第九章市场风险管理VaR计算简化

❖ 基本方程： Rit i i Rmt eit
假设： （1）残差项 的期望值等于0；
E ei 0
（2）资产因素收益与超额收益不相
关；
E
ei
Rm E
Rm
0
（3）资产只通过对市场的共同反应
而相互关联
E eiej 0
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4.2 单因素模型
❖ 模型定义资产收益残差、市场收益率的 残差分别为：
风险价值的方差-协方差计算法
❖ 单一资产风险价值的方差-协方差计算 ❖ 资产组合风险价值的方差-协方差计算
超额收益矩阵计算法 协方差计算公式 单因素映射计算 多因素映射计算
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单一资产的方差-协方差法
在价格变化幅度服从正态分布情况下，均值VaR 和零值VaR可以表示为：
均值VaR P0 zc t
N
Rp,t wi,t Ri,t
i 1
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资产组合的风险价值计算公式
❖ 基本假设：资产组合中的所有证券的投资回 报率满足正态分布，从而资产组合作为正态 变量的线性组合也满足正态分布。
VaRRP PP 1 c rP t
VaRAP PP 1 c rP t rPt
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E i2 Rm E Rm 2 2i Rm E Rm ei ei2
i2E Rm E Rm 2 2iE Rm E Rm ei Eei2
i
2
2 m
2 ei
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推导：单一资产的协方差
ij
E
Ri
E Ri
Rj E Rj
21
22
Lபைடு நூலகம்
2N
M M O M
N
1
N2
L
NN
u1
U
u2
M
u3
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资产组合方差的矩阵计算式
❖ 投资组合比重矩阵为
W w1 w2 L wN
❖ 则有：
w1
WT
w2
M
wN
n
up wiui WU i 1
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2 p
Var RP
E i iRm ei i iE Rm j j Rm ej j j E Rm
E i Rm E Rm ei j Rm E Rm ej
i j E Rm E Rm 2 j E ei Rm E Rm iE ej Rm E Rm E eiej
M
Rmn
Rn
mn
方差-协方差矩阵的计算公式为：
ij
1 AT A nn m
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2、相关系数与标准差相乘法
由于任意两个资产之间的协方差为两只资产的标准差与它们 之间相关系数的乘积，所以我们先计算出任何一种资产的标 准差以及任意两个资产之间的相关系数，就可以计算出任意 两个资产之间的协方差。设标准差矩阵、相关系数矩阵为：
一、VaR的含义
假设欧元汇率的收益率服从正态分布，即：
RM ,t1
M t1 Mt
Mt
这样，投资在欧元上的价值变化为：
Vt1 Vt1 Vt 10mil M t1 10mil M t
10mil
M
t
(
M t1 Mt
)
10mil
M
t
= $13.7610 mil RMt1 也服从正态分布。
根据
RM
i
j
2 m
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3、推论2： 投资组合的期望收益率与方差
n
n
E Rp wii wi i E Rm
i 1
i 1
n
nn
n
2 p
wi2
i2
2 m
wi
wj i
2
jm
wi2
2 ei
i 1
i1 j1
i 1
ji
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推导：投资组合的期望收益率
n
E Rp wi E Ri i 1
n
wi i i E Rm i 1
n
n
wii wi i E Rm
i 1
i 1
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推导：投资组合的方差
n
nn
2 p
wi
2 i
wi wj ij
i 1
i1 j1
n
nn
wi
i2
2 m
2 ei
wi wj
i
2
jm
i 1
i1 j1
n
nn
n
wi2
E Ri E i i Rm ei E i E i Rm E ei i i E Rm
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推导：单一资产的标准差
2 i
E
Ri E Ri
2
E i iRm ei i iE Rm 2
E i Rm E Rm ei 2
这说明资产收益彼此相关、协同变动的原因就是对市场变动的共同反应。 通过将资产收益与资产市场因素收益联系起来，就可以得到相关性指标。
如果使用市场收益作为解释因素的单因素模型就称作市场模型（Market Model）。市场模型是从资产收益和市场收益之间的线性关系开始的：
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4.2 单因素模型
Pr(Vt1 V ( )) 1
这样， 100% ， 1 day Value at Risk 为： VaR = V () 负号表示VaR测量的是损失而不是收益。 将 M 0, M .6%, z(.99) 2.326and Mt 1.3761代入，得：
VaR=-(-2.326 * 13.7610 mil *1.3761*.006) =$ 192048.52
W W T
20
nn
2 p
wi w j ij
i1 j1
n
n
n
w1 whh1 w2 whh2 L wN whhn
h1
h1
h1
n
wh h1
n
wh h2 L
n
wh
hn
w1
w2
L
wn T
h1
h1
h1
11 12 L 1n
w1 w2 L
wn
21 M
22 M
L O
2n M
来 天，Vt以 的%概率损失的最大值.
例如，你2011年11月4日购买10 million Euros. 如果 1EU=1.3761 USD (USD/EU的汇率为：Mt = 1.3761 ）,美圆的头寸为：
Vt = 10 Mil x Mt = $13.761 million.
那 么 ， 这 个 头 寸 的 1% ， 24 hours 的 VaR 为 $192048.52 ， 其 含 义 为 ， 投 资 在 欧 元 上 的 13.761 million 美 圆 ， 在 未 来 24 小 时 ， 其 最 大 损 失 为 $ 192048.52 ，概率为1% 。也就是说， 在未来24小 时，其最大损失超过$ 192048.52的概率为1% 。
量
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VaRA
P0
c
VaRA P0 -1 c
同理可得相对风险价值计算式：
VaRR P0 1(c)
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资产组合的方差－协方差法
假定资产组合包括N种证券，各证券在t时刻末
的投资回报率为Ri，各证券在资产组合中所
占的比重为wi，则在t时刻资产组合的投资回
报率为：
i2
2 m
wi
w j i
2
jm
wi2
2 ei
i 1
i1 j1
i 1
ji
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4.2 单因素模型的推论3：
n
p wii i 1
n
p wii i 1
E Rp p p E Rm
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推导：组合的方差
n
nn
n
2 p
wi2
i2
2 m
wi wj i
为μ，方差为σ2；
3. Pt为期末资产组合的价值，Rt、Wt都是随
机变量；
4. c为置信水平。
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日绝对风险价值计算公式推导
Prob PA
VaRA
Prob
PA P0
VaRA P0
Prob
PA P0
VaRA P0
=
VaRA P0
1
c
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把正态分布 的收益率标 准化为标准 正态随机变
=$ 13.7610 mil RM ,t1
Vt1 服从于均值为v 5.64mil M ，标准差为V 5.64mil M 的正态
分布。根据
N
(v
,
2 V
)
的定义，可以计算分布密度为
Z ()
的
分位数为：
V ( ) v Z ( ) V
这个值即为一个分界点，即损失超过V (发) 生的概率为 (1- ) 。
2
jm
wi2
2 ei
i 1
i1 j1
i 1
ji
nn
n
wiwj i
❖ ④利用单因素模型的简化计算
❖ ⑤利用多因素模型的简化计算
❖ 三种常用的表示、计算方法：代数式、矩阵
式、软件实现
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1、超额收益矩阵法
❖ 设区间内有m 个交易日， 分别表示第 n只股
票在第 m期的收益率，由定义可知：
Ri
1 m
m t 1
Rit ,
i 1,L , n
ij cov
BT 1 2 L
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11 12 L
n
21
22
L
M M O
n1
n2
K
1n
2
n
M
nn
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相关系数与标准差相乘法
11 12 L
计算公式为：
ij
21
nn M
22
M
L O
1n
2
n
M
n1
n2
nn
11,11 11,2 2 L 11,n n
2
2,11
Ri , Rj
E
Rit
Ri
Rjt R j
E Rit Rjt E Rit E Rjt
1 m m t1
Rit Ri
Rjt R j
i, j 1,L , n
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超额收益矩阵法
❖ 记超额收益矩阵为 A，则：
R11
R1
L
A M L
Rm1
R1
L
R1n
Rn
M
22,2 2
M
L O
2
2,n
n
M
n n,11 n n,2 2 nn,n n
i ij j nn
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3、期权隐含参数法
❖ 估算协方差矩阵的另一类方法是期权隐含参 数法。
❖ 其基本原理是，基于期权包含大量的关于基 础资产价格的风险，利用期权数据计算隐含 标准差。
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t
的分布密度，我们可以画出
1
Vt1 的分布图(Figure
1
with
a daily volatility =0.6% )
1% VaR 是(负数)这样一个数据，即只有 1%的概率使得我们资 产的变化低于这个数值。
Area=1%,the VaR is 192048.52
例子：考虑前面欧元的例子。
组合价值的变化为：Vt1 Vt1 Vt
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资产组合的收益率与方差计算
❖ 资产组合的收益期望值：
N
N
uP E RP = wiE Ri wiui
i 1
i 1
❖ 资产组合的方差：
NN
2 P
Var
RP
wi wj ij
i1 j1
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资产组合方差的矩阵计算法
❖ 如果设方差-协方差矩阵表达式为：
11 12 L 1N
w1
w2
L
wn T
n1
n2
nn
WT W
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方差-协方差矩阵的计算方法
❖ 主要有两类五种： ❖ ①根据协方差的定义，利用超额收益矩阵计算； ❖ ②根据相关系数的定义与计算公式，利用相关
系数矩阵及标准差矩阵计算。
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资产组合的收益率与方差计算
❖ ③期权隐含参数法
2 ei
E
ei E ei
2 E ei 2
2 m
E
Rm E Rm 2
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2、推论1：单一资产的期望收益 率、标准差与协方差分别是：
E Ri i i E Rm
2 i
i2
2 m
2 ei
ij
i
j
2 m
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推导：单一资产的期望收益率
零值VaR P0 zc t t
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10
方差－协方差法的估算流程
历史数据
期权数据
波动性 相关性
期权模型
估算协方 差矩阵
资产组合
资产组 合的标 准差
VaR
单个证券 收益的标 准差
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资产组合风险价值的计算：符号定义
❖ 为计算资产组合的VaR，我们定义：
1. P0为初始投资额； 2. R为计算期间的投资回报率，假设R的均值
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4、单因素模型分析
1. 单因素模型 ①基本方程 ②模型假设 ③模型定义
2. 单一资产的期望收益率、标准差与协方差 3. 投资组合的期望收益率、方差 4. 单因素模型的组合收益结构推论
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4.1单因素模型分析
单因素模型认为，当股市上涨或下跌时，大多数资产价格都会上涨或下 跌。
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第九章-2 市场风险管理
风险价值的计算与建模
1
主要内容
❖ 风险价值的定义 ❖ 风险价值的计算方法
方差-协方差法 解析法 蒙特卡洛法 历史数据模拟法
❖ 风险价值的分解计算
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2
风险价值的定义
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3
例子：欧元汇率
一个价值Vt (dollar) 的头寸， %,天的VaR 指在未