理论力学空间基本力系
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FFcos x
FB
A
α
x
a
b
x
§5–2 力在轴上和平面上的投影
平 行 六 面 体 规 则
§5–2 力在轴上和平面上的投影
力的分解 设将力F按坐标轴x，y，z方向分解为空间三正交分量：
Fx，Fy，Fz。
则 FFxFyFz
引入 x，y，z 轴单位矢 i， j，k。则可
Fx Fxi Fy Fy j Fy Fyk
例题 5-2
运 动 演 示
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
解： 将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影
例题 5-2
Fz Fn sin Fxy Fn cos
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-2
Fz Fn sin Fxy Fn cos
将力Fxy向x，y 轴投影
静力学
§5– 1 空间共点力系合成的几何法及其
第
平衡的几何条件
五
章
§5–2 力在轴上和平面上的投影
空
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其
间
平衡的解析条件
基
本
§5–4 力 偶 矩 矢
力
系 §5–5 空间力偶系的合成和平衡条件
目录
§5– 1 空间共点力系合成的 几何法及其平衡的几何条件
空间共点力系合成的几何法 空间共点力系平衡的几何条件
§5– 1 空间共点力系合成的几何法及其平衡的几何条件 1.空间共点力系合成的几何法
结论：空间共点力系 的合力等于力系中的 各个力的矢量和。 或者说，合力是由这 个力系的力多边形的 闭合边来表示。
公式
FR Fi
§5– 1 空间共点力系合成的几何法及其平衡的几何条件 2. 空间共点力系平衡的几何条件
FFxiFyjFyk
§5–2 力在轴上和平面上的投影
2.力在平面上的投影
由力矢F的始端A和末端B向投影平面oxy引垂线，由垂足A′到B′所构成的矢量A′B′ ， 就是力F在平面Oxy上的投影，记为Fxy。
力Fxy的大小：
F Fcos xy
FB
A
Байду номын сангаас
y
Fxy
A′
O
B′
x
注意 力在轴上的投影是一代数量。 力在一平面上的投影仍是一矢量。
FxFxysin Fncossin FyFxycosFncoscos
沿各轴的分力为
Fx (Fn cossin) i Fy (Fn coscos ) j Fz (Fn sin) k
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
例5-3 如图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂节
空间共点力系平衡的充要的几何条件是这力系的多边 形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。
FR Fi 0
§5–2 力在轴上和平面 上的投影
力在轴上的投影 力在平面上的投影
§5–2 力在轴上和平面上的投影
1.力在轴上的投影 在空间情况下，力F在x轴上投影，与平面情形相似，
等于这个力的模乘以这个力与x轴正向间夹角α的余弦。
点O，其上作用有铅直载荷F。钢丝OA和OB所构成的平面垂直于铅直平面 Oyz，并与该平面相交于OD，而钢丝OC则沿水平轴y。已知OD与轴z间的夹
角为β，又∠AOD = ∠BOD = α，试求各钢丝中的拉力。
例题 5-3
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
A
D
Bz F3
Fx 0， F 2si nF 3si n0 Fy 0,
F 1 F 2 co si s n F 3 co si s n 0
F
Fz 0,
F 2 co cs o F 3 c so cs o F s 0
Fy β α
19.6kN
力F的方向
cosFx 4.50.22,0764'1
F 1.96
γ
y
Fz F z
cosFx6.30.32,2 717'
F 1.96
cosFx 180.91,9 23
F 1.96
例题 5-1
§5–3 空间共点力系合成的 解析法及其平衡的解析条件
合力投影定理 空间共点力系平衡的充要条件
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
1. 合力投影定理
共点力系的 合力在某一轴上的 投影，等于力系中 所有各力在同一轴 上投影的代数和。
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件 2. 空间共点力系平衡的充要条件 力系中各力在三个坐标轴中每一轴上的投影之和分别等于零。
空间共点力系的平衡方程
故求这两力在y轴和 z轴上的投影时，须先将 它们投影到Oyz 平面上。
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
DB z
A
F' F3
F2 αα β
x
O
yC F1
力F2 在平面Oyz上的投影为：
FF2cos
并与 z 轴成β角。
F
2F' z
β
F1
y
O
F
故力F2在y，z 轴上的投影分别为: －F2 cosαsinβ 和 F2 cosαcosβ。
Fx 0 Fy 0 Fz 0
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-2
例5-2 如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。 已知斜齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角α，试求力Fn沿x，y 和 z 轴的分力。
例题 5-2
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
力F3的投影可用同样方法求出。
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
力F2与x轴之间的 夹角为90o－α，故它在 该轴上的投影为：
F2x F2sin
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
列平衡方程
例题 5-3
A
DB
F'
F3
z
F2 αα β
x
O
yC F1
§5–2 力在轴上和平面上的投影
二次投影法
§5–2 力在轴上和平面上的投影
例题 5-1
例5-1 已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受 的力F的三个正交分量 Fx，Fy，Fz的大小各为4.5 kN，6.3 kN， 18 kN。试求力F的大小和方向。
解： 力F的大小
A Fx
x
FF x2F y2F z24.526.32128
F2 αα β
x
O
解： 取O点为研究对象，受力分析 如图所示，这些力构成了空间共 点力系。
yC F1
F
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
力F2 ，F3的方向通过 α角和β角来表示，α是这 两 力 各 自 对 坐 标 平 面 Oyz
的倾角，β是这两力在坐
标平面Oyz上的投影对z轴 的偏角。
FB
A
α
x
a
b
x
§5–2 力在轴上和平面上的投影
平 行 六 面 体 规 则
§5–2 力在轴上和平面上的投影
力的分解 设将力F按坐标轴x，y，z方向分解为空间三正交分量：
Fx，Fy，Fz。
则 FFxFyFz
引入 x，y，z 轴单位矢 i， j，k。则可
Fx Fxi Fy Fy j Fy Fyk
例题 5-2
运 动 演 示
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
解： 将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影
例题 5-2
Fz Fn sin Fxy Fn cos
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-2
Fz Fn sin Fxy Fn cos
将力Fxy向x，y 轴投影
静力学
§5– 1 空间共点力系合成的几何法及其
第
平衡的几何条件
五
章
§5–2 力在轴上和平面上的投影
空
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其
间
平衡的解析条件
基
本
§5–4 力 偶 矩 矢
力
系 §5–5 空间力偶系的合成和平衡条件
目录
§5– 1 空间共点力系合成的 几何法及其平衡的几何条件
空间共点力系合成的几何法 空间共点力系平衡的几何条件
§5– 1 空间共点力系合成的几何法及其平衡的几何条件 1.空间共点力系合成的几何法
结论：空间共点力系 的合力等于力系中的 各个力的矢量和。 或者说，合力是由这 个力系的力多边形的 闭合边来表示。
公式
FR Fi
§5– 1 空间共点力系合成的几何法及其平衡的几何条件 2. 空间共点力系平衡的几何条件
FFxiFyjFyk
§5–2 力在轴上和平面上的投影
2.力在平面上的投影
由力矢F的始端A和末端B向投影平面oxy引垂线，由垂足A′到B′所构成的矢量A′B′ ， 就是力F在平面Oxy上的投影，记为Fxy。
力Fxy的大小：
F Fcos xy
FB
A
Байду номын сангаас
y
Fxy
A′
O
B′
x
注意 力在轴上的投影是一代数量。 力在一平面上的投影仍是一矢量。
FxFxysin Fncossin FyFxycosFncoscos
沿各轴的分力为
Fx (Fn cossin) i Fy (Fn coscos ) j Fz (Fn sin) k
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
例5-3 如图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂节
空间共点力系平衡的充要的几何条件是这力系的多边 形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。
FR Fi 0
§5–2 力在轴上和平面 上的投影
力在轴上的投影 力在平面上的投影
§5–2 力在轴上和平面上的投影
1.力在轴上的投影 在空间情况下，力F在x轴上投影，与平面情形相似，
等于这个力的模乘以这个力与x轴正向间夹角α的余弦。
点O，其上作用有铅直载荷F。钢丝OA和OB所构成的平面垂直于铅直平面 Oyz，并与该平面相交于OD，而钢丝OC则沿水平轴y。已知OD与轴z间的夹
角为β，又∠AOD = ∠BOD = α，试求各钢丝中的拉力。
例题 5-3
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
A
D
Bz F3
Fx 0， F 2si nF 3si n0 Fy 0,
F 1 F 2 co si s n F 3 co si s n 0
F
Fz 0,
F 2 co cs o F 3 c so cs o F s 0
Fy β α
19.6kN
力F的方向
cosFx 4.50.22,0764'1
F 1.96
γ
y
Fz F z
cosFx6.30.32,2 717'
F 1.96
cosFx 180.91,9 23
F 1.96
例题 5-1
§5–3 空间共点力系合成的 解析法及其平衡的解析条件
合力投影定理 空间共点力系平衡的充要条件
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
1. 合力投影定理
共点力系的 合力在某一轴上的 投影，等于力系中 所有各力在同一轴 上投影的代数和。
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件 2. 空间共点力系平衡的充要条件 力系中各力在三个坐标轴中每一轴上的投影之和分别等于零。
空间共点力系的平衡方程
故求这两力在y轴和 z轴上的投影时，须先将 它们投影到Oyz 平面上。
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
DB z
A
F' F3
F2 αα β
x
O
yC F1
力F2 在平面Oyz上的投影为：
FF2cos
并与 z 轴成β角。
F
2F' z
β
F1
y
O
F
故力F2在y，z 轴上的投影分别为: －F2 cosαsinβ 和 F2 cosαcosβ。
Fx 0 Fy 0 Fz 0
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-2
例5-2 如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。 已知斜齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角α，试求力Fn沿x，y 和 z 轴的分力。
例题 5-2
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
力F3的投影可用同样方法求出。
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
力F2与x轴之间的 夹角为90o－α，故它在 该轴上的投影为：
F2x F2sin
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
列平衡方程
例题 5-3
A
DB
F'
F3
z
F2 αα β
x
O
yC F1
§5–2 力在轴上和平面上的投影
二次投影法
§5–2 力在轴上和平面上的投影
例题 5-1
例5-1 已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受 的力F的三个正交分量 Fx，Fy，Fz的大小各为4.5 kN，6.3 kN， 18 kN。试求力F的大小和方向。
解： 力F的大小
A Fx
x
FF x2F y2F z24.526.32128
F2 αα β
x
O
解： 取O点为研究对象，受力分析 如图所示，这些力构成了空间共 点力系。
yC F1
F
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
力F2 ，F3的方向通过 α角和β角来表示，α是这 两 力 各 自 对 坐 标 平 面 Oyz
的倾角，β是这两力在坐
标平面Oyz上的投影对z轴 的偏角。