数学分析18隐函数定理及其应用总练习题
第十八章 隐函数定理及其应用
∂z f ′ + yz ⋅ f2′ = 1 ∂x 1 − f1′ − xy ⋅ f 2′
x3 + y 3 + z 3 = 3 xyz
x ， 所确定的隐函数，求 u ′ ． x 解：在方程两端对 求导，其中视 z 为 x, y 的函数，
′ 3 x 2 + 3 z 2 ⋅ z′ x = 3 yz + 3 xy ⋅ z x ，
z′ x =
由此得
x 2 − yz xy − z 2 ．
⎞ ⎟ ⎠．
− a 2 − y 2 (a + a 2 − y 2 )
a − y2
2
，
d2 y = d x2 从而
− a2 − y2 ⋅
dy y2 dy + ⋅ 2 2 dx a − y dx a2 y = a2 − y2 (a 2 − y 2 )2
- 2 -
∂z ∂z (5) x + y + z − 2x + 2 y − 4z − 5 = 0 ，求 ∂x ， ∂y ； 2 2 2 解：设 F ( x, y, z) = x + y + z − 2x + 2 y − 4z − 5 ，则
=
y a 2 − y 2 (a + a 2 − y 2 )
−ay 2 − a 2 a 2 − y 2 − a (a 2 − y 2 ) + ay 2 + y 2 a 2 − y 2
微积分隐函数练习题
微积分隐函数练习题微积分是数学中非常重要的一个分支，它研究的是函数的变化规律。
而隐函数则是微积分中的一个重要概念，它描述的是一种依赖于多个变量的函数关系。
在学习微积分的过程中，练习隐函数问题是必不可少的。
本文将通过一些隐函数练习题，帮助读者更好地理解微积分中的隐函数概念及其应用。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一个函数方程：$x^2 + y^2 = 1$。
这个方程描述了一个单位圆的边界。
我们可以通过这个方程来求解关于 $y$ 的隐函数。
为了求解隐函数，我们需要将方程转化为关于 $y$ 的形式。
对于这个例子，我们可以将方程改写为 $y = \sqrt{1 - x^2}$。
这样，我们就得到了一个关于$y$ 的隐函数。
接下来，我们可以通过求导来计算这个隐函数的导数。
对于 $y = \sqrt{1 -x^2}$，我们可以使用链式法则来求导。
首先，我们令 $u = 1 - x^2$，那么 $y= \sqrt{u}$。
然后，我们对 $y$ 求导得到 $\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$。
最后，我们再对 $u$ 求导得到 $\frac{du}{dx} = -2x$。
将这两个导数相乘，我们就得到了关于 $x$ 的隐函数的导数：$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$。
通过这个例子，我们可以看到隐函数的求解过程以及求导过程。
在实际应用中，隐函数常常出现在物理学、经济学等领域的问题中。
通过求解隐函数，我们可以更好地理解和描述这些问题。
接下来，我们来看一个稍微复杂一些的隐函数问题。
假设有一个函数方程：$x^3 + y^3 = 6xy$。
我们需要求解关于 $y$ 的隐函数。
为了求解隐函数，我们可以尝试将方程转化为关于$y$ 的形式。
对于这个例子，我们可以将方程改写为 $y = \sqrt[3]{6xy - x^3}$。
这样，我们就得到了一个关于 $y$ 的隐函数。
Ch 18 隐函数定理及其应用
S F 01（数）Ch 18 隐函数定理及其应用计 6 时231Ch 18 隐函数定理及其应用 ( 6 时 )§ 1 隐函数 ( 2 时 )一． 隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.1. 隐函数及其几何意义: 以0),(=y x F 为例作介绍.2.隐函数的两个问题: ⅰ> 隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性质.二. 隐函数存在条件的直观意义:三. 隐函数定理:Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件:ⅰ> 函数),(y x F 在以),(000y x P 为内点的某一区域D 2R ⊂上连续 ; ⅱ> ),(00y x F 0=; ( 通常称这一条件为初始条件 ) ⅲ> 在D 内存在连续的偏导数),(y x F y ; ⅳ> ),(00y x F y 0=/.则在点0P 的某邻域 (0P )⊂D 内 , 方程0),(=y x F 唯一地确定一个定义在某区间) , (00αα+-x x 内的隐函数)(x f y =, 使得⑴ )(00y x f =,∈x ) , (00αα+-x x 时()∈)( , x f x (0P )且()0)( , ≡x f x F . ⑵ 函数)(x f 在区间) , (00αα+-x x 内连续 . ( 证 )四. 隐函数可微性定理:Th 2 设函数),(y x F 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D 内),(y x F x 存在且连续 . 则隐函数)(x f y =在区间) , (00αα+-x x 内可导 , 且232),(),()(y x F y x F x f y x -='. ( 证 )例 1 验证方程0sin 21),(=--=y x y y x F 在点) 0 , 0 (满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 并求隐函数的导数 . [1]P 194 E1 例2 2221x y z -=. 其中)(x f y =为由方程0333=-+axy y x 所确定的隐函数 . 求dxdz . [1]P 195 E2 ( 仿 )例3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有连续的导函数)(x f ', 且00)(y x f =, 0)(0≠'x f . 用隐函数定理验证存在反函数 , 并求反函数的导数. [1]P 196 E4五. n 元隐函数: [1]P 194 Th3例40),,(323=-++=z y x xyzz y x F . 验证在点) 0 , 0 , 0 (存在z 是),(y x的隐函数 , 并求偏导数 . [1]P 196 E3Ex [1]P 19７ １，２，３⑴—⑶，４，５．（４和５题只求一阶偏导数 ）§ ２ 隐函数组 ( 2 时 )一． 隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组⎩⎨⎧=++++=++++.0 , 022********e y d x c v b u a e y d x c v b u a入手介绍隐函数组 ，一般形式为 ⎩⎨⎧==.0),,,(, 0),,,(v u y x G v u y x F *)二. 隐函数组定理:分析从上述线性方程组中解出 u 和v 的条件入手 , 对方程组*)在一定条件下拟233线性化 , 分析可解出u 和v 的条件 , 得出以下定理 .Th 1 ( 隐函数组定理 ) [1]P 199 Th 4.关于Jacobi .例1 [1]P 200 E 1.三. 反函数组和坐标变换:1. 反函数组存在定理:Th 2 (反函数组定理 ) [1]P 202 Th 52.坐标变换: 两个重要的坐标变换.例2 , 3 [1]P 203—204 E 2 , 3 .Ex [1]P 205 1，2，3，5⑵.§ 3几何应用 ( 1 时 )一. 平面曲线的切线与法线 : 设平面曲线方程为0),(=y x F . 有yx F F x f -=')(.切线方程为 ),(00y x F x +-)(0x x ),(00y x F y 0)(0=-y y , 法线方程为 ),(00y x F y --)(0x x ),(00y x F x 0)(0=-y y .例1 求Descartes 叶形线 09)(233=-+xy y x 在点) 1 , 2 (处的切线和法线 . [1]P 207 E 1.二. 空间曲线的切线与法平面 :1.曲线由参数式给出 : βαχ≤≤===t t z z t y y t x L , )( , )( , )( : .234切线的方向数与方向余弦. 切线方程为)()()(000000t z z z t y y y t x x '-='-='-χ.法平面方程为 0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t χ.2. 曲线由两面交线式给出 : 设曲线L 的方程为 ⎩⎨⎧==.0),,( , 0),,(z y x G z y x F 点),,(0000z y x P 在L 上. 推导切线公式. [1]P 209.切线方程为),(),(),(),(),(),(000P P P y x G F z z x z G F y y z y G F x x ∂∂-=∂∂-=∂∂-.法平面方程为0)(),(),()(),(),()(),(),(0000=-∂∂+-∂∂+-∂∂z z y x G F y y x z G F x x z y G F P P P .例2 [1]P 210 E2 .三. 曲面的切平面与法线 :设曲面∑的方程为0),,(=z y x F , 点),,(0000z y x P 在∑上. 推导切面公式. [1]P 211. 切平面方程为 0))(())(())((000000=-+-+-z z P F y y P F x x P F z y x .法定义域线方程为 )()()(000000P F z z P F y y P F x x z y x -=-=-.例3 [1]P 211 E3 .Ex [1]P 212 1—6 .§ 3条件极值 ( 1 时 )一.条件极值问题 : 先提出下例:例 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的235表面积最小 .分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .条件极值问题的一般陈述 .二. 条件极值点的必要条件 :设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件 的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的 极限点 , 有0)(='+=x g f f d xd z y x .代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ,( 以下x f 、y f 、x ϕ、y ϕ均表示相应偏导数在点),(00y x 的值 . ) 即 x f y ϕ—y f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ,使(x f , y f ) + λ(x ϕ , y ϕ)0=.236亦即 ⎩⎨⎧=+=+., 0y y x x f f λϕλϕ二. Lagrange 乘数法 :由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 的解.倘引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=,( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange 乘数法的一般情况 .四. 用Lagrange 乘数法解应用问题举例 :例1 求容积为V 的长方体形开口水箱的最小表面积 . [1]P 216 E1例2 抛物面z y x =+22被平面1=++z y x 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离 . [1]P 217 E2例3 求函数xyz z y x f =),,(在条件)0,0,0,0( 1111>>>>=++r z y x rz y x下的极小值 . 并证明不等式 311113a b c c b a ≤⎪⎭⎫⎝⎛++- , 其中 c b a , , 为任意正常数 . [1]P 218 E3Ex [1]P 220 1⑴⑶， 2，3 .。
数学分析18.4隐函数定理及其应用之条件极值
第十八章 隐函数定理及其定理4条件极值引例：设计一个容量为V, 而表面积最小的长方形开口水箱. 设水箱的长、宽、高分别为x,y,z ，则表面积为S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy. 即面积函数的自变量要符合定义域的要求(x>0,y>0,z>0)，且须满足 xyz=V, 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.一般形式：在条件组φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求 目标函数y=( x 1,…,x n )的极值.解法：1、消元法，如引例中的条件可化为z=xyV,代入函数S 得： F(x,y)=S(x,y,xy V)=2V(x 1+y1)+xy. 由(F x ,F y )=(0,0)求得稳定点(32V ,32V ), 可求得最小面积S=3324V .2、拉格朗日乘数法：欲求函数z=f(x,y)的极值，限制条件为C: φ(x,y)=0. 把C 看作(x,y)的曲线方程，设C 上一点P 0(x 0,y 0)为f 满足条件的极值点, 且在点P 0的某邻域上φ(x,y)=0能惟一确定可微的隐函数y=g(x), 则 x=x 0必为z=f(x,g(x))=h(x)的极值点. 由f 在P 0可微, g 在x 0可微, 可得 h ’(x 0)=f x (x 0,y 0)+f y (x 0,y 0)g ’(x 0)=0, 且当φ满足隐函数定理条件时，有 g ’(x 0)=-),(),(0000y x y x y x ϕϕ, 代入上式得：f x (P 0)φy (P 0)-f y (P 0)φx (P 0)=0. 几何意义上，上式表示曲面z=f(x,y)的等高线f(x,y)=f(P 0)与曲线C 在P 0有公共切线.从而存在某常数λ0, 使得在P 0处满足：⎪⎭⎪⎬⎫==+=+0)(0)()(0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ，引入辅助变量λ和辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+ λφ(x,y), 可得⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=0)(),,(0)()(),,(0)()(),,(0000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕλϕλλϕλλλ, 即将条件极值问题转化为L 的无条件极值问题，称为拉格朗日乘数法， 其中函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数.注：一般条件极值问题的拉格朗日函数：(λ1,…,λn 为拉格朗日乘数) L(x 1,…,x n ,λ1,…,λm )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ.定理18.6：设在条件φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求 函数y=( x 1,…,x n )的极值问题, 其中f 与φk 在区域D 上有连续的一阶偏导数.若D 的内点P 0(01x ,…,0.n x )是上述问题的极值点，且雅可比矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋯∂∂⋯⋯∂∂⋯∂∂n mm n x x x x ϕϕϕϕ1111的秩为m, 则存在m 个常数01λ,…,0.m λ,使得 (01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为拉格朗日函数L(x 1,…,x n ,λ1,…,λn )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ的稳定点, 即(01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为n+m 个方程⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋯=⋯⋯=⋯==∂∂+∂∂⋯⋯=∂∂+∂∂∑∑==0),,(0),,(011111111111n m n mk n k k nx mk k k x x x L x x L x x f L x x f L m n ϕϕϕλϕλλλ的解.例1：用拉格朗日乘数法重新求本节开头提到的水箱设计问题. 解：所求问题的拉格朗日函数为L(x,y,z,λ)=2(xz+yz)+xy+λ(V-xyz)，列方程组得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-+==-+==-+=00220202xyz V L xy y x L xz x z L yz y z L z yx λλλλ，解得：x=y=2z=32V ,λ=324V .∴水箱表面积最小值为：23333)2()22(222V V V V ++=3324V .注：由例1可得不等式：2(xz+yz)+xy ≥3324V =32)(4xyz , x>0,y>0,z>0.例2：抛物面x 2+y 2=z 被平面x+y+z=1截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.解：实质为求f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在条件x 2+y 2-z=0及x+y+z-1=0下的最值. 令L(x,y,z,λ,μ)=x 2+y 2+z 2+λ(x 2+y 2-z)+μ(x+y+z-1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=0100202202222z y x L z y x L z L y y L x x L z y x μλμλμλμλ, 解得：λ=-3±35,μ=-7±311,x=y=231±-,z=2∓3.又f(231±-,231±-,z=2∓3)=9∓53. ∴椭圆到原点的最长距离为39+, 最短距离39-.例3：求f(x,y,z)=xyz 在条件x 1+y 1+z 1=r1,(x>0, y>0, z>0, r>0)下的极小值，并证明不等式3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc , 其中a,b,c 为任意正实数. 解：令L(x,y,z,λ)=xyz+λ(x 1+y 1+z 1-r1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-==-==-=01111000222r z y x L zxy L y xz L xyz L z y x λλλλ，解得：x=y=z=3r, λ=(3r)4.把x 1+y1+z 1=r1看作隐函数z=z(x,y) (满足隐函数定理条件)， 记F(x,y)=xyz(x,y)=f(x,y,z), 它是f 与z=z(x,y)的复合函数. 则有z x =-21x -/21z -=-22x z , z y =-22yz ; F x =yz+xyz x =yz-x yz 2, F y =xz-y xz 2; F xx =yz x +yz x +xyz xx =332x yz , F yy =332yxz , F xy =z+yz y +xz x +xyz xy =z-y z 2-x z 2+xy z 32;∵(F xx F yy -F xy 2)(3r,3r,3r)=27r 2>0, ∴f(3r,3r,3r)=(3r)3极小值, 也是最小值. 即有xyz ≥(3r)3, (x>0, y>0, z>0, 且x1+y1+z 1=r1).令x=a,y=b,x=c, 则r=(a 1+b 1+c 1)-1, 即有abc ≥[3(a 1+b 1+c 1)-1]3,或3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc (a>0, b>0, c>0).习题1、应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值： (1)f(x,y)=x 2+y 2, 若x+y-1=0；(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)； (3)f(x,y,z)=xyz, 若x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0.解：(1)令L(x,y,λ)=x 2+y 2+λ(x+y-1), 列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=010202y x L y L x L y x λλλ,解得：λ=-1, x=y=21. 又当x →∞, y →∞时，f →∞， ∴函数在唯一的稳定点取得极小值f(21,21)=21. (2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)；令L(x,y,z,t,λ)=x+y+z+t+λ(xyzt-c 4), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+==+==+==+=0010101014c xyzt L xyz L xyt L xzt L yzt L tz y x λλλλλ, 解得：x=y=z=t=c.又当n 个正数的积一定时，其和必有最小值，∴函数在唯一的稳定点取得最小值也是极小值f(c,c,c,c)=4c.(3)令L(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(x 2+y 2+z 2-1)+μ(x+y+z), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++==-++==++==++==++=001020202222z y x L z y x L z xy L y xz L x yz L zy x μλμλμλμλ, 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==616261z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=616261z y x . ∵f 在有界集{(x,y,y)|x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0}上连续，∴存在最值.又f(61,61,-62)=f(-62,-61,61)=f(61,-62,61)=-631,f(-61,-61,62)=f(62,-61,-61)=f(-61,62,-61)=631, ∴f 在(61,61,-62),(-62,-61,61),(61,-62,61)取得极小值-631,在(-61,-61,62),(62,-61,-61),(-61,62,-61)取得极大值631.2、(1)求表面积一定而体积最大的长方体； (2)求体积一定而表面积最小的长方体.解：设长、宽、高分别为x,y,z ，则体积V=xyz, 表面积S=2xy+2yz+2zx,(1)记L(x,y,z,λ)=xyz+λ(2xy+2yz+2zx-S), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=02220)(20)(20)(2S zx yz xy L y x xy L z x xz L z y yz L z yxλλλλ,解得：x=y=z=6S, ∴体积最大的长方体必在唯一的稳定点取得，即 表面积一定的长方体为正方体时，V=36⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S =66SS最大. (2)记L(x,y,z,λ)=2xy+2yz+2zx+λ(xyz-V), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=0022022022V xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z yx λλλλ,解得：x=y=z=3V , ∴表面积最小的长方体必在唯一的稳定点取得，即 体积一定的长方体为正方体时，表面积S=632V 最小.3、求空间一点(x 0,y 0,z 0)到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离.解：由题意，相当于求f(x,y,z)=d 2=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2在条件 Ax+By+Cz+D=0下的最小值问题.由几何学知，空间定点到平面的最短距离存在，可设L(x,y,z,λ)=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2+λ( Ax+By+Cz+D), 列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++==+-==+-==+-=00)(20)(20)(2000D Cz By Ax L C z z L B y y L A x x L z y x λλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++=-+++++=-+++++=-222000022200002220000)()()(C B A D Cz By Ax C z z C B A D Cz By Ax B y y C B A D Cz By Ax A x x ， ∴f 的最小值必在惟一的稳定点取得，即 d=202020)()()(z z y y x x -+-+-=222000||CB A D Cz By Ax +++++为所求最短距离.4、证明：在n 个正数的和为定值条件x 1+x 2+…+x n =a 下，这n 个正数的乘积x 1x 2…x n 的最大值为n nna . 并由此结果推出n 个正数的几何平均值不大于算术平均值n n x x x ⋯21≤nx x x n+⋯++21.证：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 1x 2…x n +λ(x 1+x 2+…+x n -a), (x 1,x 2,…,x n >0)列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+⋯++==+⋯=⋯⋯=+⋯⋯=⋯⋯=+⋯==+⋯=-+-000002112111214313221a x x x L x x x L x x x x x L x x x x L x x x L n n x nk k x n x n x n k λλλλλ, 解得：x 1=x 2=…=x n =n a. ∴最大值必在惟一的稳定点取得，即f(n a ,n a ,…,n a )=n nna 最大.又x 1x 2…x n ≤n n n a ，∴n n x x x ⋯21≤na =n x x x n+⋯++21.5、设a 1,a 2,…,a n 为已知的n 个正数，求f(x 1,x 2,…,x n )=∑=nk k k x a 1在限制条件x 12+x 22+…+x n 2≤1下的最大值. 解：记x 12+x 22+…+x n 2=r ≤1, L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=∑=nk k k x a 1+λ(x 12+x 22+…+x n 2-r),列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+⋯++==+=⋯⋯=+==+=rx x x L x a L x a L x a L n nn x x x n22221221102020221λλλλ, 解得：x i =∑=±nk kiaa r 12, (i=1,2,…,n)可知，当x i =∑=±nk kiaa r 12, 且r=1时，取得最大值f M =∑=nk ka12.6、求函数f(x 1,x 2,…,x n )=x 12+x 22+…+x n 2在条件∑=nk k kx a1=1(a k >0,k=1,2,…,n)下的最小值. 解：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 12+x 22+…+x n 2+λ(∑=nk k kx a1-1),列方程组有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+=⋯⋯=+==+=∑=10202021221121n k k k n n x x x x a L a x L a x L a x L n λλλλ, 解得：x i =∑=n k k i a a 12, (i=1,2,…,n)，∴函数在唯一的稳定点取得最小值F m =∑=nk ka121.7、利用条件极值方法证明不等式xy 2z 3≤10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x , x,y,z>0.证 ：记L(x,y,z,λ)=xy 2z 3+λ(x+y+z-a), (x,y,z>0, a>0),列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=00302022332a z y x L z xy L xyz L z y L z yxλλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===236a z a y a x , 又当n 个正数的和一定时，其积必有最大值，∴xy 2z 3≤32236⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a =6633322⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯a =10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x .。
数学分析3部分习题解析(隐函数定理及其应用部分)
数学分析3部分习题解析隐函数定理及其应用部分关注的要点：第1节部分习题1、方程cos sin xyx y e +=能否在原点的某邻域内确定隐函数()y f x =或()x g y =？：【做这题和下题之前要注意一点：回顾并熟记隐函数存在及可微性定理，注意理解定理的条件的作用。
】解首先将方程变为标准方程cos sin 0xyx y e+-=，记(,)cos sin xy F x y x y e =+-，显然(,)F x y 在2R 上连续，(,)sin xy x F x y x ye =--，(,)cos xy y F x y y xe =-也在2R 上连续，且(0,0)0F =，0(0,0)sin 000x F e =--=，0(0,0)cos 0010y F e =-=≠。
所以，由隐函数存在及可微性定理得，此方程在原点的邻域内可以确定唯一连续可微的隐函数()y f x =。
2、方程ln 1xz xy z y e ++=在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数？。
解首先将方程变为标准方程ln 10xzxy z y e ++-=，记(,,)ln 1xzF x y z xy z y e =++-，显然(,)F x y 在{}(,)0x y y >（即上半平面）上连续，(,,)xzx F x y z y ze =+，(,,)y zF x y z x y=+，(,,)ln xz z F x y z y xe =+也在{}(,)0x y y >上连续，且(0,1,1)0F =，0(0,1,1)1120x F e =+=≠，(0,1,1)10y F =≠，(0,1,1)0z F =。
所以，由隐函数存在及可微性定理得，此方程在点(0,1,1)的邻域内既可以确定唯一连续可微的隐函数(,)x x y z =，也可以确定唯一连续可微的隐函数(,)y y z x =，但不能肯定是否确定隐函数(,)z z x y =。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-隐函数定理及其应用(圣才出品)
5．设以 u，v 为新的自变量变换下列方程：
解：（1）因 所以
将
代入原方程，并化简得，
所以
8 / 32
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
将上述
代入原方程，并化简得
即
6．设函数 u＝u（x，y）由方程组 u＝f（x，y，z，t），g（y，z，t）＝0，h（z，t） ＝0 所确定，求
解之得
3．求下列函数所确定的反函数组的偏导数：
解：（1）因
所以由反函数组定理，得
7 / 32
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
（2）关于 x 求偏导数得
解之得
4．设函数 z＝z（x，y）是由方程组 函数，求当 u＝0，v＝0 时的 dz．
解：因
（u，v 为参量）所定义的 所以当 u＝0，v＝0 时 dz＝0．
证明：因为
所以
7．求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：
求 z 对于 x，y 的一阶与二阶偏导数；
求
解：（1）令
，则
（2）把 z 看成 x，y 的函数，两边对 x 求偏导数，得 原方程两边关于 y 求偏导数，得
4 / 32
，故
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
在点（1，－1，2）的附近能否确定形如 x＝f（x），y＝g（z）的隐函数组？
解：令
则
①F，G 在点（1，－1，2）的某邻域内连续；
②F（1，－1，2）＝0，G（1，－1，2）＝0；
③
均在点（1，－1，2）的邻域内连续；
故由隐函数组定理知，在点（1，－1，2）的附近所给方程组能确定形如 x＝f（z），y ＝g（z）的隐函数组．
数学分析18.1隐函数定理及应用之隐函数
第十七章隐函数定理及其定理1隐函数一、隐函数的概念设E ur2,函数F:E-r2.如果存在集合|,JuE,对任何XGI,有惟一确定的yej,使得(x,y)GE,且满足方程F(x,y)=O,则称F(x,y)=O确定了一个定义在I上，值域含于J的隐函数.若把它记为y=f(x),xWI,yEJ,则有F(x,f(x))三0,xWI.注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+l.二、隐函数存在性条件的分析隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线，「•要使隐函数存在，至少要存在点Po(x o,y o),使F(x o,yo)=O,y0=f(x0).要使隐函数y=f(x)在点P°连续，需F在点P°可微，且(Fx(Po),Fy(P°))TO,O),即曲面z=F(x,y)在点P。
存在切平面.要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P。
可微，则在F可微的假设下，通过F(x,y)=O在P°处对x求导，由链式法则得：Fx(P°)+Fy(P。
)字匚=0.dx当FyR)尹0时,可得字j=-耍2,同理，当V dxi F…(PJFx(Po)尹。
时，可得刑,『=-轶牛r x V r0/三、隐函数定理定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：(1)F在以Po(x o,yo)为内点的某一区域DUR?上连续；(2)F(x°,yo)=O(通常称为初始条件)；(3)F在D内存在连续的偏导数Fy(x,y)；(4)Fygyo)尹0.则1、存在点的P。
某邻域U(P°)uD,在U(Po)上方程F(x,y)=O惟一地决定了一个定义在某区间(x0-a,x0+a)上的(隐)函数y=f(x),使得当xG(x0-a,x0+a)时,(x,f(x))e U(P0),且F(x,f(x))三0,y0=f(x0);2、f(x)在(Xo-a,xo+a)上连续.证：1、由条件⑷,不妨设F y(x o,y o)>O(若F y(x o,y o)<O,则讨论-F(x,y)=O).由条件⑶Fy在D上连续，及连续函数的局部保号性知，存在点Po的某一闭方邻域[x0-P,x0+p]x[y o-p,y o+p]<=D,使得在其上每一点都有Fy(x,y)>0.对每个固定的xE[Xo-B,xo+。
华东师范大学数学分析第18章习题解答
1 第十八章
隐函数定理及其应用§1 隐函数1.方程xy e y x sin cos 能否在原点的某邻域内确定隐函数x f y 或y g x
? 分析:隐函数是否存在只须验证题目是否满足隐函数存在定理的条件
. 解令
xy e y x y x F sin cos ,,则有(1)
y x F ,在原点的某邻域内连续; (2)
00,0F ; (3)
xy y xy x xe y F ye x F cos ,sin 均在原点的上述邻域内连续; (4) 00
,0,010,0x y F F . 故由隐函数存在定理知
,方程xy e y x sin cos 在原点的某邻域内能确定隐函数x f y . 2.方程1ln xz e y z xy 在点1,1,0的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数?
分析: 本题的解题思路与1题一样.
解令
1ln ,,xz e y z xy z y x F ,则(1)
z y x F ,,在点1,1,0的某邻域内连续; (2) 01
,1,0F ; (3) xz z y xz x xe y F y z
x F ze y F ln ,,均在原点的上述邻域内连续;
(4) 01,1,0,011
,1,0,021,1,0z y x F F F . 故由隐函数存在定理知,方程1ln xz e y z xy 在点1,1,0的某邻域内能确定隐函数
z y f x ,和z x g y ,.。
数学分析23.3反函数定理和隐函数定理(含习题及参考答案)
第二十三章向量函数微分学3 反函数定理和隐函数定理一、反函数定理概念1：若定义在开集D⊂R n上的向量函数f: D→R m是一一映射，即不仅对每一个x∈D只有一个y∈R m与之对应，且对每一个y∈f(D)也只有惟一确定的x∈D, 使得f(x)=y. 于是由后者能确定一个定义在f(D)上的函数，记为f-1: f(D)→D,称它为函数f的反函数. 函数f与其反函数f-1满足：(1)(f-1◦f)(x)=x, x∈D；(2) (f◦f-1)(y)=y, y∈f(D).定理23.17：(反函数定理)设D⊂R n是开集, 函数f: D→R m满足条件：①在D上可微且f’连续；②存在x0∈D, 使det f’(x0)≠0,则存在邻域U=U(x0)⊂D, 使得：(1)f在U上一一映射，从而存在反函数f-1: V→U，其中V=f(U)是开集;(2)f-1在V上存在连续导数(f-1)’, 且(f-1)’(y)=(f’(x))-1, x=f-1(y), y∈V.证：1)将函数f变换为定义在零点邻域内的函数.设T=f’(x0), 由①②知存在点x0的邻域U⊂D, 使得f’(x)在U内非零.在U-x0={x-x0|x∈U}上定义函数F(x)=T-1[f(x0+x)-f(x0)], x∈U-x0.记U-x0为U1, 即有0∈U1, F(0)=0, F’(0)=I (单位矩阵), 且F在U1可微, F’连续, 对所有x∈U1, F’(x)≠0.(2)证明存在邻域U2⊂U1, 使得F在U2上是一一映射.设φ(x)=x-F(x), x∈U1, 则φ’(0)=0. 取定0<α<1, 由φ’(x)的连续性,存在中心在原点的开球U 2⊂U 1, 使得对x ∈U 2, )(x ϕ'<α.应用定理23.14微分中值不等式得)()(x x '-''ϕϕ≤αx x '-'', x ’,x ”∈U 2. ∴)()(x F x F '-''≥(1-α)x x '-'', 即F 在U 2上是一一映射. 若定义F 的反函数H: F(U 2)→U 2, H(F(x))=x, x ∈U 2, 则有H 连续. 3)证明F(U 2)⊃(1-α)U 2, U=H(V)是开集，其中V=(1-α)U 2. 任取y ∈(1-α)U 2, 对任何n>1, 应用迭代法构造x 0,…,x n 使得 x 0=0, x i =y+φ(x i-1), x i-1∈U 2, 1--i i x x ≤αi-1y , 1≤i ≤n. 于是有n x ≤∑=--ni i i x x 11≤∑=-ni i y 11α<y α-11, 即 x n ∈U 2, x n+1=y+φ(x n ), n n x x -+1=)()(1--n n x x ϕϕ≤α1--n n x x . 所以将n 换成n+1时归纳法假设也成立.由于α<1, 因此{x n }是R n 中的柯西序列，于是有x n →x ∈U 2. ∴∞→n lim F(x n )=∞→n lim (x n -φ(x n ))=∞→n lim (x n -x n+1+y)=y. 设V=(1-α)U 2, 于是有U=F -1(V). 由F 连续，而开集的原象是开集知, U 是开集. 4)证明：若y ∈V, x=H(y), 则H ’(y)=F ’(x)-1.设y ∈V, y+k ∈V, k ≠0, x=H(y), x+h=H(y+k), S=F ’(x), 于是有 H(y+k)-H(y)-S -1k=h-S -1k=S -1(Sh-k)= -S -1[F(x+h)-F(x)-Sh]. 由(1-α)h ≤k 得,kkS y H k y H 1)()(---+≤hShx F h x F S )1()()(1α---+-.当k →0时, h →0, 即有上式右边趋于0，∴H ’(y)=F ’(x)-1. 5)证明：H ’(x)在V 内连续.∵)()(y H k y H '-+'≤11)]([)]([--'-+'x F h x F≤11)]([)()()]([--''-+'+'x F x F h x F h x F .由F ’的连续性, 当h 充分小时, 1)]([)()(-''-+'x F x F h x F <21. ∴1)]([-+'h x F ≤21)]([-'x F , 于是)()(y H k y H '-+'≤2)()()]([21x F h x F x F '-+''-, ∴H ’也连续.例1：记w=(x,y,z)T , p=(r,θ,φ)T ,求函数w=f(p)=(rsin θcos φ,rsin θsin φ,rcos θ) 的反函数的导数.解：(f -1)’(w)=[f ’(p)-1]=10sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--θθϕθϕθϕθϕθϕθϕθr r r r r =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0cos sin sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin sin cos sin sin 122222222ϕϕθϕθθϕθθθθϕθϕθθr r r r r r r r r=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0sin cos sin sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin θϕθϕθϕθϕθθϕθϕθr r r r r (r 2sin θ≠0). 将w=f(p)代入上式得：(f -1)’(w)=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++02222222222222y x x y x y r y x y x r yz yx r xzrz r y r x, (x 2+y 2≠0), 其中r=222z y x ++.二、隐函数定理概念2：设X ⊂R n , Y ⊂R m , Ω=X ×Y ⊂R n+m , F: Ω→R m . 考察向量函数方程 F(x,y)=0, x ∈X,y ∈Y. 若有向量函数f: U →Y(U ⊂X), 则F(x,f(x))≡0, x ∈U. 称函数f 是由方程F(x,y)=0确定的定义在U 上的隐函数.固定y∈Y时, 关于x的偏导数记为：F’x(x,y)或D x F(x,y) (为m×n矩阵); 固定x∈X时, 关于y的偏导数记为：F’y(x,y)或D y F(x,y) (为m×n矩阵).定理23.18：(隐函数定理)设X⊂R n,Y⊂R m是开集,Ω=X×Y⊂R n+m(为开集), F: Ω→R m. 若F满足下列条件：①存在x0∈X, y0∈Y, 使得F(x0,y0)=0;②F在Ω上可微，且F’连续; ③det F’y(x0,y0)≠0.则存在点x0的n维邻域U=U(x0)⊂X和点y0的m维邻域V=V(x0)⊂Y,使得在点(x0,y0)的n+m维邻域W=U×V⊂Ω内, 由方程F(x,y)=0惟一地确定了隐函数f: U→V，它满足：(1)y0=f(x0);(2)当x∈U时, (x,f(x))∈W, 具有恒等式F(x,f(x))≡0, x∈U;(3)f在U内存在连续偏导数f’, 且f’(x)=-[F’y(x,y)]-1F’x(x,y), (x,y)∈W. 证：定义函数G: Ω→R n×R m, G(x,y)=(x,F(x,y)), 即有det G’(x0,y0)=det F’y(x0,y0)≠0, G(x0,y0)=(x0,F(x0,y0))=(x0,0).应用定理23.17, 存在R n×R m中包含(x0,0)的开集U×V’, U⊂R n, V’⊂R m和R n×R m中包含(x0,y0)的开集U’×V, U’⊂R n, V⊂R m使得G: U’×V→U×V’具有可微反函数H: U×V’→U’×V. 由G(x,y)=(x,F(x,y))得H(x,y)=(x,k(x,y)),其中k(x,y)是从U×V’到V的可微向量函数. 定义映射π: R n×R m→R m, π(x,y)=y. 由于π◦ G=F, ∴F(x,k(x,y))=F◦ H(x,y)=(π◦ G)◦H(x,y)=π◦(G◦H)(x,y)= π(x,y)=y, ∴F(x,k(x,0))=0. 定义f(x)=k(x,0), 即有x∈U, f(x)∈V, F(x,f(x))=0, y0=f(x0). 引入向量增量符号△f=f(x+△x)-f(x), x,x+△x∈U. 于是有F(x+△x,f(x+△x))-F(x,f(x))=F(x+△x,f(x)+△f)-F(x,f(x))=0.各分量运用微分中值公式： F i (x+△x,f(x)+△f)-F i (x,f(x))=k i i nk k i x f x f x x x F ∆∆+∆+∂∂∑=))(,(1θθ+j i i mj ji f f x f x x y F∆∆+∆+∂∂∑=))(,(1θθ=0 (i=1,…,m). 又k i mj ji x fx f x y F ∂∂∂∂∑=))(,(1=))(,(x f x x F k i ∂∂-(i=1,…,m; k=1,…,n).将这m ×n 个式子列成矩阵式，即有：F ’y (x,y)f ’(x)=-F ’x (x,y), y=f(x), (x,y)∈U ×V. 由F ’y 在U 内可逆, 解得： f ’(x)=-[F ’y (x,y)]-1F ’x (x,y), (x,y)∈W. 由条件②推得f ’(x)在U 上连续.例2：设Ω⊂R 4, F,G: Ω→R.若向量H=(F,G)T 在点(z 0,w 0)T ∈Ω的某邻域内 满足定理23.18条件, 其中z 0=(x 0,y 0)T , w 0=(u 0,v 0)T , 且det H w ’(z 0,w 0)≠0, 则方程H(x,y,u,v)=0. 在点z 0的某邻域内确定一个可微的隐函数w=f(z), 且f ’(z)=-[H ’w (z,w)]-1H ’z (z,w), 即f ’(z)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂y v xvyu x u=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂--y G x G yF x F vG u Gv F u F1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂-∂∂-∂∂-y G x Gy F x Fv F u G v F v GJ 1 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂-),(),(),(),(),(),(),(),(1y u G F x u G F v y G F v x G F J , 其中J=),(),(v u G F ∂∂.三、拉格朗日乘数法设D ⊂R n 为开集, f: D →R, φ: D →R m , n=m+r, 用行向量记x=(x 1,…,x n )=(x 1,…,x r ,x r+1,…,x r+m )=(y,z), y ∈R r , z ∈R m , 当φ(x)=φ(y,z)=0时,求函数f(x)=f(y,z)的极值, 其格拉朗日函数为L(x,λ)=L(y,z,λ)=f(y,z)+λTφ(y,z), 其中λ=(λ1,…,λn)T为拉格朗日乘数向量.定理23.19：对上述所设函数f, φ若满足条件：(1)f, φ在D内有连续导数；(2)φ(x0)=φ(y0,z0)=0；(3)rank φ’(x0)=rank[φ’y(y0,z0),φ’z(y0,z0)]=m；(4)x0=(y0,z0)是f在φ(x)=φ(y,z)=0时的极值点.则存在A0∈R m, 使得(x0,A0)是函数L(x,λ)=f(y,z)+λTφ(y,z)的稳定点, 即满足L’(x0,A0)=[L x(x0,A0)+ Lλ(x0,A0)]=0, 其中λ=(λ1,…,λn)T,又由条件(2)有Lλ(x0,A0)=[φ(x0)]T=0, ∴L x(x0,A0)=f’(x0)+A0Tφ’(x0)=0.证：不妨设由条件(3)有det φ’z(y0,z0)≠0.由条件(1)(2)及上式满足定理23.18, 知由方程φ(x)=φ(y,z)=0确定惟一隐函数z=g(y), (y,z)∈U(y0)×U(z0)⊂D, 使得z0=g(y0), φ(y,g(y))≡0, y∈U(y0) 且g在U(y0)存在连续导数. 于是由复合函数求导法则得φy(y0,z0)+φz(y0,z0)g’(y0)=0. 又(y0,z0)是f的条件极值点,∴y0是h(y)=f(y,g(y))的极值点. 于是有f y(y0,z0)+f z(y0,z0)g’(y0)=0.取A0∈R m为方程f z(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0的解. 由det φ’z(y0,z0)≠0知, A0存在. ∵A0Tφy(y0,z0)+A0Tφz(y0,z0)g’(y0)=0, ∴A0Tφy(y0,z0)-f z(y0,z0)=0,∴f y(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0, 又f z(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0, 得证.习题1、设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=+-+023*******u z y x u z y x u z y x , 证明：除了不能把x,y,z 用u 惟一表示出来外,其他任何三个变量都能用第四个变量惟一表示出来.证：令F(x,y,z,u)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321F F F =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+++-+-+u z y x u z y x u z y x 2322232, 则F ’(x,y,z,u)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---232212112113u . F 满足条件：(1)F(0,0,0,0)=0, 存在(0,0,0,0)T ∈R 4; (2)F 在R 4上可微, 且F ’连续;(3)令ω1=(x,y,z)T , ω10=(0,0,0)T , 则det F ’ω1(0,ω10)=322211113---=0; 令ω2=(x,z,u)T , ω20=(0,0,0)T , 则det F ’ω2(0,ω20)=232121013--=21≠0;令ω3=(x,y,u)T , ω30=(0,0,0)T , 则det F ’ω3(0,ω30)=222111013-=-12≠0;令ω4=(x,y,u)T , ω40=(0,0,0)T , 则det F ’ω4(0,ω40)=232121011---=3≠0; 根据定理23.17，在原点邻域，除了不能把x,y,z 用u 唯一表示出来，其他任何三个变量都能用第四个变量唯一表示出来.2、应用隐函数求导公式，求由方程组x=ucosv, y=usinv, z=v 所确定的隐函数之一z=z(x,y)的所有二阶偏导数.解：令F=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321F F F =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---v z v u y v u x sin cos , ω1=(x,y)T , ω2=(z,u,v)T , 依隐函数求导公式有f ’(ω1)=-[F ’ω2(ω1,ω2)]-1F ’ω1(ω1,ω2), 即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂y v xv y u x u y z x z =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------001001101cos sin 0sin cos 01v u v v u v =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----0010010cos sin 0sin cos cos sin 1v v v u v u u v v u =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----v vv u v u v v u cos sin sin cos cos sin 1, 其中u=),,(),,(321v u z F F F ∂∂. ∴xz ∂∂=u v sin -, y z ∂∂=u v cos , x u ∂∂=cosv, y u ∂∂=sinv, x v ∂∂=u v sin -, y v ∂∂=u v cos .又u=22y x +, cosv=22yx x +, sinv=22yx y +, 因此有22x z∂∂=2sin cos u vx u x v vu ∂∂-∂∂-=2sin cos 2u v v =222)(2y x xy +; yx z∂∂∂2=2sin cos u vy uy v vu ∂∂-∂∂-=222cos sin u v v -=22222)(y x x y +-;22yz∂∂=2cos sin u vyuy v vu ∂∂-∂∂-=2cos sin 2uv v -=222)(2y x xy +-.3、设方程组⎩⎨⎧=---=0),,(),,(z y x g uv z uv y uv x f u . 试问：(1)在什么条件下，能确定以x,y,v 为自变量, u,z 为因变量的隐函数组？ (2)能否确定以x,y,z 为自变量, u,v 为因变量的隐函数组? (3)计算x u ∂∂,y u ∂∂,vu∂∂.解：设F=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21FF =⎥⎦⎤⎢⎣⎡----),,(),,(z y x g uv z uv y uv x f u , F: R 5→R 2. 若F 满足下列条件： ①存在P 0(x 0,y 0,z 0,u 0,v 0)∈R 5, 使F(p 0)=0;②在邻域U(p 0)⊂R 5内，F 可微且F ’连续，则有f, g 可微且f ’, g ’连续; ③由行列式求导法知：F ’=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''''+'+''+'+'+'-'-'-00)()(1321321321z y x g g g f f f u f f f v f f f (1)令ω1=(x,y,v)T , ω2=(u,z)T , ω10=(x 0,y 0,v 0)T , ω20=(u 0,z 0)T , 满足det F ’ω2(ω10,ω20)=g ’z [1+v(f 1’+ f 2’+ f 3’)]≠0时，在邻域U(ω10)⊂U(p 0)内， 由方程F=0, 能唯一确定隐函数f(ω1)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z u =⎥⎦⎤⎢⎣⎡),,(),,(v y x z v y x u . (2)令ω3=(x,y,z)T , ω4=(u,v)T , 则det F ’ω4(ω3,ω4)≡0,∴不能判断确定x,y,z 为自变量，u,v 为因变量的隐函数组. (3)由(1)所设, 有f ’(ω1)=-[F ’ω2(ω1,ω2)]-1F ’ω1(ω1,ω2), 即f ’(ω1)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂v z yz xzv u y uxu =⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''+'+''-'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-'+'+'+--0)(0)(13212113321y x z g g f f f u f f g f f f f v =⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''+'+''-'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+'+''∆-0)()(101321213213y x zg g f f f u f f f f f v f g =⎪⎪⎭⎫⎝⎛'+'+'+''+'+'+''+'+''''+''-''+''-∆-0)](1[)](1[)(1321321321323f f f v g f f f v g f f f g u g f g f g f g f y x z y z x z . 其中△=g ’z [1+v(f ’1+f ’2+f ’3)].∴xu ∂∂=∆''-''x z g f g f 3; y u ∂∂=∆''-''y z g f g f 32,v u ∂∂=∆'+'+''-)(321f f f g u z .4、设f(x,y)=(e x cosy,e x siny)T . 证明：(1)当(x,y)∈R 2时, det f ’(x,y)≠0, 但在R 2上f 不是一一映射； (2)f 在D={(x,y)|0<y<2π}上是一一映射，并求(f -1)’(0,e). 证：(1)当(x,y)∈R 2时, det f ’(x,y)=ye ye y e y e x x x x cos sin sin cos -=e 2x ≠0,令v=(x,y)T , 取v 1=(0,0)T , v 2=(0,2π)T , v 1≠v 2, 而f(v 1)=f(v 2)=[1,0]T , ∴f 在R 2上不是一一映射.(2)当(x,y)∈D={(x,y)|0<y<2π}时, 令v=(x,y)T, 而u=f(v)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y e y e x x sin cos .取v 1=(x 1,y 1)T , v 2=(x 2,y 2)T , 且x 1≠x 2, y 1≠y 2, 若有f(v 1)=f(v 2), 即e x1cosy 1=e x2cosy 2且e x1siny 1=e x2siny 2, 则有21x x e e =12cos cos y y =12sin sin y y , 从而有11cos sin y y =22cos sin y y , 即tany 1= tany 2, 由正切函数的周期性知|y 1-y 2|=π, 因此知cosy 1与cosy 2异号, 即不可能有21x x ee =12cos cos y y , ∴f(v 1)≠f(v 2),即f 在D 上一一映射.又f 在D 上可微, f ’连续，∴存在可导函数并求f -1:V →D, 其中V=f(D),则(f -1)’(u)=[f ’(v)]-1=1cos sin sin cos -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y e y e y e y e xx xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y e y e y e y e e x x x x x cos sin sin cos 12. 又e2x=u 12+u 22, e x cosy=u 1, e x siny=u 2,∴(f -1)’(u)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+122122211u u u u u u , 从而(f -1)’(0,e)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0110ee .5、计算下列函数反函数的偏导数：u x ∂∂,v x ∂∂,u y ∂∂,vy ∂∂.(1)(u,v)T =Tx y x x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛sin ,cos ；(2)(u,v)T =(e x +xsiny,e x -xcosy)T . 解：令s=(u,v)T , t=(x,y)T , s=f(t), 则有(f -1)’(s)=[f ’(t)]-1, 即 (1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂v y u y v x u x =1cos cos sin sin sin cos -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+x y x y x y x y x y x y x y x y =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-x y x y x y x y x y x y x y x y sin cos sin cos sin cos =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅-⋅+u u v v v u v u v u v u arctan arctan 122. ∴u x ∂∂=22v u u +,v x ∂∂=22v u v +,u y ∂∂=22arctan v u v u v u +-⋅,v y ∂∂=22arctan vu u u v v ++⋅. (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂v y u y v x u x =1sin cos cos sin -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+y x y e y x y e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+-x x x x e y e y y x y x y e y e x sin cos cos sin )1cos sin (1. ∴u x ∂∂=1cos sin sin +-y e y e y x x , v x ∂∂=1cos sin cos +--y e y e y x x , u y ∂∂=)1cos sin (cos +--y e y e x e y x x x , v y ∂∂=)1cos sin (sin +-+y e y e x e y x x x .6、设D ⊂R n 为开集, φ, ψ:D →R, f: D →R 2且f(x)=[φ(x),φ(x)ψ(x)]T , x ∈D. 证明：在满足f(x 0)=0的点x 0处, rank f ’(x 0)<2. 但是由方程f(x)=0仍可能在点x 0的邻域内确定隐函数g: E →R 2, E ⊂R n-2, n>2.证：由f(x 0)=0, 得φ(x 0)=0, φ(x 0)ψ(x 0)=0, 依定理23.9求导公式得f ’(x 0)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+''+''')()()()()()()()()()(0000000000111x x x x x x x x x x nn nx x x x x x ψϕψϕψϕψϕϕϕΛΛ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''')()()()()()(00000011x x x x x x nnx x x x ψϕψϕϕϕΛΛ. 设f 在的导数矩阵两行线性相关，则rank f ’(x 0)<2.但f(x)=0仍可能在点x 0的邻域内确定隐函数g: E →R 2, E ⊂R n-2, n>2. 例如φ(x 1+x 2+x 3-x 4)=x 1+x 2+x 3-x 4, ψ(x)=(x 1-x 32-x 2x 4), 则f(x)=[φ(x),φ(x)ψ(x)]T =[x 1+x 2+x 3-x 4,(x 1+x 2+x 3-x 4)(x 1-x 32-x 2x 4)]T ,取x 0=(0,0,0,0)满足f(x 0)=0, 能由方程f(x)=0确定函数g(x 1,x 3)=Tx x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++2233223223221,1.7、设D ⊂R n 为开集, f: D →R n , 证明：当满足条件(1)f 在D 上可微，且f ’连续；(2)当x ∈D 时, det f ’(x)≠0. 则f(D)是开集. 证：对任一y 0∈f(D), 存在x 0∈D, 使y 0=f(x 0), 依定理23.17, 存在邻域U(x 0)⊂D, 使f 在U 上一一映射, 存在反函数f -1: V →U(V=f(U)), 且(f -1)’在V 上连续, x 0=f -1(y 0). 由开集U ⊂D, 取ε>0, 使U(x 0,ε)⊂U, 又 (f -1)’在V 上连续知f -1(y)在y 0连续, ∴存在δ>0, 当y ∈U(y 0,δ)时, f -1(y)∈U(x 0,ε)⊂D, 于是U(y 0,δ)⊂f(D), 可见y 0是f(D)的点,由y 在f(D)上的任意性知f(D)为开集.8、设D,E ⊂R n 为开集, f: D →E 与f -1: E →D 互为反函数. 证明：若f 在x ∈D 可微, f -1在y=f(x)∈E 可微, 则f ’(x)与(f -1)’(y)为互逆矩阵. 证：依定理23.13, 复合函数h=f -1◦f: D →D 在x 可微，且h ’(x)=(f -1◦f)’(x)=(f -1)’(y)f ’(x), 把h(x)=(f -1◦f)(x)看作以下两个变换的复合：(x 1,x 2,…,x n )↦(y 1,y 2,…,y n )↦(x 1,x 2,…,x n ), 则有(f -1)’(y)f ’(x)=h ’(x)=n nx x x x x x ∂∂∂∂∂∂0000000000002211ΛΛΛΛΛ=I. ∴f ’(x)与(f -1)’(y)为互逆矩阵.9、对n 次多项式进行因式分解P n (x)=x n +a n-1x n-1+…+a n =(x-r 1)…(x-r n ). 从某种意义上说，这也是一个反函数问题. 因为多项式的每个系数都是它的n 个根的已知函数，即a i =a i (r i ,…,r n ), i=0,1,…,n-1.要求得到用系数表示的根，即r j =r j (a 0,a 1,…,a n-1),j=1,2,…,n. 试对n=2与n=3两种情形，证明：当方程P n (x)=0无重根时, 函数组 a i =a i (r i ,…,r n ), i=0,1,…,n-1存在反函数组r j =r j (a 0,a 1,…,a n-1),j=1,2,…,n. 证：(1)当n=2时, P 2(x)=x 2+a 1x+a 0=(x-r 1)(x-r 2)=x 2-(r 1+r 2)x+r 1r 2.则有函数组a 1=-(r 1+r 2), a 0=r 1r 2. ),(),(2101r r a a ∂=1211r r --=r 2-r 1≠0(r 1≠r 2). 当r 1≠r 2时一切点偏导连续, 依定理18.5上述函数组确定反函数组： r 1=2)40211a a a -+-, r 2=2)40211a a a ---.(2)当n=3时,P 3(x)=x 3+a 2x 2+a 1x+a 0=(x-r 1)(x-r 2)(x-r 3)=x 3-(r 1+r 2+r 3)x 2+(r 1r 2+r 2r 3+r 3r 1)-r 1r 2r 3. 则有函数组a 2=-(r 1+r 2+r 3), a 1=r 1r 2+r 2r 3+r 3r 1, a 0=-r 1r 2r 3.),,(),,(321012r r r a a a ∂=213132213132111r r r r r r r r r r r r ---+++---≠0 (r 1,r 2,r 3互不相等时).在r1,r2,r3互不相等时,一切点上偏导连续, 依定理18.5确定反函数组：r1=r1(a2,a1,a0), r2=r2(a2,a1,a0), r3=r3(a2,a1,a0).。
第十八章隐函数定理及其应用-
y
x0 y0
1 2
得
y x 0 0 .
y0
三 对数求导法
1 对数求导法 先在 y f(x) 两边取对数, 然后利用隐函数的 求导方法求出y的导数. 2 适用范围:
多个函数相乘和数幂u(指 x)v(函 x)的求.导
幂指函数求导：
yu (x)v(x) (u (x)0)
先两端取ln对 y数 vlnu
解 方程两x边 求对 导得
2x 6 1 1 2 y 5 y 4 y 0
代x 入 0,
y0得y
x0 y0
1 2
;
将上方 两程 边再 x求对 导得
1x 5 2 2 y 6 2 y 3 ( 0 y ) 2 5 y 4 y 0
代x入 0, y0,
(F ,G) 0
1
1
( y , v ) 1 2v
u 1 y 4uv1
( F , G ) 2u (u, y) 1
0 2u 1
v 2u y 4uv1
问题 1 和问题 2 的方法可以推广到更 一般的情形。
定理 (隐函数存在定理)
设 1. F i(X ,Y ) C 1(U X 0,Y (0),)i1,2,,m；
2. Fi(X0,Y0)0, i1,2,,m；
3.
(F1,F2,,Fm)
0
(y1,y2,,ym) (X0,Y0)
其中，X(x1,x2, ,xn), Y(y1,y2, ,ym ),则
方程组 F 1 (X ,Y ) 0 , ,F m (X ,Y ) 0 在 U( X0)
内唯一确定一组函数 yiI(X) C 1(U X0)()
三、由方程组确定的
第十八章隐函数定理及其应用
第十八章 隐函数定理及其应用一. 填空题1. 椭球面222236x y z ++=在( 1,1,1 ) 处的切平面方程____________,法线方程_____________.2. 隐函数存在惟一性定理的条件是_________条件.3. 由方程1(,)sin 2F x y y x y =--所确定的隐函数()y f x =的导数为_________. 4. 设323z xyz a -=, 则_______.________z zx y∂∂==∂∂. 5. 曲线222333(0)x y a a +=>上任一点处的切线方程为__________________. 6. 螺旋线cos ,sin ,x a t y a t z bt ===在03t π=处的切线方程为______________,法平面方程________________. 7.设 2sin 0,xy e xy +-= 则_________.dydx= 8. 在曲面z xy =上点_______处,法线垂直于平面390.x y z +++= 9. 利用拉格朗日乘数法是将条件极值化为___________极值.10. 由方程323(,,)0F x y z xyz x y z =++-=所确定二元隐函数的偏导数为__________,zx∂=∂ _______.z y ∂=∂ 二.计算题1.设22,z x y =+其中()y f x =为由方程221x xy y -+=所确定的隐函数,求x xx z z '''2. 确定正数λ,使曲面xyz λ=与椭球面2222221x y z a b c++=在某一点相切(即在该点有公共切平面).3. 求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.4．在平面xoy 上求一点，使它到0,0,x y ==及2160x y +-=三直线的距离平方之和为最小。
5.求平面曲线222333(0)x y a a +=>上任一点处的切线方程,并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长. 6.设2arcsin ln 0xx y etgy ⋅-+=确定隐函数()y y x =， 求 (0)y '.7.抛物面22x y z +=被平面1x y z ++=截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.8.验证二元方程(,)220xyF x y xy =+-=在点0的某邻域确定唯一一个有连续导数的隐函数(),y x ϕ= 并求()x ϕ'.9. 求出曲线23,,x t y t z t ===上的点, 使在该点的切线平行于平面24x y z ++=. 10. 设0,xe xyz -=求xx z ''填空题答案: 1. 切平面方程 236x y z ++=, 法线方程 111123x y z ---==2. 充分条件.3. 2()2cos f x y'=-4.22,z yz z xz x z xy y z xy∂∂==∂-∂-. 5. 21133300x x y y a --+=. 6. 切线方程322a z bx y a b π--==, 法平面方程()()()0223a a x yb z b π-++-=. 7.2cos 2xdy y e dx y xy -=-. 8. (3,1,3)--. 9. 无条件. 10. 3322223,1313z yz x z xz y x xyzy xyz∂+∂+==∂-∂-. 计算题答案: 1.解：由221x xy y -+=得22dy x y dx x y-=-, 由22,z x y =+得 222()222dz dy x y x y dx dx x y-=+=- 故 2224()(2)2()(12)(2)xx x yy x y x y y z x y ''-----''=-34262(2)x y xx y x y -=+--. 2. 解：设两曲面在点0000(,,)P x y z 相切,则曲面xyz λ=在点0P 的切平面000000000()()()0y z x x z x y y x y z z-+-+-=.与椭球面在点0P 的切平面000000222()()()0x y z x x y y z z a b c-+-+-=应为一个平面, 所以 000222000000x yz a y z b z x c x y==, 即 222000222x y z a b c == 又2220002221x y z a b c ++= 所以2220000002221.3x y z x y z a b c λ=====.3. 解：设球面方程为2222,(,,)x y z a x y z ++=是它的内接长方体在第一卦限内的一个顶点,则此长方体的长、宽、高分别为2,2,2,x y z 体积为 8V xyz = 令 2222(,,)8()L x y z xyz x y z a λ=+++-由820,820,820,x y z L yz x L xz y L xy z λλλ=+=⎧⎪=+=⎨⎪=+=⎩ 即 40,40,40,yz x xz y xy z λλλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得 ,4x y z λ===-代入 2222,x y z a ++=得,λ=为惟一驻点，由题意可知长4. 解：设所求点为(,)x y ,则此点到三直线的距离依次为：,y x 三距离平方之和为 2221(216)5z x y x y =+++-, 由 22(216)0542(216)05z x x y x z y x y y∂⎧=++-=⎪∂⎪⎨∂⎪=++-=∂⎪⎩ 求得驻点816,55⎛⎫⎪⎝⎭. 由于驻点惟一,根据问题本身可知,距离平方和最小的点必定存在,故所求点即为816,55⎛⎫⎪⎝⎭. 5. 解：令222333(,),F x y x y a =+- 则 113322(,),(,).33x y F x y x F x y y --==于是,曲线上任一点00(,)x y 处的切线方程为：21133300x x y y a --+=.切线与两轴的交点分别为 2211333300(,0),(0,,)x a y a , 而224112222233333330000()()()x a y a a x y a +=+=.6. 解: 方程两边对x 求导得22arcsin 20cos x x y y e y y''+⋅-+=, 解得2cos y y y'=+, 由原方程(0)4y π=.故 1(0)1ln 24y π'=-. 7. 解: 令 22222(,,,,)()(1)L x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-,则有2222022020010x y z L x x L y y L z L x y z L x y z λμλμλμλμ=++=⎧⎪=++=⎪⎪=-+=⎨⎪=+-=⎪=++-=⎪⎩ 求得方程组的解为3,73λμ=-=-±23x y z ===.由于所求问题存在最大值与最小值,故由23)f 所求得的两个值953,. 8. 解: 函数(,)2ln 2xx F x y y '=+与(,)2ln 2yy F x y x '=-在点( 0, 0 )邻域连续, 且(0,0)0,(0,0)ln 20y F F '==-≠由隐函数存在定理, 在点0的某个邻域(,)δδ-存在唯一一个有连续导数的函数()y x ϕ=, 使 [,()]0,F x x ϕ≡ 且(0)0.ϕ=2l n 2()2ln 2x y y x x ϕ+'=--.9. 解:21,2,3t t t x y t z t '''===, 设所求点对应的参数为0t , 则曲线在该点处切向量可取为200(1,2,3)T t t =, 而平面的法向量为(1,2,1)n =, 切线与平面平行, 得 2001430t t ++=, 解得 0011,3t t =-=-, 于是所求点为 (1,1,1)-- 或 111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭. 10. 解: 设(,,)xF x y z e xyz =-, 则 ,z x z F yz F e xy =-=-,于是 x x z z F yz z F e xy'=-=-. 2322322()z z xx z y ze xy z y z e z e xy --''=-。
数学分析第十八章隐函数定理及其应用
由连续函数的局部保号性, (0, ], 使当x ( x0 , x0 )时,
如图，在矩形ABBA的AB边上F 0, AB上F 0,因此, x ( x0 , x0 ), 唯一y ( y0 , y0 )使F ( x, y ) 0. 即方程F ( x, y ) 0唯一地确定了定义在区间( x0 , x0 ) 内的(隐)函数y f ( x).
隐函数必须在指出确定它的方程以及x, y的取值范围后才有意义.
又如方程 1 x y c 0, y x sin y 0. 2
2 2
(i ) 要研究什么条件下才能确定隐函数. (ii ) 隐函数一般不能化成显函数.但要研究其连续性和可微性.
二、隐函数存在性条件的分析
满足方程(1)的点集可看作z F ( x, y )与z 0的交集.
证：）存在唯一性.由(iv) , 不妨Fy ( x0 , y0 ) 0.由(iii), Fy 局部保号, 1 [ x0 , x0 ] [ y0 , y0 ] D, 使其上每点Fy ( x, y ) 0. 故x [ x0 , x0 ], F ( x, y )关于y在[ y0 , y0 ]上严格增 且连续.
1 几何意义 : 平面曲线y 1 x 是空间曲面z xy y 1与平面z 0
的单值交线.
例 2 二元方程F ( x, y ) x 2 y 2 1 0.x (1,1)通过方程对应 两个y.若限定0 y 或 y 0, 则x (1,1)对唯一一个y, 即y1 1 x 2或y2 1 x 2 , 也就是 F ( x, y1 ) F ( x, 1 x 2 ) 0或 F ( x, y2 ) F ( x, 1 x 2 ) 0.
数学分析18.3隐函数定理及其应用之几何应用
第十八章 隐函数定理及其定理3几何应用一、平面曲线的切线与法线设平面曲线由方程F(x,y)=0给出，它在点P 0(x 0,y 0)的某邻域上满足隐函数定理条件，于是在点P 0附近所确定的连续可微隐函数y=f(x)(或x=g(y))和F(x,y)=0在点P 0附近表示同一曲线，从而该曲线在P 0存在切线和法线，其方程分别为：y-y 0=f ’(x 0)(x-x 0) 或(x-x 0=g ’(y 0)(y-y 0)) 与y-y 0=-)(x f 10'(x-x 0) 或(x-x 0=-)(y g 10'(y-y 0)). ∵f ’(x)=-y x F F (或g ’(y)=-xy F F ),∴F(x,y)=0在点P 0的切线与法线方程为：F x (x 0,y 0)(x-x 0)+F y (x 0,y 0)(y-y 0)=0与F y (x 0,y 0)(x-x 0)-F x (x 0,y 0)(y-y 0)=0.例1：求笛卡儿叶形线2(x 3+y 3)-9xy=0在点(2,1)的切线与法线. 解：记F=2(x 3+y 3)-9xy, 则F x =6x 2-9y, F y =6y 2-9x 在R 2连续，且 F x (2,1)=15≠0, F y (2,1)=-12≠0, ∴曲线在(2,1)的切线与法线分别为： 15(x-2)-12(y-1)=0, 即5x-4y-6=0，与-12(x-2)-15(y-1)=0, 即4x+5y-13=0.二、空间曲线的切线与法平面由参数方程x=x(t), y=y(t), z=z(t), α≤t ≤β确定的空间曲线L 上一点P 0(x 0,y 0,z 0)，有x 0=x(t 0),y 0=y(t 0),z 0=z(t 0), α≤t 0≤β，假定它们都在t 0处可导，且[x ’(t 0)]2+[y ’(t 0)]2+[z ’(t 0)]2≠0. 在L 上点P 0附近选取一点 P(x,y,z)=P(x 0+△x,y 0+△y,z 0+△z), 割线P 0P 为：x x -x 0∆=y y -y 0∆=zz -z 0∆，其中△x=x(t 0+△t)-x(t 0), △y=y(t 0+△t)-y(t 0), △z=z(t 0+△t)-y(t 0), 又t x/x -x 0∆∆=t y/y -y 0∆∆=t z/z -z 0∆∆，当△t →0时, P →P 0,且t x ∆∆→x ’(t 0), ty∆∆→y ’(t 0), tz∆∆→z ’(t 0), 即得曲线L 在P 0处的切线方程为：)t (x x -x 00'=)t (y y -y 00'=)t (z z -z 00'.可知，当x ’(t 0), y ’(t 0), z ’(t 0)不全为0时，它们组成了该切线的方向数. 过P 0与切线l 垂直的平面称为曲线L 在点P 0的法平面, 其方程为： x ’(t 0)(x-x 0)+y ’(t 0)(y-y 0)+z ’(t 0)(z-z 0)=0.当空间曲线L 由方程组⎩⎨⎧==0z)y,G(x,0z)y,F(x,给出时，若它在点P 0(x 0,y 0,z 0)的某邻域上满足隐函数组定理的条件(不妨设条件(4)为P y),x ()G (F,∂∂≠0)，则该方程组在点P 0附近能确定惟一连续可微的隐函数组x=φ(z),y=ψ(z),使 x 0=φ(z 0),y 0=ψ(z 0),且zx ∂∂=-y),z ()G (F,∂∂/y),x ()G (F,∂∂, z y ∂∂=-z),x ()G (F,∂∂/y),x ()G (F,∂∂. 又在点P 0附近，原方程组和由其确定的隐函数组表示同一空间曲线， ∴以z 为参量时，可得点P 0附近曲线L 的参量方程：x=φ(z),y=ψ(z),z=z. ∴曲线L 在P 0处的切线方程为：)P (x x -x 0z 0=)P (y y -y 0z 0=1z -z 0，即0P 0z),y ()G (F,x -x ∂∂=0P 0x),z ()G (F,y -y ∂∂=0P 0y),x ()G (F,z -z ∂∂.曲线L 在P 0处的法平面方程为：0P z),y ()G (F,∂∂(x-x 0)+0P x),z ()G (F,∂∂(y-y 0)+0P y),x ()G (F,∂∂(z-z 0)=0.同理可推得，当0P z),y ()G (F,∂∂≠0或0P x),z ()G (F,∂∂≠0时，结论相同.可见，当0P y),x ()G (F,∂∂,0P z),y ()G (F,∂∂,0P x),z ()G (F,∂∂不全为0时，它们是L 在P 0处的切线的方向数.例2：求球面x 2+y 2+z 2=50与锥面x 2+y 2=z 2所截出的曲线在(3,4,5)处的切线与法平面方程.解：记F=x 2+y 2+z 2-50, G=x 2+y 2-z 2,∵F x =G x =2x, F y =G y =2y, F z =2z, G z =-2z 在(3,4,5)都连续, 又y),x ()G (F,∂∂=0, 0P z),y ()G (F,∂∂=-160, 0P x),z ()G (F,∂∂=120, ∴曲线在P 0处的切线方程为：1603-x -=1204-y =05-z , 即⎩⎨⎧==+5z 04)-4(y 3)-3(x ;法平面方程为：-4(x-3)+3(y-4)+0(z-5)=0, 即4x-3y=0.三、曲面的切平面与法线设曲面由方程F(x,y,z)=0给出，它在点以P 0(x 0,y 0,z 0)的某邻域内满足隐函数定理条件(不妨设F z (x 0,y 0,z 0)≠0)，则该方程在点P 0附近确定惟一连续可微的隐函数z=f(x,y)，使得z 0=f(x 0,y 0), 且z x ∂∂=-)z y,(x ,F )z y,(x ,F zx , z y ∂∂=-)z y,(x,F )z y,(x,F z y .由于在点P 0附近F(x,y,z)=0与z=f(x,y)表示同一曲面， 从而该曲面在P 0处有切平面方程为：z-z 0=-)z ,y ,(x F )z ,y ,(x F 000z 000x (x-x 0)-)z ,y ,(x F )z ,y ,(x F 000z 000y (y-y 0)或F x (x 0,y 0,z 0)(x-x 0)+F y (x 0,y 0,z 0)(y-y 0)+F z (x 0,y 0,z 0)(z-z 0)=0. 法线方程为：)z ,y ,(x F )z ,y ,(x F x -x 000z 000x 0-=)z ,y ,(x F )z ,y ,(x F y -y 000z 000y 0-=1z -z 0- 或)z ,y ,(x F x -x 000x 0=)z ,y ,(x F y -y 000y 0=)z ,y ,(x F z -z 000z 0.其中，两方程的第二种形式对F x (x 0,y 0,z 0)≠0或F y (x 0,y 0,z 0)≠0也适合.注：1、函数F(x,y,z)在点P(x,y,z)的梯度gradF(P)就是等值面F(x,y,z)=c 在点P 的法向量n=(F x (P),F y (P),F z (P)). 2、将曲线L ：⎩⎨⎧==0z)y,G(x,0z)y,F(x,看成两个曲面F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0的交线，则L 在点P 0的切线与两个曲面在P 0的法线都垂直，这两个法向量为n 1=(F x ,F y ,F z )|0P 与n 2=(G x ,G y ,G z )|0P ,即 L 在P 0的切向量可取n 1与n 2的向量积τ=n 1×n 2=)()()()()()(000000P G P G P G P F P F P F kj i z y x z y x =i P 0)z (y,)G (F,∂∂+j P 0)x (z,)G (F,∂∂+k P 0)y (x,)G (F,∂∂.例3：求椭球面x 2+2y 2+3z 2=6在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程. 解：设F(x,y,z)=x 2+2y 2+3z 2-6, F x =2x, F y =4y, F z =6z 在全空间上处处连续, 在(1,1,1)处，F x =2, F y =4, F z =6，∴切平面方程为2(x-1)+4(y-1)+6(z-1)=0, 法线方程为：11-x =21-y =31-z .例4：证明：曲面f ⎪⎭⎫⎝⎛c -z b -y ,c -z a -x =0的任一切平面都过某个定点，其中f 是连续可微函数. 解：令F(x,y,z)=f ⎪⎭⎫⎝⎛c -z b -y ,c -z a -x ,∵(F x ,F y ,F z )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-22121c)-(z b)f -(y a)f -(x ,c -z f ,c -z f , ∴曲面在其上任意一点P 0(x 0,y 0,z 0)的法向量可取为： n=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-c -z )(b)f -(y )(a)f -(x ),(f ),(f 00200100201P P P P , 由此可得切平面方程： f 1(P 0)(x-x 0)+f 2(P 0)(y-y 0)-c-z )(b)f -(y )(a)f -(x 0020010P P +(z-z 0)=0.以(x,y,z)=(a,b,c)代入切平面方程，可得：f 1(P 0)(a-x 0)+f 2(P 0)(b-y 0)-c-z )(b)f -(y )(a)f -(x 0020010P P +(c-z 0)≡0，即定点(a,b,c)在曲面的任一切平面上.习题1、求平面曲线32x +32y =32a (a>0)上任一点处的切线方程，并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长. 解：记F(x,y)=32x +32y -32a , 则F x =3x32, F y =3y32,∴曲线上任一点(x 0,y 0)处的切线方程为：3x 1(x-x 0)+3y 1(y-y 0)=0, 即3x x+3y y=32a . 切线与在坐标轴上的截距分别为320a x 与320a y ,∴切线被坐标轴所截取的线段为()()23202320a y a x +=a, 得证!2、求下列曲线在所示点处的切线与法平面： (1)x=asin 2t, y=bsintcost, z=ccos 2t, 在点t=4π； (2)2x 2+3y 2+z 2=9,z 2=3x 2+y 2, 在点(1,-1,2). 解：(1)∵x ’(4π)=a, y ’(4π)=0, z ’(4π)=-c,∴切线方程为：a 2a -x =02b -y =c 2c -z -, 即⎪⎩⎪⎨⎧==+2b y 1c z a x .法平面方程为：a(2a -x )-c(2c -z )=0, 即ax-cz=21(a 2-c 2).(2)记F(x,y,z)=2x 2+3y 2+z 2-9, G(x,y,z)=3x 2+y 2-z 2, 则 F x =4x,F y =6y,F z =2z; G x =6x,G y =2y,G z =-2z; ∴(1,-1,2)y),x ()G (F,∂∂=28; (1,-1,2)z),y ()G (F,∂∂=32;(1,-1,2)x),z ()G (F,∂∂=40;∴切线方程为：81-x =101y +=72-z . 法平面方程为：8(x-1)+10(y+1)+7(z-2)=0.3、求下列曲面在所示点处的切平面与法线： (1)y-e2x-z=0, 在点(1,1,2)；(2)222222c z b y a x ++=1, 在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛3c ,3b ,3a . 解：(1)记F=y-e 2x-z , 则F x (1,1,2)=-2, F y (1,1,2)=1, F z (1,1,2)=1, ∴切平面方程为：-2(x-1)+(y-1)+(z-2)=0; 法线方程为：2-1-x =y-1=z-2. (2)记F=222222c z b y a x ++-1, 则在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛3c ,3b ,3a , F x =a 32, F y =b 32, F z =c 32. ∴切平面方程为：a1(x-3a )+b 1(y-3b )+c 1(z-3c )=0, 即a x +b y +c z=3;法线方程为：a(x-3a )=b(y-3b )=c(z-3c ).4、证明对任意常数ρ,φ,球面x 2+y 2+z 2=ρ2与锥面x 2+y 2=z 2tan 2φ正交. 证：设(x,y,z)是球面与锥面交线上的任一点，则 球面上该点的法向量为1n =(2x,2y,2z), 锥面上该点的法向量为2n =(2x,2y,-2ztan 2φ),∵21n n =4x 2+4y 2-4z 2tan 2φ=0, ∴对任意常数ρ,φ,球面与锥面正交.5、求曲面x 2+2y 2+3z 2=21的切平面，使它平行于平面x+4y+6z=0. 解：记F(x,y,z)=x 2+2y 2+3z 2-21, 在曲面上的任一点(x 0,y 0,z 0)有， F x (x 0,y 0,z 0)=2x 0, F y (x 0,y 0,z 0)=4y 0, F z (x 0,y 0,z 0)=6z 0,∴曲面在该点的切平面方程为：2x 0(x-x 0)+4y 0(y-y 0)+6z 0(z-z 0)=0, 即 x 0x+2y 0y+3z 0z-21=0. ∵2x 0=y 0=z 0, 代入曲面方程得：x 02+8x 02+4x 02=21， 解得：x 0=±1，∴曲平面在(1,2,2)和(-1,-2,-2)处有符合条件的切平面：x+4y+6z=±21.6、在曲线x=t, y=t 2, z=t 3上求出一点，使曲线在此点的切线平行于平面x+2y+z=4.解：∵x t =1, y t =2t, z=3t 2, 设在t=t 0处切线平行于平面x+2y+z=4， 则(1,2t 0,3t 02)(1,2,1)=0, 即1+4t 0+3t 02=0，解得t 0=-1或t 0=-31. ∴所求的点为(-1,1,-1)或(-31,91,-271).7、求函数u=222z y x x ++在点M(1,2,-2)沿曲线x=t, y=2t 2, z=-2t 4在该点切线的方向导数.解 ：∵曲线过点(1,2,-2), ∴t 0=1; ∵x t (t 0)=1, y t (t 0)=4, z t (t 0)=-8. ∴曲线在点M 的切线的方向余弦为：91, 94, -98. 又 u x (M)=278, u y (M)=-272, u z (M)=272； ∴所f 求方向导数为： 91278⋅+94272⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅98272=-24316.8、试证明：函数F(x,y)在点P 0(x 0,y 0)的梯度恰好是F 的等值线在点P 0的法向量(设F 有连续一阶偏导数).证： F 的等值线为F(x,y)=c, 它在点P 0的切线方程为： F x (x 0,y 0)(x-x 0)+F y (x 0,y 0)(y-x 0)=0. ∴等值线在点P 0的法向量为: (F x (x 0,y 0),F y (x 0,y 0)), 恰为函数F 在点P 0梯度，得证！9、确定正数λ, 使曲面xyz=λ与椭球面22a x +22b y +22cz =1在某一点相切(即在该点有公共切平面).解：设两曲面在点P 0(x 0,y 0,z 0)相切，则曲面xyz=λ在点P 0的切平面： y 0z 0(x-x 0)+x 0z 0(y-y 0)+x 0y 0(z-z 0)=0与椭球面在点P 0的切平面：20a x (x-x 0)+20b y (y-y 0)+2c z (z-z 0)=0是同一平面,∴0020z y a x =0020z x b y =0020y x c z , 即220a x =220b y =220c z , 又220a x +220b y +220c z =1, ∴220a x =220b y =220cz =31,∴x 02y 02z 02=271a 2b 2c 2,∴λ=x 0y 0z 0=33|abc |.10、求x 2+y 2+z 2=x 的切平面, 使其垂直于平面x-y-21z=2和x-y-z=2. 解：设曲面在点P 0(x 0,y 0,z 0)处的切平面垂直于所给两平面，由 曲面在P 0处切平面方程：(2x 0-1)(x-x 0)+2y 0(y-y 0)+2z 0(z-z 0)=0知P 0应满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=--⋅-=--⋅-0202020000000xz y x 0)1,1,1()z 2,y 2,1x 2(0)21,1,1()z 2,y 2,1x 2(, 解得：x 0=422±, y 0=42±, z 0=0, ∴所求切平面为：x+y=221±.11、求双曲面F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0的交线在xy 平面上的投影曲线的切线方程.解：对方程组F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0关于z 求导得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00z y x z y x G dz dy G dzdx G F dz dy F dz dx F , 解得：dz dx =),(),(z y G F ∂∂/),(),(y x G F ∂∂,dz dy =),(),(x z G F ∂∂/),(),(y x G F ∂∂, ∴交线在xy 平面上的投影曲线的切线方程为： (x-x 0)/0P dz dx =(y-y 0)/0P dzdy ,即(x-x 0)/),(),(P z y G F ∂∂=(y-y 0)/),(),(P x z G F ∂∂.。
数学分析华东师大第四版18章_隐函数的定理及应用
F 当 0(即x y )时, y 根据隐函数的求导公式 可得 Fx x y dy . dx Fy x y
例题
求由方程F ( x, y ) x y 3xy 0
3 3
所确定的隐函数 y f ( x)的导数. 解答 : F F 2 2 3 x 3 y, 3 y 3x. x y F 当 0时, 根据隐函数的求导公式 可得 y Fx dy 3x 2 3 y x2 y 2 2 . dx Fy 3 y 3x y x
方程F ( x, y ) x 2 y 2 1 0 无法确定隐函数 y f ( x), 使得F ( x, f ( x)) 0. 所以我们讨论隐函数时 ， 必须指出确定它的方程 F ( x, y ) 0 以及x, y的取值范围 (即函数的定义域和值域 )
隐函数的求导法
对于一个方程 F ( x, y ) 0, 假设由此方程确定了一 个隐函数y f ( x)且可导, 将它代入到方程之中则 得到恒等式 F ( x, f ( x)) 0. 再假设F ( x, y )具有连续的偏导数， 则对上式F ( x, f ( x)) 0两端关于自变量 x求导， 根据复合函数求偏导数 的链式法则可知 Fx Fy dy 0. dx
隐函数的二阶求导法
dy 然后对上式Fx Fy 0两端 dx 关于自变量x再求导， 再次根据复合函数求偏 导数的链式法则可知 dy dy dy d2y (Fxx Fxy dx) (Fyx Fyy0时, y' ' Fxx 2 Fxy y ' Fyy ( y ' ) 2 Fy (隐函数的二阶求导公式 ),
例题
设方程F ( x y, y z, x z ) 0 所确定的隐函数为 z f ( x, y ). z z 求偏导数 和 . x y
专升本隐函数练习题
专升本隐函数练习题隐函数是高等数学中的一个重要概念，经常在各种数学问题和工程问题中出现。
掌握隐函数的求导和应用方法，对于专升本考试中数学题的解答非常有帮助。
下面，我们将通过几个练习题来加深对隐函数的理解和应用。
练习题1：已知函数关系式y = f(x)的导函数为f'(x)，求函数关系式x = g(y)的导函数g'(y)。
解答：根据隐函数的定义，我们可以得到以下关系：dy/dx = 1/f'(x)我们需要求解的是g'(y)，即dy/dx的倒数。
根据链式法则，可以得到：dy/dx = 1 / dx/dy将上面两个式子联立，得到：1/f'(x) = 1 / dx/dy两边同时取倒数，得到：dx/dy = f'(x)因此，函数关系式x = g(y)的导函数g'(y)为f'(x)。
练习题2：已知函数关系式y = f(x)满足方程f(x) - f'(x) + x = 0，求f(x)的表达式。
解答：根据题目给出的方程f(x) - f'(x) + x = 0，我们可以看出这是一个隐函数方程。
为了求解f(x)，我们可以利用隐函数求导公式。
对方程两边同时求导，得到：d(y - y')/dx + 1 = 0将y替换为f(x)，y'替换为f'(x)，上式化简为：df(x)/dx - f'(x) + 1 = 0移项整理可得：df(x)/dx = f'(x) - 1我们可以将上式看作是f(x)关于x的导函数在x点处的值为f'(x) - 1。
这意味着f(x)可以看作是f'(x) - 1的原函数。
因此，我们可以积分得到f(x)的表达式。
∫f'(x) - 1 dx = ∫df(x) = x + C其中C为常数。
因此，f(x)的表达式为：f(x) = x + C练习题3：已知函数关系式x^2 + y^2 = 4，求y关于x的导数dy/dx。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十八章 隐函数定理及其定理总练习题1、方程：y 2-x 2(1-x 2)=0在哪些点的邻域内可惟一地确定连续可导的隐函数y=f(x).解：由y 2=x 2(1-x 2)知1-x 2≥0, ∴|x|≤1; 且y 2=x 2(1-x 2)≤22221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x =41, ∴|y|≤21. 记F=y 2-x 2(1-x 2), 则F, F x =2x 3-2x(1-x 2)=4x 3-2x, F y =2y; 由F y ≠0得y ≠0, 即x ≠0且x ≠±1. 令D={(x,y)||x|≤1,|y|≤21且y ≠0 }, 则F 在D 内每一个邻域内有定义, 且F, F x , F y 在D 上处处连续. 又由F(x,y)=0, F y ≠0知 原方程在D 上唯一确定隐函数y=f(x).2、设函数f(x)在区间(a,b)内连续，函数φ(y)在区间(c,d)内连续，而且φ’(y)>0, 问在怎样条件下，方程φ(y)=f(x)能确定函数y=φ-1(f(x)). 并研究例子(1)siny+shy=x; (2)e -y =-sin 2x.解：记F(x,y)=φ(y)-f(x), 由F y =φ’(y)>0知, 若f[(a,b)]∩φ[(c,d)]≠Ø, 就存在点(x 0,y 0), 满足F(x 0,y 0)=0, 即 可在(x 0,y 0)附近确定隐函数y=φ-1(f(x)).(1)设f(x)=x, φ(y)=siny+shy, 由f,φ在R 上连续且φ’(y)=cosy+chy>0, 又 f(R)∩φ(R)=R ≠Ø, ∴原方程可确定函数y=y(x). (2)∵f(x)=-sin 2x ≤0, φ(y)=e -y >0, ∴f(R)∩φ(R)=Ø, ∴原方程不能确定函数y=y(x).3、设f(x,y,z)=0, z=g(x,y), 试求dx dy ,dxdz . 解：对方程组f(x,y,z)=0, z=g(x,y)关于x 求导得： f x +f y dx dy +f z dx dz =0, dx dz =g x +g y dx dy , 解得：dx dy =-yz y x z x g f f g f f ++; dx dz =y z y y x x y g f f gf g f +-.4、已知G 1(x,y,z), G 2(x,y,z), f(x,y)都可微，g i =G i (x,y,f(x,y)), i=1,2.证明：),(),(21y x g g ∂∂=zyxz y xy xG G G G G G f f 2221111--. 证：∵g 1x =G 1x +G 1z f x , g 1y =G 1y +G 1z f y ; g 2x =G 2x +G 2z f x , g 2y =G 2y +G 2z f y∴),(),(21y x g g ∂∂=yx y xg g g g 2211=(G 1x +G 1z f x )(G 2y +G 2z f y )-(G 1y +G 1z f y )(G 2x +G 2z f x )=G 1x G 2y +G 1x G 2z f y +G 1z G 2y f x -G 1y G 2x -G 1y G 2z f x -G 1z G 2x f y =zyxz y xy xG G G G G G f f 2221111--.5、设x=f(u,v,w), y=g(u,v,w), z=h(u,v,w), 求x u ∂∂,y u ∂∂,zu ∂∂. 解：方程组对x 求导得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂001x w h x v h xu h x wg x v g xu g x w f x v f x uf w v u w v uw v u , 解得：x u ∂∂=),(),(w v h g ∂∂/),,(),,(w v u h g f ∂∂. 同理可得： y u ∂∂=),(),(w v f h ∂∂/),,(),,(w v u h g f ∂∂;z u ∂∂=),(),(w v g f ∂∂/),,(),,(w v u h g f ∂∂.6、试求下列方程所确定的函数的偏导数x u ∂∂,yu ∂∂. (1)x 2+u 2=f(x,u)+g(x,y,u); (2)u=f(x+u,yu). 解：(1)方程两边对x 求导得：2x+2u x u ∂∂=f x +f u x u ∂∂+g x +g u xu ∂∂, 解得：x u ∂∂=uu x x g f u xg f ---+22; 两边对y 求导得：2u y u ∂∂=f u y u ∂∂+g y +g u y u ∂∂,解得：y u∂∂=uu y g f u g --2.(2)方程两边对x 求导得：x u ∂∂=f 1(1+x u ∂∂)+yf 2x u ∂∂, 解得：x u∂∂=2111yf f f --; 两边对y 求导得：y u ∂∂=f 1y u ∂∂+ f 2(u+y y u ∂∂), 解得：y u ∂∂=2121yf f uf --.7、据理说明：在点(0,1)近旁是否存在连续可微的f(x,y)和g(x,y), 满足f(0,1)=1, 且g(0,1)=-1, 且[f(x,y)]3+xg(x,y)-y=0, [g(x,y)]3+yf(x,y)-x=0.解：设⎩⎨⎧=-+==-+=0),,,(0),,,(33x yu v v u y x G y xv u v u y x F , 则 (1)F,G 在以P 0(0,1,1,-1)为内点的R 4内连续; (2)F,G 在R 4内具有连续一阶偏导数; (3)F(P 0)=0, G(P 0)=0;(4)),(),(P v u G F ∂∂=02233P v y xu =9≠0.由隐函数组定理知，方程组在P 0附近唯一地确定了在点(0,1)近旁连续可微的两个二元函数u=f(x,y),v=g(x,y). 满足f(0,1)=1, g(0,1)=-1且 [f(x,y)]3+xg(x,y)-y=0, [g(x,y)]3+yf(x,y)-x=0.8、设(x 0,y 0,z 0,u 0)满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)()()()()()()()()()()()(u H z h y h x h u G z g y g x g u F z f y f x f ,这里所有的函数假定有连续的导数.(1)说出一个能在该点邻域上确定x,y,z 为u 的函数的充分条件； (2)在f(x)=x, g(x)=x 2, h(x)=x 3的情形下，上述条件相当于什么？解：(1)设⎪⎩⎪⎨⎧=-++==-++==-++=0)()()()(),,,(0)()()()(),,,(0)()()()(),,,(u H z h y h x h u z y x H u G z g y g x g u z y x G u F z f y f x f u z y x F , 则F ,G ,H ,在R 4内连续且具有一阶连续偏导数； F (x 0,y 0,z 0,u 0)=0,G (x 0,y 0,z 0,u 0)=0,H (x 0,y 0,z 0,u 0)=0, 当),,(),,(P z y x H G F ∂∂≠0时，原方程组能在P 0(x 0,y 0,z 0,u 0)邻域内确定x,y,z 作为u 的函数.(2)上述条件相当于2022000111z y x z y x ≠0, 即x 0,y 0,z 0两两互异.9、求由下列方程所确定的隐函数y=f(x)的极值. (1)x 2+2xy+2y 2=1；(2)(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2) (a>0).解：(1)令F(x,y)=x 2+2xy+2y 2-1, 则F x =2x+2y, F y =2x+4y, 令dx dy =-yx y x 4222++=0, 有x=-y, 代入原方程得：x 2-2x 2+2x 2=1, 解得x=±1.∴隐函数y=f(x)有稳定点±1, 且f(1)=-1, f(-1)=1.又22dxy d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++x y x y x y x 2)(2)2(122. 从而)1,1(22-dxyd =1>0, )1,1(22-dx yd =-1<0,∴当x=1时有极小值-1, x=-1时有极大值1. (2)(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2) (a>0).令F(x,y)=(x 2+y 2)2-a 2(x 2-y 2), 则F x =4x(x 2+y 2)-2a 2x, F y =4y(x 2+y 2)+2a 2y,令dx dy =-ya )y +2y(x x a -)y +2x(x 222222+=0, 有x=0或y 2=2a 2-x 2.当x=0时，y=0, F y =0, 不符合题意，舍去.将y 2=2a 2-x 2代入原方程得：4a 4=a 2(2x 2-2a2), 解得x=±83a.又f(83a)=±81a, f(-83a)=±81a. ∴隐函数y=f(x)的稳定点有： P 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a 81,83, P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 81,83, P 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 81,83, P 4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a 81,83. 由22dx y d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =-[]2222222222ya )y +2y(x y]a )y +][2y(x a -)y 2y 2x(2x )y +[2(x ++'++ +[]2222222222ya )y +2y(xx]a -)y +][2x(x y a )y 2y 2y(2x )y +(x y [2+'+'++',且在稳定点P i (i=1,2,3,4)均有x 2+y 2=2a 2及y ’(P i )=0，代入上式有：i P dx y d 22=-iP y a 2x 22, 即22dx y d 与y 异号, ∴ia a dx yd ⎪⎪⎭⎫⎝⎛±81,8322<0, ia a dxyd ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±81,8322>0,即在点P 1, P 3取得极大值a 81,在点P 2, P 4取得极小值-a 81.10、设y=F(x)和函数x=φ(u,v), y=ψ(u,v), 那么由方程ψ(u,v)=F(φ(u,v))可以确定函数v=v(u). 试用u,v, du dv , 22du v d 表示dx dy , 22dxyd .解：由x=φ(u,v), y=ψ(u,v), ∴dx dy =u u ∂∂∂∂ϕψ=dudv du dvvu vu ϕϕψψ++. 于是 22dx y d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++du dv du dv du v d du dv du dv du dv v u v u v vv vu uv uu ϕϕϕϕψψψψψ -222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+du dv du v d du dv du dv du dv du dv v u v vv vu uv uu v u ϕϕϕϕϕϕϕψψ.11、试证：二次型f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+2Dyz+2Ezx+2Fxy 在单位球面x 2+y 2+z 2=1上的最大值和最小值恰好是矩阵φ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛C D E D B F E F A 的最大特征值和最小特征值.试：记L(x,y,z,λ)=Ax 2+By 2+Cz 2+2Dyz+2Ezx+2Fxy-λ(x 2+y 2+z 2-1), 列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==-++==-++==-++=④1③02222②02222①02222222z y x L z Dy Cz Ex L y Dz By Fx L x Ez Fy Ax L z y xλλλλ, 由①x+②y+③z 得：Ax 2+By 2+Cz 2+2Dyz+2Ezx+2Fxy-λ(x 2+y 2+z 2)=0, 又由④得f(x,y,z)=λ.由①,②,③知λ是对称矩阵φ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D E D B F E F A 的特征值.又f 在有界闭集{f(x,y,z)|x 2+y 2+z 2=1}上连续，∴有最大值,最小值存在. ∴最大值和最小值恰好是矩阵φ的最大特征值和最小特征值.12、设n 为正整数, x,y>0. 用条件极值方法证明：2n n y x +≥ny x ⎪⎭⎫⎝⎛+2.证：记L(x,y,λ)=2n n y x ++λ(x+y-a), 列方程组得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+==+==+=--a y x L ny L nx L n y n x λλλ020211, 解得：x=y=2a. ∵当x →∞或y →∞时, 2n n y x +→∞,∴2n n y x +必在唯一的稳定点(2a ,2a )处取得最小值na ⎪⎭⎫⎝⎛2, 即2n n y x +≥na ⎪⎭⎫ ⎝⎛2=ny x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2.13、求出椭球22a x +22by +22c z =1在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积.解：椭球面上任一点(x,y,z)处的切平面方程为：22a x (X-x)+22b y (Y-y)+22cz(Z-z)=0, 切平面在坐标轴上的截距分别为：x a 2,y b 2,zc 2. 则椭球面在第一卦限部分上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为V=xyzc b a 6222. ∴问题转化为求函数V 在条件22a x +22by +22c z =1 (x>0,y>0,z>0)下的最小值. 记L(x,y,z,λ)=xyz c b a 6222+λ(22a x +22by +22c z -1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==+-==+-==+-=01026026026222222222222222222222cz b y a x L cz xyz c b a L b yz xy c b a L axyz x c b a L z x x λλλλ, 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===333c z b y a x ,∴最小体积V m =abc c b a 6)3(3222=23abc.14、设P 0(x 0,y 0,z 0)是曲面F(x,y,z)=1的非奇异点，F 在U(P 0)可微，且为n 次齐次函数.证明：此曲面在P 0处的切平面方程为：xF x (P 0)+yF y (P 0)+ zF z (P 0)=n. 证：∵F 为n 次齐次函数, 且F(x,y,z)=1，∴xF x +yF y +zF z =nF=n. 曲面在P 0处的切平面方程为：F x (P 0)(x-x 0)+F y (P 0)(y-y 0)+F z (P 0)(z-z 0)=0 即xF x (P 0)+yF y (P 0)+ zF z (P 0)=x 0F x (P 0)+y 0F y (P 0)+ z 0F z (P 0)=n, 得证！。