截长补短：遇到线段的和、差、倍、分时，常常采用截长补短法：具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

《全等三角形》讲义(完整版)

全等三角形讲义一、知识点总结全等三角形定义：形状大小相同，并且能够完全重合的两个三角形叫做全等形三角形。

补充说明：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等全等三角形判定定理：（1）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等。

（简称SSS ）（2）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(简称SAS) （3）角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（简称ASA ）（4）角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

（简称AAS ）（5）斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（简称HL ）角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.∵OP 平分∠AOB ，PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ， ∴PM=PN角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.∵PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，PM=PN ∴OP 平分∠AOB三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。

二、典型例题举例A BC PMNO A BC PMNO例1、如图,△ABN ≌△ACM,∠B 和∠C 是对应角,AB 与AC 是对应边,写出其他对应边和对应角.例2、如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．例3、已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ．例4、如图：D 在AB 上，E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ．求证AD ＝AE ．例5、如图：∠1=∠2，∠3=∠4 求证：AC=AD例6、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由D CB ACADB123 4例7、如图1，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.例8、如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交OA 于D ，PE ⊥OB 交OB 于E ，F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ，求证DF ＝EF例9、如图，△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是AD 上的一点，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，求证：D 到PE 的距离与D 到PF 的距离相等例10、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是282cm ，AB ＝20cm ，AC ＝8cm ，求DE 的长．AGF C BDE图1AEB DCFAB CDE D C EFBA 例10、已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：① △BEC ≌△DAE ；②DF⊥BC ．例11、如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C ，D 是垂足，连接CD ，求证:（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OD=OC ；（3）OE 是CD 的中垂线.三、专题版块专题一：全等三角形的判定和性质的应用例1、如图，在△ABC 中，AB=AC ， BAC=40°,分别以AB 、AC 为边作两个等腰三角形ABD 和ACE ，使∠BAD=∠CAE=90°.(1)求∠DBC 的度数.(2)求证：BD=CE.例2、如图，A B ∥CD,AF ∥DE,BE=CF,求证：AB=CD.例3、如图在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，在BE 延长线上截取BM ＝AC ，在CF 延长线上截到CN ＝AB ，求证：AM ＝AN 。

全等三角形讲义

全等三角形讲义(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--全等三角形一、知识点：1.全等形的定义2.全等三角形的定义3.对应顶点、对应边、对应角的定义4.全等三角形的性质二、重难点：1.全等三角形的概念2.对应顶点、对应边、对应角的定义3.全等三角形的性质三、考点全等三角形的性质一、全等形1. 叫做全等形。

全等用符号表示，读作2.两个图形是否为全等形，关键是看两个图形的是否相同，是否相等，而与图形所在的无关；判断两个图形是否是全等形，只要把它们在一起，看是否完全；一个图形经过、、等变换后，所得到的图形与原图形全等。

例题：1.下列说法不正确的是（）A．形状相同的两个图形是全等形 B.大小不同的两个图形不是全等形C. 形状、大小都相同的两个图形是全等形D.能够完全重合的两个图形是全等形2.下列说法正确的是（）A．面积相等的两个图形是全等图形 B.周长相等的两个图形是全等图形C. 形状相同的两个图形是全等图形D.能够重合的两个图形是全等图形二、全等三角形1. 叫做全等三角形2. 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做，重合的边叫做，重合的角叫做3.寻找对应因素的方法：①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角；③全等三角形的公共角是对应角；④全等三角形的公共边是对应边；⑤全等三角形中的对顶角是对应角；⑥全等三角形中一对最长（短）的边是对应边，一对最大（小）的角是对应角例题：1．下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角oO BCDCDABCDCBD2．将ABC ∆沿直线BC 平移，得到DEF ∆，说出你得到的结论，说明理由B AD3．如图，,ACD ABE ∆≅∆AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠B A ，求ADC ∠的大小。

全等三角形的判定(ASA与AAS)(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(学生版25学年八年级数学上册

专题12.5全等三角形的判定（ASA 与AAS）（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】三角形全等的判定方法——角边角（ASA）（1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.（2）书写格式：如图，在△ABC 和△'''A B C 中，A A AB A B B B '∠=∠⎧⎪''=⎨⎪'∠=∠⎩ABC A B C '''∴∆≅∆【知识点二】三角形全等的判定方法——角角边（AAS）（1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC 和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【知识点三】判定方法的选择（1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SAS SSS（2）如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】用ASA 和AAS 证明三角形全等【例1】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，点C 、E 在BF 上，BE CF =，AB FD ，A D ∠=∠．（1）求证：ABC DFE △≌△；（2）若50B ∠=︒，145BED ∠=︒，求D ∠的度数．【变式1】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①④【变式2】（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，已知AC 与BF 相交于点E ，AB CF ∥，点E 为BF 中点，若9CF =，5AD =，则BD =．【题型2】用ASA 和AAS 证明三角形全等与三角形全等性质综合求值【例2】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在ABC 中，D 为AB 上一点，E 为AC 中点，连接DE 并延长至点F ，使得EF ED =，连CF ．（1）求证：CF AB ∥；（2）若70A ∠=︒，35F ∠=︒，BE AC ⊥，求BED ∠的度数．【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在ABC 中，,AD BC CE AB ⊥⊥，垂足分别是D 、E ，AD 、CE 交于点H ．已知10,6AE CE BE ===，则CH 的长度为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，且2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上．CFD BED BAC ∠=∠=∠，ABC 的面积为18，则ABE 与CDF 的面积之和．【题型3】添加条件证明三角形全等【例3】（2023·广东·模拟预测）如图，AC BC DC EC AC BC ⊥⊥=，，，请添加一个条件，使ACE BCD ≌△△．（1）你添加的条件是______（只需添加一个条件）；（2）利用（1）中添加的条件，求证：ACE BCD ≌△△．【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在ABC 和BDE 中，再添两个条件不能．．使ABC 和BDE 全等的是（）A ．AB BD =，AE DC=B ．AB BD =，DE AC =C ．BE BC =，E C ∠=∠D ．EAF CDF ∠=∠，DE AC=【变式2】（23-24八年级上·北京平谷·期末）如图，在ABC 和CDE 中，若90ACB CED ∠=∠=︒，且AB CD ⊥，请你添加一个适当的条件，使ABC CDE △≌△．添加的条件是：（写出一个即可）．【题型4】灵活运用SSS、SAS、ASA、AAS 证明三角形全等【例4】（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且CE BF ∥．（1）ECD 与FBD 全等吗？请说明你的理由；（2）若6AD =，2DF =，BDF V 的面积为3，请直接写出AEC △的面积．【变式1】（2024·河北邯郸·二模）ABC 如图所示，甲、乙两个三角形中和ABC 全等的是（）A ．只有甲B ．只有乙C ．甲和乙D ．都不是【变式2】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在下列各组条件中，能够判断ABC 和DEF 全等的有．①AB DE =，AC DF =，BC EF =；②AB DE =，BC EF =，B E ∠=∠；③A D ∠=∠，B E ∠=∠，AB DE =；④A D ∠=∠，AB DE =，BC EF =．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·四川凉山·中考真题）如图，点E F 、在BC 上，BE CF =，B C ∠=∠，添加一个条件，不能证明ABF DCE △△≌的是（）A ．A D ∠=∠B ．AFB DEC ∠=∠C ．AB DC =D ．AF DE=【例2】（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，AE BF ∥，AE BF =．若________，则AB CD =．请从①CE DF ∥；②CE DF =；③E F ∠=∠这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·河北邢台·期中）在ABC 中，D 是BC 的中点．（1）如图1，在边AC 上取一点E ，连接ED ，过点B 作BM AC 交ED 的延长线于点M ，求证：CE BM =．（2）如图2，将一直角三角板的直角顶点与点D 重合，另两边分别与AC AB ，相交于点E ，F ，求证：CE BF EF +>．【例2】（22-23八年级上·全国·期末）如图1，直线l BC ⊥于点B ，90ACB ∠=︒，点D 为BC 中点，一条光线从点A 射向D ，反射后与直线l 交于点E （提示：作法线）．（1）求证：BE AC =；（2）如图2，连接AB 交DE 于点F ，连接FC 交AD 于点H ，AC BC =，求证：CF AD ⊥；（3）如图3，在（2）的条件下，点P 是AB 边上的动点，连接5ABD PC PD S = ，，，2CH =，求PC PD +的最小值．。

2023年九年级中考数学复习讲义三角形及其全等

2023年中考数学复习讲义三角形及其全等第一部分：知识点精准记忆一、三角形的基础知识1.三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2.三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3.三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4.三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半．二、全等三角形1.三角形全等的判定定理：（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）；（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）．2.全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．三、线段垂直平分线与角平分线1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．2.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．4.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．5.性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．第二部分：考点典例剖析考点一：三角形的三边关系【例1-1】（2021·广西柳州市·中考真题）若长度分别为3，4，a 的三条线段能组成一个三角形，则整数a 的值可以是________．（写出一个即可）【例1-2】（2021·江苏淮安·中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是___．考点二：三角形的内角和外角【例2-1】（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【例2-2】（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC 中，∠A =70°，∠C =30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥AB ，交BC 于点E ，则∠BDE 的度数是（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【例2-3】（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，，连结CD ，BE ．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．考点三：三角形中的重要线段【例3-1】（2022•大庆）下列说法不正确的是( )A ．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B ．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C ．有两个角互余的三角形是直角三角形D ．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形ABC 40A ∠=︒BD BC CE ==80ABC ∠=︒BDC ∠ABE ∠BEC ∠BDC∠【例3-2】（2021·江苏泰州市·中考模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（）A ．点B ．点C ．点D ．点【例3-3】如图，在ABC 中，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ；再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；连结AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法正确的是（）A ．AD BD AB +<B ．AD 一定经过ABC 的重心 C ．BAD CAD ∠=∠D ．AD 一定经过ABC 的外心考点四：垂直平分线与角平分线的性质【例4-1】（2021·青海中考真题）如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD 平分∠ABC ，则△BCD 的面积为（）A ．7.5B ．8C ．15D ．无法确定【例4-2】在△ABC 中，∠BAC =115°，DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，则∠EAG 的度数为 A B C D E F G ABC∆D E FGA ．50°B ．40°C ．30°D ．25°【例4-3】如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D 点，AB =4，BD =5，点P 是线段BC 上的一动点，则PD 的最小值是__________．考点五：全等三角形的性质与判定【例5-1】2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F ，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例5-2】（2021·陕西中考真题）如图，，，点在上，且．求证：．【例5-3】（2021·广东广州·中考真题）如图，点E 、F 在线段BC 上，，，ABC ADE 90BAC DAE ∠=∠=︒,BD CE AF BD CE =BF CF ⊥AF CAD ∠45AFE ∠=︒//BD AC BD BC =E BC BE AC =D ABC ∠=∠//AB CD A D ∠=∠，证明：．【例5-4】（2021·江苏淮安·中考真题）（知识再现）学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL 定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．（简单应用）如图（1），在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AC 、AB 上．若CE ＝BD ，则线段AE 和线段AD 的数量关系是．（拓展延伸）在△ABC 中，∠BAC ＝（90°＜＜180°），AB ＝AC ＝m ，点D 在边AC 上．（1）若点E 在边AB 上，且CE ＝BD ，如图（2）所示，则线段AE 与线段AD 相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．（2）若点E 在BA 的延长线上，且CE ＝BD ．试探究线段AE 与线段AD 的数量关系（用含有a 、m 的式子表示），并说明理由．【例5-5】（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF ，连接CF ．（问题解决）（1）如图1，若点D 在边BC 上，求证：CE+CF ＝CD ；（类比探究）（2）如图2，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．考点六：三角形全等综合【例6-1】（2022·北京）在ABC 中，90ACB ∠=，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC = BE CF =AE DF=αα（1）如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF ，若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥；（2）连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．【例6-2】（2022·山东泰安·中考真题）正方形ABCD 中，P 为AB 边上任一点，AE DP ⊥于E ，点F 在DP 的延长线上，且DE EF =，连接AF BF 、，BAF ∠的平分线交DF 于G ，连接GC ．(1)求证：AEG △是等腰直角三角形；(2)求证：2AG CG DG +=；(3)若2AB =，P 为AB 的中点，求BF 的长．第三部分：中考真题一．选择题1．（2022•鄂尔多斯）如图，15AOE ∠=︒，OE 平分AOB ∠，//DE OB 交OA 于点D ，EC OB ⊥，垂足为C ．若2EC =，则OD 的长为( )A ．2B ．23C ．4D ．43+2．（2022•荆门）数学兴趣小组为测量学校A 与河对岸的科技馆B 之间的距离，在A 的同岸选取点C ，测得30AC =，45A ∠=︒，90C ∠=︒，如图，据此可求得A ，B 之间的距离为( )A ．203B ．60C ．302D ．303．（2022•湘西州）如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，M 为BC 的中点，H 为AB 上一点，过点C 作//CG AB ，交HM 的延长线于点G ，若8AC =，6AB =，则四边形ACGH 周长的最小值是( )A ．24B ．22C ．20D ．184．（2022•西宁）若长度是4，6，a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是( )A ．2B ．5C ．10D ．117．（2022•西宁）如图，60MON ∠=︒，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧在MON ∠的内部相交于点P ，画射线OP ；连接AB ，AP ，BP ，过点P 作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ．则以下结论错误的是( )A ．AOB ∆是等边三角形B ．PE PF =C ．PAE PBF ∆≅∆D ．四边形OAPB 是菱形5．（2022•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是()A．5-B．4C．7D．86．（2022•大连）如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒．分别以点A和点C为圆心，大于12 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若3AB=，则CD的长是()A．6B．3C．1.5D．1 7．（2022•青海）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE BC=，连接DE，F为DE中点，连接BF．若16AC=，12BC=，则BF的长为( )A．5B．4C．6D．88.（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，2OA=，1OB=，3OC=，则AOB∆与BOC∆的面积之和为()A 3B3C33D39．（2022•长沙）如图，在ABC∆中，按以下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．若22AB=AM的长为()A．4B．2C3D2 10．（2022•海南）如图，直线//m n，ABC∆是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若1140∠=︒，则2∠的度数是()A．80︒B．100︒C．120︒D．140︒11．（2022•黑龙江）如图，ABC∆中，AB AC=，AD平分BAC∠与BC相交于点D，点E 是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若ABC∆的面积是24， 1.5PD=，则PE的长是()A ．90ADC ∠=︒B ．DE DF =C ．AD BC = D ．BD CD =12．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是( )A ．三角形B ．平行四边形C ．长方形D ．正方形13．（2022•贺州）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，56B ∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．34︒B ．44︒C ．124︒D ．134︒14.（2022•永州）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60C ∠=︒，点D 为边AC 的中点，2BD =，则BC 的长为( )A 3B ．23C ．2D ．415．（2022•荆州）如图，直线12//l l ，AB AC =，40BAC ∠=︒，则12∠+∠的度数是( )A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒16．（2022•宜昌）如图，在ABC ∆中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若7AB =，12AC =，6BC =，则ABD ∆的周长为( )A ．25B ．22C ．19D ．1817．（2022•岳阳）如图，已知//l AB ，CD l ⊥于点D ，若40C ∠=︒，则1∠的度数是( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒18．（2022•台湾）如图，ABC ∆中，D 点在AB 上，E 点在BC 上，DE 为AB 的中垂线．若B C ∠=∠，且90EAC ∠>︒，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？( )A ．12∠=∠，13∠<∠B ．12∠=∠，13∠>∠C ．12∠≠∠，13∠<∠D ．12∠≠∠，13∠>∠19．（2022•宜宾）如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，D 是BC 上的点，//DE AB 交AC 于点E ，//DF AC 交AB 于点F ，那么四边形AEDF 的周长是( )A ．5B ．10C ．15D ．2020.（2022•广元）如图，在ABC ∆中，6BC =，8AC =，90C ∠=︒，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为( )A ．2.5B ．2C ．3.5D ．321.（2022•宜宾）如图，ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD CE =；②DAC CED ∠=∠；③若2BD CD =，则45CF AF =；④在ABC ∆内存在唯一一点P ，使得PA PB PC ++的值最小，若点D 在AP 的延长线上，且AP 的长为2，则23CE =+．其中含所有正确结论的选项是( )A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④22.（2022•杭州）如图，CD AB ⊥于点D ，已知ABC ∠是钝角，则( )A ．线段CD 是ABC ∆的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC ∆的AB 边上的高线C ．线段AD 是ABC ∆的BC 边上的高线D ．线段AD 是ABC ∆的AC 边上的高线二．填空题1.（2020·辽宁铁岭市·中考真题）如图，在ABC 中，5,8,9===AB AC BC ，以A 为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB 于点M ，交AC 于点N ，分别以,M N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，点F 在AC 边上，AF AB =，连接DF ，则CDF 的周长为___________．2．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，△ABC 为等边三角形，边长为6，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 和点F 分别是线段AD 和AB 上的两个动点，连接CE ，EF ，则CE +EF 的最小值为_____．3．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，在△ABC 中，AC ＝4，∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC 边的垂直平分线DE 交AB 于点D ，连接CD ，则AB 的长为_________________．4题4．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为()1,0-，点A的坐标为()3,3-，将点A 绕点C 顺时针旋转90︒得到点B ，则点B 的坐标为_____________．5.（2020·湖北中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为_____．6．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且3AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是__________．7.如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝．三．解答题1.（2022铜仁）如图，点C 在BD 上，,,,⊥⊥⊥=AB BD ED BD AC CE AB CD ．求证：ABC CDE △≌△．2.（2022福建）如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF ＝EC ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ．求证：∠A ＝∠D ．3.（2022广东）如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．4.（2022大庆）如图，在四边形ABDF 中，点E ，C 为对角线BF 上的两点，,,AB DF AC DE EB CF ===．连接,AE CD ．（1）求证：四边形ABDF 是平行四边形；（2）若AE AC =，求证：AB DB =．5.（2022云南）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，∠BDF =90°（1）求证：四边形ABDF 是矩形；（2）若AD =5，DF =3，求四边形ABCF 的面积S ．6.（2022梧州）如图，在ABCD 中，E ，G ，H ，F 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，且,BE DH AF CG ．求证：EF HG =．7.（2022遵义）将正方形ABCD 和菱形EFGH 按照如图所示摆放，顶点D 与顶点H 重合，菱形EFGH 的对角线HF 经过点B ，点E ，G 分别在AB ，BC 上．（1）求证：ADE CDG ≌；（2）若2AE BE ==，求BF 的长8.（2022贵阳）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 的垂直平分线交AB 于点M ，交CD 于点N ，垂足为O ，点F 在DC 上，且MF AD ∥．（1）求证：ABE FMN ≌△△；（2）若8AB =，6AE =，求ON 的长．9.（2022安徽）已知四边形ABCD 中，BC ＝CD ．连接BD ，过点C 作BD 的垂线交AB 于点E ，连接DE ．（1）如图1，若∥DE BC ，求证：四边形BCDE 是菱形；（2）如图2，连接AC ，设BD ，AC 相交于点F ，DE 垂直平分线段AC ．（ⅰ）求∠CED 的大小；（ⅱ）若AF ＝AE ，求证：BE ＝CF ．10.（2022玉林）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB AC = ②DB DC = ③BAD CAD ∠=∠若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？解决方案：探究ABD △与ACD △全等．问题解决：（1）当选择①②作为已知条件时，ABD △与ACD △全等吗？_____________（填“全等”或“不全等”），理由是_____________；（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求ABD ACD △≌△的概率．11.（2022北部湾）已知MON α∠=，点A ，B 分别在射线,OM ON 上运动，6AB =．（1）如图①，若90α=︒，取AB 中点D ，点A ，B 运动时，点D 也随之运动，点A ，B ，D 的对应点分别为,,A B D '''，连接,OD OD '．判断OD 与OD '有什么数量关系?证明你的结论：（2）如图②，若60α=︒，以AB 为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC ，求点O 与点C 的最大距离：（3）如图③，若45α=︒，当点A ，B 运动到什么位置时，AOB 的面积最大?请说明理由，并求出AOB 面积的最大值．。

奥数讲义-第3讲三角形-希望杯学生版

09预测考点：1. 全等三角形2. 勾股定理3. 轴对称、中心对称、平移旋转4. 等边三角形的性质5. 多边形及其内角和6. 正方形、矩形、平行四边形、菱形、梯形需掌握的基本知识点1. 三角形的三边关系定理、大边对大角、小边对小角；2. 求线段和、线段差的最小值、最大值问题；3. 勾股定理；4. 特殊直角三角形（其中一个锐角是30︒、45︒）的性质；5. 等腰三角形的性质；6. 等边三角形的性质；7. 全等三角形的判定与性质；8. 角平分线的性质就以及利用角平分线构造全等三角形； 9. 倍长中线的技巧；10. 特殊三角形（等边、等腰直角）中的旋转问题．一、三角形的三边关系【例1】 ⑴（2007年“希望杯“试题）若三角形三边的长均能使代数式2918x x -+的值为零，则此三角第3讲希望杯专题——三角形｜初二第三讲希望杯初赛特训班｜2形的周长是（）．（A ）9或18．（B ）12或15 ．（C ）9或15或18．（D ）9或12或15或18．⑵（第14届“希望杯”初试）如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离8AC =，B 到MN 的距离5BD =，4CD =，P 在直线MN 上运动，则PA PB -的最大值等于．【例2】 ⑴（第20届希望杯培训题）设ABC ∆的三条边的长分别为a ，b ，c ，且代数式||a b c -+与2()a b c +-的值相等，则ABC ∆的形状是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形⑵（第19届希望杯）已知ABC ∆的三边长分别为a b c ，，，且a a b cb c b c a++=+-，则ABC ∆一定是（）A ．等边三角形B ．腰长为a 的等腰三角形C ．底边长为a 的等腰三角形D ．等腰直角三角形【例3】 100条线段的长度分别为1，2，3，…，99，100，从中取出一些线段，要使取出的线段中的任意三条都能构成一个三角形，问最多能取出多少条线段？二、三角形的内角和【例4】（第20届希望杯培训题）若三角形的三个内角A ∠、B ∠、C ∠满足2A B ∠<∠和2C B ∠>∠，那么这个三角形是（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．锐角三角形【例5】（第19届希望杯）如图，I 是ABC ∆的内心，且CA AI BC +=．若80BAC ∠=︒，则ABC ∠的大小为_______，AIB ∠的大小为________．ICBA三、全等三角形及图形的变换PCDB A MN【例6】（第20届希望杯培训题）如图7，将ABC ∆沿DE 折叠，使点A 与BC 边的中点F 重合，有下面四个结论：①EF AB ∥且12EF AB =②AF 平分DFE ∠③12ADFE S AF DE =⋅四边形 ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠其中，一定成立的结论有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【例7】（第20届希望杯培训题）如图6，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点O 是正方形BCDE 对角线的交点，则BAO ∠和CAO ∠的大小关系是（） A ．BAO CAO ∠>∠ B ．BAO CAO ∠=∠C ．BAO CAO ∠<∠D ．无法确定的【例8】 (第16届“希望杯”2试)如图，正ABC ∆的边长为a ，D 是BC 的中点，P 是AC 边上的动点，连结PB 和PD 得到PBD ∆．求：⑴ 当点P 运动到AC 的中点时，PBD ∆的周长； ⑵ PBD ∆的周长的最小值．PC D BAPCDBA【例9】（第20届希望杯培训题）In ABC ∆，12cm BC =， the area of the triangle is 227cm ． Then theminimum of the perimeter of the triangle is ( ) A ．35cm B ．27cm C ．(1245)cm + D ．25cm（英汉词典：minimum 最小值；perimeter 周长）四、等腰三角形及直角三角形【例10】（第20届希望杯培训题）如图9，ABC ∆是等腰三角形，且AB AC =，图 6O B C D EA 图 9ABCDE 图 7F A BDCOE｜初二第三讲希望杯初赛特训班｜2BCD ∆是等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，AE BD ⊥交BD 的延长线于E ，则AE _______DE （填“＞”、“＜”或“＝”）．【例11】（第14届“希望杯”初试）如图，ABC ∆中，5AC BC ==，80ACB ∠=︒，O 为ABC ∆中一点，10OAB ∠=︒，30OBA ∠=︒，则线段AO 的长是．OCBA【例12】 ⑴ （2007年培训题）直角三角形三边长均为整数，其中一条直角边长为35，则它的周长的最大值是，最小值是．⑵ (2007年“希望杯”试题)直角三角形有一条边长为11，另外两边的长是自然数，那么它的周长等于（）．（A ）132．（B ）121．（C ）120．（D ）111．【例13】（第14届“希望杯”初试）如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，点E 、F 分别是对角线AC 、BD 的中点，则( )（A ）EF BD ⊥ （B ）AEF ABD ∠=∠ （C ）1()2EF AB CD =+ （D ）1()2EF AB CD =-【例14】（第16届“希望杯”初试）如图，点D 是ABC ∆的边BC 上一点，如果2AB AD ==，4AC =，且:2:3BD DC =，则ABC ∆是（）（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）锐角三角形或直角三角形【例15】（第20届希望杯培训题）如图24，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，M 、N 是BC 边的三等分点，已知4AM =，3AN =，则BC =____________．C D B A F E C D B ANM CBA习题1. 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，13EC AC =，13CD BC =，8BE =，6AD EC CD =+=，则ECDS ∆=_____习题2. a ，b ，c 是三角形的三边，它们满足223ac b c b abc +-=，若三角形的一个内角是120︒，那么::a b c = ．习题3. 如图，ABC ∆的边AB 长为2，AB 边上的中线CD 长为1，AC 、BC 两边之和为31+，则ABC ∆的面积为．习题4. （第20届希望杯培训题）一枚空对地导弹沿直线向地平面上的一个目标匀速飞去，运行方向与水平方向的夹角为30︒．地平面上离目标3km 远处有一拦截导弹，当空对地导弹飞行至拦截导弹的正上空时，拦截导弹开始出发，并成功拦截了空对地导弹．若两枚导弹的速度相等，拦截导弹也是沿直线飞行，那么两枚导弹撞击处离地面的高度等于___________km ．习题5. （第20届希望杯培训题）如图11，在ABC ∆中，10AB =，AD 是BAC∠的角平分线，作CM AD ⊥于M ，且N 是BC 的中点，连接MN ，MN 的长是2，则AC 的长是__________．习题6. 如图，等腰Rt ABC ∆的直角边长为32，从直角顶点A 作斜边BC 的垂线交BC 于D ，再从1D 作12D D AC ⊥交AC 于2D ，再从2D 作23D D BC ⊥交BC 于3D ，…，则123456789______AD D D D D D D D D ++++=，12345678910____D D D D D D D D D D ++++=习题7. （第19届希望杯）如图，ABC ∆的面积为24，点D 是边BC 中点，点E是边AB 上的一个三等分点，CE 交AD 于点F ，则AEF ∆的面积为_________．E CDBACDB A 图 1121MN AB C D D 5D 4D 3D 2D 1C BA｜初二第三讲希望杯初赛特训班｜2FEDCBA习题8. （第20届希望杯培训题）在直角坐标系中，以点(11)A ，、(41)B ，、(15)C ，为顶点的三角形ABC的AC 、BC 边上各有一点P 、Q ，线段PQ 将ABC 的面积分为相等的两部分，则线段PQ 的长度最大可达到_________．图 371234OP 0P Q M C BAyx54321。

全等三角形的讲义整理讲义-精品.pdf

全等三角形专题一全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。

）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。

【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)AB 与是对应边，BC 与是对应边，CA 与是对应边；(2)∠A 与是对应角，∠ABC 与是对应角，∠BAC 与是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。

(1)有公共边的，公共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。

【练习1】如图，图中有两对三角形全等，填空：(1)△BOD ≌； (2)△ACD ≌ .【知识点3】全等三角形的对应边相等，对应角相等。

（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等）【例题2】（海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三角形全等，则∠度数是（）A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】（清远）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B°，°，则1C =．AB C C 1A 1B 1D ABCOEABCD【练习2】如图，ACB A C B △≌△，BCB =30°，则ACA 的度数为（）A 20°B ．30°C ．35°D ．40°【练习3】如图，△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC ，且∠ABD=90°。

（1）△ABD 和△EBC 是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角。

（2）若AB=3cm,BC=5cm,你能求出DE 的长吗？（3）直线AD 和直线CE 有怎样的位置关系？请说明理由。

第2讲(学生)全等三角形判定SAS(提高版) 讲义

第2讲全等三角形的判定（SAS ）学习目标：1.使学生掌握SAS 的内容，会运用SAS 来判定两个三角形全等；2.通过判定全等三角形的判定的学习，使学生初步认识事物之间的因果关系与相互制约关系，学习分析事物本质的方法；重点难点：1.难点：三角形全等的判定：SAS ；2.重点：对全等三角形的判定的理解和运用.学习过程问题1：如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？（应该有两种情况：一种是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角；另一情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角.）每一种情况下得到的三角形都全等吗？问题2.（1）如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两条边分别为3cm 和4cm ，它们的夹角为45︒，你能画出这个三角形吗？你画的与同伴画的一定全等吗？换两条线段和一个角试试，你发现了什么？总结：发现对于已知的两条线段和一个角，以该角为夹角，所画的三角形都是全等的. 这就是判别三角形全等的另外一种简便的方法：三角形全等的判定2：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（S.A.S .）（2）如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，比如两条边分别为4cm 和4.5cm ，长度为4cm 的边所对的角为60︒,情况会怎样呢? （两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.）范例例1：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，试说明△ABD ≌△ACD. 解DCBA例2、工人师傅把两根钢条AC,BD 连在一起可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），只要量得CD 的长度就可知工件的内径AB 是否符合标准。

你认为制作卡钳需要满足什么条件，并说明理由。

A 、AO=COB 、BO=DOC 、AC=BD D 、AO=CO 且BO=DO例3.如图：AB C C ′B ′A ′O BDA C①已知AB=A ′B ′,BC=B ′C ′,那只要再知道____=____,就可以根据“SAS ”得到△ABC ≌△A ′B ′C ′.②已知AB=A ′B ′,∠BAC ＝∠B ′A ′C ′,那只要再知道____=____,就可以根据“SAS ”得到△ABC ≌△A ′B ′C ′.③已知∠C ＝∠C ′,那只要再知道_____=_____ , _____=_____ ,就可以根据“SAS ” 得到△ABC ≌△A ′B ′C强调：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

全等三角形的性质及判定(讲义及答案)

15. 已知：如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB=AC，∠B=∠C．
求证：△ADC≌△AEB． A
第 6 题图第 7 题图
7. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成 3 块，现要到玻璃店去配一块完
全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
C
第 11 题图第 12 题图
12. 如图，点 B，E，C，F 在同一直线上，在△ABC 与△DEF 中，AB=DE，
2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号
“_________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等．
3. 全等三角形的判定定理：______________________________．
精讲精练
C
B
D
3. 如图，△ABC≌△DEC，对应边___________，__________，___________，
对应角_______________，_______________，
______________． A
D
知识点睛
1. 不在同一直线上，首尾顺次相接，△
2. 能够完全重合，≌，对应边，对应角
16. 已知：如图，AB=CD，AB∥CD．求证：△ABD≌△CDB．
A D
B C
A 2
B C
第 8 题图第 9 题图
9. 如图，∠1=∠2，若加上一个条件_______________________，
O
B D
11. 如图，AB=AD，∠1=∠2，如果要使△ABC≌△ADE，还需要添加一个条

2全等三角形3讲义学生版

常见辅助线的作法有以下几种: 1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一"的性质解题.思维模式是全等变换中的“对折二 2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等.构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转 3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折二所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆泄理.4）过图形上某一点作特泄的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移"或•翻转折叠" 5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特总线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段柑等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差-倍、分等类的题目.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形而积的知识解答.借助角平分线造全等【例1】如图，中，AQ平分ZE4C . DG丄BC且平分BC, DE丄ABT E ,£>F丄AC于F・(1 )说明= 的理由J (2)如果AB = a , AC=h,求AE. BE的长.F如图，已知/MBC 中，ZBAC = 90* . AB = AC . 处平分 ZABC •二、倍长中线（线段）造全等【例2】CE 丄BD 求证: BD = 2CE ・【例3】如图, BC>BA, BD 平分ZABC,且AD = CD.求证: 【例4】如图, AC 平分ZBAD. CE 丄AB,且Zfi+ZD=18(r ,求证：AE=AD+BE.ZA+ZC=180°・C已知，如图/MBC 中，AB = 5, AC = 3.则中线AD 的取值范用是如图，/MJ5C 中，£、F 分別在 M 、AC 上，DE 丄DF , D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.如图，中，ZC=9(r> AC=BC, AD = DB. AE = CF.求证：DE=DF ・如图，AB = AC, Z4=903 AE = CF. BD = DC ・求证：FD 丄ED【例5】【例6】【例7】 li【例8】 C【例9】如图，△AZ?C中，BD = DC = AC.£是£2的中点，求证：AD平分ZH4£・【例10】如图，AB = CD,£为〃＜：的中点，ZBAC = ZBCA,求证：AD=2AE三、补形法【例11】如图，在凸五边形ABCDE中，ZB = ZE. ZC = ZD，BC = DE， M是CD的中点•求证：AM丄CD・【例12】如图，在四边形ABCD 中，ZA = ZC = 90\ AB = AD.若这个四边形的而积为16,贝I JBC+C"四、平移变换【例13】在△ABC 的边BC I:取两点D 、F,使BD = FC.过D 、F 分別作34的平行线,分別交/4（：于£\ G ・求证J AB = GF + ED.【例14】如图，在T MBC 内存在一点P,求证：AB+AC>BP+CPE【例15】如图，^/\ABC 的边上取两点D 、E,且BD = CE,求证：AB + AC>AD+AE.五. 对称【例16】如图，/VWC 中，由点A 作BC 边上的高线，垂足为D ・如果ZC = 2ZS.求证:AC + CD = BD ・【例17】如图，/\MC 中，AB>AC , P 为"的平分线AD h 的一点，求证:PB-PC<AB-AC.C【例18】如图，四边形ABCD 中，AC 丄BD,求证：BC^-AD>AB+CD応旋转【例19】正方形ABCD 中，£为上的一点，F 为CD 上的一点,BE + DF = EF 、求Z£4F的度数.【例20】如图，已知/\ABC. AD 是BC 边上的中线，分別以初边，AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形，求证：EF=2ADBD求证：BP = 2PQ ・3•如图所示.Z4=90% AB = AC. M 是AC 边的中点，AD 丄交BC T D ,交于 E.求证：ZAMB = ZDMC^1•如图所示. WC 是等腰三角形，D 、 BD = CE,连接DE 交底求证:2•如图所示.在等边MBC 中，AE = CD.£分別是腰初及AC 延长线上的一点，且 GD = GE・AD. BE 交于P 点,EQ 丄AD 于0・FC4 •如图所示.正方形ABCD中，在边CD上任取一点Q,连AQ.过D作DP丄AQ .交AQ于交BC于P,正方形对角线交点为0,连0P ,0Q・求证：0P丄0Q・5•如图所示.已知正方形ABCD中，M为CD的中点，£为"（：上一点, 且Zfi4£ = 2ZZMA/・求证：AE = BC + CE.c。

全等三角形培优竞赛讲义(全集)学生版

例题精讲板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOECB A【例2】如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?NEB M A D【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？NCDEB M A【例3】已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .FEDCBA【例4】以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．FBDOEDCA【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．NM DCBA【例6】五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDECEDB A板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数..【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠.D C BA D C BA【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.【例10】在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数.【例10】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.NMCB AC DB A D CBA(河南省数学竞赛试题) 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【例11】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.（1）证明线段（或角）相等例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ΔACD ≌ΔABE ，而BF 和FC 分别位于ΔDBF 和ΔEFC 中，因此先证明ΔACD ≌ΔABE ，再证明ΔDBF ≌ΔECF ，既可以得到BF=FC.D E C B AMC A B（2）证明线段平行例2：已知：如图，DE⊥AB∥CDD CBAE F（3例3：如图，在△ABC连接CD和CE. 求证：5、中考点拨：例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．求证：∠F＝∠A．例2 如图，已知△ABC连接CE、DE.求证：EC=EDB C DEFA题型展示：例1 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。

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