1.2-第一课时--排列与排列数公式-课件(北师大选修2-3)

(4)车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是 有顺序的，是排列问题．
1．下列命题，
①abc和bac是两个不同的排列；②从甲、乙、丙三人
中选两人站成一排，所有的站法有6种；③过不共线的 三点中的任两点所作直线的条数为6. 其中为真命题的是 A．①② C．②③ 答案：A B．①③ D．①②③ ( )
无关． (2)是排列问题，因为选出甲、乙两人参加竞赛，甲参加物 理，乙参加数学，与甲参加数学，乙参加物理是不同的结 果，即与顺序有关． 不同排列为张红 张红；李明 李明；李明 张红；张红 赵华；赵华
赵华；赵华
李明．
(3)不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关.
[例2]
从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个不同数字
4．A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，
A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．
解：因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可以B，C， D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图 如图．
所以符合题意的所有排列是：
BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD， CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA.
午的活动．请列出来． 提示：甲上乙下，甲上丙下，乙上甲下，乙上丙下， 丙上甲下，丙上乙下． 问题4：问题1和问题3有何特点？ 提示：都与顺序有关．
排列的定义
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照 一定的
顺序 排成一列， 叫作 从n个不同的元素中任意取出m个
元素 的一个排列.m<n时叫做选排列，m=n时叫做全排列
(3)以圆上的10个点为端点作弦可作多少条不同的弦？ (4)10个车站，站与站间的车票种数有多少？ [思路点拨] 判断是否为排列问题的关键是选出的元素在
被安排时，是否与顺序有关．
[精解详析] 问题．
(1)选2名同学开会没有顺序，不是排列
(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问 题．
(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．
m Pn n n 1 n 2 n m 1
特别地，当m=n时，由上式得全排列的种数为
n Pn n n 13 2 1
一般地，
Pnm n(n 1)(n 2) (n-m+1)
动 脑 思 考 探 索 新 知
n(n 1)(n 2) (n m 1) 2 1 = (n m) 2 1 n! （n m)!
即
n! Pnm （n m)!
排列数
排列数定 义及表示 排列 数公 式 乘积 式 阶乘 式
m pn ＝
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 的 所有排列的个数 ， 叫作从 n 个不同元素中
m 取出 m 个元素的排列数，用符号 pn 表示
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) pm n＝
[例 3]
(12 分)计算下列各题：
5 4 m－1 n－m A ＋ A A An－m 9 9 n－1 · 3 (1)A10；(2) 6 ；(3) . n－1 A10－A5 A 10 n－1
[思路点拨] 对(1)(2)，直接用排列数的连乘形式公式计 算；对(3)，可利用排列数阶乘形式的公式证明．
[精解详析]
－1 n－m Am · A n－1！ － n 1 n－m (3) ＝ · (n－m)！· －1 An [ n － 1 － m － 1 ] ！ n－1
1 ＝1. n－1！
(12 分)
[一点通]
m (1)排列数的第一个公式 An ＝n(n－1)…(n－
m＋1)适用于具体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方 程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点：从 n 起连续 写出 m 个数的乘积即可． (2)排列数的第二个公式 Am n＝ n！ 适用于与排列数 n－m！
2×9×8×7×6×5＋3×9×8×7×6×5×4 原式＝ 9×8×7×…×1－10×9×…×5 2＋12 14 ＝ ＝ ＝1. 4×3×2－10 14 9！ 9！ 2 3 2 ＋3 ＋ 4！ 3！ 4！ 3！ 2＋3×4 法二：原式＝ ＝ ＝ ＝1. 10 10！ 4！－10 1－ 9！－ 4！ 4！
排成一个三位数，写出所得到的所有三位数． [思路点拨] 可按顺序分步解决，然后利用树形图列
出所有的排列．
[精解详析]
画出下列树形图，如下图．
由上面的树形图知，所有的三位数为： 123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312, 314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432.共24个三位数．
2．判断下列问题是不是排列，若是，写出所有排列．
(1)从张红、李明、赵华三人中选出两人去参加数学竞 赛有几种不同选法？ (2)从(1)中的三人中选出两人分别去参加物理竞赛和数 学竞赛有几种不同选法？
(3)从a，b，c，d，e中取出两个字母有几种取法？
解：(1)不是排列问题，因为选出两人参加数学竞赛与顺序
已知数字1,2,3,4,5,6. 问题1：从1,2,3,4,5,6中选出两个数字，能构示：有6×5＝30个． 问题2：从1,2,3,4,5,6中选出三个数字，能构成多少个 没有重复数字的三位数？ 提示：有6×5×4＝120个．
问题3：从1,2,3,4,5,6中选出四个数字，能构成多少个 没有重复数字的四位数？
用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有 重复数字的3位数？
m 6．已知 p10 ＝10×9×…×5，那以 m＝________.
解析：由排列数公式，得m＝6.
答案：6
[例1]
下列哪些问题是排列问题：
(1)从10名学生中选2名学生开会共有多少种不同的选法？
(2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘共能得几个不同的乘积？
1≤x≤6， (2)由 1≤x－2≤6，
x 又 Ax 6<6A6
－2
得 3≤x≤6，且 x∈N＋.
6！ 6！ ⇒ <6· 6－x！ 6－x＋2！ ⇒(8－x)(7－x)<6 ⇒x2－15x＋50<0 ⇒(x－10)(x－5)<0 ⇒5<x<10. 综上可知 x＝6，不等式解集为{6}．
有关的证明、解方程、解不等式等．
5．已知A 2 n ＝132，则n等于
A．11 C．13 B．12 D．14
(
)
2 解析：A 2 n ＝n(n－1)＝132，即n －n－132＝0.因
为n∈N＋，所以n＝12.
答案：B
6 2A5 ＋ 3A 9 9 7．计算： 6 ＝________. 9！－A10 解析：法一：
提示：有6×5×4×3＝360种．
问题4：上述几个问题是如何解决的？ 提示：都利用了分步乘法计数原理． 问题5：若从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成 一列，有多少种不同的排法？．
1号位
2号位
3号位
…
m号位
动 脑 思 考 探 索 新 知
n种
(n － 1 ) 种
(n －2 )种
…
[n －(m+1)]种
n！ n－m！
(n，m∈N＋，m≤n)
排列数 的性质
0 1 ；0！＝1 n！ pn ＝ ； p n n＝
例2 计算
P
2 和 5
P．
4 4
巩 固 例3 小华准备从7本世界名著中任选3本，分别送 知 给甲、乙、丙 3位同学，每人1本，共有多少 识 种选法？ 典 型 例 题
例4
巩 固 知 识 典 型 例 题
(1)A3 10＝10×9×8＝720.
(4 分)
4 A5 9×8×7×6×5＋9×8×7×6 9＋A9 (2) 6 ＝ A10－A5 10×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6 10
9×8×7×6×5＋1 6 3 ＝ ＝ ＝ . (8 分) 10×9×8×7×6×5－1 10×4 20
答案：1
－1 x 8．(1)解方程 3A8 ＝4Ax 9 ；
x 2 (2)解不等式：A6 <6Ax 6 .
－
1≤x≤8， 解：(1)由 1≤x－1≤9，
得 2≤x≤8.
x－1 又 3Ax ＝ 4A 8 9 ， 3×8×7×…×(8－x＋1)＝4×9×8×7×…×(9－x＋2)，
3×8×7×…×(9－x)＝4×9×8×7×…×(11－x)， 3×(10－x)(9－x)＝4×9， (10－x)(9－x)＝12， x2－19x＋78＝0， x1＝6，x2＝13(舍)， 综上可知，原方程的解为x＝6.
[一点通]
在“树形图”操作中，先将元素按一定顺序
排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，
在每类中再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二位
并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列，这样就能 不重不漏地依照“树形图”写出所有排列．
3．由1,2,3三个数字可组成________个不同数字的三位 数． 解析：三位数有123,132,213,231,312,321共6个． 答案：6
第三章 概率与统计
3.1.1排列及排列数的计算
问题1：若甲、乙、丙三人站成一排照相，有哪些站法？ 请列举出来．
提示：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，
丙乙甲． 问题2：甲乙丙与甲丙乙是同一种站法吗？ 提示：不是．它们的顺序不同．
问题3：若从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一
项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下