北师大版-数学-七年级上册-【例题与讲解】有理数

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北师大版七年级上册数学有理数的加减、乘除及乘方运算讲解及练习(无答案)

有理数的加减、乘除及乘方运算有理数的加减混合运算一、基础知识知识点1 有理数加减法统一成加法的意义1. 有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式.如：(－11)－(+7)+(－4)－(－3)=(－11)+(－7)+(－4)+(3)2. 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式：如：(－11)+(－7)+(－4)+(+3)=－11－7－4+33. 和式的读法：一是按这个式子表示的意义，读作“－11，－7，－4，+3的和”二是按运算意义读作“负11，减7，减4，加3”.例1 把下列各式写成省略加号的和的形式.(1)(－26)－(－7)+(－10)－(－3)；(2)(－30)－(－8)+(－12)－(－5).分析：先统一成加法，再省略括号和加号.小结：在把加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时，符号容易变错，做这样的题目时，一定要注意符号的变化.知识点2 有理数的加减混合运算的加法和步骤1.运用减法法则将有理数的混合运算中的加减法变化为加法，写成省略加号，括号的代数和.2.利用加法的交换律、结合律简化运算，这里应注意的是：通常把同号(指同正、同负)的结合，整数与整数结合，同分母分数或容易通分的分数结合，互为相反数的结合，几个加数能凑整的结合在一起相加；对于特殊结构的计算题要灵活运用运算律.例2 计算：(－47111)－(－5)+(－4)－(+3)分析：加减混合运算应注意有条理按步骤进行，把同号的数相结合相加，这样可以使计算简便.二、典型题解析(一)基本概念题例1 把下列各式写成省略加号的和的形式，并说出它们的两种读法.(1)－2－(+3)－(－5)+(－4)；(2)(+8)－(－9)+(－12)+(+5).分析：先把加减法统一成加法；再省略括号和加号.小结：（1）和式中第一个加数若是正数，正号也可省略不写；（2）第一种读法中“的和”两字不要漏掉.(二)知识应用题例2 从－50起逐次加2，得到一连串数－48，－46，－41，－44，－40，…，问：(1)第50个整数是什么？(2)你能巧妙地运用规律计算这50个整数的和吗？小结：在求和时，找出互为相反数的数，再计算出其余的数的和，能用简便算法的尽量用简便算法.(三)学科综合题例3 小彬和小丽在一起玩游戏，游戏规则是：(1)每人每次抽取4张卡片，如果抽取到白色卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到红色卡片，那么减去卡片上的数字.(2)比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果小的为胜者，小彬抽到了下面的4张卡片：红－13，白7，红－5，白4，小丽抽到了下面的4张卡片：白3.2，白－2.7，红－6，白－2问：获胜的是谁？(四)拓展创新题例4 埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为190个埃及分数：你能从中挑出10个，加上正负号，使他们的和等于－1吗?分析：这是一道阅读理解题，要从90个埃及分数中挑出10个，使它们的和等于－1，不能被题目所举的例子束缚了思维，必须要运用有理数的加减混合运算.(三)培优练习1.下列化简正确的是( )A.(－7)－(－3)+(－2)=－7－3－2B.(－7)－(－3)+(－2)=－7+3－2C.(－7)－(－3)+(－2)=－7－3+2D.(－7)－(－3)+(－2)=－7+3+22.下列各式中与a－b－c的值不相等的是( )A.a－(b－c)B.a－(b+c)C.(a－b)+(－c)D.(－b)+(a－c)3.负数a减去它的相反数的差的绝对值是( )A.0B.2aC.－2aD.以上都可能4.使等式|－7+x|=|－7|+|x|成立的有理数x是( )A.任意一个正数B.任意一个非正数C.小于1的有理数D.任意一个有理数5.在数轴上，点x表示到原点的距离小于3的那些点，那么|x－3|+|x+3|等于( )A.6B.－2xC.－6 D2x6.填空题(1)小于5而大于－4的所有偶数之和是________；(2)－14的绝对值的相反数与5的相反数的差是________；(3)若|x－3|+|y－2|=0，则x+y=________，x－y=________.7计算①(－1.5)+1.4－(－3.6)－4.3+(－5.2) ②(－1)－1+(－2)－(－3)－(－1)③－12－[10+(－8)－3] ④(－4)－(－2)－{(－5)－[(－7)+(－3)－(－8)]}⑤|－0.1|－|－0.2|+|－0.4|－|－0.2|－|+0.1|+0.48、在数1，2，3，4，……，2003，2004前添加“+”或“－”，然后求代数和，使求得的结果为最小的非负数；9.定义新运算a*b=a+b-1,如3*(-2)=3+(-2)-1=0.请你计算(-1)*(-3)*2=_________.10．定义一种运算☆，其规则为a ☆b =b a 11+，根据这个规则，计算-2☆3的值 .11.已知有理数x 、y 满足|x －2y|=－2|x －4|，求4x 2－3y 的值.12.已知|a|=6，|b|=3，|c|=5，且c ＜0，a+c ＞0，求a+b+c 的值.有理数的乘除及乘方运算一、基础知识点1.有理数的乘法法则：2.有理数的除法法则：3.乘方：4.处理好符号仍然是有理数乘法、除法及乘方运算的关键。

北师大版七年级数学上册-第二章有理数及其运算串讲

4.
【例3】．如果点A、B、C、D所对应的数为 a、b、 c、d，则a、b、c、d 的大小关系为（）
A. a＜c＜d＜b C. b＜d＜c＜a
B. b＜d＜a＜c; D. d＜b＜c＜a
【例4】．校、家、书店依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家北边100米，张明同学从家里出发，向北走了50米，接着又向北走了－70米，此时张敏的位置在( B ) A. 在家 B. 在学校 C. 在书店 D. 不在上述地方
【例 2】把下列各数分别填在相应的括号内． 1 22 1 －，13，－2，＋6，，0，0.8，3 ，－4.2. 2 7 4 正数：{ 负数：{ 正整数：{ 正分数：{ 负整数：{ 负分数：{ ，„}；，„}；，„}；，„}；，„}；，„}．
课堂小结
1、正数与负数都来自于实际生活；用正、负数可以表示实际问题中具有相反意义的量，例如… 2、小学里学过的数除0外都是正数；正数前面添上“－”号的数是负数；0既不是正数，也不是负数，它表示正、负数的界限。 3、有理数的分类方法不是唯一的，可以按整数和分数分成两大类，也可以按正数、零、负数分成三大类。
第二章有理数及其运算
七年级（上册）
第一单元：有理数
一．正数、负数和0
1. 2. 3. 4. 相反意义的量：由具有相反意义的词表示的两个量叫做具有相反意义的量。具有相反意义的两个量，规定其中一个量用正数表示；另一个量就用负数表示。正数：带正号“+”的数；负数：带负号“－”的数。其中正数的正号可省略不写。 0不仅表示“没有”，它还是正数与负数的分界。同时也是具有相反意义的量的基准量。既不是正数又不是负数。重新认识两个符号——

有理数混合运算的四种考法—2023-2024学年七年级数学上册(北师大版)(解析版)

有理数混合运算的四种考法类型一、含乘方与绝对值的混合运算【答案】3000−【分析】先计算乘方，再进行加减运算．【详解】解：()()33222313 1.26103−⎛⎫⎛⎫−⨯+−−⨯− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭36271=93625100027⎛⎫⎛⎫−⨯+−−−⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭324274=2510003−−+ 34961=3000−【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则并正确计算．【答案】【分析】按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法的运算顺序求解即可．【详解】解：原式8156952⎛⎫⎛⎫=−⨯−−−÷− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()8692=−−⨯−8618=−+20=．【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【答案】【分析】根据有理数的乘方运算可进行求解．【详解】解：原式185189=−+−⨯852=−+−=5−．【点睛】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键．【答案】【分析】先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减，按这个运算顺序计算即可. 【详解】解：24211224125%323⎛⎫⎛⎫−÷+−⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6491516()9234=÷+−⨯+ 936451624=⨯−+953442=+−7322=−2=.【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键.【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可．【详解】解：()3221322334⎛⎫⎡⎤−+⨯+−−÷− ⎪⎣⎦⎝⎭ ()296343=−+⨯−+⨯9412=−−+1=−．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．【答案】94−【分析】先根据平方运算、绝对值运算、()1n−计算，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案．【详解】解：()202322531594⎛⎫−⨯−+−−+− ⎪⎝⎭2591594=−⨯−−−52154=−−−−52154⎛⎫=−+++ ⎪⎝⎭194=−．【点睛】本题考查有理数加减混合运算，涉及平方运算、绝对值运算、()1n−计算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．类型二、简便运算问题【答案】(1)2495−；(2)25【分析】（1）将244925改写为15025⎛⎫− ⎪⎝⎭，再用乘法分配律进行计算即可；（2）将0.125改写为18，再根据乘法分配律的逆用，进行计算即可．【详解】（1）解：原式()150525⎛⎫=−⨯− ⎪⎝⎭()()1505525=⨯−−⨯−12505=−+42495=−；（2）解：原式()1111752550888=⨯+−⨯+⨯ ()117525508=⨯−+ 12008=⨯25=．【点睛】本题主要考查了有理数的简便运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则，加法运算律和乘法运算律在有理数范围依然适用．【分析】根据有理数的混合运算法则，通过有理数的简便计算即可求出答案. 【详解】解：原式()13724()(24)(24)248=−⨯−+−⨯−−⨯121821=−+ 15=故答案为：15.【点睛】本题考查了用有理数的乘法分配律的简便运算解出答案.是否能熟练掌握分配律的简便计算是解这题的技巧.【答案】(1)2495；(2)3【分析】（1）根据题意24244954952525⎛⎫⨯=⨯ ⎪⎝⎭＋，再根据乘法分配律2424495245255⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭＋＋即可解答；（2）先将1118999824142894289⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−⨯−=−−⨯− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再利用乘法分配律即可解答．【详解】（1）解：2449525⨯2449525⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭＋ 24495525=⨯⨯＋242455=＋42495=；（2）解：11182414289⎛⎫⎛⎫−−⨯− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 99984289⎛⎫⎛⎫=−−⨯− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭241=−＋＋3=．【点睛】本题考查了有理数的混合运算法则，有理数乘法的分配律，熟记有理数乘法的分配律是解题的关键．【分析】先将除法转换成乘法，然后根据利用乘法分配律计算即可．【详解】解：3571491236⎛⎫⎛⎫−−+÷− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()357364912⎛⎫=−−+⨯− ⎪⎝⎭272021=+−26=．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及运算律是解题关键．【答案】(1) (2)28− (3)133112−(4)29− 【详解】（1）()()()()783.851313 6.150.790.791515−⨯−+−⨯−+⨯+⨯()()()7813 3.85 6.150.791515⎛⎫⎡⎤=−⨯−+−+⨯+ ⎪⎣⎦⎝⎭()()13100.791=−⨯−+⨯1300.79=+ 130.79=（2）1121111361965765353577⎛⎫⎛⎫⎛⎫−⨯+−⨯+−÷+÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 112111111361967635357575⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−⨯+−⨯+−⨯+⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121111361967633775⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−+−+⨯⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()1201205⎡⎤=−+−⨯⎣⎦()11405=−⨯28=−（3）()71913672⨯−()1923672⎛⎫=−⨯− ⎪⎝⎭()()192363672=⨯−−⨯−133122=−+133112=−（4）1314261413⎛⎫⨯− ⎪⎝⎭1314261413⎛⎫⎛⎫=+⨯− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 14131426131413⎛⎫⎛⎫=⨯−+⨯− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭281=−−29=−【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．类型三、实际应用【分析】（1）将0.9 加上10月1，2，3的变化量可求解；（2）分别计算每天的游客数量即可求解；（3）将每天的变化量的绝对值相加可求解总游客数．【详解】解：（1）0.9+3.1+1.78-0.58=5.2（万人），故10月3日的人数为5.2万人；故答案为5.2；（2）10月1日游客人数为：0.9+3.1=4（万人）；10月2日游客人数为：4+1.78=5.78（万人）；10月3日游客人数为：5.78-0.58=5.2（万人）；10月4日游客人数为：5.2-0.8=4.4（万人）；10月5日游客人数为：4.4-1=3.4（万人）；10月6日游客人数为：3.4-1.6=1.8（万人）；10月7日游客人数为：1.8-1.15=0.65（万人）；故七天假期里，游客人数最多的是10月2日，达到5.78万人；（3）4+5.78+5.2+4.4+3.4+1.8+0.65=25.23（万人），答：大同云冈石窟风景区在这七天内一共接待了25.23万游客．【点睛】本题主要考查有理数的加减法混合运算，读懂题意是解题的关键．【答案】（1）；；（2）元；（3）每日计件工资更多，理由见解析．【分析】（1）用表中周三数据加上计划平均每天生产量，即得周三玩具生产量；表中每天增减产量相加的和，再加上周规定生产量即得周实际生产量．（２）把表中每天增减产量正的之和乘以3，负的之和乘以2，把它们相加的和再加上周实际生产量乘以5，即得小明妈妈这一周的工资总额．（3）先计算出实行每周计件工资制情况下小明妈妈的周工资与（2）中计算的实行每日计件工资制下小明妈妈的周工资相比较可得——每日计件工资更多．−=【详解】（1）30426∴小明妈妈星期三生产玩具26个，++−+−+++−+++(10)(12)(4)(8)(1)(6)0=−−+−+=101248167∴+=（个），2107217故本周实际生产玩具217个，故答案为：26，217．⨯+++⨯+++⨯−=（元）（2）2175(1086)3(1241)(2)1123答：小明妈妈这一周的工资总额是1123元⨯+⨯=元，（3）2175731106每周计件一周得1106元，>，所以每日计件工资更多．因为11231106【点睛】本题考查有理数加减混合运算的实际应用．其关键是审清题意，弄准确其中正负数及0的含义，才能列出正确算式．坐出租车．【分析】（1）由题意可知: 3<4.1<10，所以车费=3千米以内的收费+超过3千米的部分×2；（2）由于14.9>13，所以应付车费由三部分组成，即3千米以内的收费十超过起步里程的部分10千米×2 +超过起步里程13千米的里程数×3；(3) 车费=基础车费+超过起步里程10千米的车费+超过13千米的车费，再比较应付车费和他所带的钱数．【详解】解：(1) 不足1千米以1千米计算，4.1≈5，又3千米以内(含3千米) 收费11元，超过3千米的部分每千米收费2元，故车费为：11+ (5-3) ×2=15(元)，∴小明乘坐出租车行驶4.1千米应付车费15元；(2)不足1千米以1千米计算，14.9≈15，又3千米以内(含3千米)收费11元，超过3千米的部分每千米收费2元，超过起步里程10千米以上的部分加收50%，即每千米3元，故车费为：11+10×2+ (15-13) ×3=37 (元)，∴小明乘坐出租车行驶14.9千米应付车费37元；(3)∵不足1千米以1千米计算，13.1千米≈14千米，∴小明应付的车费是: 11+10×2+3 (14-13) ×3= 34元，∵小明带了31元钱，应付34元，34＞31，∴小明带的钱不够，∵11+10×2=31，∴小明可以乘坐13千米的车，13.1-13=0.1(千米)，答：小明带的钱不够乘坐13.1千米，他至少先走0.1千米再乘坐出租车．【点睛】本题考查有理数的混合运算，在计算时一定要弄清题意，特别是“不足1千米以1千米计算”这句话．类型三四、24点【答案】（1）-6、10、-60；（2）3、10、3；（3）例如：选-6、0、3、4；算式是-6×（0×3-4 或选-6、0、3、10；3×10-6+0或选-6、3、4、10；算式是（10-4）-（-6）×3或4-10×（-6）÷3等等．【详解】试题分析：（1）观察这五个数，要找乘积最小的就要找符号相反且数值最大的数，所以选﹣6和10；（2）2张卡片上数字相除的商最大就要找符号相同，且分母越小越好，分子越大越好，所以就要选10和3，且3为分母；（3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，这就不唯一，用加减乘除只要答数是24即可，选-6、0、3、4；算式是-6×（0×3-4 或选-6、0、3、10；3×10-6+0或选-6、3、4、10；算式是（10- 4）-（-6）×3或4-10×（-6）÷3等等．试题解析：（1）﹣6×10=－60；我抽取的2张卡片是）-6、10，乘积的最大值为－60；（2）10÷3=103；我抽取的2张卡片是3、10，商的最大值为103；（3）方法不唯一，如：选-6、0、3、4；算式是-6×（0×3-4 或选-6、0、3、10；3×10-6+0或选-6、3、4、10；算式是（10- 4）-（-6）×3或4-10×（-6）÷3等等．考点：1．有理数的混合运算；2．图表型．【答案】（1）②，1−；（2）④⑤，14；（3）①④⑤，144−；（4）或(163)(8)−−÷⨯−等．【分析】（1）根据题意和题目中的卡片，可以解答本题；（2）根据题意和题目中的卡片，可以解答本题；（3）根据题意和题目中的卡片，可以解答本题；（4）根据题意可以写出相应的算式，本题答案不唯一，主要符合题意即可.【详解】（1）因为-1在全部有理数大小排列里居中，所以选②卡片，故答案为：②，-1；(2)由已知可得，当选取卡片6和−8时，差值最大，差的最大值是6−(−8)=14；故答案为：④⑤，最大值是14(3)由已知可得，当选取卡片3、6和−8时，乘积最小，积的最小值是：(−8)×6×3=−144；故答案为：①④⑤，最小值是144−(4)∵[−1−(6÷3)]×(−8)=(−1−2)×(−8)=(−3)×(−8)=24，∴算式[−1−(6÷3)]×(−8)的计算结果为24（答案不唯一）.【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式，注意第（4）问答案不唯一. 【变式训练2】小强有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，如何抽取？最大值是多少？(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？(3)从中取出2张卡片，利用这2张卡片上数字进行某种运算，得到一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？(4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子（一种即可）．【答案】(1)抽取4−与6−，积为24(2)抽取6−与3，商为2−(3)抽取6−与4，进行乘方运算得到最大为1296(4)()()644324−⨯⨯−+=（答案不唯一）【分析】（1）要使2张卡片的乘积最大，则取同号的两张卡片，且其绝对值最大的两张，据此可求解；（2）要使2张卡片的商最小，则取异号的两张卡片，且分子的绝对值最大，分母的绝对值最小，据此可求解（3）进行乘方的运算可使相应的值最大，可选取6−与4，据此可求解；（4）利用有理数的相应的运算进行求解，符合题意即可．【详解】（1）抽取4−与6−，则其乘积为：()4624−⨯−=；（2）抽取6−与3，则其商为：632−÷=−；（3）抽取6−与4，则有：()461296−=；（4）()()644324−⨯⨯−+=．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．课后训练【答案】【分析】根据有理数的四则混合运算的法则先计算括号里面的，再计算除法即可．【详解】解：原式83424242424⎛⎫=÷−− ⎪⎝⎭12424=÷576=．【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，注意不要将乘法分配律运用到除法运算中，除法没有分配律，正确运用有理数的运算法则是解答本题的关键．【答案】(1)18(2)88(3)249【分析】（1）先计算乘法再计算除法即可；（2）提公因数即可；（3）改变计算顺序，结合乘法结合律即可．【详解】（1）解：原式591895=⨯÷118=÷118=（2）解：原式41888855=⨯+⨯418855⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭88=（3）解：原式2527393927=⎪⨯⨯⎛⎫ ⎝⎭+ 25273927393927=⨯⨯+⨯⨯25273927393927⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭272539=⨯+⨯54195=+249=【点睛】本题考查有理数的混合运算．观察式子形式，合理使用运算法则是解题的关键．【答案】（1）－3；（2）1510−；（3）2−；（4）－1；（5）2；（6）3832− 【分析】（1）根据加法结合律直接求解即可；（2）根据有理数的加法交换律及结合律进行运算即可；（3）根据加法交换律及结合律进行有理数的加减混合运算即可；（4）根据加法交换律及结合律进行有理数的加减混合运算即可；（5）根据乘法交换律及结合律进行运算即可；（6）先对带分数进行拆解，然后根据有理数的乘法分配律进行求解即可．【详解】解：（1）原式123=−−=−（2）原式1113733115742015152220201010⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−++−+=+−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）原式131********22⎛⎫=−+−−=−−=− ⎪⎝⎭ （4）原式571122316622⎛⎫=++−−=−=− ⎪⎝⎭（5）原式()11106122103⎛⎫=−⨯−⨯⨯=⨯= ⎪⎝⎭（6）原式()()11110041282040016383822⎛⎫=−⨯−−−−=−++=− ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握利用运算律进行有理数的简便运算是解题的关键．【答案】【分析】先计算括号内的，并要先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可．【详解】解：原式()116227896⎡⎤=−−⨯⨯−−−−−⎣⎦1251=−−−27=−．【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．【分析】先计算绝对值，乘方运算和小括号里面的，再进行乘除运算，最后再加减即可.【详解】解：212|9|(3)(12)23⎫⎛−−÷−+−⨯− ⎪⎝⎭199126()()=−÷+−⨯−12=−+1=．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则且准确的计算是解题的关键. 6．出租车司机李师傅从上午8: 00~9:15在厦大至会展中心的环岛路上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）8,6,3,7,8,4,7,4,3,4+−+−++−−++（1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样？距离多少千米？（2）上午8: 00~9:15李师傅开车的平均速度是多少？（3）若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则李师傅在上午8: 00~9:15一共收入多少元？【答案】（1）距离第一批乘客出发地的东方，距离是6千米；（2）43.2千米/小时；（3）128元【分析】（1）将所有数据相加得出结果后，即可作出判断；（2）将所有数据的绝对值相加，可得出路程，然后求出时间，根据速度=路程÷时间即可得出答案；（3）分别计算起步价，及超过3公里的收入，然后相加即可．【详解】解：（1）由题意得：向东为“+”，向西为“-”，则将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的距离为：（+8）+（-6）+（+3）+（-7）+（+8）+（+4）+（-7）+（-4）+（+3）+（+4）=6（千米），所以，将最后一批乘客送到目的地时，李师傅在距离第一批乘客出发地的东方，距离是6千米；（2）上午8：00～9：15李师傅开车的距离是：|+8|+|-6|+|+3|+|-7|+|+8|+|+4|+|-7|+|-4|+|+3|+|+4|=54（千米），上午8：00～9：15李师傅开车的时间是：1小时15分=1.25小时；所以，上午8：00～9：15李师傅开车的平均速度是：54÷1.25=43.2（千米/小时）；（3）一共有10位乘客，则起步费为：8×10=80（元）．超过3千米的收费总额为：[（8-3）+（6-3）+（3-3）+（7-3）+（8-3）+（4-3）+（7-3）+（4-3）+（3-3）+（4-3）]×2=48（元）．则李师傅在上午8：00～9：15一共收入：80+48=128（元）．【点睛】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 7．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题：(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相乘的积最大，最大值是________．(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是________．(3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方、取相反数或取绝对值等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能对用一次，如()342122⨯−−⎡⎦=⎤⎣）．请另写出一种符合要求的运算式子．【答案】(1)6(2)2−(3)()()3212−−⨯+（答案不唯一）【分析】（1）根据题意列出算式，找出积最大值即可；（2）根据题意列出算式，找出商最小值即可；（3）利用“24点”游戏规则列出算式即可．【详解】（1）解：根据题意得20123−<<+<+<+，积的最大值为()()326+⨯+=，故答案为：6；（2）解：商的最小值为()()212−÷+=−，故答案为2−；（3）解：()()342122−−⨯+=∵；()232124⎡⎤⎣−−−=⎦等，∴算式可以为：()()3212−−⨯+（答案不唯一）．【点睛】此题考查有理数的混合运算，有理数大小比较，解题关键在于掌握各性质和运算法则.。

2.1认识有理数+第3课时数轴+课件2024-2025学年北师大版数学七年级上册

十、举一反三
4．与原点的距离为3个单位长度的点所表示的有理数是_____． 5.如图，指出数轴上点 A，B，C 所表示的数，并把－4，32，6 这三个数分别用点 D，E，F 在数轴上表示出来．
十一、课堂小结布置作业
本节课你学到的数学知识和数学思想方法有哪些? 让学生畅所欲言谈这节课收获.
课本：
P30 随堂练习1、2、3 习题2.18（1）（2）
问题2：思考:怎样在数轴上表示一个有理数-4 ? 数轴的作用有哪些？
八、归纳总结
1、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离。
2、思考交流在数轴上画出表示下列各数的点： -4，3.5， -1.5，，0 ,2.5. 再按数轴上从左到右的顺序，将这些数重新排成一行.你有什么发现？与同伴进行交流。
像这样，规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴。通常将数轴画成水平直线，并选择向右的方向为正方向。
-2 -1 0 1 2 3
数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可
像一个平放的温度计。
在这条数轴上，+3可以用位于原点右边3个单位长度的点表示，-2可以用位于原点左边2个单位长度的点表示。
三、动手操作，形成概念
1.师生动手画数轴.(边画边强调数轴画法和要点) 在一条水平直线上取一点(称为原点)表示0，选取某一长度作为单位长度，规定这条直线上向右的方向为正方向，那么相反方向就是负方向。原点右边的点可以表示正数，原点左边的点可以表示负数。这样，所有有理数就都可以用直线上的点表示了。
2、比较下列每组数的大小，并说明理由
⑴-9 和 +6； ⑵0 和 -1.8；

北师大版七年级上册数学第二章有理数及其运算第3讲有理数

图1ab第3讲有理数【知识梳理】（一）正数与负数1．正数：大于零的数叫正数；2．负数：小于零的数叫负数（正数前面加上“—”号）3．“0”既不是，也不是，“0”是自然数； 4．有理数的分类：（二）数轴1．规定了、、的直线叫做数轴． 2．有理数大小比较:数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数，如图1，b ________a ；（三）相反数1．像2和-2、-5和5、2.5和-2.5这样，只有不同的两个数叫做互为相反数． 2．“0”的相反数是； 3．数a 的相反数是；数-a 的相反数是；有理数整数分数或有理数正整数正分数负分数负整数4．两个互为相反的数到原点的距离，而且在原点的左右两侧．（四）绝对值1．一般地，数轴上表示数a 的点与原点的叫做数a 的绝对值，记作a ,a 0； 2．如果字母a 表示一个数，用式子表示就是：（1）当a 是正数（即a ＞0）时，a ＝；（2）当a 是负数（即a ＜0）时，a ＝；（3）当a ＝0时，a ＝．3．正数 0，负数 0，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而．（五）有理数的加减运算 1.加法法则：（1）.同号相加，取的符号，相加．（2）.异号相加，取绝对值较的加数的符号，并用较的绝对值减去较的绝对值．（3）.一个数同相加，仍得这个数．2.有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的．3.加减混合运算：把加法,减法统一成加法．【典型例题】考点1【例1】把下列各数分别填在题后相应的集合中：25-，0，1-，0.73，2，5-，87，52.29-，+28．（1）整数集合： { ……} （2）负整数集合：{ ……} （3）负分数集合：{ ……} （4）自然数集合：{ ……} （4）非负数集合：{ ……} 【变式1】把下列各数填在相应的数集的圈里．41，-31，0.2，0，-70，6.7，215，π… … … …-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4负整数集非正数集自然数集正数集【变式2】下列说法正确的个数是（）．①一个有理数不是整数就是分数； ②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正的就是负的；④一个分数不是正的就是负的． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点2【例2】（1）在数轴上表示下列各数的点：323-，0 ，3 ， -0.5 ，21，-3，212（2）用“＜”符号把上面所给数字连接起来．（3）以上绝对值等于3的数有个，它们是．（4）绝对值小于2的数有个，它们是．【变式1】数轴上到原点的距离为3的点所表示的数是．【变式2】数轴上的点A 表示的数是-4，如果点B 在点A 的左边，且与点A 相隔1个单位，则点B 表示的数是________．考点3【例3】（1）若-x ＝9，则x ＝ ________；（2）比-6的相反数大7的数是_______．【变式1】5的相反数是；的相反数是15．【变式2】比6的相反数小7的数是_______．考点4【例4】6-＝；6--＝；绝对值等于6的数是．点要用实心圆点点在数轴上【变式1】绝对值等于其相反数的数一定是（）． A ．负数B ．正数C ．负数或零D ．正数或零【变式2】7x =，则______=x ； 7x -=，则______=x ．考点5 【例5】计算：（1）1132＋（－0.25）＋（－381）＋3.25＋0.125 （2）61587733⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【变式1】计算：(1) ()()()()0.550.550.350.65----+-- (2) ()⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-6115.065212【课堂训练】(一)选择题1．如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（）A ．-18%B ．-8%C ．＋2%D ．＋8%2.下列各数：9,05.0,101,324,650,76.8,1,54--+---，，中,（）A.只有1，–7，+101，–9是整数B.其中有三个数是正整数C.非负数有1，8.6，+101，0，D.只有54-，324-、-0.05是负分数 3．数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为（） A ．6或6-B ．6C ．6-D ．3或3-4．下列各图中，是数轴的是（）A ．B ．-10 1-1C ．D ．5.一个数的相反数是最大的负整数，这个数是（）A.0B.1C.－1D.±1 6．计算 -2-6的结果是（）A ．-4B ．8C ．-8D ．47．不改变原式的值，将6-（+3）-（-7）+（-2）中的减法改成加法并写成省略加号和的形式是（）A ．-6-3＋7-2B ．6-3-7-2C ．6-3＋7-2D ．6＋3-7-28．下面结论正确的有（）①两个有理数相加，和一定大于每一个加数 ②一个正数与一个负数相加得正数③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和 ④两个正数相加，和为正数 ⑤两个负数相加，绝对值相减 ⑥正数加负数，其和一定等于0 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个（二）填空题9、一个数a 在数轴上对应的点在原点的左边，且a ＝3，则a ＝_______.10.化简：（1）| 2.85|--＝；（2）|12|+-＝；（3）⎪⎭⎫⎝⎛--213＝；（4）()5+--＝11.已知甲地的海拔高度是300m ，乙地的海拔高度是-50m ，那么甲地比乙地高 m.12.已知（a －3）2+2-b =0，则a +b = .13.是否存在满足下面条件的数，存在的话，把它们写出来：（1）最小的正有理数：（2）最小的负整数；（3）最大的非整数（4）最小的整数（5）最大的负有理数（6）最小的有理数（7）最小的自然数是（8）最大的负整数是（9）最小的非负整数是（10）有理数中，最小的正整数是（11）有理数中最大的负整数是14.计算（1）．13522463⎛⎫⎛⎫---+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）．()112 2.511222---+--【课后作业】1.用公式表示“比－3℃低6℃的温度”正确的是（）A．－3＋6 B、－3－6 C、6－3 D、6＋32．在6，2005，122，0，-3，+1，14-，-6.8中，正整数和负分数共有（）．A．3个B．4个C．5个D．6个3.下列说法中正确的有（）(1)互为相反数的两个数的绝对值相等； (2)正数和零的绝对值都等于它本身；(3)只有负数的绝对值是它的相反数； (4)一个数的绝对值的相反数一定是负数．A、1个B、2个C、3个D、4个4．某市2012年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）．A．-10℃B．-6℃C．6℃D．10℃5．如果aa22-=-，则a的取值范围是（）．A ．0a >B ．0a ≥C ．0a ≤D ．0a <6．已知5m =，2n =，m n n m -=-，则m n +的值是． 7．温度上升5℃，又下降7℃，后来又下降3℃，三次共上升 ℃．8.计算：（1）．12-（-18）+（-7）-15 （2）．|+3|-|-6|-（+8）（3）．135202463⎛⎫⎛⎫---+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （4）．()1122.511222---+--。

北师大版七年级数学上册《有理数》有理数及其运算PPT课件

解 :(1)扣20分记作－20分; (2)沿顺时针方向转12圈记作－12圈;
(3)－0.03克表示乒乓球的质量低于标
准质量0.03克.
(4)如果向东运动4m记作+4m，那么向西运动7m应
记作什么？若在原地不动又记作什么？
第十六页，共三十一页。
做一做
随堂练习
1、填空题
（1）如果零上5℃记作＋5 ℃，那么零下3 ℃记作 ______________.
2、小学里学过的数除0外都是正数；正数前面添上 “－”号的数是负数；0既不是正数，也不是负数，它
表示正、负数的界限。
3、有理数的分类方法不是唯一的，可以按整数和分数分成两大类，也可以按正有理数、零、负有理数分成三大类。
4、我学得怎样？
第二十八页，共三十一页。
作业：
1、下列各数中，哪些是正整数？哪些是负整数？哪些是正分数？哪些是负分数？哪些是正数？哪些是负数？
用正数和负数可以表示具有相反意义的量
第十五页，共三十一页。
例１
知 (1)在知识竞赛中,如果+10分表示加10分,那么扣识 20分怎样表示? 运 (2)某人转动转盘,如果用+5表示沿逆时针方向转了用 5圈,那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示?
(3)在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标
准质量0.02克记作+0.02,那么－0.03克表示什么?
沈阳小雨 19 7 天津小雨 12 8 西宁小雪 5 -4 银川小雪 0 -3 兰州小雪 3 -3 西安小雨 16 7
第十二页，共三十一页。
财富全球500强中的主要零售企业
排名 2 46 66
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新北师大版七年级数学上册第二章《有理数》难题、易错题讲解

七年级数学上册第二章《有理数》难题、易错题讲解类型一 0+0型例：已知|m-3|+|n+2|=0,求m 、n 的值。

练习：1、已知|x+2|+|y+32|=0,试比较x ，y 的大小。

2、|a-21|+|b+31|+|c+52|=0 (1)试比较a 、b 、c 的大小。

（2）计算|a|+|(-b)|+|c|的值。

3、若|x+1|+|y-2|+|z+3|=0,求|x|+|y|+|z|的值。

4、试讨论：x 为有理数，|x-1|+|x-3|有没有最小值？如果有，求出这个最小值；如果没有，请说明理由。

类型二化简计算型例：计算|9911001-|+|10011011-| - |9911011-|练习1、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|b|-|a+b|2、若a 、b 、c 三数在数轴上对应位置如图所示，化简|a|-|a+b|+|c-b|+|a+c|3、若有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：|a+b|-|a-b|-|-b|4、a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图所示，化简式子： cc b b a a ||||||++5、|2131-|++-+-|4151||3141|…|2011120121-|类型三比较大小（数轴上可特值法）例：有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A 、a+b ＞a ＞b ＞a-bB 、a ＞a+b ＞b ＞a-bC 、a-b ＞a ＞b ＞a+bD 、a-b ＞a ＞a+b ＞b练习 1、如果a 、b 均为有理数，且b ＜0，则a 、a-b 、a+b 的大小关系。

( )A 、a ＜a+b ＜a-bB 、a ＜a-b ＜a+bC 、a+b ＜a ＜a-bD 、a-b ＜a+b ＜b2、有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，用不等号把a 、b 、-a 、-b 连接起来：________________________类型四探索规律型例：观察下列等式：311⨯=)311(21-，)4121(21421-=⨯，)5131(21531-=⨯ （1）猜想：=+)2(1n n ____________________ （2）试写出：)3(1+n n =__________________________练习1 、一只跳蚤从数轴上的原点出发，第一次向右跳1个单位，第二次向左跳2个单位，第三次向右跳3个单位，第四次向左跳4个单位，…，按这样的规律跳100次，跳蚤到圆原点的距离是____________个单位。

2.2.4 有理数的加减运算课件北师大版数学七年级上册

此时飞机比起飞点高了多少干米?
03 新知讲解
方法1.通过高度变化列出算式
4.5-3.2+1.1-1.4=1.3+1.1-1.4=2.4-1.4=1(km)
方法2.也可以将这4个数直接相加.
4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4)
=1.3+1.1+(-1.4) =2.4+(-1.4) =1(km)
-C=a+b+(-c)
04 课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如图是一个正方体的平面展开图，若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两个数相等，则a+b+C 的值为( D )
A.6 B.4
C.2
D.-4
5.试用“+”“-”号将+3,-8,-10,+12四个有理数连接
起来，使其运算结果最大，这个最大值是33
A.-6-7+2
-9 B.-6+7-2-9
C.-6-7-2+9
D.-6+7-2+9
04 课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.用式子表示“引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法
运算”,正确的是( D )
A.a
+b
-C=a
+b+C
B.a

-b+C=a
+b
-C
C.a+b
-C=a
+(-b)+(-c)
D.a+b
第二章有理数及其运算
2.2.4有理数的加减运算
目录 Contents
01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解

2.1.1认识有理数课件北师大版数学七年级上册

-1.8%表示跌了1.8% 0.4%表示涨了0.4%
图2-2
03 新知讲解
“加分与扣分”“零上温度与零下温度”“高于海平面与低于海平面”“上涨量与下跌量”等都是具有相反意义的量。为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，把与这个量意义相反的量规定为负的，并分别用“+”“—”来表示。例如，“加3分”记为+3分，“扣2分”就记为-2分。
0
03 新知讲解
尝试 ·交流
(1)下表是2023年1月1日四个城市的气温情况。你能说出表中各数的实际意义吗?
城市北京
昆明
西安
哈尔滨
气温
-7℃~-5℃ 7℃~13℃ -2℃~2℃ -19℃~-14℃
-7℃,-2℃,-19℃,-14℃表示零度以下 5℃,7℃,13℃,2℃表示零度以上
03 新知讲解
A.+30 元 B.-20 元 C.-30 元 D.+20 元
2.某食品包装袋上标有“净含量：250克±5克”,有4袋食品的质量如下，其中不合格的是( A ) A.256 克 B.248 克 C.253 克 D.249 克
04 课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.一次数学测试，如果以90分为基准简记，例如96分记为+6 分，那么85分应记为 - 5 分 .
(2)求这七次测量结果的平均值.
04 课堂练习
【综合拓展类作业】
解： ( 1 ) 若以 8 0 m 为标准，用正数表示超出部分，用负数表示不足部分，则表示七次测得的数据分别是(单位： m):
-0.2,+0.6,+0.4,-0.9,+0.3,-0.7,+0.5.
(2)(79.8+80.6+80.4+79.1+80.3+79.3+80.5)÷7

北师大版七年级上册第二章有理数及其运算PPT课件全套

(4)负分数：既是负数，又是分数的数；
(5)非负整数：正整数和0； (6)非正整数：0和负整数．
知3－讲
3.有理数的分类： (1)按定义分类：
有理数正分数分数负分数
正整数整数 0 负整数
知3－讲
(2)按性质分类：
正整数正有理数正分数有理数 0 负整数负有理数负分数
第二章
有理数及其运算
2.1
有理数
1
课堂讲解
正数和负数具有相反意义的量有理数及其分类
2
课时流程
逐点导讲练课堂小结作业提升
某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加1分，
答错一题扣1分，不回答得0分；每个队的基本分均为
0分.两个队答题情况如下表：
答题情况第一队第二队
如果答对题所得的分数用正数表示，那么你能写出每个队答题得分的情况吗？试完成下表：
知1－讲
你能描述一下温度计
是怎样表示温度的吗？
知1－讲
定义
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
知1－讲
－2
－1
0
1
2
画一条水平直线，在直线上取一点表示0(这个
单位长度，点叫_______) 原点，选取某一长度作为___________ 正方向，这样的直线规定直线上向右的方向为 _________
A．8，4，－2
1 B．2，5.4，2
)
C．－6，0.5，0
D．0，6，9
（来自《典中点》）
知2－导
知识点
2
具有相反意义的量
议一议生活中你见过其他用负数表示的量吗？与同伴进行交流.

2.8有理数的除法例题与讲解(2013-2014年北师大七年级上)

8 有理数的除法1．有理数的除法法则1(1)除法法则1：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不为0的数都得0.①注意：0不能作除数；②除法法则1与有理数的乘法法则相类似，都是先确定运算结果的符号，再确定绝对值．(2)两个有理数相除的步骤 ①先确定商的符号；②求出商的绝对值．【例1】下面的计算中，正确的有( )．①(－800)÷(－20)＝－(800÷20)＝－40；②0÷(－2 013)＝0；③(＋18)÷(－6)＝＋(18÷6)＝3；④(－0.72)÷0.9＝－(0.72÷0.9)＝－0.8.A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②④ 解析：①③错误，②④正确．答案：D2．有理数的除法法则2除法法则2：除以一个数等于乘这个数的倒数，即a ÷b ＝a ×1b(b ≠0)．谈重点除法法则2的应用①除法变乘法，除数变倒数是关键；②本法则是将除法转化为乘法，与有理数的减法类似，体现了转化的数学思想；③本法则适合不能整除或除数是分数的情况．对于有理数的除法运算，怎样选择法则呢？在进行有理数除法时，应合理选择法则，在能整除的情况下，应选用法则1.在不能整除或除数是分数(包括小数)时，应选用法则2.【例2】计算：(1)⎝⎛⎭⎫－2829÷⎝⎛⎭⎫－1129； (2)(－1)÷(－2.25)．分析：有理数的除法运算，应先转化为乘法运算，再进行计算．解：(1)⎝⎛⎭⎫－2829÷⎝⎛⎭⎫－1129＝⎝⎛⎭⎫－2829÷⎝⎛⎭⎫－3029＝⎝⎛⎭⎫－2829×⎝⎛⎭⎫－2930＝2829×2930＝1415；(2)(－1)÷(－2.25)＝(－1)÷⎝⎛⎭⎫－94＝1×49＝49. 3．求一个数的倒数(1)求一个数的倒数的方法：用1除以这个数，所得的商就是这个数的倒数．(2)具体情况与求法：①一个非0整数a 的倒数为1a ，如－5的倒数是－15.②求一个真分数或假分数的倒数，把分数的分子和分母颠倒位置即可，如－23的倒数是－32.③求一个带分数的倒数，先把带分数化为假分数，再求其倒数，如－216＝－136，－216的倒数就是－613.④求一个小数的倒数，先把小数化为分数，再求倒数，如0.25＝14，0.25的倒数就是4. 【例3】求下列各数的倒数：－2 013，－378，－0.36. 分析：整数的倒数是直接用1除以这个整数；求带分数的倒数应先将带分数化为假分数；小数先化为分数，再求倒数．解：因为1÷(－2 013)＝－12 013， 1÷⎝⎛⎭⎫－378＝1÷⎝⎛⎭⎫－318＝－831， 1÷(－0.36)＝1÷⎝⎛⎭⎫－925＝－259，所以－2 013，－378，－0.36的倒数分别是－12 013，－831，－259.4．有理数的乘除混合运算(1)进行有理数乘除混合运算时符号的确定当一个算式中出现几个有理数连乘连除时，一般先确定最后结果的符号．其方法是：当负因数的个数为奇数时，计算结果为负数；当负因数的个数为偶数时，计算结果为正数．(2)有理数乘除法运算的顺序： ①从左到右依次进行． ②有括号的要先算括号里面的．释疑点有理数的乘除混合运算注意事项①有理数的乘法与除法是同级运算，因此要从左到右依次进行；②进行乘除法运算时，先确定结果的符号，再根据乘、除法的法则进行计算可简化计算过程．【例4－1】用“<”“>”或“＝”填空：(1)⎝⎛⎭⎫－17÷⎝⎛⎭⎫－14÷⎝⎛⎭⎫－18__________0；(2)(－0.2)÷4×(－1.7)__________0；(3)0÷(－3)÷(－8)__________0.解析：判断商与0的大小关系，也就是判断商的符号．(1)有三个负因数，商为负数，故小于0；(2)有两个负因数，商为正数，故大于0；(3)的被除数是0，故商等于0. 答案：(1)＜ (2)＞ (3)＝【例4－2】计算：(1)313÷⎝⎛⎭⎫－223÷⎝⎛⎭⎫－114； (2)(－3.5)÷78×⎝⎛⎭⎫－34. 分析：先将带分数、小数化成假分数，再进行乘除混合运算．解：(1)313÷⎝⎛⎭⎫－223÷⎝⎛⎭⎫－114＝103×⎝⎛⎭⎫－38×⎝⎛⎭⎫－45＝＋⎝⎛⎭⎫103×38×45＝1. (2)(－3.5)÷78×⎝⎛⎭⎫－34＝⎝⎛⎭⎫－72×87×⎝⎛⎭⎫－34＝＋⎝⎛⎭⎫72×87×34＝3. 5.有理数的加减乘除混合运算(1)有理数的加减乘除混合运算顺序：先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的．(2)常规解法：按照上面的运算顺序进行计算．(3)特殊解法： ①有些运算用运算律或逆用运算律改变运算顺序能简化运算，较为简便． ②利用规律转化运算，如分数乘法与除法的转化． ③倒数求法：交换被除数和除数的位置，求出商，再求商的倒数即为原式的结果．【例5】计算：⎝⎛⎭⎫15－13×⎝⎛⎭⎫14＋15÷⎝⎛⎭⎫－120÷⎝⎛⎭⎫－13.分析：本题是有理数的加减乘除混合运算，可按四则混合运算的顺序进行计算，有括号的要先算括号里面的或运用运算律简化运算．解：方法1：⎝⎛⎭⎫15－13×⎝⎛⎭⎫14＋15÷⎝⎛⎭⎫－120÷⎝⎛⎭⎫－13＝－215×920×(－20)×(－3)＝－⎝⎛⎭⎫215×920×20×3＝－185. 方法2：⎝⎛⎭⎫15－13×⎝⎛⎭⎫14＋15÷⎝⎛⎭⎫－120÷⎝⎛⎭⎫－13＝⎝⎛⎭⎫15－13×⎝⎛⎭⎫14＋15×(－20)×(－3)＝⎝⎛⎭⎫15－13×⎝⎛⎭⎫14＋15×20×3＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15－13×3×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14＋15×20＝⎝⎛⎭⎫35－1×(5＋4)＝－25×9＝－185.6．除法与绝对值的综合应用根据条件进行含有绝对值的除法计算或化简，是这类题目的常见形式．方法与步骤：①根据条件确定有关的字母或含有字母的式子的值或取值范围；②根据条件化简绝对值；③按照运算的顺序进行计算．【例6】若有理数x ，y 满足xy ≠0，则m ＝x |x |＋|y |y的最大值是__________．解析：当x >0，y >0时，原式＝1＋1＝2；当x >0，y <0时，原式＝1－1＝0；当x <0，y >0时，原式＝－1＋1＝0；当x <0，y <0时，原式＝－1－1＝－2.所以m 的最大值是2.答案：27.乘法对加法的分配律在除法中的应用乘法对加法的分配律可以在除法中运用，常见的有以下两种情形：(1)几个数的和除以一个数．方法：①先把除法转化为乘法；②根据乘法对加法的分配律：a ×(b ＋c )＝a ×b ＋a ×c 进行计算．(2)一个数除以几个数的和．方法：①先交换被除数与除数的位置，即把形如a ÷b 的算式先写成b ÷a ； ②转化为乘法，根据乘法对加法的分配律进行计算； ③求出商的倒数，即为原式的结果．辨误区除法没有分配律除法是没有分配律的，若要在进行除法运算时运用分配律，必须将除法转化为乘法，再根据乘法对加法的分配律解题．【例7－1】计算：⎝⎛⎭⎫13－14＋19－112÷136.分析：观察本题，先将除以136转化为乘36,36是3,4,9,12的倍数，可用乘法对加法的分配律约分化简．解：⎝⎛⎭⎫13－14＋19－112÷136＝⎝⎛⎭⎫13－14＋19－112×36＝13×36－14×36＋19×36－112×36＝12－9＋4－3＝4.【例7－2】阅读下列材料，并回答问题．计算：50÷⎝⎛⎭⎫14－13－112. 解：(方法1)原式＝50÷14－50÷13－50÷112＝50×4－50×3－50×12＝－550.(方法2)原式＝50÷⎝⎛⎭⎫312－412－112＝50÷⎝⎛⎭⎫－212＝50×(－6)＝－300. (方法3)原式的倒数为⎝⎛⎭⎫14－13－112÷50＝⎝⎛⎭⎫14－13－112×150＝14×150－13×150－112×150＝－1300，故原式＝－300. 上面的3种方法，哪几种是正确的？解：方法2和方法3是正确的，方法1是错误的．。

数学北师大版(2024)七年级上册课件 2.3.1有理数的乘法法则

课堂练习
6. 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负. 登山队攀登一座山峰，每登高 1 km，气温的变化量为 -6 ℃. 攀登 3 km 后，气温有什么变化？
解：(-6)×3 = -18. 答：攀登 3 km 后，气温下降了 18 ℃.
课堂小结
1.有理数的乘法法则是什么？两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘特殊情况：任何数同 0 相乘，都得 0
相反数、倒数及绝对值的区别运算
3．填空：
原数
－2.5 __－___3___ __－___5___
1 2
3 14
____7____
相
反 ___2_._5___
3
____5____ __－__12____ __－__74____ －7
பைடு நூலகம்
数
倒数
___－_25____ __－__13____
－15
4
1
____2____ ____7____ ____7____
1 3 互为倒数,
-3 8
与
-8 互 3
为倒数。
跟踪训练
1的倒数为
1
1 的倒数为 3
3
2 的倒数为 3
3
2
-1的倒数为 -1
- 1 的倒数为 -3
3
2
- 的倒数为
3
-3
2
0的倒数为零没有倒数
1
思考：a的倒数是对吗？
a
(a≠0时,a的倒数是1 ) a
归纳总结
方法总结
(1)0没有倒数； (2)倒数等于本身的数有两个：±1； (3)互为倒数的两个数符号相同； (4)分数的倒数是分子与分母颠倒位置．

北师大版初中数学七年级上册知识讲解,巩固练习：第8讲第2章《有理数及其运算》全章复习和巩固(含答案)

《有理数及其运算》全章复习与巩固【学习目标】1．理解有理数及其运算的意义，提高运算能力．2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题．4．会用科学记数法表示数．【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a 的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．π--a要点二、有理数的运算1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a ÷b=a ·(b ≠0) ．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：，． 2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，1b2(3)9-=3(3)27-=-正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．【典型例题】类型一、有理数相关概念1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全．【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念．举一反三：【变式】(1)的倒数是；的相反数是；的绝对值是． -（-8）的相反数是；的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5．8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是．(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m ／min ．(4) 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则____ ．【答案】（1）；；；-8；2 （2）降价5．8元，70．2 元；（3）；（4）3； 10na ⨯10a <n 5210⨯321-321-321-21-=++)(323b a cd 35-21321333.7510⨯2．（2018•杭州模拟）已知|x|=|﹣3|，则x 的值为．【思路点拨】根据题意可知|x|=3，由绝对值的性质，即可推出x=±3．【答案】±3．【解析】解：∵|﹣3|=3，∴|x|=3，∵|±3|=3，∴x=±3．【总结升华】本题主要考查绝对值的性质，关键在于求出3和﹣3的绝对值都为3． 3．在下列两数之间填上适当的不等号：________．【思路点拨】根据“a-b ＞0，a-b ＝0，a-b ＜0分别得到a ＞b ，a ＝b ，a ＜b ”来比较两数的大小．【答案】＜【解析】解法一：作差法由于，所以解法二：倒数比较法：因为所以【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．200520062006200720052006200520072006200610200620072006200720062007⨯-⨯-==-<⨯⨯2005200620062007<2006112007112005200520062006=+>+=2005200620062007<举一反三：【变式】（2018•宁德）有理数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（）A ．a+b ＜0B ． a ﹣b ＜0C ． a•b＞0D ．＞0【答案】B ．类型二、有理数的运算4．（2019•厦门）计算：．【思路点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．【答案与解析】解：原式=10+8×﹣2×5=10+2﹣10=2．【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．举一反三：【变式】计算：（1）（2）【答案】解：（1）（2）11(2)(2)22-⨯÷⨯-()20064261031-+--⨯-111(2)(2)(1)(2)(1)2(2)4222-⨯÷⨯-=-÷⨯-=-⨯⨯-=()20064261031-+--⨯-=-16+4-3×1=-15类型三、数学思想在本章中的应用5．（1）数形结合思想：有理数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1的大小关系．A ．-a ＜a ＜1B ．1＜-a ＜aC ．1＜-a ＜aD ．a ＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y 的值．（3）转化思想：计算：【答案与解析】解：（1）将-a 在数轴上标出，如图所示，得到a ＜1＜-a ，所以大小关系为：a ＜1＜-a ．所以正确选项为：D ．（2）因为| x|＝5，所以x 为-5或5因为|y|＝3，所以y 为3或-3．当x ＝5，y ＝3时，x-y ＝5-3＝2当x ＝5，y ＝-3时，x-y ＝5-(-3)＝8当x ＝-5，y ＝3时，x-y ＝-5-3＝-8当x ＝-5，y ＝-3时，x-y ＝-5-(-3)＝-23135()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭故（x-y ）的值为±2或±8（3）原式= 【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．举一反三：【变式】若a 是有理数，|a|-a 能不能是负数?为什么?【答案】解：当a ＞0时，|a|-a ＝a-a ＝0；当a ＝0时，|a|-a ＝0-0＝0；当a ＜0时，|a|-a ＝-a-a ＝-2a ＞0．所以，对于任何有理数a ，|a|-a 都不会是负数．类型四、规律探索6．将1，，，，，，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．【答案】 33135(7)357724614142⎛⎫--⨯-=⨯+⨯= ⎪⎝⎭12-1314-1516-1200-【解析】认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．【巩固练习】一、选择题1．（2019•益阳）的相反数是（）A ．2019B ．﹣2019C ．D ．2.（2018•菏泽）如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q3．在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|-)511(-|32+，中，负数的个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个４．据有关资料显示，2011年遵义市全年财政总收入202亿元，将202亿用科学记数法可表示（）A ．2.02×210人B ．202×810人C ．2.02×910人D ．2.02×1010人5．若-1<a<0,则a ，2a ,a1从小到大排列正确的是（） A ．a 2<a<a 1 B ．a <a 1< a 2 C ．a 1<a< a 2 D ．a < a 2 <a1 12101210-1200-6．在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是( )A ．6B ．-6C ．-1D ．-1或67．a,b 两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（）A ． a+b>0B ． ab>0C ．ba >0 D ．a-b>0 8．已知有理数a ，b 在数轴上对应的两点分别是A ，B ．请你将具体数值代入a ，b ，充分实验验证：对于任意有理数a ，b ，计算A ， B 两点之间的距离正确的公式一定是（）A ．a b -B ．||||a b +C ．||||a b -D ．||a b -二、填空题9.（2018•湖州）计算：23×（）2= ．10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为：(规定向上为正，向下为负，单位：厘米)+3，0，-1，+5，-4，+2，-3，-2，那么这里0的含义是___________.11．德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102 000 000 000 000千米，用科学记数法表示出暗星到地球的距离为___ _____千米．12．7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x . 13．已知实数a , 在数轴上如下图所示，则|1|-a = .14．若|a-2|+|b+3|=0，则3a+2b= ．15．()221---＝．16．（2019春•江苏校级期末）观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…你从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：32019的个位数字是．三、解答题17．计算：（1）222172(3)(6)3⎛⎫-+⨯-+-÷- ⎪⎝⎭ （2）4211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯--（3）21-49.5+10.2-2-3.5+19 （4）323233351914321251943252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，且x 的绝对值为3，求2x 2-(ab-c-d)+|ab+3|的值．19.（2018•顺义区一模）居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行阶梯电价，即：一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为0.53元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为0.78元/度．小敏家2018年用电量为3000度，则2018年小敏家电费为多少元？20．先观察下列各式： 11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；...；1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，根据以上观察，计算：1111447710+++⨯⨯⨯ (120052008)+⨯的值．【答案与解析】一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵﹣与只有符号不同，∴﹣的相反数是．故选：C ．【解析】∵点M ，N 表示的有理数互为相反数. ∴原点的位置大约在O 点，∴绝对值最小的数的点是P 点，故选C ．3．【答案】 C【解析】负数有三个，分别是：-|-7|，-|+1|，)511(-+4．【答案】D5．【答案】C 【解析】由-1<a<0可知2a 为正数，而其它两数均为负数，且| a |＜a 1，所以a ＞a1，所以a1<a< a 2． 6．【答案】D【解析】2.5+3.5=6, 2.5-3.5=-17．【答案】D【解析】由图可知，a 、b 异号，且b 的绝对值较大．8.【答案】D【解析】按正负对a ，b 分类讨论．二、填空题9.【答案】2.【解析】23×（）2=8×=2.10．【答案】水位无变化11．【答案】1.02×101412．【答案】7,7±±【解析】由图可知：a-1＜0，所以│a-1│=-（a-1）=1- a14．【答案】0【解析】∵|a-2|+|b+3|=0，∴a-2=0，b+3=0，即a=2，b=-3．∴3a+2b=6-6=0；15．【答案】-5【解析】()221415---=--=-16．【答案】1【解析】解：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，……，∵2019÷4=504，∴32019的个位数字与第4个数的个数数相同，是1．故答案为：1．三、解答题17．【解析】解： (1) 原式1 4929(6)9 =-+⨯+-÷4918(6)949185485 =-++-⨯=-+-=-(2) 原式1111115 11[2(9)]11112 232366⎛⎫=---⨯⨯--=--⨯⨯=--=- ⎪⎝⎭（3）原式＝[(21+19)+10.2]+[(-49.5-3.5)-2]＝50.2-55＝-4.8(4) 原式＝322 33519422519435⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2794319162700 8251943258⎛⎫=-⨯-⨯+=-⨯=⎪⎝⎭18．【解析】解：将ab＝1，c+d＝0，|x|＝3代入所给式子中得： 2×32-1+|1+3|＝21．所以2x2-(ab-c-d)+|ab+3|=2119.【解析】解：根据题意得：2880×0.48+（3000﹣2880）×0.53=1446（元），则2018年小敏家电费为1446元．20．【解析】解：原式11111111111 1343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪⎝⎭1113200812007320086692008⎛⎫=-⎪⎝⎭=⨯=。

北师大版七年级数学上册--第二单元 2.7 有理数的乘法课件

【答案】
(8)
7 9
(
79)
=87 9 Nhomakorabea9 7
=8 .
有理数的乘法例题讲解
【例3】计算：
24
7 12
5 6
1
【解析】此题是有理数的乘法分配律的典型体例，要用因数-24乘括号里的每一个数再把所得积相加.
【答案】
24
7 12
5 6
1
24
7 12
24
5 6
24
1
14 20 24
30
有理数的乘法习题精选
7.用简单方法计算
（23 45）（
1111 ）
2345
8.已知：2 1
2
2 1
2
，3
2
3
3 2
3
，34
4
4 3
4
…，
若 a 10 a 10 （a,b都是正整数），则a+b＝？
b
b
有理数的乘法课堂总结
无论是两个还是多个非0的有理数相乘，都应当首先确定积的符号，然后确定积的绝对值.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；几个不是0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数.
有理数的乘法
基础知识
问题1 水库的水位每小时上升3厘米，2小时上升了多少厘
米?
解：3×2=6(厘米)
①
答：上升了6厘米.
问题2 水库的水位平均每小时上升-3厘米，2小时上升多
少厘米?
解：(-3)×2=-6(厘米)
②
答：上升-6厘米(即下降6厘米).
结论：把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来的

七年级数学上册第2章【例题与讲解】有理数的乘方(北师大版)

2.9 有理数的乘方1．有理数乘方的概念 (1)乘方的意义：一般地，n 个相同的因数a 相乘：，记作a n ，即＝a n ，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作a 的n 次方(或a 的n 次幂)．(2)乘方的表示方法(3)学习乘方的意义，需要注意的几个方面： ①注意乘方的双重含义乘方指的是求几个相同因数的积的运算，其结果叫做幂．由此不难发现，乘方具有双重含义：一是乘方表示一种运算；二是乘方表示一种特殊的乘法运算的结果．如25中，25可以看成一种运算，表示有5个2相乘，即25＝2×2×2×2×2，这时，25应读作2的五次方；另一方面，25又可看成5个2相乘的结果，即2×2×2×2×2＝25，这时25却读作2的5次幂；②注意乘方底数的书写格式乘方的书写一定要规范，不然会引起误会．当底数是负数或分数时，一定要记住添上括号，以体现底数是负数或分数的整体性．如(－3)×(－3)×(－3)×(－3)应记作(－3)4，不能记作－34.(－3)4与－34表示的意义和结果完全不同．前者表示4个－3相乘，结果为81；后者为4个3相乘的积的相反数，结果为－81.再如54×54×54×54×54×54应记作⎝ ⎛⎭⎪⎫546，不能记作564；③一个数可以看成这个数本身的一次方，如3就是31，a 就是a 1，只是指数1通常省略不写；④a n 与－a n 的区别：ⅰ.a n 表示n 个a 相乘，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方．ⅱ.－a n 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数．如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作－3的3次方，表示3个－3相乘，(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27.－33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27.所以(－3)3与－33的结果虽然都是－27，但表示的含义并不同．⑤注意乘方运算的转化．计算乘方运算的结果时，应将乘方运算转化为乘法运算来完成．如计算(－5)3时，应将它转化为计算(－5)×(－5)×(－5)的积；再如计算⎝ ⎛⎭⎪⎫124时，应将它转化为计算12×12×12×12的积．【例1】把下列各式写成乘方的形式，并指出底数，指数各是什么？ (1)(－8.3)× (－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)； (2)25×25×25×25； (3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a )．分析：以上三题都是相同因数相乘，可用乘方的形式表示，相同因数为底数，相同因数的个数为指数，指数写在右上角．解：(1)(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)＝(－8.3)5； (2)25×25×25×25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫254；(3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a )＝a 2 011.警误区书写乘方的注意事项当底数是负数或分数时，写成乘方的形式时，底数一定要加上括号，如(1)，(2)两题．2．乘方运算的符号法则(1)有理数乘方的符号法则：①正数的任何次幂是正数；②负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；③0的任何次幂等于0；1的任何次幂等于1.(2)根据乘方的符号法则和乘方运算的转化，关于乘方有如下几个性质：①0的任何正整数次幂都是0；互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数．如0n ＝0(n 是正整数)；(－4)6＝46；(－4)3＝－43.②进行乘方运算时与其他运算一样，先要确定符号，再计算出绝对值，同时还应注意(－a )2n ＝a 2n ，(－a )2n ＋1＝－a 2n ＋1(n 是正整数)，由乘方的法则我们还知道：a 2n ≥0，即任何有理数的偶次幂是非负数．谈重点决定乘方结果的符号的因素有理数乘方结果的符号取决于：一底数的符号，二指数的奇偶．【例2】利用有理数乘方运算的符号法则计算： (1)(－3)2；(2)1.53；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－434；(4)(－1)11；(5)(－1)2；(6)(－1)2n ；(7)(－1)2n －1.分析：根据有理数乘方的符号法则：(2)正数的任何次幂都是正数，(1)(3)(5)(6)是负数的偶次幂，结果为正；(4)(7)是负数的奇次幂，结果为负．解：(1)(－3)2＝3×3＝9； (2)1.53＝1.5×1.5×1.5＝3.375； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－434＝43×43×43×43＝25681； (4)(－1)11＝－1； (5)(－1)2＝1； (6)(－1)2n ＝1； (7)(－1)2n －1＝－1.3．有理数乘方的运算有理数乘方运算的思路：确定幂的符号；确定幂的绝对值．有理数的乘方是一种特殊的乘法运算——因数相同的乘法运算，幂是乘方运算的结果．因此有理数的乘方运算可以转化为乘法来运算，先根据有理数乘方的符号法则确定幂的符号，再根据乘方的意义把乘方转化为乘法，来运算幂的绝对值，最后得出幂的结果．例如计算(－5)3，先确定幂的符号为“－”号，再计算53＝125，即(－5)3＝－125；再如，计算(－2)×32时，先算32＝9，再算(－2)×9＝－18.正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前提，千万不能把底数与指数直接相乘．在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数，以及符号问题，避免出错．【例3－1】计算：(1)－33；(2)(－2)2；(3)(－3×2)3；(4)－(－2)3.分析：运算时，先确定符号，再计算乘方．(1)负号在幂的前面，结果是负数；(2)负数的偶次幂，结果是正数；(3)先计算底数－3×2＝－6，再计算(－6)3；(4)先计算(－2)3，其结果是负数，再加上前面的负号，最后结果是正数．解：(1)－33＝－(3×3×3)＝－27；(2)(－2)2＝4；(3)(－3×2)3＝(－6)3＝－216；(4)－(－2)3＝－(－8)＝8.警误区勿把底数乘指数在进行乘方运算时，一定要避免出现把底数与指数直接相乘的运算错误．如－33＝－(3×3)＝－9，这是由于没有理解乘方的意义导致的．【例3－2】计算(－0.25) 10×412的值．分析：直接求(－0.25)10和412比较麻烦，但仔细观察可以发现(－0.25)10＝0.2510，表示10个0.25相乘，而412表示12个4相乘，这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律，比较容易求出结果．解：(－0.25)10×412＝(0.25)10×412＝[(0.25)10×410]×42＝(0.25×4)10×42＝1×16＝16.4.有理数乘方运算的应用有理数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用，给生活中经常出现的大数的读写带来了极大的方便．现代高科技技术离不开数学技术，数学也是一门神奇的艺术，它那神奇的力量常常让人感到意外和惊奇！比如，一层楼高约3米，一张纸的厚度只有0.1毫米，0.1毫米与3米相比几乎可以忽略不计，如果我们将纸对折、再对折，如此这样对折20次后，其厚度将比30层楼房还要高，这就是有理数乘方的神奇魔力，在现实生活中有着很广泛的应用．数学是一门规律性很强的学科，只要掌握了它的规律，很多问题都可以迎刃而解了，乘方的规律也不例外．同学们要认真思考，仔细观察找到有理数乘方应用的规律．【例4】“兰州拉面”在学校门口开了一个连锁店，今天开张，做拉面的张师傅站在门口进行广告宣传，当众拉起了拉面．他精湛的拉面技术赢得了围观顾客的阵阵喝彩，吃面的人更是络绎不绝．张师傅先是用一根直径约13厘米的粗面条，把两头捏起来拉长，然后再把两头捏起来拉长，不断地这样，张师傅共拉了10次，在他手里出现了一根根直径约0.1毫米的细面条．算一算：张师傅拉10次共拉出了多少根细面条？若拉n次呢？(请把探索的结果填入下表中)8根，所以第n次拉出2n根．解：拉面的根数与拉面的次数n有关系，拉面的根数＝2n.5．与乘方相关的探究题探究题是近几年中考中的亮点，渗透多个知识点，形式多样．解题时，一般遵循从特殊到一般的探究思路，先准确计算几个特例的结果，再通过对这些结果的分析、归纳得到一个较一般的结论，最后再应用这个结论解决问题．由于乘方是一种新运算，它是一种特殊的乘法，特殊在因数相同，是同学们新接触的运算，所以解决问题时要注意，当底数是分数或负数时，写成幂时底数要加括号．与有理数的乘方有关的探究题主要有以下几种：(1)个位数字是几，在中考中经常涉及到，例如3n的个位数字是3,9,7,1,3,9,7,1，…依次循环；(2)拉面的条数、折纸的张数、握手的次数、绳子的长度、细胞分裂的个数等，都利用2n 或⎝ ⎛⎭⎪⎫12n求解．【例5－1】有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1毫米．(1)对折2次后，厚度为多少毫米？ (2)对折20次后，厚度为多少毫米？分析：此题的关键是将纸的层数化为幂的形式，找出对应关系．根据问题容易得到当对折两次后厚度为4×0.1＝22×0.1毫米，对折3次后厚度变为8×0.1＝23×0.1毫米，对折4次是16×0.1＝24×0.1毫米，对折5次是32×0.1＝25×0.1毫米，……，从中探寻规律，解答问题．解：(1)0.1×22＝0.4(毫米)． (2)(220×0.1)毫米．【例5－2】 1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的小棒有多少米长？分析：此题的关键是找出每次截完后，剩下的小棒占整根棒的比例与所截次数之间的关系．解：第7次后剩下的小棒有⎝ ⎛⎭⎪⎫127×1＝1128(米)．。

有理数的加减混合运算【北师大版】七年级数学(上册)-【完整版】

10. 已知|a|=1，|b|=2，|c|=4，且a>b>c，则a-b+c= -1或-3.
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11.d是最大的负整数，e是最小的正整数，f的相反数等
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一级基础巩固练
7. 将式子（-20）+（+3）-（-5）-（+7）省略括号后变
形正确的是（ C ）
A. 20-3+5-7
B. -20+3-5-7
C. -20+3+5-7
D. -20-3+5-7
8. 计算：（1）（-7）-（+5）+（-4）-（-10）；（2）
解：（1）原式=-7-5-4+10=-6. （2）原式=
（1）这时升降机在初始位置的上方还是下方？相距多少米？解：（1）（+6）+（+4）+（-5）+（-7）=-2（m）. 即这时升降机在初始位置的下方，相距2 m.
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（1）解：（1）原式=（-1-2+7-4）+
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北师大版七年级(上)数学第二章有理数及其运算教案：有理数的乘除法和乘方讲义(含答案)

有理数的乘除法和乘方讲义1.掌握有理数乘除法运算法则和计算题；2.掌握有理数乘方运算法则和计算题.1．乘法运算法则：（1）两数相乘，同号为_____，异号为_____，并把绝对值相乘。

（2）任何数字同0相乘，都得0。

（3）几个不等于0的数字相乘，积的符号由负因数的个数决定。

当负因数有______个数时，积为负；当负因数有______个数时，积为正。

（4）几个数相乘，有一个因数为0时，积为0.2.除法运算法则：（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

（注意：____没有倒数）（2）两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除。

（3）0除以任何一个不等于0的数，都等于0。

（4）0在任何条件下都不能做______。

3.乘方求n 个相同因数乘积的运算叫做乘方。

参考答案：1.（1）正，负(3)奇数,偶数2.(1)0 (4)除数1.有理数乘法【例1】113223⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】把带分数化成假分数，再根据乘法法则，同号两数相乘结果为正即可求出结果。

【答案】原式=（-27）×（-37）【例2】38(4)24⎛⎫⨯-⨯-- ⎪⎝⎭【解析】根据有理数乘法法则和运算顺序即可算出结果。

【答案】原式=24-2=22练习1．384⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ 【答案】-6练习2．12(6)3⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭【答案】14练习3．38(4)(2)4-⨯-⨯- 【答案】2练习4. 38(4)(2)4⎛⎫⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭. 【答案】-482.有理数的除法（除法没有分配律）【例3】（1）601)315141(÷+-；（2）)315141(601+-÷. 【解析】第（2）题属于易错题，因为除法没有分配律，只有乘法才有分配律，而一些学生往往因不看清题目而错误地运用运算规律。

【答案】解：（1）解法一：2360602360)602060126015(601)315141(=⨯=⨯+-=÷+-解法二：601)315141(÷+-2360316051604160)315141(=⨯+⨯-⨯=⨯+-= （显然，解法二中运用了乘法分配律后计算方法很简单。

七年级数学上册2.4有理数的加法课件北师大版

+1
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轻松解释(5)
(-2) +(-3)＝演示
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-1
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议一议
两个有理数相加，和的符号怎样确定？和的绝对值如何确定？
( - 4 ) + ( - 8 ) = - ( 4 + 8 )= - 12
↓
↓↓
同号两数相加取相同符号
两个加数的绝对值相加
( - 9 ) + (+ 2) = - ( 9 - 2) = -7
绝对值
同号
相同符号
相加
异号(绝对值取绝对值较大不相等) 的加数的符号
相减
异号(互为相反数)
结果是0
与0相加
仍是这个数
有理数加法的运算律
学习目标
1.能概括出有理数的加法交换律和结合律. 2.灵活熟练地运用加法交换律、结合律简化运算
(重点、难点）
导入新课
情境引入
学习了有理数的加法运算法则后，爱探索的小明发现，(－3)＋(－6)与(－6)＋(－3)相等，8＋(－3) 与(－3)＋8也相等，于是他想：是不是任意的两个加数，交换它们的位置后，和仍然相等呢？同学们你们认为呢？
=（16+24）+[(-25)+(-32)] (加法结合律)
=40+(-57 )
(同号相加法则)
=-17.
(异号相加法则)
（2）31 +（-28）+ 28 + 69 =31 + 69 + [（-28）+ 28 ] （加法交换律和结合律） =100+0 =100.
小组讨论：你是抓住数的什么特点使计算简化的？依据是什么？

2.3++有理数的乘除运算+++课件+++-2024-2025学年北师大版七年级数学上册+

有理数的乘除法运法算则
--有理数的乘法法则
情境分析
-3 -2 -1 0
情ห้องสมุดไป่ตู้分析
01 23
如果它以每分钟2厘米的速度爬行三分钟，它最后在哪个位置呢？
探索规律
①如果蜗牛一直以每分2c m 的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置？
（+2）×（+3） =+6
2
6
探索规律
②如果蜗牛一直以每分2c m 的速度向左爬行，3分钟后它在什么位置？
-120 +120 -120 +120
几个不是零的数相乘，负因数的个数为偶数，积为正数，负因数的个数为奇数时，积为负数。
共同解决
（-3）× —65 ×（-—59）×（- —41 ）=
共同解决
（-3）× —65 ×（-—59）×（- —41 ）= -—89
共同解决
气象观测统计资料表明，在一般情况下，高度每上升1km,气温下降6℃.已知甲地现在地面气温为21℃，求甲地上空9km处的气温大约是多少？
• 多个不同符号的数字相乘时，积的符号由负因数的个数决定。
的速度向右爬行，3分钟后或3分钟前它
0×（+3） =0
0×（-3） =0
总
① （+2）×（+3）=+6 ② （-2）×（-3）=+6 ③ （-2）×（+3）=-6 ④ （+2）×（-3）=-6
结规律
同号相乘积为正数异号相乘积为负数
把绝对值相乘
⑤ 0×（+3）=0 或 0×（-3）=0
任何数同相乘，都得
共同解决
气象观测统计资料表明，在一般情况下，高度每上升1km,气温下降6℃.已知甲地现在地面气温为21℃，求甲地上空9km处的气温大约是多少？

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1 有理数
1．正数和负数的意义
(1)正数：像6,3.7，23
， 10%，…这样大于0的数叫做正数． ①为了突出数的符号，可以在正数的前面加“＋”号，如6,3.7，23
，10%可以写成＋6，＋3.7，＋23
，＋10%. ②正数前面的“＋”号可以省略．如＋7可以省略“＋”号写成7.
(2)负数：像－3，－5.6，－50，－12
，－15%，…在正数前面加上“－”号的数叫做负数．辨误区正数和负数的理解
①对于正数和负数的意义，不能简单地理解为带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数．
②负数是在正数前面加上一个“－”号，如－5，－ (＋7)等都是负数，负数中的“－”号不能省略，如－5省略“－”号就是5，变成正数了．
(3)0：0既不是正数也不是负数．
0是正数和负数的分界点，如温度计上的0 ℃，也是一个特定的温度，0 ℃以下为负数，0 ℃以上为正数．
【例1】下列各数中，哪些数是正数？哪些数是负数？
＋12,0.15，－52
，－2.05,0，－7,3.14. 分析：用正数、负数的定义进行区分．
解：正数有：＋12,0.15,3.14；
负数有：－52
，－2.05，－7. 2．有理数
(1)定义：整数与分数统称为有理数．
(2)有理数的判断方法：
①正整数、0、负整数都是有理数．
②正分数和负分数都是有理数．
(3)拓展发散：
引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数也由自然数范围扩大到有理数范围．偶数不仅有正偶数和0，还有负偶数；奇数也包括正奇数和负奇数．
【例2】下列说法正确的有( )．
①－5是有理数
②73
是有理数 ③0.3不是有理数 ④－2是偶数
A ．①②③
B ．①②③④
C ．②③④
D ．①②④
解析：负整数是有理数，正分数是有理数，有限小数可化为分数，因此是有理数；偶数包括正偶数、0和负偶数．
答案：D
3．有理数的分类方法
(1)按定义分(两分)：
(2)按性质分(三分)：
“不重复”的意思是说，每一个数只能属于其中的一类，不能出现某一个数属于多类的情况．如，将有理数分为非负数、非正数两类就是错误的．因为0这个数被重复分类了，把0既分在了非负数中，又分在了非正数中．
“不遗漏”的意思是说，分类时，不能遗漏某些数．如，将有理数分为正有理数与负有理数两类，显然遗漏了0.
【例3】把下面各有理数填在相应的大括号里：
12，－3，＋1，13，－1. 5,0,0.2,314，－435
. 正数集合：{ …}；
负数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
正分数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}．
分析：根据正数、负数；整数、分数；正分数、负分数的定义可完成本题．
解：正数集合：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫12，＋1，13，0.2，314，…. 负数集合：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－3，－1.5，－435，…. 整数集合：{12，－3，＋1,0，…}．
分数集合：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫13，－1.5，0.2，314，－435，…. 正分数集合：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫13，0.2，314，…. 负分数集合：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1.5，－435，…. 点评：解答有理数的分类问题，要明确分类的标准，在将有理数填入相应的集合中时，注意不要发生遗漏和错填现象．
4．具有相反意义的量及应用
(1)具有相反意义的量：
①向东向西、买进卖出、零上零下、收入和支出、运进和运出……，都具有相反的意义．如“向东5米”和“向西3米”就是一对具有相反意义的量．
②特征：a .意义相反；b .成对出现．
(2)表示方法：
用正数和负数表示具有相反意义的量．
当规定其中一个量用正数表示时，那么另一个就用负数表示.0是正负数的界限，是表示“基准”的数．
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【例4－1】阅读下面的材料，从中找出一对具有相反意义的量，并用正数和负数表示它们．非洲“撒哈拉”是世界上著名的大沙漠，昼夜温差非常大，一个科学考察队测得某一天中午
12时的气温是零上53 ℃，下午2时的气温是零上58 ℃，晚上10时的气温是零下34 ℃. 分析：“零上温度”与“零下温度”是具有相反意义的量，规定其中的一个量为正，则另一个量为负．
解：具有相反意义的量是“零上温度”和“零下温度”．把零上记为正，则零上53 ℃和零上58 ℃分别记作＋53 ℃和＋58 ℃，零下34 ℃记作－34 ℃.
【例4－2】一种零件的尺寸在图纸上标注是10±0.05(单位：毫米)，表示这种零件的标准尺寸是多少毫米？加工时，符合要求的零件最大不能超过多少毫米？最小不能少于多少毫米？
分析：由标注“10±0.05”可知，10是指标准尺寸的大小，＋0.05说明在10毫米的基础上，最多只能多出0.05毫米，－0.05说明在10毫米的基础上，最多只能比标准尺寸少0.05毫米．
解：这种零件的标准尺寸是10毫米；符合要求的零件最大不能超过10.05毫米，最小不能少于9.95毫米．。