21.4 第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题

即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
2.25a+k=3.05， k=3.5， 解得 a=－0.2， k=3.5，
所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
当 x=－2.5时，y=2.25 .
y
故该运动员出手时的高度为2.25m. O
x
当堂练习
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式 h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过 的时间，则球在 4 s后落地. 2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度 y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 y 1 x 2 1 x 3 ，
则最大的正整数为4．
答：最多可安装4扇窗户.
课堂小结
转化 实 际 问 题
（实物中的抛物线形问题）
数 学 模 型 回归
（二次函数的图象和性质）
拱 桥 问 题 运动中的抛 物 线 问 题 转化的关键
建立恰当的 直角坐标系
① 能够将实际距离准确 的转化为点的坐标；
② 选择运算简便的方法.
课后作业
见《学练优》本课时练习
解得 t1 0.3s, t2 1.7s 排球在上升和下落中，各有一次经过2.5m高度， 但第一次经过是离排球被垫起仅有0.3s，要打快攻， 选择此时扣球，可令对方措手不及，易获成功.
例3：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距
离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运
行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，
当x=450－50=400（m）时，得
y 1 4002 0.5 64.5(m) 2500
y
-450
O
450 x
练一练
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为
20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中， 求出这条抛物线表示的函数的解析式；
y C 解：设该拱桥形成的抛 O h 20 m D B
2
1 h 10t 10t 2 2
因为抛物线开口向下，顶点坐标为（1,5）. 即上升的最大高度为5m.
(2) 已知某运动员在2.5m高度时扣球效果最佳，如果 她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣 球最佳？
1 h v0 t gt 2 2
解：当h=2.5 m时，得
10t 5t 2 2.5
解得
y
a 81 1 4502 2500
y
故所求表达式为
1 x 2 0.5(450 x 450) 2500
-450
O
450
x
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索
的长. 解：当x=450－100=350（m）时，得
y 1 3502 0.5 49.5(m) 2500
如何确定a是多少？
-2
-1 -2
1
2
A
已知水面宽4米时，拱顶离水 面高2米，因此点A（2，-2） 在抛物线上，由此得出 解得
因此，
2 ag22 1 a 2
y 1 2 x 2
-4
，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是
拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水
面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
上的初始速度，g是重力加速度(取g=10m/s2), t是物体
抛出后经过的时间. 在一次排球比赛中，排球从靠近
地面处被垫起时竖直向上的 初始速度为10m/s. (1)问排球上升的最大高度是 多少？
1 2 h v t gt (1)问排球上升的最大高度是多少？ 0 2
解：根据题意， 得
h 5t 1 5t 0
7 ∴﹣5.6=36a，a . 45
∴抛物线的表达式为 y
7 2 x . 45
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，
窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相
邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角 所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算 最多可安装几扇这样的窗户？
讲授新课
一 利用二次函数解决实物抛物线形问题
合作探究
你能想出办法来吗？ 建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物 线，所以应当是个二 次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标系是（0.0），因此这个 2 二次函数的形式为 y ax
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
2.45 x 2.45
现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？ 水面宽3m时 从而
3 x 2 2
1 3 9 y 1.125 2 2 8
因此拱顶离水面高1.125m
y
我们来比较一下
（2，2）
坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
y y y
O
x
x
O
x
O
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
（3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c
导入新课
问题引入
如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱 桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米. 现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样 变化．你能想出办法来吗？
y
●
B(1,2.25)
A (0,1.25)
●
D
o
●
x
C
5.某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如
图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成， 矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的 表达式．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 . ∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中 心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度 是多少米？
解：如图，建立直角坐标系.
则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的 位置为B（0，3.5）. 以点C表示运动员投篮球的出手处. y
O
x
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，
学练优九年级数学上（HK） 教学课件
21.4 二次函数的应用
第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物 线问题
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
导入新课
情境引入
我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州 观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛
美丽的广州吧！
如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的
（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点， D点坐标为（k，t），已知窗户高1.6m，
∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4
∴
4 7 2 k 45
，解得k=
6 35 7
，
即k1≈5.07，k2≈﹣5.07 ∴CD=5.07×2≈10.14（m） 设最多可安装n扇窗户，
∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．
地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.
已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面 的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立 平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表
达式； y
-450
4. 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处 安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱
子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相
同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成
水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果
不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷 出的水流不致落到池外？
解：建立如图所示的坐标系， 根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为 (1，2.25).
y
●
B(1,2.25)
数学化
●
A (0,1.25)
D
o
●
x
C
设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛 物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点 D的坐标为(-2.5,0) . 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半 径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
O
450
x
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建
立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函 数表达式； 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），
对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.
抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得
81.5=a•4502+0.5.
y
（0，0）
o
x
o
（0，0）
（4，0） x
（-2，-2）
（2，-2）
y （0，2）
（-2，2） 谁最 合适
y
（-2，0）
o
（2，0）
o x
（-4，0）
（0，0） x
知识要点
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图象 和性质求解