函数的概念知识体系
函数的基本概念与性质知识点总结
函数的基本概念与性质知识点总结函数是数学中的一种重要概念，广泛应用于各个领域。
了解函数的基本概念和性质对于理解和应用数学具有重要意义。
本文将对函数的基本概念和性质进行总结。
一、函数的基本概念函数是一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
在函数中，称第一个集合为定义域，第二个集合为值域。
用符号表示函数为：f：X→Y，其中 f 表示函数名，X 表示定义域，Y 表示值域。
1.1 定义域和值域函数的定义域是指函数输入的变量所能取到的值的集合。
值域是函数输出的变量所能取到的值的集合。
1.2 自变量和因变量在函数中，自变量是函数的输入变量，而因变量则是函数的输出变量。
1.3 函数图像函数的图像是函数在坐标平面上的表示，自变量作为 x 轴的取值，因变量作为y 轴的取值，函数图像表示了自变量和因变量之间的关系。
二、函数的性质函数具有许多重要性质，下面将对其中几个重要的性质进行介绍。
2.1 单调性函数的单调性描述了函数的增减特性。
当自变量增大时，如果函数值也增大，则函数是递增的；当自变量增大时，函数值减小，则函数是递减的。
2.2 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点的对称性。
如果函数满足 f(-x) =f(x)，则函数是偶函数；如果函数满足 f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
2.3 周期性函数的周期性意味着函数在某个特定的区间内具有重复的模式。
如果存在正数 T，使得对于任意 x，有 f(x + T) = f(x)，则函数具有周期性。
2.4 极限函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数趋于的稳定值。
极限有左极限和右极限之分。
2.5 连续性函数的连续性描述了函数图像的连贯性。
如果函数在某个区间内的每个点都存在极限，且极限与函数值相等，则函数是连续的。
三、小结函数是数学中的重要概念，理解函数的基本概念和性质对于学习和应用数学具有重要意义。
本文对函数的基本概念和性质进行了总结，包括函数的定义域和值域、自变量和因变量、函数图像等。
函数的概念知识点总结
函数的概念知识点总结本节主要知识点（1）函数的概念.（2）函数的三要素与函数相等.（3）区间的概念及其表示.知识点一 函数的概念初中学习的函数的传统定义一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对应,我们就说x 是自变量,y 是因变量,此时也称y 是x 的函数. 函数的近代定义设A , B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应,那么就称f :B A →为从集合A 到集合B 的一个函数,记作)(x f y =,A x ∈.其中,x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫作函数值,函数值的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集.对函数的近代定义的理解（1）只有两个非空的数集之间才可能建立函数关系.定义域或值域为空集的函数是不存在的.如x x y --=11就不是函数.（2）注意函数定义中的“三性”:任意性、存在性和唯一性.任意性:集合A 中的任意一个元素x 都要考虑到.存在性:集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都存在对应元素y .唯一性:在集合B 中,与每一个元素x 对应的元素y 是唯一的.（3）集合B 不一定是函数的值域,值域是集合B 的子集.在集合B 中,可以存在元素在集合A 中没有与之对应者.例1. 讨论二次函数的定义域和值域.解:二次函数的一般式为()02≠++=a c bx ax y ,为整式函数,所以其定义域为R ,其值域的确定分为两种情况:①当0>a 时,函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 442; ②当0<a 时,函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 442. 注意:上面讨论二次函数值域的结果是定义在实数集R 上的,若二次函数的定义域是R 的子集,则其值域的确定要结合二次函数的性质和图象的简图来确定.经过后面的学习可以知道,求函数的值域前要先确定函数的定义域.知识点二 函数的三要素函数的三要素分别是定义域、对应关系和值域.在函数的三要素中,只要定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了. 定义域 使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x 的取值范围.确定函数定义域时,要从两个方面考虑:（1）使函数解析式有意义;（2）符合客观实际.对应关系 用f 表示,对应关系又叫对应法则,它是函数的本质特征,是沟通定义域和值域的桥梁.对应关系的作用相当于对自变量x 施以某种运算,类似于程序的作用.值域 在函数的定义域内,所有对应的函数值的集合,叫做函数的值域.例2. 讨论反比例函数()0≠=k x k y 的定义域和值域. 解:反比例函数()0≠=k xk y 的定义域为{}0≠x x ,值域为{}0≠y y . ()()A a a f ∈与()x f 的区别与联系)(a f 表示当a x =时()x f 的函数值,是其值域内的一个值,它表示的是常量;)(x f表示自变量为x 的函数,它表示的是变量.如x x f 2)(=表示的是一个函数,()63=f 是它的一个函数值,是常量.知识点三 具体函数的定义域的确定方法所谓具体函数,指的是给出解析式的函数,与之相对的是抽象函数.根据函数解析式的特点来确定函数的定义域:（1）如果函数解析式是整式,则函数的定义域是全体实数,即R .（2）如果函数解析式中含有分式,则函数的定义域是使分式的分母不等于零的实数集;（3）如果函数解析式中含有二次根式,则函数的定义域是使二次根式的被开方数为非负数的实数集;（4）如果函数解析式中含有零指数幂或负整指数幂,则函数的定义域是使底数不等于零的实数集.（5）如果函数解析式含有上述两种或两种以上的结构特点,则函数的定义域是使每一部分有意义的实数集的交集.（6）如果函数解析式是由实际问题得到的,则函数的定义域还要符合客观实际.知识点四 函数的相等只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数. 对函数的相等理解时要注意:（1）当一个函数的定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了,所以当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,两个函数才相等,即表示同一个函数.（2）定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等.（3）定义域和值域分别相同的两个函数,不一定相等.如函数2)(-=x x f 与函数x x f 2)(=的定义域都是R ,值域都是R ,但它们表示的不是同一个函数,两个函数不相等.（4）因为函数是两个非空数集之间的对应关系,所以与用什么字母表示自变量,用什么字母表示因变量没有关系.如函数1)(2+=x x f 与函数1)(2+=t t f 表示的就是同一个函数.（5）对)(x f 中x 的理解:如果两个函数解析式的右边相同,但f 施加关系的对象不同,两个函数也不相等.如函数2)(x x f =和函数2)1(x x f =-表示的就不是同一个函数.例3. 下列各组函数表示同一函数的是【 】（A ）x x f =)(,()2)(x x g = （B ）1)(2+=x x f ,()12+=t t g（C ）1)(=x f ,xx x g =)( （D ）x x f =)(,()x x g =分析:这是判断两个函数相等的问题.只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数.所以,当两个函数的定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等.解:（A ）选项中,函数x x f =)(的定义域为R ,函数()2)(x x g =的定义域为{}0≥x x ,它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数;（B ）选项中,两个函数的定义域和对应关系都相同,所以它们是同一函数,与用哪个字母表示自变量没有关系;（C ）选项中,函数1)(=x f 为常数函数,其图象为一条平行于x 轴的直线,其定义域为R ,函数xx x g =)(的定义域为{}0≠x x ,它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数;（D ）选项中,函数x x f =)(与函数()x x g =的定义域均为R ,但二者的对应关系不相同,它们不是同一函数.选择【 B 】.例4. 求下列函数的定义域:（1）2322---=x x x y ; （2）x x y -⋅-=11; （3）x y --=113; （4）2253x x y -+-=.分析:例4给出的三个函数均为具体函数,求具体函数的定义域的方法是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合,要表示成集合的形式或区间的形式.解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧≠--≥-023202x x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧-≠≠≤2120x x x 且,解之得:x ≤0且21-≠x . ∴函数2322---=x x x y 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧-≠≤210x x x 且; （2）由题意可知:⎩⎨⎧≥-≥-0101x x ,解之得:1=x . ∴函数x x y -⋅-=11的定义域为{}1=x x ;（3）由题意可知:⎩⎨⎧≠--≥-01101x x ,即⎩⎨⎧≠≤01x x ,解之得:x ≤1且0≠x . ∴函数x y --=113的定义域为{}01≠≤x x x 且;（4）由题意可知:⎩⎨⎧≥-≥-050322x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≥5533x x x 或 解之得:5-≤x ≤3-或3≤x ≤5. ∴函数2253x x y -+-=的定义域为{}5335≤≤-≤≤-x x x 或. 注意: （1）函数的定义域要表示成集合或区间的形式.（2）若函数的解析式为综合型,则定义域为解析式各部分有意义的交集.若交集在数轴上表示有两部分,则这两部分之间用“或”字.知识点五 区间的概念及其表示设b a ,是两个实数,且b a <,规定:（1）满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合,叫做闭区间,表示为[]b a ,;（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合,叫做开区间,表示为()b a ,;（3）满足不等式a ≤x b <或x a <≤b 的实数x 的集合,叫做半开半闭区间,分别表示为)[b a ,,](b a ,.这里的实数b a ,叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时,包含端点的那一端用中括号表示,不包含端点的那一端用小括号表示.区间的数轴表示（几何表示）实数集R 可以用区间表示为()+∞∞-,.“∞”读作“无穷大”,“∞-”读作“负无穷大”,“∞+”读作“正无穷大”.把满足不等式a x >,x ≥a ,b x <,x ≤b 的实数x 的集合,分别表示为()+∞,a ,)[∞+,a ,()b ,∞-,](b ,∞-.对区间的概念及其表示的理解:（1）区间用来表示连续的数集,并不是所有的集合都可以用区间来表示,如集合{}3,2,1就不能用区间来表示.（2）区间的左端点必须小于右端点.（3）区间符号里的两个字母或数字之间用“,”隔开.（4）在将连续的数集表示为区间时,包含端点的用中括号表示,不包含端点的,用小括号表示.（5）在用数字表示区间时,包含端点的,画成实心点,不包含端点的,画成空心点.（6）若a 为区间的左端点,b 为区间的右端点,则把a b -叫做区间的长度.区间的长度必须大于0.（因为a b >）（7）连续的数集既可以用集合表示,也可以用区间来表示.例5. 函数513)(-+-=x x x f 的定义域是【 】 （A ）)[∞+,3 （B ）)()[+∞,44,3（C ）()+∞,3 （D ）)[4,3分析:不等式（组）的解集为连续的数集时,既可以用集合表示,也可以用区间来表示.在用区间表示数集时,一定要弄清是否包含端点,包含端点的用中括号表示,不包含端点的,用小括号表示.解:由题意可知:⎩⎨⎧≠-+≥-05103x x ,即⎩⎨⎧-≠≠≥643x x x 且,解之得:x ≥3且4≠x . ∴函数513)(-+-=x x x f 的定义域用集合表示为{}43≠≥x x x 且,用区间表示为)()[+∞,44,3 .选择【 B 】.知识点六 复合函数与抽象函数复合函数的概念如果y 是u 的函数,记为)(u f y =,u 又是x 的函数,记为)(x g u =,且)(x g 的值域与)(u f 的定义域的交集非空,那么y 通过u 的联系也是自变量x 的函数,我们称y 为x 的复合函数,记为))((x g f y =.其中u 叫做中间变量,)(x g u =叫做内层函数, )(u f y =叫做外层函数.对复合函数概念的理解由复合函数的定义可知,内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集,外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域.例6. 下列函数中,是复合函数的是【 】（A ）32)(x x x f += （B ）1)(+=x x f（C ）x x f =)( （D ）xx f 2)(= 分析:判断一个函数是不是复合函数,就是看它是否是两个函数复合而成的. 解:函数1)(+=x x f 是由函数u y =和1+=x u 两个函数复合而成的,是复合函数.选择【 B 】.抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数,叫做抽象函数.知识点七 求抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域,要明确以下几点:（1）函数)(x f 的定义域是自变量x 的范围.（2）函数))((x g f 的定义域是自变量x 的范围,而不是)(x g 的范围.（3）)(x f 、))((x g f 两个函数中,x 、)(x g 在对应关系f 下的范围相同. 求抽象函数或复合函数定义域的方法（1）已知)(x f 的定义域为A ,求))((x g f 的定义域,其实质是)(x g 的取值范围为A ,求x 的取值范围;（2）已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域,其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ,求)(x g 的范围（值域）,此范围就是)(x f 的定义域.（3）已知))((x g f 的定义域,求))((x h f 的定义域,要先按（2）求出)(x f 的定义域. 例7. 已知函数xx x f 3)(+=,则函数)1(-x f 的定义域为【 】 （A ）{}1,4-≠-≥x x x 且 （B ）{}1,2≠-≥x x x 且（C ）{}0,2≠-≥x x x 且 （D ）{}1,4≠-≥x x x 且分析:本题需要根据具体函数)(x f 的解析式,先求出函数)(x f 的定义域,然后再确定抽象函数)1(-x f 的定义域:函数)(x f 中自变量x 的取值范围与()1-x 的范围相同,从而列出关于x 的不等式（组）,解集即为函数)1(-x f 的定义域. 解:∵函数xx x f 3)(+= ∴⎩⎨⎧≠≥+003x x ,解之得:x ≥3-且0≠x . ∴函数xx x f 3)(+=的定义域为{}03≠-≥x x x 且. 对于函数)1(-x f ,则有:⎩⎨⎧≠--≥-0131x x ,解之得:x ≥2-且1≠x . ∴函数)1(-x f 的定义域为{}1,2≠-≥x x x 且.选择【 B 】.例8. 已知()12-x f 的定义域为[]3,0,则)(x f 的定义域为_________. 分析:函数()12-x f 的定义域为[]3,0,指的是x 的取值范围是[]3,0,而不是()12-x 的范围.先根据[]3,0∈x ,求出()12-x 的范围,此范围即为函数)(x f 的定义域. 解:∵()12-x f 的定义域为[]3,0∴0≤x ≤3,根据二次函数的知识可得:1-≤12-x ≤8∴)(x f 的定义域为[]8,1-.例9. 若函数()1+x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21,则函数()1-x f 的定义域为__________. 分析:本题为已知已知))((x g f 的定义域,求))((x h f 的定义域,要先确定)(x f 的定义域.解:∵函数()1+x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21 ∴21-≤x ≤2,∴121+-≤1+x ≤12+ ∴21≤x ≤3 ∴函数)(x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21. 对于函数()1-x f ,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-31211x x ,解之得:23≤x ≤4 ∴函数()1-x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,23. 知识点八 求函数的函数值（1）若函数为具体函数,把自变量的值代入函数解析式即可求得对应额函数值;（2）求抽象函数的函数值,常采用赋值法求求解.例10. 已知xx f +=11)(()1-≠x ,2)(2+=x x g . （1）求)2(f 和()2g ;（2）求()()2f g ,())(x g f ;（3）若()4)(1=x g f ,求x . 分析:函数的本质是对应关系f ,()f 表示的是对括号里的内容施以某种运算.计算())(a f f 的值时,应从内到外依次计算.解:（1）31211)2(=+=f ,()62222=+=g ; （2）()()9192313122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g f g ()31211)(11)(22+=++=+==x x x g x g f ;（3）∵()4)(1=x g f∴43112=+x ,432=+x ,解之得:1±=x . 例11. 已知函数()x f 对任意实数b a ,,都有()()()b f a f ab f +=成立. （1）求()0f ,()1f 的值;（2）若()()q f p f ==3,2（q p ,为常数）,求()36f 的值. 解:（1）∵函数()x f 对任意实数b a ,,都有()()()b f a f ab f += ∴令0==b a ,则有:()()()000f f f += ∴()00=f .令0,1==b a ,则有:()()()010f f f += ∴()01=f .（2）∵()()q f p f ==3,2∴()()()()()p f f f f f 22222224==+=⨯=()()()()()q f f f f f 23233339==+=⨯=∴()()()()q p f f f f 22949436+=+=⨯=.例12. 已知函数()x f 的定义域为()+∞,0,对任意正实数y x ,都有()()()y f x f xy f +=,且()24=f ,则()=2f_________.解:∵()()()y f x f xy f +=,且()24=f∴令2==y x ,则有:()()()()222224=+=⨯=f f f f ,∴()12=f . 令2==y x ,则有:()()()()122222=+=⨯=f ff f∴()212=f.知识点九 求函数的值域求函数值域的方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、图象法、判别式法、反表示法等.方法1 观察法通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域. 如函数211xy +=,因为12+x ≥1,所以y <0≤1,即该函数的值域为{}10≤<y y .方法2 配方法常用于求二次函数的值域.通过配方把二次函数化为顶点式,结合函数的定义域来求函数值域的一种方法.注意:在求函数的值域时,要先确定函数的定义域. 方法3 分离常数法形如bax dcx y ++=的函数常用分离常数法求值域.分离过程为: ()b ax a bc d a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx y +-+=+-++=++= ∵0≠+-b ax a bcd ,∴a c y ≠ 所以函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠a c y y .方法4 换元法形如d cx b ax y +++=()0≠a 的函数常用换元法求值域.具体做法是:先令d cx t +=（t ≥0）,用t 表示出x ,并标明t 的取值范围,并代入函数解析式,将y 表示成关于t 的二次函数,最后用配方法求出值域.用换元法求函数的值域时,注意换元后要标明新元的取值范围.方法5 图象法有些函数的图象比较容易画出,可以通过其图象得出函数的值域.方法6 判别式法形如fex dx cbx ax y ++++=22（d a ,中至少有一个不为0）的函数常用判别式法求值域.具体做法是:先把函数转化为关于x 的一元二次方程,然后通过方程有实数根,判别式∆≥0,求出y 的取值范围,即为原函数的值域.（注意对二次项系数的讨论）.方法7 反表示法根据函数解析式用y 表示出x ,根据原函数中x 的取值范围列出关于y 的不等式,不等式的解集即为原函数的值域. 例13. 求函数1-=x y 的值域. 分析:采用观察法求其值域. 解:∵x ≥0（x ≥0） ∴1-x ≥1-∴函数1-=x y 的值域为)[∞+-,1.例14. 求函数322+-=x x y 的值域,其中)[3,0∈x .分析:求二次函数的值域常用配方法.通过配方把函数的一般式转化为顶点式,根据自变量的取值范围并结合二次函数图象的简图求解. 解:∵()213222+-=+-=x x x y∴函数图象的顶点坐标为( 1 , 2 ) ∵)[3,0∈x ,1)[3,0∈ ∴函数的最小值为2.∵()()633233,303=+⨯-==f f∴函数的值域为)[6,2. 例15. 求函数312-+=x x y 的值域. 分析:求形如bax dcx y ++=的函数的值域,常用分离常数法.解:()3723732312-+=-+-=-+=x x x x x y∵037≠-x ,∴2≠y ∴函数312-+=x x y 的值域为()()+∞∞-,22, .例16. 函数12++=x x y 的值域为__________.分析:形如d cx b ax y +++=()0≠a 的函数常用换元法求值域. 解:令12+=x t ,则t ≥0∴212-=t x∴()1121211222-+=+-=++=t t t x x y ∵t ≥0,01<- ∴y 随t 的增大而增大 ∴当0=t 时,21min -=y ,无最大值.∴y ≥21-. ∴函数12++=x x y 的值域为)⎢⎣⎡∞+-,21.注意:用换元法求函数的值域时,必须要根据已知函数的定义域求新元的取值范围,例17. 求下列函数的值域:（1）123422--+-=x x x x y ;（2）3274222++-+=x x x x y . 分析:对于形如fex dx cbx ax y ++++=22（d a ,中至少有一个不为0）的函数,若分子、分母能进行因式分解并化简,在化简后再求其值域;若不能化简,常用判别式法求其值域.要求会用十字相乘法分解二次三项式.解:方法一（分离常数法）:∵123422--+-=x x x x y∴()()()()()()1227211227122112312131+-=+-+=+-=+---=x x x x x x x x x y （1≠x 且21-≠x ）. ∵()01227≠+x ,∴21≠y当1=x 时,3211231-=+⨯-=y∴函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2121,3232, .方法二（反表示法）:由上面的方法得到:123+-=x x y （1≠x ） ∴y y x 213-+=（21≠y ） ∵1≠x ,∴1213≠-+y y ,解之得:32-≠y ∴函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2121,3232, .（2）∵3274222++-+=x x x x y∴整理得:()()0732222=++-+-y x y x y . 当2=y 时,0723≠+⨯,不符合题意,舍去;当2≠y 时,∵函数3274222++-+=x x x x y 的定义域为R∴()[]()()2734222-+--=∆y y y ≥0,解之得:29-≤y ≤2. 综上,函数的值域为)⎢⎣⎡-2,29.例18. 已知函数41)(xx x f -+=,求函数)(x f 的值域. 分析:先把函数解析式里面的绝对值去掉,化为分段函数的形式,然后画出函数的图象,由图象得出函数的值域.解:∵41)(xx x f -+= ∴()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=021101)(x x x x f ,其图象如图所示.由图象可知,函数的只有为](1,∞-.例19. 求函数122+--=x x xx y 的值域.解:方法一（配方法）:∵122+--=x x xx y∴4321111111112222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+--=+--+-=x x x x x x x y ∵43212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ≥43,∴4321102+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<x ≤34∴31-≤14321112<+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x ∴函数的值域为)⎢⎣⎡-1,31.方法二（判别式法）:∵122+--=x x xx y∴x x y xy y x -=+-22,整理得:()()0112=+-+-y x y x y∵函数122+--=x x xx y 的定义域为R∴关于x 的方程()()0112=+-+-y x y x y 有实数根.当1=y 时,01≠,不符合题意,舍去;当1≠y 时,有()()1412---=∆y y y ≥0,解之得:31-≤y ≤1综上,31-≤1<y∴函数的值域为)⎢⎣⎡-1,31.★例20. 已知)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83,试求())(21)(x f x f x F -+=的值域.解:∵)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83∴83≤)(x f ≤94,∴98-≤)(2x f -≤43-,∴91≤1)(2x f -≤41 ∴31≤)(21x f -≤21. 令)(21x f t -=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31t ,∴()212t x f -=∴()()112121)(22+--=+-==t t t t F x F . ∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31t ,∴)(t F 随着t 的增大而增大.∴当31=t 时,()971131212min =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=t F当21=t 时,()871121212max =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=t F ∴)(t F 的值域即()x F 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡87,97.。
高中数学函数知识点总结
函数一、函数的定义：1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．（1）其中，x叫做自变量，x的取值X围A叫做函数的定义域；（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．2．函数的三要素：定义域、值域、对应法则3．函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。
（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。
4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.(2) 画法A、描点法：B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。
（3）函数图像平移变换的特点：1）加左减右——————只对x2）上减下加——————只对y3）函数y=f(x) 关于X轴对称得函数y=-f(x)4）函数y=f(x) 关于Y轴对称得函数y=f(-x)5）函数y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x)6）函数y=f(x) 将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得函数y=| f(x)|7）函数y=f(x) 先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)二、函数的基本性质1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
函数总结知识框架图
函数总结知识框架图
函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在学习函数的过程中，我们需要对函数的基本概念、性质、图像和应用有一个清晰的认识。
本文将通过总结函数的知识框架图，帮助大家更好地理解和掌握函数的相关知识。
1. 函数的基本概念。
函数是一种对应关系，它将一个自变量映射到一个因变量上。
在函数中，自变量的取值范围称为定义域，而对应的因变量的取值范围称为值域。
函数通常用
f(x)或者y来表示，其中x为自变量，y为因变量。
2. 函数的性质。
函数有着许多重要的性质，例如奇偶性、单调性、周期性等。
其中，奇偶性是指函数图像关于原点对称的性质，单调性是指函数在定义域上的单调变化性质，周期性是指函数图像在一定区间内具有重复性的性质。
3. 函数的图像。
函数的图像是函数的重要表现形式之一，通过函数的图像我们可以直观地了解函数的性质和特点。
常见的函数图像包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等，它们在坐标系中有着不同的表现形式。
4. 函数的应用。
函数在实际问题中有着广泛的应用，例如在经济学中，成本函数、收益函数等都是函数的应用；在物理学中，位移函数、速度函数、加速度函数等也都是函数的应用。
通过函数，我们可以描述和分析许多实际问题，为解决问题提供了重要的数学工具。
通过以上对函数的知识框架图的总结，我们可以清晰地了解函数的基本概念、性质、图像和应用。
掌握了这些知识，我们就可以更好地理解和运用函数，为日后的学习和工作打下坚实的基础。
希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。
高中函数概念知识点总结
高中函数概念知识点总结一、函数的概念1. 函数的定义函数是一个非常基本的概念，它可以表达变量之间的依赖关系。
在代数或数学分析中，函数是一种特殊的关系，即每个自变量的值都对应着唯一的因变量的值。
用符号表示为：y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f为函数关系。
在实际应用中，函数可以描述抽象的关系，也可以表示具体的物理、经济、生活等现象。
2. 函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的几何表示，用曲线或者折线表示。
它可以帮助我们直观地了解函数的性质，如增减性、奇偶性、周期性等。
3. 函数的定义域和值域函数的定义域即自变量的取值范围，值域即因变量的取值范围。
了解函数的定义域和值域可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
4. 函数的解析式函数的解析式表示函数之间的依赖关系，可以用代数式、分段函数、组合函数等形式表示。
掌握函数的解析式有利于我们对函数进行分析和运算。
5. 常见函数常见函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
了解这些常见函数的性质和特点有助于我们更好地理解和运用函数。
二、函数的基本性质1. 函数的奇偶性函数的奇偶性是函数的一个重要性质，它可以帮助我们简化函数的图形和运算。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
2. 函数的增减性函数的增减性描述了函数图像在定义域上的上升或下降趋势。
通过研究函数的增减性，我们可以得到函数在不同区间上的性质。
3. 函数的最值和极值函数的最值即函数在定义域上的最大值和最小值，极值指的是函数在某个点上的最大值和最小值。
研究函数的最值和极值有助于我们理解函数的局部性质。
4. 函数的周期性周期函数是指函数具有周期性变化的特点，即在一定区间内具有重复的性质。
掌握周期函数的性质对于我们理解函数的变化规律和应用具有重要意义。
5. 复合函数复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数，它可以描述多个变量之间的复杂关系。
掌握复合函数的运算和性质有助于我们应用函数解决实际问题。
函数体系知识点总结高中
函数体系知识点总结高中一、基本概念1、自变量和因变量函数是一种特殊的映射关系，它包括自变量和因变量两个基本要素。
自变量是函数中的输入量，即独立变量；而因变量是函数中的输出量，即依赖于自变量的变量。
在函数中，自变量的变化会导致因变量的相应变化。
2、定义域和值域在函数中，定义域是指自变量的取值范围，即函数有效的输入值范围；值域是指因变量的取值范围，即函数有效的输出值范围。
3、函数符号函数通常用f(x)来表示，其中f表示函数的名称，x表示自变量。
当然，也可以用其他符号来表示函数，比如g(x)、h(x)等。
二、函数的表示方法1、函数的表格表示在正式学习函数之前，学生将会通过表格的形式来了解函数的变化规律。
表格中会列出自变量和因变量的对应关系，通过观察表格中的数据，可以初步理解函数的变化规律。
2、函数的图像表示函数的图像是函数表格的图形化表示，通过图像可以更直观地了解函数的变化规律。
学生需要学会如何通过图像来分析函数的性质和特点。
3、函数的公式表示在学习函数的进阶阶段，学生需要学会通过数学公式来表示函数。
函数的公式表示能够准确地描述函数的变化规律，学生需要学会如何根据给定的函数图像或函数表格，推导出函数的数学公式表示。
三、函数的性质1、奇偶性函数的奇偶性是指函数图像关于原点的对称性。
奇函数的图像关于原点对称，即f(-x)=-f(x)；偶函数的图像关于y轴对称，即f(-x)=f(x)。
学生需要学会如何根据函数的公式来判断函数的奇偶性。
2、单调性函数的单调性是指函数图像的变化趋势。
单调增函数的图像随着自变量的增大而增大，单调减函数的图像随着自变量的增大而减小。
学生需要学会如何根据函数的导数或函数的表格来判断函数的单调性。
3、周期性周期函数是指函数图像在一定范围内具有重复的特点。
学生需要了解周期函数的定义、性质以及周期的求法。
四、函数的运算1、复合函数复合函数是指一个函数的自变量的取值由另一个函数决定，即一个函数的因变量作为另一个函数的自变量。
函数的概念知识点总结
函数的概念知识点总结函数是编程语言中非常重要的概念，它可以将一段代码封装起来并赋予它一个名字，然后在程序中通过这个名字来调用这段代码。
函数的概念是计算机程序设计中的基础，因此我们有必要对函数进行深入的了解。
在本篇文章中，我们将对函数的概念、特点、分类、调用方法以及常见问题进行详细总结。
一、函数的概念函数是指一组相互关联的计算指令的集合，它接受输入参数，经过一系列的计算过程后，产生输出参数。
在程序中，函数可以完成特定的功能，比如求平方根、排序、查找等等。
函数的存在使得程序的组织更加清晰，代码更易于维护和复用。
函数可以看作是程序中的一个子程序，它有自己的输入、处理和输出。
函数的输入参数称为"形式参数"，它们是函数接受的数据，经过一系列计算后产生的输出称为"实际参数"。
函数的输出可以是一个值，也可以是一个操作，这取决于函数的设计目标。
二、函数的特点1. 模块化：函数使程序可以分成若干的模块，每个模块完成特定的功能，便于编程和维护。
2. 封装：函数将一段代码封装起来，外部程序只需知道函数的名称和输入参数，而无需关心函数内部的实现细节。
3. 单一职责：良好的函数应当只完成一项特定的功能，这样可以增加函数的复用性。
4. 输入输出：函数具有输入和输出，通过输入参数传递数据，通过返回值返回计算结果。
5. 唯一性：在同一作用域内，函数名是唯一的，不同函数之间不能重名。
6. 可调用性：函数可以被多次调用，使得程序结构更加清晰、易于分析和调试。
三、函数的分类函数可以按照不同的标准进行分类，比如按照返回值类型、参数类型、调用方式等。
1. 根据返回值类型分类：函数可以分为有返回值函数和无返回值函数。
有返回值函数会返回一个计算结果，而无返回值函数仅执行一系列操作而不返回值。
2. 根据参数类型分类：函数可以分为无参函数和有参函数。
无参函数不需要接受参数即可执行，而有参函数需要接受特定的输入参数才能执行。
函数概念与知识点总结
函数概念与知识点总结一、函数的概念1.1 函数的定义函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种对应关系，将一个或多个输入参数映射到一个输出结果。
在数学中，函数通常表示为f(x)，其中x是输入参数，f(x)是输出结果。
函数也可以表示为y=f(x)，其中y是输出结果，x是输入参数。
函数还可以表示为y=f(x1,x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是多个输入参数。
1.2 函数的特性函数具有一些特性，包括单值性、有限性、定义域和值域。
单值性表示对于每个输入参数，函数有且只有一个输出结果。
有限性表示函数的定义域和值域都是有限的。
定义域是函数能接受的输入参数的集合，而值域是函数输出结果的集合。
1.3 函数的分类函数可以根据其形式、性质和用途进行分类。
常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数等。
函数还可以根据其定义域和值域的不同进行分类，如有界函数、无界函数、周期函数等。
二、函数的性质与图像2.1 函数的奇偶性函数可以根据其图像的对称性来判断奇偶性。
若函数的图像关于原点对称，则函数是奇函数；若函数的图像关于y轴对称，则函数是偶函数。
2.2 函数的增减性函数的增减性描述了函数在定义域内的增加和减少情况。
若对于定义域内的任意两个值x1和x2，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)，则函数是单调递增的；若x1<x2，则f(x1)>f(x2)，则函数是单调递减的。
2.3 函数的最值函数的最值指在定义域内的最大值和最小值。
函数的最值可以通过求导数或利用一阶导数的性质进行判断。
2.4 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示。
通过绘制函数的图像，可以直观地理解函数的性质和变化规律。
例如，线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线。
三、函数的运算3.1 函数的加减运算当两个函数f(x)和g(x)相加或相减时，可以将它们的对应项相加或相减，得到一个新的函数h(x)=f(x)±g(x)。
数学函数概念知识点总结
数学函数概念知识点总结一、函数的基本概念1. 函数的定义函数是一种数学关系，它将某个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素上。
通常用f(x)表示函数，其中f表示函数名，x表示自变量。
2. 自变量和因变量在函数中，自变量是输入的值，因变量是输出的值。
自变量通常用x表示，因变量通常用y表示。
3. 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围。
函数在定义域上的取值构成了函数的值域。
4. 函数的图像函数的图像是函数在坐标系上的表示，通常用曲线或者点来表示函数的图像。
函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质和特点。
5. 函数的性质函数可以有多种性质，包括奇偶性、周期性、单调性等。
这些性质可以通过函数的图像和代数表达式来进行分析和判断。
二、常见的函数类型1. 一次函数一次函数是指函数的最高次项为1的函数，通常表示为y=ax+b，其中a和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的斜率，常数b决定了直线与y轴的交点。
2. 二次函数二次函数是指函数的最高次项为2的函数，通常表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0。
二次函数的图像是抛物线，a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线在x轴上的位置，c决定了抛物线在y轴上的位置。
3. 幂函数幂函数是指函数的表达式为y=ax^n的函数，其中a为常数，n为整数。
幂函数的图像通常呈现出不同的形状，包括指数增长、指数衰减以及平方、立方等曲线形状。
4. 指数函数指数函数是一种特殊的幂函数，表达式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数的图像通常呈现出指数增长或者指数衰减的趋势。
5. 对数函数对数函数是指函数的表达式为y=log_a(x)，其中a为底数。
对数函数的图像通常呈现出对数增长或者对数衰减的趋势。
6. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们是以圆上的角度为自变量的周期函数。
三角函数在物理、工程、天文等领域有着广泛的应用。
函数数学知识点归纳
函数数学知识点归纳函数是数学中一个重要的概念，它描述了不同数值之间的关系。
函数的概念在数学中有广泛的应用，包括代数、几何、微积分等领域。
以下是一些函数的基本概念和常见知识点的归纳：1.函数的定义：函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
通常用f(x)表示函数，表示将输入x映射到输出f(x)。
函数可以用公式、图像或者表格表示。
2.定义域和值域：函数的定义域是所有可能的输入值的集合，也叫做自变量的取值范围。
值域是函数所有可能的输出值的集合，也叫做因变量的取值范围。
3.基本初等函数：常见的基本初等函数包括线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
这些函数在数学中有广泛的应用和研究。
4.函数的图像：函数的图像是在坐标平面上表示函数的点集合。
对于实数函数，通常用笛卡尔坐标系来表示函数的图像。
函数的图像可以通过画出一些特定的点或者使用连续曲线来表示函数的形状。
5.奇函数和偶函数：奇函数是满足f(-x)=-f(x)的函数，图像关于原点对称。
偶函数是满足f(-x)=f(x)的函数，图像关于y轴对称。
奇函数和偶函数在对称性、性质以及求值时有不同的特点。
6.函数的性质：函数可以有不同的性质，包括单调性、周期性、奇偶性、连续性等。
单调函数是指在定义域上递增或递减的函数；周期函数是指存在一个正数T，对任意x，有f(x+T)=f(x)的函数。
7.函数的运算：函数之间可以进行一系列的运算，包括加法、减法、乘法、除法、复合等。
函数的加法是指将两个函数的输出相加，函数的减法是指将两个函数的输出相减，函数的乘法是指将两个函数的输出相乘，函数的除法是指将一个函数的输出除以另一个函数的输出。
8.反函数：如果一个函数f的定义域和值域对调，且对于定义域上的任意元素x和值域上的元素y，满足f(x)=y和f^(-1)(y)=x，那么f^(-1)是f的反函数。
反函数可以通过交换自变量和因变量得到。
9.复合函数：复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。
函数知识点归纳
函数知识点归纳函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个变量之间的对应关系。
从我们日常生活中的各种现象到科学研究中的复杂模型，函数都发挥着关键作用。
下面就让我们来系统地归纳一下函数的相关知识点。
一、函数的定义函数的定义可以简单地理解为：对于给定的一个数集 A 中的每一个元素 x，按照某种确定的对应关系 f，在另一个数集 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称 f 是集合 A 到集合 B 的一个函数。
记作y ＝ f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量。
需要注意的是，函数的定义中有两个关键点：一是“每一个”，意味着对于集合A 中的任何一个元素都要有对应的结果；二是“唯一确定”，即对于一个自变量 x，只能有一个因变量 y 与之对应。
二、函数的表示方法1、解析法用数学式子表示两个变量之间的对应关系，如 y ＝ 2x ＋ 1。
2、列表法通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系，例如给出 x 的一些值，然后对应列出 y 的值。
3、图像法用图像来直观地展示函数关系，比如常见的一次函数图像是一条直线，二次函数图像是抛物线。
三、函数的三要素1、定义域指自变量x 的取值范围。
确定定义域时需要考虑分式的分母不为零、偶次根式的被开方数非负、对数的真数大于零等情况。
2、值域函数值 y 的取值集合。
值域的确定方法通常有观察法、配方法、反解法、判别式法等。
3、对应法则是函数的核心，它规定了自变量 x 如何对应到因变量 y。
四、常见函数类型1、一次函数形如 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）的函数，其图像是一条直线。
2、二次函数一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0），图像是一条抛物线。
当 a ＞0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
3、反比例函数形如 y ＝ k/x（k 为常数，k ≠ 0），图像是双曲线。
4、指数函数形如 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1），当 a ＞ 1 时，函数单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减。
函数概念知识点总结
函数概念知识点总结一、函数的定义和基本概念1. 函数的定义：函数是一段封装了特定功能的代码块，它接受输入参数，进行特定的计算或操作，然后返回结果。
函数可以被多次调用，以便在程序中重复使用。
2. 函数的作用：函数的主要作用是将程序分解为小的模块，以便于组织、调试和维护。
函数可以提高代码的可重用性和可读性，减少代码的重复编写，同时也可以提高程序的性能和可维护性。
3. 函数的组成部分：函数通常由函数名、参数列表、返回类型、函数体和返回语句等组成。
函数名用于标识函数的唯一性，参数列表用于接受输入参数，返回类型用于指定函数返回值的类型，函数体用于定义具体的功能实现，返回语句用于指定函数返回的结果。
4. 函数的调用：函数调用是指在程序中使用函数的过程，通过指定函数名和参数列表进行调用。
调用函数时，程序会跳转到函数体执行特定的操作，然后返回运行结果。
二、函数的参数和返回值1. 参数的概念：参数是函数定义中用于接受输入的变量，它可以让函数具有一定的灵活性和通用性。
函数可以接受零个或多个参数，参数可以是不同的数据类型，也可以有默认值。
2. 参数的传递方式：参数的传递方式包括值传递和引用传递。
值传递是指将参数的值复制一份给函数，函数使用的是参数的副本，原始参数不受影响。
引用传递是指将参数的地址传递给函数，函数使用的是参数的原始值，通过地址可以修改原始参数的值。
3. 返回值的概念：返回值是函数执行结果的输出，它可以是任意数据类型的值。
函数可以返回一个值，也可以返回多个值，甚至可以不返回任何值。
4. 返回类型的设定：返回类型用于指定函数返回值的数据类型，它可以是基本数据类型、自定义类型、指针类型等。
在函数定义中，可以使用void表示函数不返回任何值，也可以使用具体的数据类型来指定返回值的类型。
三、函数的分类和用途1. 内置函数和自定义函数：内置函数是指语言内置提供的函数，如数学运算函数、字符串处理函数等；自定义函数是由程序员自行编写的函数，用于实现特定的功能或逻辑。
所有关于函数的知识点总结
所有关于函数的知识点总结在数学中，函数通常是指自变量和因变量之间的一种对应关系。
直观上，我们可以将函数理解为一个机器，它接收一个输入，经过某种变换，产生一个输出。
这样的一个变换关系通常可以用一个数学表达式来表示。
函数的定义多种多样，主要有显式定义、隐式定义、参数形式定义、递推式定义等。
在这些定义下，函数可以是分段函数、多元函数、实函数、分数函数、三角函数以及反三角函数等等。
一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是最基本的数学概念之一。
函数是一个特殊的映射关系，它将一个集合中的元素对应到另一个集合中的唯一元素。
在数学上，一般来说，我们记函数为f，它表示从集合A到集合B的一个映射。
函数的定义可以表述为：设A和B为非空集合。
若集合A中的每一个元素a通过某种确定的方法f，都有一个确定的元素b与之对应，那么就说f是从A到B的一个函数，记作f：A→B。
其中，a叫做自变量，b叫做因变量。
我们通常用f(a)来表示b。
这里有一点需要注意，函数的定义域和值域的选择对函数的性质有重要影响，而且通常情况下，函数的定义域和值域并不是任意确定的，而是根据实际应用需要选择的。
由于函数的百变性，在数学上我们还有不少关于这部分的内容需要学习。
1.2 函数的图像函数的图像是研究函数的一个重要工具。
通常来说，我们先确定函数的定义域，然后确定自变量取值的范围，并根据函数的定义，计算出对应的因变量的值。
最终，我们可以得到一系列有序对(x,y)，根据这些点我们可以绘制出这个函数的图像。
通常来说，我们绘制的图像是平面直角坐标系中的二维图像，但是有时候我们为了更好的表示函数的性质，会用到三维图形或者等高线图等。
利用函数的图像，我们可以直观的了解函数的性质和规律。
1.3 常见函数函数的定义是非常广泛的，数学中有非常多的函数概念。
其中常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等等。
这些函数都有各自的定义域、值域和图像。
另外，我们还有一些常见的特殊函数，比如阶乘函数、取整函数、绝对值函数等。
最全函数知识点总结高中
最全函数知识点总结高中一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一个非常基本的数学概念。
在数学上，函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
用数学符号表示就是：对于两个集合A和B，如果存在一个规则f，它使得对于A中的每个元素x，都有一个唯一的y属于B与之对应，那么我们说f是从A到B的一个函数，记作f:A→B。
其中A称为定义域，B称为值域。
1.2 函数的概念在我们的日常生活中，我们可以看到很多函数的例子。
比如，将一个数字加上3，或者乘以2，这就是两个函数的例子。
我们可以看到，函数本质上就是一种输入与输出的关系。
1.3 函数的符号表示函数一般用字母f,g,h等表示，其定义为：y=f(x)，表示x是自变量，y是因变量。
1.4 函数的自变量和因变量在函数中，自变量是输入的值，它在定义域中取值；而因变量是输出的值，它在值域中取值。
1.5 函数的图象函数的图象是函数在一个坐标系中的表示，它可以帮助我们更直观地了解函数的性质和规律。
1.6 函数的性质函数有很多的性质，比如奇偶性、单调性、周期性等等。
1.7 函数的分类函数可以分为初等函数和非初等函数。
初等函数包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
非初等函数包括无穷级数、常微分方程等。
1.8 逆函数如果函数f有定义域A和值域B，对于B中的每一个y，存在一个唯一的x属于A与之对应，那么我们称这个函数有逆函数，记作f^(-1)。
1.9 复合函数如果有两个函数f和g，使得f的值域是g的定义域，那么我们可以定义一个新的函数h(x)=f(g(x))，这就是复合函数。
1.10 函数的性质与变化函数有很多的性质和变化规律，比如极值、单调性、周期性、奇偶性等等。
对于这些性质和变化，我们可以通过函数的图象和导数来进行分析。
1.11 函数的运算函数之间可以进行加减乘除的运算，还可以进行求泛函、求复合函数、求逆函数等。
二、函数的表示与运用2.1 函数的表示方法函数可以用方程的形式、图象的形式、表格的形式、文字的形式等来表示。
数学第一节函数知识点总结
数学第一节函数知识点总结一、函数的概念函数是数学中的一个重要概念，它描述了输入和输出之间的关系。
简单来说，函数就是将一个或多个输入映射到一个输出的规则。
在数学中，函数通常用符号来表示，例如 f(x) = x^2 表示一个将输入x映射到其平方的函数。
二、函数的符号表示在函数的表示中，常见的符号包括函数名称、自变量、函数表达式和输出值。
例如在 f(x) = x^2 中，f(x) 表示函数名称，x表示自变量，x^2表示函数表达式，而 f(x) 对应的输出值就是 x^2。
三、定义域和值域函数的定义域是指输入的取值范围，即可能的自变量的集合。
而值域则是函数输出的取值范围，即可能的函数值的集合。
例如在函数 f(x) = x^2 中，定义域为实数集，而值域也为实数集。
四、函数的性质1. 函数的奇偶性：一个函数的奇偶性取决于其表达式中的次数，如果一个函数满足 f(-x) = f(x)，则它是偶函数；如果一个函数满足 f(-x) = -f(x)，则它是奇函数。
2. 函数的单调性：一个函数在定义域上的变化趋势称为函数的单调性，可以是增函数或减函数。
3. 函数的周期性：如果对于任意实数x，存在一个正实数T，使得f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数。
五、常见的函数类型1. 多项式函数：多项式函数是指形式为 f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n 的函数，其中a0,a1,...,an为常数，n为非负整数。
2. 指数函数：指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a为正实数，x为任意实数。
3. 对数函数：对数函数是指形如f(x) = loga(x)的函数，其中a为正实数，x为正实数。
4. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，是正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的函数表达式。
5. 无理函数：无理函数是指在定义域上可以表示为rational函数之外的函数。
六、函数的运算1. 函数的加减运算：当两个函数f(x)和g(x)定义域相同时，可以对它们进行加减运算，即(f+g)(x) = f(x) + g(x)。
函数的概念知识点总结
函数的概念知识点总结函数是数学中一个非常重要的概念，在很多学科领域都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、符号与表示、反函数等角度总结函数的相关知识点。
一、函数的定义函数是一种将每一个元素都映射到唯一的结果上的关系。
具体地说，如果每个元素 x 都有一个对应的元素 y，则可以表示为：f(x) = y其中，f 表示函数，x 是自变量，y 是因变量。
函数的定义域是自变量可能的值域，值域是因变量可能的值域。
二、函数的性质1. 一对一性：对于每一个 x，在函数中有唯一的 y 与之对应。
也就是说，不会有两个不同的 x 具有相同的 y 值，于是存在一个逆映射，反映自变量 y 在函数中对应的自变量 x。
简单地讲就是，每一个 x 对应一个 y，而且每一个 y 也都对应着一个 x，不存在重复的值。
2. 映射性：函数把每个定义域内的元素映射到值域中且无遗漏。
也就是说，对于定义域内的任何一个元素，都能在值域中找到相应的元素，并且一个元素只能对应一个元素。
3. 连续性：若对于定义域中的任意一个数 x，当 x 的取值无限接近某个数 a 时，对应的函数值 f(x) 也无限接近一个数 L，则称函数 f 在 x = a 处连续，其数值为 L。
三、符号与表示一般情况下，我们用小写字母 x 来表示自变量，用小写字母 y或 f(x) 来表示函数值。
一些特别的函数如指数函数 e^x，对数函数logx，三角函数 sinx、cosx、tanx 等，则用特定的符号表示。
同时，在符号表示时，会出现一些特殊的符号。
1. ∞ 表示无穷大，一般情况下分正负无穷大。
2. ∑ 是求和符号，表示把一列数加起来的结果。
3. + 和 - 符号可能同时表示加法和减法。
4. / 和 ×符号可能同时表示除法和乘法。
四、反函数反函数是指，若函数 f 将 x 映射到 y，则函数 f 的逆映射将 y 映射回 x。
相应地，如果 g 为函数 f 的逆映射，则 g(f(x)) = x，f(g(y)) = y。
函数概念和知识点总结
函数概念和知识点总结一、函数概念1. 函数是数学中的一个重要概念，是指对于一个集合中的每一个元素，都有唯一确定的输出元素与之对应的关系。
2. 在数学中，函数通常用f(x)来表示，其中x是自变量，f(x)是因变量，表示x经过函数f的映射得到的结果。
3. 函数可以看作是一种特殊的关系，它描述了输入和输出之间的对应关系，是研究自然界和社会现象中变量之间相互依存关系的重要工具。
4. 函数的图像通常用坐标系中的曲线来表示，通过观察函数的图像可以了解函数的变化规律和性质。
5. 函数在现实生活中有着广泛的应用，例如物理学、经济学、工程学等领域都需要使用函数来描述和分析问题。
二、函数的定义与性质1. 函数的定义：对于集合A和集合B，如果存在一种规律，使得集合A中的每一个元素a都与集合B中唯一确定的元素b相对应，那么我们称这种规律为函数。
2. 函数的自变量和因变量：函数中自变量是指输入的变量，通常用x来表示；因变量是指输出的变量，通常用f(x)来表示。
3. 定义域和值域：函数的定义域是指能够取值的自变量的范围；值域是指因变量的取值范围。
在定义和使用函数时，需要注意其定义域和值域的范围。
4. 函数的性质：函数有着一些重要的性质，如奇偶性、周期性、单调性、极值点、渐近线等，这些性质可以通过函数的分析和图像来进行确定。
5. 函数的分段定义：有些函数在不同的定义域上有不同的表达式，这种函数称为分段函数，需要根据具体的定义域来确定函数的表达式。
三、函数的表示和求解1. 函数的表示：函数可以通过不同的方法来表示，如用表达式形式、图像形式、数据表形式、文字描述等方式来表示函数。
2. 函数的求解：对于给定的函数，我们通常需要求解其零点、极值、最值、导数等问题，这些问题都涉及到函数的求解。
3. 函数的复合与逆函数：函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，逆函数是指可以将原函数的输入和输出进行对调得到的函数。
4. 函数的图像与性质：函数的图像可以通过绘制坐标系中的曲线来表示，通过观察函数的图像可以了解函数的性质和特点。
函数知识点归纳
函数知识点归纳函数是数学中的一个重要概念，它在计算机科学、统计学和物理学等领域也有广泛的应用。
本文将对函数的基本概念、性质和常见的函数类型做一个全面的归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用函数知识。
一、函数的基本概念函数是一种映射关系，将一个或多个自变量映射到一个因变量上。
函数通常表示为f(x)或y=f(x)，其中x是自变量，f(x)或y是因变量。
函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是因变量的集合。
函数可以用不同的方式表示，如数学表达式、图形、表格或文字描述。
函数的图形通常用坐标系上的点表示，自变量在横轴上，因变量在纵轴上。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域确定了自变量可能取值的范围，值域确定了因变量的取值范围。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域上的增减趋势，可以是递增、递减或不变。
3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数图像的对称性质，奇函数关于原点对称，偶函数关于纵轴对称。
4. 周期性：周期函数具有一定的重复性，函数的图像在一定的区间内重复出现。
5. 极值点：函数的极值点是函数图像上的局部极大值或极小值点，可以通过导数求解。
三、常见的函数类型1. 多项式函数：多项式函数是由常数、变量和指数幂运算组成的函数，可表示为f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，其中an为系数，n为次数。
2. 指数函数：指数函数的函数表达式为f(x) = ax，其中a为常数，x为自变量。
3. 对数函数：对数函数是指以某个正数为底的幂运算的逆运算，常见的对数函数有自然对数函数ln(x)和以10为底的常用对数函数log(x)。
4. 三角函数：三角函数是以单位圆上的点坐标表示的函数，常见的三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
5. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆运算，常见的反三角函数有反正弦函数arcsin(x)、反余弦函数arccos(x)和反正切函数arctan(x)等。
函数的概念知识体系
函数的概念1.（1）概念表述设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 和它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作：(),y f x x A =∈ 其中，x 叫做自变量，自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a =或|x a y =，所有函数值构成的集合}{|(),y y f x x A =∈叫做函数的值域．（R.必修1-2.1） （2）求函数定义域（3）求函数值及函数值域2. 分析：（1）概念内涵：变量与对应关系概念外延：定义域，值域，符号表示，三种表达：解析式，图像，列表 （2）高中函数概念学习的知识与技能储备：（1集合：包括集合的概念及表示方法，区间的概念，空集的概念，元素与集合的关系及其表示（2全称量词与存在量词的理解，逻辑联接词“非”（3初中的函数概念（变量，对应，单值性）（4 初中阶段关于函数的三种表达方式：列表，图像，解析式（5 一定辩证逻辑的思维能力（H-4）2.1集合集合的概念：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，这个整体就是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）（R 必修1-1.1） 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈.集合的三大性质：确定性，互异性，无序性集合的表示：列举法，描述法空集的概念：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作2.2全称量词与存在量词的理解，逻辑联接词“非”2.3初中的函数概念（变量，对应，单值性）及三种表示方式1.初中函数概念：一般地，设在一个变化的过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数（R八上-14）2. 分析（1）概念内涵：变量y随变量x的值对应变化规律概念外延：三种表示方式（2）知识和技能储备：变量的理解：二元一次方程，不等式，代数式，小学找规律问题（H-7）三种表示方式：平面直角坐标系2.4 辩证逻辑的思维能力朱文芳(1999)博士考察了初中生的函数概念发展水平，并进行了数据分析，撰写了论文《初中生函数概念的发展研究》。
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函数的概念
1.（1）概念表述
设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 和它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作：(),y f x x A =∈ 其中，x 叫做自变量，自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域
如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a =或|x a y =，所有函数值构成的集合}{|(),y y f x x A =∈叫做函数的值域．（R.必修1-2.1） （2）求函数定义域
（3）求函数值及函数值域
2. 分析：
（1）概念内涵：变量与对应关系
概念外延：定义域，值域，符号表示，三种表达：解析式，图像，列表 （2）高中函数概念学习的知识与技能储备：
（1集合：包括集合的概念及表示方法，区间的概念，空集的概念，元素与集合的关系及其表示
（2全称量词与存在量词的理解，逻辑联接词“非”
（3初中的函数概念（变量，对应，单值性）
（4 初中阶段关于函数的三种表达方式：列表，图像，解析式
（5 一定辩证逻辑的思维能力（H-4）
2.1集合
集合的概念：
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，这个整体就是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）（R 必修1-1.1） 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈.
集合的三大性质：确定性，互异性，无序性
集合的表示：列举法，描述法
空集的概念：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作
2.2全称量词与存在量词的理解，逻辑联接词“非”
2.3初中的函数概念（变量，对应，单值性）及三种表示方式
1.初中函数概念：
一般地，设在一个变化的过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数（R八上-14）
2. 分析
（1）概念内涵：变量y随变量x的值对应变化规律
概念外延：三种表示方式
（2）知识和技能储备：
变量的理解：二元一次方程，不等式，代数式，小学找规律问题（H-7）
三种表示方式：平面直角坐标系
2.4 辩证逻辑的思维能力
朱文芳(1999)博士考察了初中生的函数概念发展水平，并进行了数据分析，撰写了论文《初中生函数概念的发展研究》。
她的研究结果表明：初中生函数概念的发展存在着较为特殊的年龄特征；学生所接受的学校教育的内容显著地影响其函数概念的发展水平：初中生进行正与反、肯定与否定之间转化的辨证思维能力还比较差；初中生将近一半的人不能用运动、变化的观点来看待问题；初二是学生函数概念发展的一个转折点，从初二以后，学生无论是进行文字信息，还是图形信息加工的能力都有明显地增强，但将文字信息和图形信息进行转换的能力还很低；在考查同类问题的联系时，学生还不能脱离开问题的实际内容来理解抽象概括的数量关系。
（H-8）
初中生以形式逻辑思维水平为主，而高中生在继续完善形式逻辑思维发展的水平下，辩证思维发展开始逐渐占主流。
（H-9-45）
3.1方程：一元一次及二元一次方程
1.相关知识点：
方程就是含有未知数的等式. 如果返程中只含有一个未知数（元），并且未知数的最高次数为1，这样的方程叫做一元一次方程.
解方程是求使得方程左边和右边相等的未知数值的过程，有时也称其为方程的根.
（R七上-3）
二元一次方程：含有两个未知数(元)，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.（R七下-8）
用不等符号连接的式子就是不等式；使不等式成立的未知数的值称为不等式的解；（R 七下-9）一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合，我们称之为不等式的解集（R必修5-3.3）
2. 分析
（1）方程的本质：未知数（变量？）；等式
不等式的本质：未知数，不等号
（2）知识储备：
（1 代数式
（2 等式的性质，不等式的性质
（3 整式的运算
3.2 代数式及其运算（整式，分式及其运算）
1.知识点
单项式：由数或字母的积组成的式子叫做单项式
多项式：几个单项式的和叫做多项式
分式：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B正含有字母，那么式子A
B
叫做分式
代数式的四则运算
2.知识技能储备分析：
（1整数，分数的意义及其四则运算
（2字母代替数的思想，能用字母代替数列式表示数量关系3.3 平面直角坐标系
3.4 小学找规律问题
4.1等式和不等式的性质
1.等式的性质：
性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或式，等式仍然成立.
若a b =，则a m b m ±=±；
性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或式，等式仍然成立.
若a b =，则am bm =，
a b m m
=(0)m ≠. 2.知识储备：
数的四则运算
函数的三大性质——单调性，奇偶性，周期性
1.教材知识归纳
单调性（R 必修1-2.1）：
一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆，如果区间M 中的任意两个值12,x x ，改变量210x x x ∆=->，则当12()()0y f x f x ∆=->时，就称函数()y f x =在区
间M 上是增函数；当12()()0y f x f x ∆=-<时，就称函数()y f x =在区间M 上是减函数。
如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性.区间M 称为单调区间.
奇偶性（R 必修1-2.1）：
设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有一个x D -∈，且 ()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数；
设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有一个x D -∈，且 ()()g x g x -=，则这个函数叫做偶函数；
周期性（R 必修4-1.3）
一般地，对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.
如果周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.
2. 单调性分析
（1）关于定义：高中函数单调性是一个完全形式化的抽象定义，包含很多数学符号。
它是中学函数增减性质更严谨的表述；函数单调性的表达方式具有多样性，它不仅能用表格、图象表示，还能用符号语言表示，甚至还可以用自然语言描述。
（2）知识技能储备：
（1 集合，区间等定义
（2 以集合语言定义的函数；函数值的求解；函数的图像表示
（3初中关于函数增减性及其图像的直观认识
（4 能进行单一“数”或“形”的运算以及进行“数”与“形”相结合的运算，即要求在符号语言（函数解析式等）、图表语言、文字语言之间进行灵活转换，能用准确的语言表达相应的函数变化规律（H-9）
（5 够发现数量之间变化的依赖关系(H-9)。