函数的概念知识体系

函数的概念

1.（1）概念表述

设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 和它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作：(),y f x x A =∈ 其中，x 叫做自变量，自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域

如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a =或|x a y =，所有函数值构成的集合}{|(),y y f x x A =∈叫做函数的值域．（R.必修1-2.1） （2）求函数定义域

（3）求函数值及函数值域

2. 分析：

（1）概念内涵：变量与对应关系

概念外延：定义域，值域，符号表示，三种表达：解析式，图像，列表 （2）高中函数概念学习的知识与技能储备：

（1集合：包括集合的概念及表示方法，区间的概念，空集的概念，元素与集合的关系及其表示

（2全称量词与存在量词的理解，逻辑联接词“非”

（3初中的函数概念（变量，对应，单值性）

（4 初中阶段关于函数的三种表达方式：列表，图像，解析式

（5 一定辩证逻辑的思维能力（H-4）

2.1集合

集合的概念：

一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，这个整体就是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）（R 必修1-1.1） 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈.

集合的三大性质：确定性，互异性，无序性

集合的表示：列举法，描述法

空集的概念：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作

2.2全称量词与存在量词的理解，逻辑联接词“非”

2.3初中的函数概念（变量，对应，单值性）及三种表示方式

1.初中函数概念：

一般地，设在一个变化的过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数（R八上-14）

2. 分析

（1）概念内涵：变量y随变量x的值对应变化规律

概念外延：三种表示方式

（2）知识和技能储备：

变量的理解：二元一次方程，不等式，代数式，小学找规律问题（H-7）

三种表示方式：平面直角坐标系

2.4 辩证逻辑的思维能力

朱文芳(1999)博士考察了初中生的函数概念发展水平，并进行了数据分析，撰写了论文《初中生函数概念的发展研究》。她的研究结果表明：初中生函数概念的发展存在着较为特殊的年龄特征；学生所接受的学校教育的内容显著地影响其函数概念的发展水平：初中生进行正与反、肯定与否定之间转化的辨证思维能力还比较差；初中生将近一半的人不能用运动、变化的观点来看待问题；初二是学生函数概念发展的一个转折点，从初二以后，学生无论是进行文字信息，还是图形信息加工的能力都有明显地增强，但将文字信息和图形信息进行转换的能力还很低；在考查同类问题的联系时，学生还不能脱离开问题的实际内容来理解抽象概括的数量关系。（H-8）

初中生以形式逻辑思维水平为主，而高中生在继续完善形式逻辑思维发展的水平下，辩证思维发展开始逐渐占主流。（H-9-45）

3.1方程：一元一次及二元一次方程

1.相关知识点：

方程就是含有未知数的等式. 如果返程中只含有一个未知数（元），并且未知数的最高次数为1，这样的方程叫做一元一次方程.

解方程是求使得方程左边和右边相等的未知数值的过程，有时也称其为方程的根.

（R七上-3）

二元一次方程：含有两个未知数(元)，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.（R七下-8）

用不等符号连接的式子就是不等式；使不等式成立的未知数的值称为不等式的解；（R 七下-9）一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合，我们称之为不等式的解集（R必修5-3.3）

2. 分析

（1）方程的本质：未知数（变量？）；等式

不等式的本质：未知数，不等号

（2）知识储备：

（1 代数式

（2 等式的性质，不等式的性质

（3 整式的运算

3.2 代数式及其运算（整式，分式及其运算）

1.知识点

单项式：由数或字母的积组成的式子叫做单项式

多项式：几个单项式的和叫做多项式

分式：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B正含有字母，那么式子A

B

叫做分式

代数式的四则运算

2.知识技能储备分析：

（1整数，分数的意义及其四则运算

（2字母代替数的思想，能用字母代替数列式表示数量关系3.3 平面直角坐标系

3.4 小学找规律问题

4.1等式和不等式的性质

1.等式的性质：

性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或式，等式仍然成立.

若a b =，则a m b m ±=±；

性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或式，等式仍然成立.

若a b =，则am bm =，

a b m m

=(0)m ≠. 2.知识储备：

数的四则运算

函数的三大性质——单调性，奇偶性，周期性

1.教材知识归纳

单调性（R 必修1-2.1）：

一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆，如果区间M 中的任意两个值12,x x ，改变量210x x x ∆=->，则当12()()0y f x f x ∆=->时，就称函数()y f x =在区

间M 上是增函数；当12()()0y f x f x ∆=-<时，就称函数()y f x =在区间M 上是减函数。

如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性.区间M 称为单调区间.

奇偶性（R 必修1-2.1）：

设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有一个x D -∈，且 ()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数；

设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有一个x D -∈，且 ()()g x g x -=，则这个函数叫做偶函数；