八年级数学轴对称最短路径题专题难点训练
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A． B． C． D．
3．已知 ，点 在 的内部， ，在 、 上分别取点 、 ，使 的周长最短，则 周长的最小值为（）
A．4B．8C．16D．32
4．如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是( )
A．PAB．PBC．PCD．PD
5．已知M（3，2），N（1，－1），点P在 轴上，且PM＋PN最短，则点P的坐标是（）
根据轴对称的性质，则
OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠P2OB=∠POB，MP=MP1，NP=NP2,
∴△PMN的周长的最小值= P1P2，
∵ ，
∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴△OP1P2为等边三角形，
∴P1P2=OP1=OP2=OP=8；
故选择：B.
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，以及轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质进行求三角形周长的最小值.
8．若 中， ，且最长边为 ，则最短边长为______ .
三、解答题
9．如图，已知 ，请你用尺规在 边上找一点 ，使得 的长度最短．
10．在△ABC中，已知∠A= ∠B= ∠C，它的最长边是8 cm，求它的最短边的长.
11．如图
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)在x轴上是否存在点P，使得PA+PB最短，最短距离是多少？
故选D
考点：轴对称，一次函数的性质
6．PC垂线段最短
【解析】
【分析】
根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可．
【详解】
解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点P作PC⊥l于点C，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：PC，垂线段最短．
【点睛】
本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
7．7
【解析】
【分析】
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM＋MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
4．B
【解析】
如图，PB是点P到a的垂线段，
∴线段中最短的是PB.
故选B.
5．D
【解析】
试题分析：
作点N关于y轴的对称点N1（-1，-1），连接N1M交x轴于P，
∵M的坐标是（3，2），
∴直线N1M的函数解析式为y= x- ，
把P点的坐标（0，n）代入解析式可得n=- ．
∴点P的坐标是（0，- ）．
故答案是：见解析
【点睛】
此题主要考查了过一点作直线的垂线、垂线段最短，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．
10．4cm
【解析】
【分析】
设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，根据三角形的内角和定理求得每个角的度数，从而得出三角形是直角三角形，再由在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半求得答案即可．
故选C．
3．B
【解析】
【分析】
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N，则此时 周长的最小值等于线段P1P2，只要证明△OP1P2为等边三角形，即可求解.
【详解】
解：如图，分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N，
∴最短边长= .
故答案为：5.
【点睛】
本题主要考查含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半.
9．见解析
【解析】
【分析】
过点 作 的垂线交 于点 ，垂线段 即为所求．
【详解】
解：①以 为圆心，以任意长为半径画弧，交 于点 、点 ；②分别以点 、点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ；③作垂线 交 于点 ，垂足为点 ，垂线段 即为所求．
(3)直接写出A1B1C1三点的坐标.
12．如图，有一只蚂蚁想从A点沿正方体的表面爬到G点，走哪一条路最近？
(1)请你利用部分平面展开图画出这条最短的路线，并说明理由．
(2)探究若这只蚂蚁在正方体上爬行的最短路线，请你找出所有的最短路线，并画出示意.
13．如图，已知 ．
（1）画 关于x轴对称的 ；
（2）在 轴上画出点 ，使 最短．
八年级数学轴对称最短路径题专题难点训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，从A到B最短的路线是（）
A． B． C． D．
2．如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是（ ）
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ BC•AD＝ ×2×AD＝6，解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM＋MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM＋MD）＋BD＝AD＋ BC＝6＋ ×2＝6＋1＝7cm．
故答案为7cm．
【点睛】
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
A．（0， ）B．（0，0）C．（0， ）D．（0， ）
二、填空题
6．如图，要从村庄P修一条连接公路 的最短的小道，应选择沿线段________修建，理由是________．
7．如图，等腰△ABC的底边BC的长为2cm，面积是6cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F．若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为____________cm．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据两点之间线段最短判断路线即可．
【详解】
根据两点之间线段最短,可知从A点到E点最短路线是:A－F－E,则A到B最短路线是:A－F－E－B．
故选C．
【点睛】
本题考查最短路径的应用,关键在于牢记基础知识．
2．C
【解析】
根据对称的性质以及两点之间线段最短可知选项C是正确的．
8．5
【解析】
ຫໍສະໝຸດ Baidu【分析】
根据比例可设 分别为k、2k、3k，然后根据三角形的内角和为180°，求得各角的度数，再根据直角三角形中30°所对直角边为斜边的一半即可得解.
【详解】
∵ ，
∴设 分别为k、2k、3k，
∵k+2k+3k=180°，
∴k=30°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∵最长边为 ，
3．已知 ，点 在 的内部， ，在 、 上分别取点 、 ，使 的周长最短，则 周长的最小值为（）
A．4B．8C．16D．32
4．如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是( )
A．PAB．PBC．PCD．PD
5．已知M（3，2），N（1，－1），点P在 轴上，且PM＋PN最短，则点P的坐标是（）
根据轴对称的性质，则
OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠P2OB=∠POB，MP=MP1，NP=NP2,
∴△PMN的周长的最小值= P1P2，
∵ ，
∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴△OP1P2为等边三角形，
∴P1P2=OP1=OP2=OP=8；
故选择：B.
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，以及轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质进行求三角形周长的最小值.
8．若 中， ，且最长边为 ，则最短边长为______ .
三、解答题
9．如图，已知 ，请你用尺规在 边上找一点 ，使得 的长度最短．
10．在△ABC中，已知∠A= ∠B= ∠C，它的最长边是8 cm，求它的最短边的长.
11．如图
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)在x轴上是否存在点P，使得PA+PB最短，最短距离是多少？
故选D
考点：轴对称，一次函数的性质
6．PC垂线段最短
【解析】
【分析】
根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可．
【详解】
解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点P作PC⊥l于点C，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：PC，垂线段最短．
【点睛】
本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
7．7
【解析】
【分析】
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM＋MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
4．B
【解析】
如图，PB是点P到a的垂线段，
∴线段中最短的是PB.
故选B.
5．D
【解析】
试题分析：
作点N关于y轴的对称点N1（-1，-1），连接N1M交x轴于P，
∵M的坐标是（3，2），
∴直线N1M的函数解析式为y= x- ，
把P点的坐标（0，n）代入解析式可得n=- ．
∴点P的坐标是（0，- ）．
故答案是：见解析
【点睛】
此题主要考查了过一点作直线的垂线、垂线段最短，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．
10．4cm
【解析】
【分析】
设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，根据三角形的内角和定理求得每个角的度数，从而得出三角形是直角三角形，再由在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半求得答案即可．
故选C．
3．B
【解析】
【分析】
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N，则此时 周长的最小值等于线段P1P2，只要证明△OP1P2为等边三角形，即可求解.
【详解】
解：如图，分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N，
∴最短边长= .
故答案为：5.
【点睛】
本题主要考查含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半.
9．见解析
【解析】
【分析】
过点 作 的垂线交 于点 ，垂线段 即为所求．
【详解】
解：①以 为圆心，以任意长为半径画弧，交 于点 、点 ；②分别以点 、点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ；③作垂线 交 于点 ，垂足为点 ，垂线段 即为所求．
(3)直接写出A1B1C1三点的坐标.
12．如图，有一只蚂蚁想从A点沿正方体的表面爬到G点，走哪一条路最近？
(1)请你利用部分平面展开图画出这条最短的路线，并说明理由．
(2)探究若这只蚂蚁在正方体上爬行的最短路线，请你找出所有的最短路线，并画出示意.
13．如图，已知 ．
（1）画 关于x轴对称的 ；
（2）在 轴上画出点 ，使 最短．
八年级数学轴对称最短路径题专题难点训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，从A到B最短的路线是（）
A． B． C． D．
2．如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是（ ）
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ BC•AD＝ ×2×AD＝6，解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM＋MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM＋MD）＋BD＝AD＋ BC＝6＋ ×2＝6＋1＝7cm．
故答案为7cm．
【点睛】
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
A．（0， ）B．（0，0）C．（0， ）D．（0， ）
二、填空题
6．如图，要从村庄P修一条连接公路 的最短的小道，应选择沿线段________修建，理由是________．
7．如图，等腰△ABC的底边BC的长为2cm，面积是6cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F．若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为____________cm．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据两点之间线段最短判断路线即可．
【详解】
根据两点之间线段最短,可知从A点到E点最短路线是:A－F－E,则A到B最短路线是:A－F－E－B．
故选C．
【点睛】
本题考查最短路径的应用,关键在于牢记基础知识．
2．C
【解析】
根据对称的性质以及两点之间线段最短可知选项C是正确的．
8．5
【解析】
ຫໍສະໝຸດ Baidu【分析】
根据比例可设 分别为k、2k、3k，然后根据三角形的内角和为180°，求得各角的度数，再根据直角三角形中30°所对直角边为斜边的一半即可得解.
【详解】
∵ ，
∴设 分别为k、2k、3k，
∵k+2k+3k=180°，
∴k=30°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∵最长边为 ，