解析函数与调和函数的关系

已知实部u，求虚部v(或者已知v，求u)，使 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析.
例：已知 u x y ,可以求得 v 2 xy C
2 2
f ( z) x y i(2xy C) z C'
2 2 2
(1)
则称 H ( x, y)为区域D 内的调和函数(harmonic function).
2 2 注：运算符号 ,称为拉普拉斯算子. 2 2 x y
2 2 H H 方程 0 ,记作 H 0 称为拉普拉斯方程. 2 2 x y
2.解析函数与调和函数的关系
定理2.2 若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是区域D
内的解析函数,则 u(x,y)和v(x,y) 均为区域D 内的
调和函数. 思考 如果 u, v 是任意选取的在区域D 内的两个
调和函数,那么 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在D 内一定解
析吗？
定义2.5 在区域D 内,满足C-R方程

满足C-R方程
v 为u 在区域D内的共轭调和函数
解析函数与调和函数的关系 解析函数
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
调和函数
u(x,y),v(x,y) 为调和函数 v为u的共轭调和函数
注：研究复变量的问题转化为研究实变量的问题.
验证：解析函数的实、虚部的任意阶偏导数 也是调和函数. 应用 构造解析函数
§2.2
解析函数与调和函数的关系
引言
解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) u,v满足C-R方程 解析函数具有无穷可微性 u,v为调和函数
u,v满足拉普拉斯方程
1. 调和函数的定义
定义2.4 如果二元实函数 H ( x, y) 在区域D 内有 二阶连续偏导数，并且满足方程
2H 2H 0 2 2 x y
u v u v , x y y x
的两个调和函数 u , v 中, v 称为 u 在区域 D 内的 共轭调和函数(conjugate harmonic function). 思考 “v 为u 在区域D 内的共轭调和函数”这一表述 中v与u是否可以换序？ 此时，v 在区域D 内的共轭调和函数是什么?
定理2.3 在区域D 内 f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ) 解析的充要条件是在区域D 内虚部 v ( x , y )为实部
u( x , y ) 的共轭调和函数.
函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析

u和v 为D内的调和函数 （u和v的一阶偏导数连续)