第28讲.数列求和.2020哈师大一轮复习(理)
2020年新课标版高考理数一轮复习：6.4数列求和、数列的综合应用
6.4 数列求和、数列的综合应用挖命题【考情探究】.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.分值约为12分，难度中等.考热点特别是错位相减法和裂项相消法求和破考点【考点集训】考点一数列求和1. (2017湖南郴州第一次教学质量监测,6)在等差数列｛a n｝中,a4=5,a7=11.设0=(-1) n a n,则数列｛b n｝的前100项之和S100=( )分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.A.-200B.-100C.200D.100答案D2. (2018 湖北东南省级示范高中联考，15)已知S为｛a n｝的前n项和，若a n(4+cosn n )=n(2-cos n n ),贝U S?8等于__________ .答案 2 3323. (2018 江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,13)若｛a n｝,｛b n｝满足2a nb n=1,a n=n +3n+2,则｛b n｝的前2 018 项和为________ .答案——考点二数列的综合应用1. (2018福建漳州期末调研测试，5)等差数列｛a n｝和等比数列｛b n｝的首项均为1,公差与公比均为3,则+ + =( )A.64B.32C.38D.33答案D2. (2017 陕西西安铁一中第五次模拟，9)已知数列｛a n｝满足a n=log(n+1)(n+2)(n € N*),我们把使乘积a1 a2 a s • - - a n为整数的数n叫做优数”则在区间(1,2 004)内的所有优数"的和为( )A.1 024B.2 003C.2 026D.2 048答案C3. 已知a n=3n(n € N*),记数列｛a n｝的前n项和为T n,若对任意的n € N*, - k绍n-6恒成立，则实数k的取值范围是__________ .答案k A炼技法【方法集训】方法1 错位相减法求和1. (2018 福建闽侯第八中学期末,16)已知数列｛na n｝的前n项和为S-na田+50<0的最小正整数n的值为 __________ .答案52. (2018河南安阳第二次模拟，17)设等差数列｛a n｝的前n项和为f(x)=x 2+B X+C-1(B,C€ R)的图象上,且a1=C.(1) 求数列｛a n｝的通项公式；⑵记b n=a n( . +1),求数列｛b n｝的前n项和T n.解析(1)设数列｛a n｝的公差为d,贝H S=na1+_ d=_n2+ __ n,又S=n2+Bn+C-1,两式对照得一解得所以a1=1,所以数列｛a n｝的通项公式为a n=2n-1(n € N ).(2) 由(1)知b n=(2n-1)(2 2n-1-1+1)=(2n-1)2 n,则T n=1X 2+3X2 2+・・+(2n-1) 2n,2T n=1 X 2 2+3X 2 3+- +(2 n-3) 2n+(2 n-1) 2n+1,两式相减得T n=(2n-1) 2n+1-2(2 2+・・+2n)-2=(2n-1) 2n+1-2X —-——2 S,且a n=2n,则使得S n,点（n,S n）在函数n+1=(2 n-3) 2 +6.方法2 裂项相消法求和1. （2018湖南株洲醴陵第二中学、第四中学联考，3）数列—_的前2017项的和为（）A. +1B. -1C. +1D. -1答案 B2. （2018湖南邵阳期末,15）设数列｛（n 2+n）a n｝是等比数列，且a1=,a2=—,则数列｛3 n a n｝的前15项和为________ .答案一3. （2017广东潮州二模,16）已知S为数列｛a n｝的前n项和,a n=2 3n-1（n € N*）,若b n=——,则b1+b2+・• +b n= _____ .答案--——过专题【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一数列求和1. （2017课标n ,15,5分）等差数列｛a n｝的前n项和为S,a 3=3,S4=10,则一= ________ .答案一2. （2015 课标I ,17,12 分）S n为数列｛a n｝的前n 项和.已知a n>0, +2a n=4S+3. （1）求｛a n｝的通项公式；⑵设b n= ------- ,求数列｛b n｝的前n项和•解析（1）由 +2a n =4S n +3,可知 +2a n+1=4S n+l +3. 可彳得 -+2（a n+仁an）=4a n+i ,即2（a n+i +a n ）=-=（a n+i +a n ）（an+仁a n ）.由 ^于a n >0, ^所 以a n+i -a n =2.又由 +2a i =4a 计3,解得a i =-i （舍去）或a i =3.所以｛a n ｝是首项为3,公差为2的等差 数列，通项公式为a n =2n+i.（6分）思路分析 ⑴ 由 +2a n =4S n +3,得 +2a n+i =4S n+i +3,两式相减得出递推关系，再求出a i ,利用等差数列的通项公式可得通项.（2）利用裂项相消法求T n考点二数列的综合应用1. （20i7课标I ,i2,5 分）几位大学生响应国家的创业号召 ，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了 解数学题获取软件激活码 ”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列i,i,2,i,2,4,i,2,4,8,i,2,4,8,i6, …,其中第一项是 2°,接下来的两项是 2°,2 i ,再接下来的三项是2°,2i ,2 2,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>i°°且该数列的前N 项和为2的整数幕.那么该款软件的激活码是 （ ）A.440B.330C.220D.110答案 A2. （2016课标n ,17,12 分）S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，且a i =1,S y =28.记b n =[lg a n ],其中[x] 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[lg 99]=1.（1）求 b i ,b ii ,b i°i ；⑵求数列｛b n ｝的前1 000项和.解析 （1）设｛a n ｝的公差为d,据已知有7+21d=28,（2）由 a n =2n+i 可知 b n = ---- = --------------= --------------- .设数列｛b n ｝的前n 项和为T n ,则T n = b i +b 2+"+b n =-+••+.（i2 分）解得d=1.所以｛a n｝的通项公式为a n=n.b i=[lg 1]=0,b ii=[lg 11]=1,b i°i=[lg 101]=2.（6 分）所以数列｛b n｝的前 1 000 项和为1X 90+2X 900+3X 1=1 893.(12 分)思路分析(1)先求公差，从而得通项a n,再根据已知条件求b1,bn,b 101.(2)分析出｛b n｝中项的规律,进而求出数列｛b n｝的前1 000项和•B组自主命题省(区、市)卷题组考点一数列求和1. (2018天津,18,13分)设｛a n｝是等比数列，公比大于0,其前n项和为S(n € N*),｛b n｝是等差数列.已知a1=1,a 3=a2+2,a 4=b3+b5,a 5=b4+2b6.(1)求｛a n｝和｛b n｝的通项公式；⑵设数列｛S n｝的前n项和为T n(n € N*).(1) 求T n；(ii)证明------------- = ---- 2(n € N ).2解析(1)设等比数列｛a n｝的公比为q.由a1=1,a3=a2+2,可得q -q-2=0.因为q>0,可得q=2,故a n=2n-1.设等差数列｛b n｝的公差为d.由a4=b3+b5,可得b1+3d=4.由a5=tk+2b6,可得3b1+13d=16, 从而b1=1,d=1,故b n=n.所以，数列｛a n｝的通项公式为a n=2n-1,数列｛b n｝的通项公式为b n= n.(2) (i)由(1),有S=——=2n-1,故T n= - - = ----- -- - -n=2 n+1-n-2.(ii)证明：因为 --------- =—二-------(2)因为b n== ---------- =—-—,所以, ------- =—-—+ —+••+ —------------------- =—-2.2. (2016山东,18,12分)已知数列｛a n｝的前n项和S=3n2+8n,｛b n｝是等差数列，且a n=b n+b n+i.(1)求数列｛b n｝的通项公式⑵令C n= ---------- ,求数列｛C n｝的前n项和T n.解析⑴由题意知，当n呈时,a n=9-S n-1=6n+5.当n=1时,a 1=S1=11,所以a n=6n+5.设数列｛b n｝的公差为d.由即可解得b1=4,d=3.所以b n=3n+1.(2) 由(1) 知C n= ---------- =3(n+1) 2n+1. 又T n=C1+C2+・・+C n, 得T n=3X [2 X 2 2+3X 2 3+・・+(n+1) X2 n+1],2T n=3X [2 X2 3+3X2 "+••+(n+1) X2 n+j,两式作差,得-T n=3X [2 X 2 2+23+24+・・+2n+1-(n+1) X2n+j=3 X —- =-3n 2n+2. 所以n+2T n=3n 2 .考点二数列的综合应用1.(2015 福建,8,5 分)若a,b是函数f(x)=x -px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点，且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于() A.6 B.7 C.8 D.9答案D2.(2018 浙江,20,15 分)已知等比数列｛a n｝的公比q>1,且a s+a4+a5=28,a 4+2是a s,a5的等差中2项.数列｛b n｝满足b1=1,数列｛(b n+1-b n)a n｝的前n项和为2n +n.(1)求q的值；⑵求数列｛b n｝的通项公式.解析(1)由a4+2是a3,a 5的等差中项得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20 得8 - =20,解得q=2 或因为q>1,所以q=2.(2)设C n=(b n+1-b n)a n,数列｛C n｝的前n 项和为S.解得C n=4n-1.由C n =由(1)可知a n=2 ,所以b n+i-b n=(4n-1) •,故b n-b n-i =(4n-5) •- ,n 疑,b n-b 1 =(b n-b n-1 )+(b n-1 -b n-2)+ - +(b 3-b 2) + (b 2-b 1)=(4 n-5) •- +(4 n-9) •- +・・+7"3.设T n=3+7」+11 •- +・・+(4n-5) •- ,n 支，- T n=3 •- +7 •■+・・+(4n-9) •- +(4n-5) •- , 所以_耳=3+4丄+4 •- +・・+4 •- -(4n-5) •- ,因此T n=14-(4n+3) •- ,n 丝，又b1=1,所以b n=15-(4n+3) •- .C组教师专用题组考点一数列求和1. (2017天津,18,13分)已知｛a n｝为等差数列，前n项和为S n(n € N*),｛b n｝是首项为2的等比数列，且公比大于0,b 2+b3=12,b 3=a4-2a 1,Sn=11b4.(1)求｛a n｝和｛b n｝的通项公式；⑵求数列｛a 2n b2n-1｝的前n项和(n € N ).解析(1)设等差数列｛a n｝的公差为d,等比数列｛b n｝的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而6=2,所以q2+q-6=0,解得q=2 或q=-3,又因为q>0,所以q=2.所以,b n=2n.由b3=a4-2a 1,可得3d-a1=8①.由Su=11b4,可得a1+5d=16②,联立①②，解得a1=1,d=3,由此可得a n=3n-2.所以，数列｛a n｝的通项公式为a n=3n-2,数列｛b n｝的通项公式为b n=2n.⑵设数列｛a2n b2n-1｝的前n 项和为T n,由a2n=6n-2,b 2n-1 =2x4 n-1,有a2n b2n-1=(3n- 1) X4n,故T n=2x 4+5x4 2+8X4 3+-+(3n- 1) X4n,4T n=2X4 2+5X4 3+8X4 4+・・+(3n- 4) X4 n+(3n- 1) X4n+1,上述两式相减，得-3T n=2X 4+3X4 2+3X4 3+-+3X4n-(3n- 1) X4 n+1=——-—4-(3n- 1) X4 n+1=-(3n- 2) X4 n+1-8.得 T n=—X4n+1 + _.所以，数列｛a2n b2n-1｝的前n项和为——X4 n+1+-.方法总结（1）等差数列与等比数列中有五个量a1,n,d（或q）,a n,S n, —般可以知三求二”通过列方程（组）求关键量a1和d（或q）,问题可迎刃而解.⑵数列｛a n｝是公差为d的等差数列，｛b n｝是公比q为的等比数列，求数列｛a n b n｝的前n项和适用错位相减法.2. （2015湖北,18,12分）设等差数列｛a n｝的公差为d,前n项和为S,等比数列｛b n｝的公比为q. 已知b1=a1,b 2=2,q=d,S 10=100.（1）求数列｛a n｝,｛b n｝的通项公式；⑵当d>1时，记C n=-,求数列｛c n｝的前n项和T n.解析（1）由题意有解得或 _故_或n 1(2)由d>1,知a n=2n-1,b n=2 -,故C n=于是耳=1+-+—+—+—+・・+—，①①-②可得-齐=2+-+—+•• +=3 ----- ,故T n=6--T n=-+—+—+ — +—+••+― .②3. (2015 天津，18,13 分)已知数列｛a n｝满足a n+2=qa n(q 为实数，且q 书,n € N*,a i=1,a2=2,且a2+a3 ,a 3+a4,a 4+a5 成等差数列.(1)求q的值和｛a n｝的通项公式；⑵设b n= -------- ,n € N*,求数列｛b n｝的前n项和.解析(1) 由已知,有(a 3+a4)-(a 2+a3)=(a 4+a5)-(a 3+a4),即a4-a 2=a5-a3,所以a2(q-1)=a 3(q-1). 又因为q 为，故a3=a2=2,由a3=a1 q,得q=2.当n=2k-1(k € N )时,a n=a2k-1 =21 =—;当n=2k(k € N )时,a n=a2k=2k=".所以,｛a n｝的通项公式为a n= 为奇数"为偶数(2) 由(1) 得b n=——=—.设｛b n｝的前n 项和为S n, 则s=1x —+2X —+3X _+••+(n- 1) X—+n x —，$=1X _+2x _+3x _ +••+(n- 1) x —+ n x _,上述两式相减,得-S n=1+-+—+ ••+-------- =-------- =2 ------- ,整理得,S n=4 ------ .所以，数列｛b n｝的前n项和为4-一,n € N*.4. (2014 江西,17,12 分)已知首项都是1的两个数列｛a n｝,｛b n｝(b n电n € N*)满足a n b n+仁an+1b n+2b n+1b n=0.(1)令C n=—,求数列｛C n｝的通项公式；⑵若b n=3n-1,求数列｛a n｝的前n项和S n.*解析(1)因为a n b n+1-a n+l b n+2b n+1b n = 0,b n^0(n € N ),所以——-—=2,即C n+1-c n=2.所以数列｛c n｝是以1为首项,2为公差的等差数列，故6=2n-1.(2)由(1)及b n=3”1知a n=c n b n=(2n-1)3 n1,于是数列｛a n｝的前n 项和S=1 30+3 31+5 32+・・+(2 n-1) 3n-1,3S n =1 31+3 32+・・+(2 n-3) 3 n-1+(2 n-1) 3 n , 相 减 得-2S n =1+2 (31+32+-+3n-1 )-(2n-1) 3n =-2-(2n-2)3 n ,所以 S=(n-1)3 n +1. 5. (2014山东,19,12分)已知等差数列｛a n ｝的公差为2,前n 项和为S,且S,S 2,S 4成等比数列.(1)求数列｛a n ｝的通项公式；n 1⑵令b n =(-1) ------------ ,求数列｛b n ｝的前n 项和T n .解析 (1)因为 S 1=a 1,S 2=2a 1— x 2=2a i +2,S=4a 1+—x 2=4a 计12,所以由题意得(2a 1+2) 2=a 1(4a 1+12), 解得 a 1=1,所以 a n =2n-1.n-1n-1(2)b n =(-1)——=(-1) -------------当n 为偶数时，T n = 一 - 一 一 + • • +=1-当n 为奇数时,为奇数一- 所以T n = 或 ------------为偶数 考点二数列的综合应用1.（2018 江苏,14,5 分）已知集合 A={x|x=2n-1,n€ N *},B={x|x=2 n ,n € N *}.将 A U B 的所有元 素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S 为数列{a n }的前n 项和，则使得S>12a n+1成立的n 的最小值为 ________ .=(-1) n-1 ■+—=1 +答案272. (2018江苏,20,16分)设｛a n｝是首项为a i,公差为d的等差数列，｛b n｝是首项为b i,公比为q 的等比数列.(1) 设a i=0,b i=1,q=2,若|a n-b n|住i对n=1,2,3,4 均成立,求d的取值范围;(2) 若a i=b i>0,m € N ,q € (i, _],证明:存在d € R,使得|a n-b n| 的对n=2,3,…,m+i 均成立,并求d的取值范围(用b i,m,q表示).n i解析(i)由条件知a n=(n-i)d,b n=2 -.因为|a n-b n| 4)i 对n=i,2,3,4 均成立,即i<l,i 詣W,3 <2d^5,7 Wd电，得-它务因此,d的取值范围为- -.n i(2)由条件知:a n=b i+(n-i)d,b n=b i q -.若存在d € R,使得|a n-b n|住i(n=2,3，…,m+i)均成立,即|b i+(n-i)d-b i q n-i | <b i(n=2,3,…,m+i).即当n=2,3,…,m+i时,d满足—b i«冬一b i.因为q€ (i, _],所以i<q n-i吋电，从而--- b i切，一b i >0,对n=2,3,…,m+i均成立.因此,取d=0时,|a n-b n|电i对n=2,3,…,m+i均成立.下面讨论数列---- 的最大值和数列—的最小值(n=2,3，…,m+i).①当2窃舸时，——一=-=—「一,当i<qw_时,有q n<q m€,从而n(q n-q n-i )-q n+2>0.因此，当2<n<m+i时，数列单调递增故数列—的最大值为—.②设f(x)=2 x(1-x),当x>0 时，f '(x)=(In 2-1-xln 2)2 x<0.所以f(x)单调递减，从而f(x)<f(0)=1.当 2窃奇时,——=——< _-一 =f - <1.因此，当2窃奇+1时，数列—单调递减，故数列—的最小值为一.因此，d的取值范围为----- - ---- .3. (2015安徽，18,12分)设n € N*，X n是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列｛X n｝的通项公式；⑵记T n= …_,证明：T n A.解析(1)y'=(x 2n+2+1)'=(2n+2)x 2n+1,曲线y=x2n+2+1 在点(1,2)处的切线斜率为2n+2.从而切线方程为y-2=(2 n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标x n=1-—=一.⑵证明：由题设和(1)中的计算结果知T n= …_ = - -…当n=1 时,「=-.当n支时,因为_ = — = -------------- > --------- =—=-.所以T n> - x - x - X …x —^.综上可得对任意的n€ N*,均有T n A.4. (2015陕西,21,12分)设f n(x)是等比数列1,x,x 2,…,x n的各项和，其中x>0,n € N ,n A(1)证明：函数F n(X)=f n(X)-2在一内有且仅有一个零点(记为X n),且X n=+ ；⑵设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n(X),比较f n(X)和g n(X)的大小，并加以证明•解析⑴证明：F n(X)=f n(x)-2=1+x+x 2+-+X-2,则F n(1)=n-1>0,F n - =1+-+ - +— - -2= --------- 2= --- <0,所以F n(x)在- 内至少存在一个零点•n 1又F' n(x)=1+2x+ ・・+nx - >0,故F n(x)在- 内单调递增，所以F n(x)在- 内有且仅有一个零点X n.因为X n是F n(x)的零点,所以F n(X n)=0,即---------- 2=0,故X n二+-⑵由题设知,g n(x) =设h(x)=f n(x)-g n(x)=1+x+x 2+—+x n-当X=1 时,f n(x)=g n(x).n 1 -当x力时,h'(x)=1+2x+ ・・+nx- ------n-1 n-1 n-1 n-1右0<x<1,贝U h'(x)>x +2x +—+ nx----------- xn-1 n-1 n-1 n-1右x>1,贝y h'(x)<x +2x +••+ nx------------ x所以h(x)在(0,1)上递增，在(1,+ a)上递减，所以h(x)<h(1)=0,即f n(x)<g n(x).综上所述,当X=1 时,fn(x)=g n(x)；当X 詢时，f n(X)<g n(x).,x>0.n-1X - n-1X=0.n-1 n-1x =0.5. (2015 重庆,22,12 分)在数列｛a n｝中,a 1=3,a n+1a n+ 入a n+什卩=0(n € N+).(1)若入=0,卩=-2,求数列｛a n｝的通项公式；⑵若入=_(k o€ N+,k o支)，卩=-1,证明：2+——< <2+——.解析⑴由入=0,卩=-2，得a n+i a n=2 (n € N +).若存在某个n o€ N +,使得=0,则由上述递推公式易得_ =0.重复上述过程可得a i=0,此与a i=3矛盾,所以对任意n€ N+,a n和.从而a n+i=2a n(n € N +),即｛a n｝是一个公比q=2的等比数列. 故a n=a i q n-1 =3 2n-1.⑵证明：若入=_,卩=-i,则数列｛a n｝的递推关系式变为a n+i a n+—a n+i・=0,变形为a n+i — = (n € N +).由上式及a i=3>0,归纳可得3=a i>a2>・・>a n>a n+i>・・> 0.因^为a n+i= = =a n- I •,所以对n=i,2,…,k o求和得=a i+(a2-a i)+••+(- )=a i -k 0 • +—---- ----- …-------->2+—•--- ----- .…------- =2 --------- .个另一方面，由上已证的不等式知a i>a2>…〉> >2,得=a i-k 0 • +—•-------- --------- ----- -----------<2 • ---------- -------- … ------------- =2+ ------- .个综上,2+。
2020版高考数学一轮复习第五篇数列(必修5)第4节数列求和课件理
2
3 24
n 1 n 1 n n 2
22
1 - 1 )= 3 - 1 ( 1 + 1 ). n1 n2 4 2 n1 n2
反思归纳
(1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一 项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.
(2)将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原
【重要结论】
1.12+22+32+…+n2= 1 n(n+1)(2n+1). 6
2.13+23+33+…+n3=［ 1 n(n+1)］2. 2
对点自测
1.等差数列{an}中,已知公差 d= 1 ,且 a1+a3+…+a99=50,则 a2+a4+…+a100 等于( B )
2 (A)50 (B)75 (C)100 (D)125
【跟踪训练 3】 在数列{an}中,a1= 1 ,an+1= n 1 an,n∈N*.
2
2n
(1)求证:数列{ an }为等比数列; n
(1)证明:由 an+1= n 1 an 知 an1 = 1 · an ,
2n
n1 2 n
所以{ an }是以 1 为首项, 1 为公比的等比数列.
n
①
1 2
Sn=
1 22
+
3 23
+…+
2n 3 2n
+
2n 1 2n 1
②
①-②得 1 2
Sn= 1 2
+2（
1 22
2020届高考数学一轮复习第六章数列6.4数列求和、数列的综合应用教师用书理(PDF,含解析)
１ ４
（ ａ１ ＋１） ２ ，∴
（ ａ１ －１） ２ ＝ ０，∴
ａ１ ＝ １；
当 ｎ≥２ 时，ａｎ ＝ Ｓｎ －Ｓｎ－１ ＝
１ ４
（ａｎ ＋１） ２ －
１ ４
（ ａｎ－１ ＋１） ２ ，
∴
ａ２ｎ
－
ａ２ ｎ－１
－
２ａ
ｎ
－
２ａ
ｎ－
１
＝ ０，∴
（ ａｎ ＋ａｎ－１ ） （ ａｎ －ａｎ－１ －２）＝
０，
∵ ａｎ ＞０，∴ ａｎ ＋ａｎ－１ ＞０，∴ ａｎ －ａｎ－１ ＝ ２（ ｎ≥２） ．
１ Ｓｎ
的前 １００ 项的和为
（ ）
２００ Ａ．
１０１
１００ Ｂ．
１０１
１ Ｃ．
１０１
２ Ｄ．
１０１
答案 Ａ
解析
∵
Ｓ４
＝
４（ａ１ ＋ａ４） ２
＝ １０，∴
ａ１ ＋ａ４
＝
５，
∵ ａ１ ＋ａ４ ＝ ａ２ ＋ａ３ ，ａ３ ＝ ３，∴ ａ２ ＝ ２．
（ １） 求数列｛ ａｎ ｝ 的通项公式；
（２） 设 ｂｎ ＝ ２ｌｏｇ２ ａｎ －１，求数列｛ ａｎ ｂｎ ｝ 的前 ｎ 项和 Ｔｎ ．
解析 （１）设数列｛ａｎ｝的公比为 ｑ，
因为 ａ２ ＝ ４，所以 ａ３ ＝ ４ｑ，ａ４ ＝ ４ｑ２ ．
（２ 分）
因为 ａ３ ＋２ 是 ａ２ 和 ａ４ 的等差中项，
＝
２ｎ－１ ２ｎ－１．
（ ２） 令
Ｔｎ
＝
１ ｂ１
＋
１ ｂ２
＋…＋
１ ｂｎ
，则
Ｔｎ
＝ １＋
３ ２
＋５ ２２
2020年高三数学第一轮复习教案-数列-第四节 数列求和
【典型例题】
【典型例题】
【典型例题】
【典题演练】
【典题演练】
【作 业】
完成课时作业（三十一）
再见
第六章 数列
第四节 数列求和
【知识必备】
知识点一 数列求和的几种常用方法
1．分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数 列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
2．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以互抵 消，从而求得其和．
【知识必备】
【知识必备】
知识点一 数列求和的几种常用方法 5．并项求和法 在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
①求：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289° ②数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n， 则S17＝__________.
知识点一 数列求和的几种常用方法
3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之 积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的 前n项和公式就是用此法推导的． 4．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等 于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等 差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
高三数学一轮复习数列求和的方法总结课件 (共19张PPT)
2 23
3 24
n2n1
n 2n1
由－得
1 2
Sn
1 2
1 22
1 23
1 2n
n 2n1
5
1 2 Sn
1 [1 ( 1 ) n ]
2
2
1 1
n 2 n1
2
得：
Sn
2
2n 2n
6
例、求1， 数 3， 5列 ， 7， ， 2n1 2 4 816 2n
的前 n项.和 解 S n ： 1 2 2 3 2 2 5 3 2 7 4 2 n 2 n 1
1 (1 1 1 1 1 1 )
4 223
n n1
1 (1 1 ) n 4 n 1 4(n 1)
14
五、分组求和法 如果一个数列的通项公式可写成 cn=an+bn的形式，而数列{an},{bn}是 等差数列或等比数列或可转化为能 够求和的数列，可采用分组求和法.
15
例、已知等比数{列 an}的前n项和为Sn, a4 2a3, S2 6. (1)求数列{an}的通项公式. (2)数列{bn}满足:bn an log2 an,求数列 {bn}的前n项和Tn. 解:设数 {an列 }的首项 a1,公 为比q(q为 0) 则 a1q32a1q2
.
.
.
.
.②
①
-②
：1 2
Sn
1 2
2 22
+
2 23
+
2 24
+
+
2 2n
2n 1 2 n1
11+ 1 + 1 + 2 2 22 23
+
1 2 n1
一轮复习-数列求和专题 ppt课件
∴Sn=
1（121
11 +
33
-
1 +……+
5
= 1 （1 - 1 ）= n
2
2n+1
2n+1
1 -
2n-1
1 )
2n+1
评：裂项相消法的关键就是将数列的每
一项拆成二项或多项使数列中的项出现
有规律的抵消项，进而达到求和的目的。
ppt课件
20
变式探究：
求数列
1111 12 + 2 , 22 + 4 , 32 + 6 , 42 + 8
3 anan+1
3
11 1
= (6n - 5)[6(n +1) - 5] = 2 (6n - 5 - 6n +1).
故Tn=b1+b2+…+bn
=
12〔(1 -
11 )+(
77
-
1
1
)+•••+(
13
6n - 5
-
1 )〕
6n + 1
1
1
= (1 -
)
2 6n + 1
因此，使得
1 (1 -
1
m )<
a1 anq 1 q
(q
1)
2
④ 12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1)
6
⑤
13 23 33
n3
n(n 1) 2
2
ppt课件
3
⑥ 2+4+6+…+2n= n2+n
2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题6-4 数列求和
2020-2021学年高考数学一轮复习专题6.4 数列求和【考情分析】1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。
【重点知识梳理】知识点一 求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ） 2 ＝na 1＋n （n －1）2d ．②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝ (－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 知识点二 常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.(2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .【典型题分析】高频考点一 分组转化求和【例1】（2020·天津卷）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯.【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =，()5435a a a =-，可得d =1. 从而{}n a 的通项公式为n a n =. 由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2， 从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++， 从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==， 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111211352321444444nnk kn n k k k n n c -==---==+++++∑∑① 由①得22314111352321444444n k nn k n n c +=--=+++++∑ ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑， 由于11211121221121156544144334444123414nn n n n n n n ++⎛⎫-⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994nk nk n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n nn n +--+⨯. 【方法技巧】分组法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比或等差数列，可采用分组法求和．【变式探究】(2019·天津高考)设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列。
数列求和课件高三数学一轮复习(完整版)
考点一 分组（并项）法求和
【点拨】分组求和法就是对一类既不是（或不明显是）等差数列，也不 是（或不明显是）等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，分为几个 等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，最后将其合并的方法.
考点二 裂项相消法求和
考点三 倒序相加法求和
考点四 错位相减法求和
祝你学业有成
2024年5月3日星期五9时47分29秒
6.4 数列求和
【常用结论】
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的著，程大位著，共17卷，书中有这样一个 问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到 其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离 出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为 _____.