任意角的三角比精品讲义

课题任意角的三角比

1、任意角及其度量

一、知识梳理

I、角的概念的推广

1、角的定义

一条射线由原来的位置OA绕着它的端点O旋转到另一位置OB所形成的图形就是角。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止时的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α

的顶点。

2、角的分类

（1）按旋转方向分类可分为正角、负角和零角

按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋

转所形成的角叫做负角，一条射线没有作任何旋转时，这时形

成的角叫做零角。

（2）按角的终边位置分类

在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边（除端点外）落在第几象限，就说这个角是第几象限角，当角的终边落在坐标轴上就认为这些角不属于任何象限。

3、终边相同的角的集合表示

所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°+α，（k∈Z）来表示，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

【终边落在坐标轴上的角的集合表示】

终边落在x轴的正半轴上：

终边落在x轴的负半轴上：

终边落在y轴的正半轴上：

终边落在y轴的负半轴上：

终边落在x轴上：

终边落在y轴上：

终边落在坐标轴上：

【象限角的集合表示】

第一象限角：

第二象限角：

第三象限角：

第四象限角：

【几类特殊角的表示】

终边在第一、三象限角平分线：

终边在第二、四象限角平分线：

终边在x 轴上方： 终边在x 轴下方： 终边在y 轴右侧： 终边在y 轴左侧：

终边关于x 轴对称的两个角：

终边关于y 轴对称的两个角：

二、例题分析

例1、下列命题中是真命题的是 （ ）

A ．小于90°的角是锐角；

B ．若

是

锐

角

，

则

的终边在第一象限；

C

．若

角

与角的终

边

相

同

，

则=

；

D ．若

的终边在第一象限，则是正角。

例2、在下列各角中与330°角的终边相同的是

（ ） A ．510°

B ．150°

C ．﹣60°

D ．﹣390°

例3、将下列各角化成α+2k π（0≤α≤2π，k ∈Z ）的形式，并指出它们是第几象限的角：

（1）3

22

π； （2）﹣315°； （3）1 500°； （4）﹣9π

II 、弧度制 1、角的度量 （1）弧度制的定义

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad ，以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。

（2）角的弧度数的计算

若l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径，那么α的弧度数的绝对值 |α|=

r

l

2、角度制与弧度制的换算 （1）角度化为弧度

360°=2π rad ，180°=π rad ；1°=180

π

rad≈0．017 45 rad （2）弧度化为角度

2π rad=360°，π rad=180°，1 rad=π

ο

180≈57．30°

3、弧长公式和扇形面积公式 （1）弧长公式

①角度制下的弧长公式为l =

180

r

n π（n 为角α的角度数） ②弧度制下弧长公式为l=α·r ，其中α为圆弧所对的圆心角的弧度数，r 为圆的半径 （2）扇形面积公式

①角度制下的扇形面积公式S=360

2r n π

②弧度制下扇形面积公式为S=2

1l ·r ，其中l 为扇形的弧长，r 为扇形的半径，弧度制下扇形面积公式还可以表示为S=

2

1

αr 2，其中α为扇形的圆心角，r 为扇形的半径 例4、（1）将315°30′化成弧度；

（2）将13．5π rad 化成度；

（3）时间经过4小时，时针、分针各转多少度？等于多少弧度？

例5、已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6，

（1）求

的长；

（2）求弓形AB 的面积。

三、巩固练习

1．在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角

（1）最大的负角； （2）最小的正角； （3）360°~720°的角。

2．如图，试用弧度制：

（1）分别写出终边在OA 、OB 上的角的集合； （2）写出终边落在阴影部分（含边界）的角的集合。

3．若α是第二象限角，试判断2α，2α，3

α

角各是第几象限角？

4．用30cm 长的铁丝围成一个扇形，应该怎样设计才能使扇形面积最大？最大面积是多少？

5．如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx =45°，点P 从点A 出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转。已知P 在1秒钟内转过的角度为

（0°<<180°），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又回到出发点A，求。

6．若是第三象限角，则

所属的象限是。

四、课堂检测

1．用弧度制表示下列各角：

30°= ，60°= ，90°= ，120°= ， 150°= ，240°= ，270°= ，360°= 。 ２．用角度制表示下列各角：

45π= ，π= ，35π= ，8

7π

= ，3π= 。 3．终边在y 轴的左方的角的集合是 。

4．如图１所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合为 。

图１

5．圆的半径为6 cm ，则15°的圆心角所对的弧长为 ，扇形面积为 （用π表示） 6．下列命题：

①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角大于第一象限角；⑤第二象限角是钝角；⑥小于180°的角是钝角、直角或锐角； 其中真命题的序号是 。 7．已知α为第三象限的角，则

2

α

终边所在位置是 。 8．扇形的周长是16，圆心角是2 rad ，则扇形的面积是 。

9．把下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式，并指出它们是第几象限角。 （1）3100π； （2）﹣5

111

π； （3）1200°； （4）﹣12345°

10．（1）在已知圆内，1弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对弧长为多少？ （2）扇形OAB 的面积是1 cm 2

，它的周长是4 cm ，求它的圆心角和弦AB 的长。

11．已知集合A={α|30°+k·180°<α<90°+k·180°，k ∈Z }，