两平面的相关位置讲解

§3 两平面的相关位置

一 两平面的夹角：

定义 两平面的法线向量的夹角称作两平面间的夹角.

下面，我们阐述一下用两平面间法线向量的夹角来定义两平面间夹角的合理性. 如图3-4所示，设想平面1π与平面2π重合在一起的，于是它们的法线向量应平行，即 12//n n .将平面2π的一侧向上提起，与1π之间产生倾角θ，与此同时，2π的法线向量2n 发生转动，与平面1π的法线向量1n 产生的角度θ

.

下面，我们导出计算两平面夹角θ的公式.设平面π1与π2的方程分别是

π1： 11110A x B y C z D +++=， （1）

π2： 22220A x B y C z D +++=， （2）

则π1与π2的法线向量分别为 11112222{,,},{,,}n A

B C n A B C ==， 因两向量间夹角的余弦为

cos θ=

++++⋅++A A B B C C A B C A B C 121212121212222222，

所以两平面的夹角的余弦为 12cos (,)ππ∠

=

. (3.3-1) 由(3.3-1)式，立刻可给出如下结论： 121212120A A B B C C ππ⊥⇔++=， （3.3-2）

二 两平面位置关系的解析条件：

平面π1与π2是相交还是平行或重合，就决定由方程（1）与（2）构成的方程组是有解还是无解或无数个解，从而我们可得下面的定理.

定理 两平面（1）与（2）相交的充要条件是

111222::::A

B C A B C ≠， （3.3-3） 平行的充要条件是

(图3.3)

11112222A B C D A B C D ==≠， （3.3-4）

重合的充要条件是

11112222A B C D A B C D ===. （3.3-5）

例 一平面过两点 1(1,1,1)M 和 2(0,1,1)M - 且垂直于平面

x y z ++=0，求它的方程.

解 设所求平面的法线向量为 {,,}n A B C =，

显然， 12{01,11,11}{1,0,2}M M =----=--在所求平面上， 故 12M M n ⊥， 120M M n ⋅=， 即

20A C --= .

又 n 垂直于平面x y z ++=0的法线向量'= n {,,}111，

故有 0A B C ++=

解方程组 20,0,A C A B C --=⎧⎨++=⎩

得 2,,A C B C =-⎧⎨=⎩

据点法式方程有

2(1)(1)(1)0C x C y C z --+-+-=，

约去非零因子 (0)C ≠ 得

2(1)(1)(1)0x y z --+-+-=，

故所求方程为

02=--z y x