人口增长的Logistic模型分析及其应用

人口增长的Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型分析及其应用

本文运用迭代的方法计算出人口极限值xm和人口增长率r，用Logistic模型预测了我国人口未来的发展趋势，并根据预测的结果提出了相应的对策与建议。

关键词：人口Logistic模型迭代

人口增长问题相关研究

最早注意人口问题的是英国经济学家马尔萨斯，他在1798 年提出了人口指数增长模型。这个模型的基本假设是：人口的增长率是一个常数。记t时刻的人口总数为x(t)。初始时刻t=0时的人口为x0。人口增长率为r，r表示单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数。那么，时刻t到时刻t+Δt内人口的增量为x(t+Δt)-x(t)=rx(t)Δt。于是x(t)满足下列微分方程的初值问题，他的解为x(t)=x0ert。在r>0时，人口将按指数规律增长。

但是不管生物是按算术级数、几何级数还是按指数曲线变化，随着时间增长生物数量将趋于无穷大。然而，实际情况却不然，实验指出在有限的空间内，一开始生物以较快速度增长，到一定时期生物增长量就会减缓，生物数量趋于稳定。

历史上的人口统计数据也表明，当一个国家的社会稳定时，一定时期内马尔萨斯模型是符合实际的，但是如果时间比较长或社会发生动荡时，马尔萨斯模型就不能令人满意了。原因是随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长开始起阻滞作用，因而人口增长率不断下降。

基于以上考虑荷兰生物学家Verhaust对原人口发展模型进行了改造，于1838 年提出了以昆虫数量为基础的Logistic 人口增长模型。这个模型假设增长率r是人口的函数，它随着x的增加而减少。最简单的假定是r是x的线性函数，其中r称为固有增长率，表示x→0时的增长率。由r（x）的表达式可知，x=xm时r=0。xm表示自然资源条件能容纳的最大人口数。因此就有，这个模型就是Logistic 模型。

为表达方便，Logistic方程常被改写成：

由于Logistic模型综合考虑了环境等因素对人口增长产生的影响，因此是一种被广泛应用的比较好的模型。本文也将采用Logistic模型对我国人口进行分析。

人口增长模型的建立

要预测未来的人口，就必须先估计出人口增长率r。logistic模型在数学上来讲是一个非线性模型，而非线性的方程是无法估计出r值的。在利用logistic模型研究人口问题时，一般运用以下方法：先将logistic模型转化成线性模型，将logistic模型的解作进一步的形式转换得：

再两边取对数，转化为线性形式，便于对r进行估计，转化的结果为：

估计出固定增长率r后代入到中，代入相应的时间t就可以预测出未来各年的总人口数了。这里为线性方程的前提是：已知人口上限xm。因此在计算中会令xm为一特定的值（比如我国计生委认为的16亿人口上限）。而在实际情况下，人口的上限是随着经济的发展与科学的进步是不断增大的，最后趋近于某一常数。其次，固定增长率r是将Logistic模型线性化后根据一元线性回归才能得到，虽然可以很好的通过T检验，但由于其回归的基础是确定的人口上限，故仍然存在一定的缺陷。所以本文将用迭代算法对人口上限xm和人口固定增长率r进行计算。

算法基本思想是：假设xm已知，求得r的最优估计，然后把r作为已知，求出xm的最优估计，这样交替循环迭代直到收敛为止。

记，于是有：(1)

代入得：(2)

因存在模型误差，应以下述带误差的方程代替式(2)得：(3)

从而在xm已知条件下，利用最小二乘法估计参数r，令，当最小时，即：(4)

由式(4)得：(5)

由式(5)得参数r的最小二乘估计(6)

同理，由于存在模型误差，应以下述带误差的方程代替得：(7)

式(7)中εt为独立、均值为0、等方差的随机变量，记

则式(7)变为，在r已知的情况下可以得到xm的最小二乘估计：(8)

这里σt中含有被估计参数xm，在迭代解法中，我们可以用上一次的迭代估计值xm*代替它。最优估计x*、r*具体估计步骤如下：

取初值xm(0)，然后将xm(0)代入(6)求得r(0)。令k=1，a=xm(0)，b=r(0) ；b代入(8)式，求得xm(k)，xm(k)代入(6)求得r(k)。若，则停止，此时有x*=xm(k)，r*=r(k) ；a=xm(k)，b=r(k)，k=k+1转“2”。

由上述理论，本文取xm(0)=15，参数估计样本为1978年至2004年的人口数。依照上述迭代的三个步骤，得到迭代结果如表1所示。

经过五次迭代，不难看出第四次迭代的结果最理想，因此，我们取x*=16.28，r*=0.0401。这里xm(0)的取值不会影响x*与r*，它仅仅影响迭代的次数。比如当xm(0)取值为14的时候得迭代结果如表2，可以看出此时只是增加了一次迭代的过程。

我们将x*=16.28，r*=0.0401代入Logistic方程得最终模型如下：，将时间t 代入模型中就可以求出各年的人口了。

人口增长Logistic模型的应用

模型假设：假设中国的人口政策自1978年开始不再变化；假设中国的人口是一个封闭的人口，即不考虑迁入迁出；不考虑自然灾害等非正常因素的影响。

（一）数据分析

1978年以后，中国进行过3次人口普查，分别是在1982年、1990年和2000年。此时时间t相应为4、12、22，代入模型得结果见表3。由表3可以看出模型计算出的结果与实际人口数的误差还是很小的，应该说模型具有较强的预测能力。另外，从预测结果的误差可以看出，在2000年之前，年份越往后误差越小，甚至为负数。也就是说随着人口数量的增大，人口越来越接近人口极限。此时实际人口的增长要快于模型的估计值。这很可能是因为在这一时期内计划生育政策的实施有所放松，导致人口增长过快。

那么2001-2005年的情况又如何呢？运用同样的方法求得见表4。

由表4的数据结果可以看出2000年以后至2005年，实际人口的增长要慢于模型的增长，但是这一时期恰恰又是第四次人口生育高峰期的开始。导致这一反常现象的原因在于政府对人口政策有所抓紧。为了防止在人口生育高峰期人口过快的增长，政府对计划生育政策的实行加大了力度，促成了人口增长的减缓。