北师大版-数学-七年级上册-【例题与讲解】有理数

1 有理数

1．正数和负数的意义

(1)正数：像6,3.7，23

， 10%，…这样大于0的数叫做正数． ①为了突出数的符号，可以在正数的前面加“＋”号，如6,3.7，23

，10%可以写成＋6，＋3.7，＋23

，＋10%. ②正数前面的“＋”号可以省略．如＋7可以省略“＋”号写成7.

(2)负数：像－3，－5.6，－50，－12

，－15%，…在正数前面加上“－”号的数叫做负数． 辨误区 正数和负数的理解

①对于正数和负数的意义，不能简单地理解为带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数．

②负数是在正数前面加上一个“－”号，如－5，－ (＋7)等都是负数，负数中的“－”号不能省略，如－5省略“－”号就是5，变成正数了．

(3)0：0既不是正数也不是负数．

0是正数和负数的分界点，如温度计上的0 ℃，也是一个特定的温度，0 ℃以下为负数，0 ℃以上为正数．

【例1】 下列各数中，哪些数是正数？哪些数是负数？

＋12,0.15，－52

，－2.05,0，－7,3.14. 分析：用正数、负数的定义进行区分．

解：正数有：＋12,0.15,3.14；

负数有：－52

，－2.05，－7. 2．有理数

(1)定义：整数与分数统称为有理数．

(2)有理数的判断方法：

①正整数、0、负整数都是有理数．

②正分数和负分数都是有理数．

(3)拓展发散：

引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数也由自然数范围扩大到有理数范围．偶数不仅有正偶数和0，还有负偶数；奇数也包括正奇数和负奇数．

【例2】 下列说法正确的有( )．

①－5是有理数

②73

是有理数 ③0.3不是有理数 ④－2是偶数

A ．①②③

B ．①②③④

C ．②③④

D ．①②④

解析：负整数是有理数，正分数是有理数，有限小数可化为分数，因此是有理数；偶数包括正偶数、0和负偶数．

答案：D

3．有理数的分类方法

(1)按定义分(两分)：

(2)按性质分(三分)：

“不重复”的意思是说，每一个数只能属于其中的一类，不能出现某一个数属于多类的情况．如，将有理数分为非负数、非正数两类就是错误的．因为0这个数被重复分类了，把0既分在了非负数中，又分在了非正数中．

“不遗漏”的意思是说，分类时，不能遗漏某些数．如，将有理数分为正有理数与负有理数两类，显然遗漏了0.

【例3】 把下面各有理数填在相应的大括号里：

12，－3，＋1，13，－1. 5,0,0.2,314，－435

. 正数集合：{ …}；

负数集合：{ …}；

整数集合：{ …}；

分数集合：{ …}；

正分数集合：{ …}；

负分数集合：{ …}．

分析：根据正数、负数；整数、分数；正分数、负分数的定义可完成本题．

解：正数集合：⎩⎨⎧⎭

⎬⎫12，＋1，13，0.2，314，…. 负数集合：⎩⎨⎧⎭

⎬⎫－3，－1.5，－435，…. 整数集合：{12，－3，＋1,0，…}．

分数集合：⎩⎨⎧⎭

⎬⎫13，－1.5，0.2，314，－435，…. 正分数集合：⎩⎨⎧⎭

⎬⎫13，0.2，314，…. 负分数集合：⎩⎨⎧⎭

⎬⎫－1.5，－435，…. 点评：解答有理数的分类问题，要明确分类的标准，在将有理数填入相应的集合中时，注意不要发生遗漏和错填现象．

4．具有相反意义的量及应用

(1)具有相反意义的量：

①向东向西、买进卖出、零上零下、收入和支出、运进和运出……，都具有相反的意义．如“向东5米”和“向西3米”就是一对具有相反意义的量．

②特征：a .意义相反；b .成对出现．

(2)表示方法：

用正数和负数表示具有相反意义的量．

当规定其中一个量用正数表示时，那么另一个就用负数表示.0是正负数的界限，是表示“基准”的数．

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【例4－1】 阅读下面的材料，从中找出一对具有相反意义的量，并用正数和负数表示它们． 非洲“撒哈拉”是世界上著名的大沙漠，昼夜温差非常大，一个科学考察队测得某一天中午

12时的气温是零上53 ℃，下午2时的气温是零上58 ℃，晚上10时的气温是零下34 ℃. 分析：“零上温度”与“零下温度”是具有相反意义的量，规定其中的一个量为正，则另一个量为负．

解：具有相反意义的量是“零上温度”和“零下温度”．把零上记为正，则零上53 ℃和零上58 ℃分别记作＋53 ℃和＋58 ℃，零下34 ℃记作－34 ℃.

【例4－2】一种零件的尺寸在图纸上标注是10±0.05(单位：毫米)，表示这种零件的标准尺寸是多少毫米？加工时，符合要求的零件最大不能超过多少毫米？最小不能少于多少毫米？

分析：由标注“10±0.05”可知，10是指标准尺寸的大小，＋0.05说明在10毫米的基础上，最多只能多出0.05毫米，－0.05说明在10毫米的基础上，最多只能比标准尺寸少0.05毫米．

解：这种零件的标准尺寸是10毫米；符合要求的零件最大不能超过10.05毫米，最小不能少于9.95毫米．