八年级数学轴对称最短路径题专题难点训练

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初中数学八年级上册课题学习_最短路径问题练习题含答案

初中数学八年级上册课题学习最短路径问题练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 如图，已知Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=3，BC=4，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的动点，则DE+EF+FD的最小值为（）A.4.8B.6C.10D.无法确定2. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在矩形内部，且满足S PCD=1 4S长方形ABCD，则点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值为( )A.8B.10C.14D.2√133. 如图，直线l表示石家庄的太平河，点P表示朱河村，点Q表示黄庄村，欲在太平河l 上修建一个水泵站（记为点M），分别向两村供水，现有如下四种修建水泵站供水管道的方案，图中实线表示修建的管道，则修建的管道最短的方案是（）A. B. C. D.4. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )A. B.C. D.5. 如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P从点A出发，沿AB→BC的路径匀速运动，当点C停止，过点P作PQ//BD，PQ与边AD(或边CD)交于点Q，PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(s)的函数关系图象如图②所示，当点P运动2.5s时，PQ的长是（）cm．A.5√2B.√2C.4√2D.3√26. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15∘，P为CD上的动点，则|PA−PB|的最大值是（）A.4B.5C.6D.87. 如图，一个实心圆柱高8cm，底面周长为30cm，一只蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（）)cm C.√161cm D.2√241cmA.17cmB.(8+30π8. 已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=60∘，AB=BC=2，对角线BD平分∠ABC，E是BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，则PE+PC的最小值为（）A.√3B.3C.2D.√229. 如图，在长方体中，AB=5，BC=4，CC1=3，动点从A1出发沿长方体的表面运动到达C点，则动点的最短距离是()A.√90B.√80C.√78D.√7410. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )A.6B.8C.10D.1211. 一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，有一只小虫从底部点A处爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是(π取3)________．AC，AB=8，E是AB上12. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=30∘，∠C=90∘．AD=14任意一点，F是AC上任意一点，则折线DEFB的最短长度为________．13. 小明在广场上散步，先向东走12m后，再向北又走了9m，现要以最短距离________m回到原地．14. 如图，菱形ABCD中，∠BAD=45∘，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于2，则AB=________．15. 对于平面直角坐标系中的线段MN及点Q，给出如下定义：若点Q满足QM=QN，则称点Q为线段MN的“对称点”；当QM=QN=MN时，称点Q为线段MN的“完美对称点”．（1）如图1，点A坐标为(4,0)，有点Q1(0,4),Q2(2,−4)，Q3(1,√3)，则线段OA的“对称点”是________．（填“Q1”"Q2"或 "Q3"）(2)如图2，已知Q(2,2√3)为线段OA的“完美对称点”，D为线段OQ的中点，B为线段OA 的一个“对称点”，则BO+BD的最小值为________．16. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是________.17. 圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是________．18. 如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF 交AC于点F，若D为BC边上的动点，M为线段EF上一动点，则BM+DM最小值为________．19. 如图，已知蚂蚁沿着长为2的正方体表面从点A出发，经过3个侧面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此经过3个侧面的最短路径长为________．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0),B(3,0)，点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等边△APQ，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为________.21. 如图，若∠AOB=30∘，点P在∠AOB内，且OP=2cm，分别在OA、OB上找一点E，F使△PEF的周长最小，并求△PEF的周长最小值．22. 如图，有一个圆柱高为6cm，底面半径为2cm，圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底边与点A相对B处的食物，需要爬行的最短路程是多少(π取3)？23. 在直线m上找一点C，使CA+CB的值最小．24. 如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖．已知长方体木块的长、宽、高分别为10cm、8cm、6cm，试计算小蚂蚁爬行的最短距离．25. 有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图所示，在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．（1）蜘蛛要从点Q处沿圆柱体表面去吃点P处的苍蝇，请在图中大致画出蜘蛛爬行的最短路径；（2）求蜘蛛爬行的最短路径长．(π取3)26. 如图，一正方形的棱长为2，一只蚂蚁在顶点A处，在顶点G处有一米粒．（1）问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少？（2）在蚂蚁刚要出发时，突然一阵大风将米粒吹到了GF的中点M处，问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少？x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0, 2)的距离27. 已知抛物线y=14x2+1上一个与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为(√3,3)，P是抛物线y=14动点．(1)若PF=5，求点P的坐标；(2)求△PMF周长的最小值.28. 同学们在灯管上缠绕5cm彩带．已知灯管长100cm，灯管截面圆的周长是15cm，彩带至少应剪多长？29. 如图所示，P、Q是△ABC中AB、AC边上的点，你能在BC边上确定一点R，使△PQR的周长最小吗？30. 如图，Q为马厩甲，AB为草地边缘（下方为草地），CD为一河流，放牧人欲从马厩甲牵马先去草地M处让马吃草，然后到河边N处饮水，最后回到马厩乙P．请你帮他确定一条最佳行走路线QM→MN→NP，使其所走路程最短.31. 判断说理：元旦联欢会上，八年级(1)班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由．32. 如图，矩形ABCD，AB=6cm，AD=12cm，P是AB上的动点，Q是AD上的动点．P以1cm/s的速度从B到A，Q以2cm/s的速度从A到D，P到A（或Q到D）时停止运动．求PQ+QC最小值．33. 如图，A，B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．(1)若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？(2)若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．34. 如图，在四边形ABCD中，P为BC的中点，试在CD边上找一点Q，使△APQ的周长最小．35.作图题：现要在形如△ABC的地面范围内建一中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．（要求：保留作图痕迹，并用适当的文字说明作图方法）36. 如图，有一只蚂蚁从一个圆柱体的A点沿着侧面绕圆柱至少一圈爬到B点，已知圆柱的底面半径为1.5cm，高为12cm，则蚂蚁所走过的最短路径是多少？(π取3)37. 在一条笔直公路上分布A，B，C，D，E五个工厂（各相邻工厂之间的距离均不相等），为方便这些工厂的员工，现要在公路上设一个汽车站，使各工厂到汽车站的距离之和最小．【简化分析】(1)假若由三个工厂A，B，C时，汽车站的位置有五种情形：①A厂门口，②AB之间，③B厂门口，④BC之间，⑤C厂门口.【分类讨论】①当车站设在A工厂门口时，则A厂到汽车站的距离为0，B厂到汽车站的距离为AB，C厂到汽车站的距离为AB＋BC，所以各工厂到车站的距离之和为________②当车站设在A，B两工厂之间的P点时，则A厂到汽车站的距离为AP，B厂到汽车站的距离为BP，C厂到汽车站的距离为BP+BC，所以各工厂到车站的距离之和为_________③当车站设在B工厂门口，则各工厂到汽车站的距离之和为_________④当车站设在B，C两工厂之间的Q点时，则各工厂到汽车站的距离之和为_________⑤当车站设在C工厂门口，则各工厂到汽车站的距离之和为________【总结归纳】综上可知：汽车站设在________时，各工厂到汽车站的距离之和最小.【问题解决】 (2)当有A，B，C，D，E五个工厂时，汽车站设在哪里，才能使各工厂到汽车站的距离之和最小？请说明理由.38. 如图，A,B,C,D为四家超市，其中超市D距A,B,C三家超市的路程分别为25km，10km，5km.现计划在A,D之间的道路上建一个配货中心P，为避免交通拥堵，配货中心与超市之间的距离不少于2km.假设一辆货车每天从P出发为这四家超市送货各次，由于货车每次仅能给一家超市送货，因此每次送货后均要返回配货中心P，重新装货后再前往其他超市.设P到A的路程为xkm，这辆货车每天行驶的路程为ykm.(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)直接写出配货中心P建在什么位置，这辆货车每天行驶的路程最短？最短路程是多少?39. 如图，一块砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是多少？40. 下图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）参考答案与试题解析初中数学八年级上册课题学习最短路径问题练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【考点】轴对称——最短路线问题【解析】此题暂无解析【解答】解：如图作F关于直线AB的对称点M，作F关于直线BC的对称点N，连接BM，BN，BF，EF，EN，DE，DM．∵∠MBA=∠FBA，∠CBN=∠CBF，∠ABF+∠CBF=90∘，∴∠MBF+∠FBN=180∘，∴M、B、N共线，∵DF+DE+EF=DM+DE+EN，∵DM+DE+EN≥MN，∴当D、E、M、N共线时，且BF⊥AC时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2BF，∵BF⊥AC，∴12⋅AC⋅BF=12⋅AB⋅AC，∴BF=AB⋅BCAC =125=2.4，∴DE+EF+FD的最小值为4.8．故选A．2.【答案】B【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】解：∵S PCD=14S长方形ABCD，设△PCD的CD边上的高为ℎ∴12CD⋅ℎ=14CD⋅AD，又AD=8，∴ℎ=4,∴动点P在与CD平行且与CD的距离为4的直线l上，如图，作D关于直线l的对称点A，连接AC，则AC的长就是所求的最短距离.在Rt△ADC中，CD=AB=6，AD=8∴AC=√AD2+CD2解得AC=10.故选B.3.【答案】B【考点】轴对称——最短路线问题【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连结QP′交直线l于M，根据两点之间，线段最短，可知选项B修建的管道，则所需管道最短．故选B.4.【答案】D【考点】轴对称——最短路线问题【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连结QP′交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，所需管道最短．故选D．5.【答案】A【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA−PB|的值最大的点，|PA−PB|=A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45∘，∠ACB=90∘，根据三角形的内角和得到∠ACD=75∘，于是得到∠CAA′=15∘，根据轴对称的性质得到A′C=BC，∠CA′A=∠CAA′=15∘，推出△A′BC是腰三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【解答】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA−PB|的值最大的点，|PA−PB|=A′B，连接A′C，∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∴∠CAB=∠ABC=45∘，∠ACB=90∘，∵∠BCD=15∘，∴∠ACD=75∘，∴∠CAA′=15∘，∵AC=A′C，∴A′C=BC，∠CA′A=∠CAA′=15∘，∴∠ACA′=150∘，∵∠ACB=90∘，∴∠A′CB=60∘，∴△A′BC是等腰三角形，∴A′B=BC=4．故选A．7.【答案】A【考点】平面展开-最短路径问题【解析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AC和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可．【解答】如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程．×30＝15(cm)，∠C＝90∘，BC＝8cm，在Rt△ABC中，∵AC=12∴AB=√AC2+BC2=17(cm)．故选：A．8.【答案】A【考点】轴对称——最短路线问题【解析】根据菱形的判定，得出平行四边形ABCD为菱形，作出E关于BD的对称点E′，转化为线段长度的问题，再根据等边三角形的性质判断出△BCE′为直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．【解答】解：∵BA=BC=2，∴平行四边形ABCD为菱形．∴∠ABD=∠CBD，∴BD是∠ABC的平分线．作E关BD的对称点E′，连接CE′，PE，则PE=PE′，此时，PE+PC=PE′+PC=CE′，CE′即为PE+PC的最小值．∵∠ABC=60∘，又∵BE′=BE，∴△E′BE为正三角形，EE′=1，∠ABE=60∘，故EE′=EC，∠EE′C=∠ECE′=30∘，∴∠BE′C=60∘+30∘=90∘，在Rt△BCE′中，CE′=√22−12=√3．故选：A．9.【答案】D【考点】平面展开-最短路径问题【解析】连接AC1，求出AC1的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时AC1的长，再找出最短的即可．【解答】解：展开成平面后，连接AC1，则AC1的长就是绳子最短时的长度，分为三种情况：如图1，AB=5，BC=4，CC1=BB1=3，在Rt△ABC′中，由勾股定理得：AC1=√AB2+(BB1+B1C1)2=√25+49=√74；如图2，AC=5+4=9，CC1=3，在Rt△ACC1中，由勾股定理得：AC1=√AC2+CC12=√81+9=√90>√74，如图3，同法可求AC1=√(3+5)2+42=√80>√74，即绳子最短时的长度是√74，故选D．10.【答案】C【考点】轴对称——最短路线问题【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF 的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD＝16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+1BC=8+1×4=8+2=10．故选C.二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】30cm【考点】平面展开-最短路径问题【解析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是地面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．【解答】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC =3×16÷2=24，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB =√AC 2+BC 2=√242+182=30cm ．故答案为：30cm ．12.【答案】 √67【考点】轴对称——最短路线问题【解析】利用轴对称求最短路径的方法，重新构造直角三角形，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：作D 点关于AB 的对称点D′，B 点关于AC 的对称点B′，连接D′B′分别交AB 于点E ，AC 于点F ，作B′R ⊥AB ，过点D′作D′W ⊥B′R 于点W ，∵ ∠CAB =30∘，∠C =90∘．AD =14AC ，AB =8， ∴ BC =4，AC =4√3，则AD =√3，BB′=8，B′R =4√3，∴ DT =12AD =√32，AT =√AD 2−DT 2=32，BR =4， ∴ RW =√32，D′W =8−32−4=52， ∴ B′W =9√32，B′D′=√D′W 2+B′W 2=(52)(9√32)=√67．故答案为：√67．13.【答案】15【考点】勾股定理路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设小明散步原地为O，则先向东走12m到达A点后，再向北又走了9m到达B点，则要回到原地，最短行走距离为OB的距离，根据勾股定理可得OB=√122+92=15m.故答案为：15.14.【答案】2√2【考点】轴对称——最短路线问题【解析】先找出点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′F⊥BC于F，交AC于P，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知E′F为PE+PF的最小值的最小值，过点B作BG⊥AD 于G，解直角三角形求出AB即可．【解答】解：如图，点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′F⊥BC于F，交AC于P，即E′F为PE+PF的最小值.过点B作BG⊥AD于G，易知BG=FE′=2，在Rt△ABG中，∠BAG=45∘，∴AB=BG÷sin45∘=2√2.故答案为：2√2.15.【答案】Q22．【考点】图形间的距离定义新图形路径最短问题坐标与图形性质【解析】（1）找到OA的垂直平分线即可找到对应的点．（2）利用“完美对称点”的特征，作出图象，从而确定最小值．【解答】解：(1)当点Q满足QO=QA时，Q为OA的“对称点”，∴ Q在线段OA的垂直平分线上，∵ A(4,0)，∴ 线段OA的垂直平分线是直线x=2，∵Q2(2,−4)，∴ 线段OA的“对称点”是Q2.故答案为：Q2．∵ Q(2,2√3)为线段OA的“完美对称点”，∴ QO=OA=QA，∴ △QOA是等边三角形，过点Q作QH⊥OA于H，则直线QH为线段AO的垂直平分线，如图：∵ B为线段OA的一个“对称点”，∴ BO=BA，∴ B是直线QH上的一点，显然，当Q、B重合时，BQ+BD有最小值，此时BQ+BD=BD，∵ Q(2,2√3)，∴ OQ=√22+(2√3)2=4，∵ D为线段OQ的中点，∴ DQ=12OQ=12×4=2，∴ BD=2，∴ BQ+BD的最小值为2. 故答案为：2.16.【答案】7【考点】轴对称——最短路线问题根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴B，C关于EF对称.设AC交EF于点D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，∴△ABP周长的最小值是4+3=7.故答案为：7.17.【答案】【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】6cm【考点】轴对称——最短路线问题【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=12，解得AD=6cm，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴BM+DM最小值为6cm.故答案为：6cm．19.2√17【考点】平面展开-最短路径问题【解析】将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长．【解答】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，AB=√82+22=2√17，故答案为：2√17．20.【答案】2【考点】勾股定理路径最短问题【解析】【解答】解：当PQ//x轴时QB长度最小，设Q(m，n)，P(0，n)，△APQ为等边三角形，∴1+n2=(m−1)2+n2，解得m=2或m=0（舍），∴PQ=PA=m=2，∴1+n2=4，解得n=√3，故BQ=√3+1=2.故答案为：2.三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小．从图上可看出△PEF的周长就是P1P2的长，∵∠AOB=30∘，∴∠P1OP2=60∘．∵OP1=OP2，∴△OP1P2是等边三角形．∴P1P2=OP1=OP=2cm．∴△PEF周长的最小值是2cm．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小，然后根据∠AOB=30∘，点P在∠AOB内，点E、F分别在边OA、OB上移动，如果OP=2cm，可求出值．【解答】解：作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小．从图上可看出△PEF的周长就是P1P2的长，∵∠AOB=30∘，∴∠P1OP2=60∘．∵OP1=OP2，∴△OP1P2是等边三角形．∴P1P2=OP1=OP=2cm．∴△PEF周长的最小值是2cm．22.【答案】需要爬行的最短路程是6√2cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】要想求得最短路程，首先利用BC长等于底面圆的一半，即可求出BC的长．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．【解答】解：利用展开图，根据题意可得：BC=2π≈6cm，AC=6cm，AB=√BC2+AC2=6√2(cm)，23.【答案】解：如图，点C即为所求．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作点A关于直线m的对称点A′，连接A′B交直线m于点C，则CA+CB的值最小．【解答】解：如图，点C即为所求．24.【答案】解：展开后有三种不同的情况如图，如图1，AB=√(10+8)2+62=√360，如图2，AB=√102+(6+8)2=√296，如图3，AB=√82+(10+6)2=√320，∵√296<√320<√360，∴小蚂蚁爬行的最短路线为√296cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】根据题意画出不同数值的三种情况，根据勾股定理求出每种情况的AB，再比较即可．【解答】解：展开后有三种不同的情况如图，如图1，AB=√(10+8)2+62=√360，如图2，AB=√102+(6+8)2=√296，如图3，AB=√82+(10+6)2=√320，∵√296<√320<√360，∴小蚂蚁爬行的最短路线为√296cm．25.【答案】蜘蛛爬行的最短路径长是3√5cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】（1）划出符合条件的QP即可；（2）展开后构造直角三角形，根据勾股定理求出线段QP的长即可．【解答】解：（1）如图：（2）如图，沿AA1剪开，过Q作QM⊥BB1于M，连接QP，则PM=8−3−2=3(cm)，QM=A1B1=1×2×π×2=6(cm)，2在Rt△QMP中，由勾股定理得：PQ=√QM2+PM2=√32+62=3√5(cm)，答：蜘蛛爬行的最短路径长是3√5cm．26.【答案】解：（1）如图所示：∵正方形的棱长为2，∴AC=2AB=4，CG=2，AG=√AC2+CG2=√16+4=√20=2√5，∴蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是2√5；（2）如图所示：由题意可知：AN=AB+BN=3，MN=2，∴AM=√AN2+MN2=√32+22=√13，∴蚂蚁要吃到这粒米的最短距离是√13．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】（1）根据图形是立方体得出最短路径只有一种情况，利用勾股定理求出即可．（2）把此正方体的点M所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点M间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于2长，另一条直角边长等于3，利用勾股定理可求得．【解答】解：（1）如图所示：∵正方形的棱长为2，∴AC=2AB=4，CG=2，AG=√AC2+CG2=√16+4=√20=2√5，∴蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是2√5；（2）如图所示：由题意可知：AN=AB+BN=3，MN=2，∴AM=√AN2+MN2=√32+22=√13，∴蚂蚁要吃到这粒米的最短距离是√13．27.【答案】解：(1)由题意可知，当PF=5时，P到x轴的距离为5，∴P(x,5)，将P(x,5)代入y=14x2+1，得5=14x2+1，解得，x=±4，∴点P的坐标为(4,5)或(−4,5).(2)过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示：∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E．又∵点到直线之间垂线段最短，MF=√(√3−0)2+(3−2)2=2，∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．【考点】路径最短问题二次函数的性质二次函数图象上点的坐标特征点到直线的距离垂线段最短【解析】过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F＝P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，【解答】解：(1)由题意可知，当PF=5时，P到x轴的距离为5，∴P(x,5)，将P(x,5)代入y=14x2+1，得5=14x2+1，解得，x=±4，∴点P的坐标为(4,5)或(−4,5).(2)过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示：∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E．又∵点到直线之间垂线段最短，MF=√(√3−0)2+(3−2)2=2，∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．28.【答案】彩带至少应剪125cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】将灯管上缠的彩带展开，得到直角三角形，用勾股定理解答即可．【解答】解：如图，展开后可得AB=15×5=75cm，BC=100cm，AC=√AB2+BC2=√752+1002=125cm．29.【答案】解：如图所示：作P点关于BC的对称点P′，连接P′Q，与BC交于点R，R点即为所求．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作P点关于BC的对称点P′，连接P′Q，与BC交于点R，由两点之间线段最短可知△PQR 周长最小即为所求点．【解答】解：如图所示：作P点关于BC的对称点P′，连接P′Q，与BC交于点R，R点即为所求．30.【答案】解：使其所走路程最短的最佳行走路线QM→MN→NP如图：【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】解：使其所走路程最短的最佳行走路线QM→MN→NP如图：31.【答案】解：如图，假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点．因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点A′，B′，连接A′B′，交两长条桌于C，D两点，则折线ACDB就是捷径．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】利用轴对称得出找到A，B的对称点A′，B′，连接A′B′，交两长条桌于C，D两点，则折线ACDB就是捷径．【解答】解：如图，假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点．因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点A′，B′，连接A′B′，交两长条桌于C，D两点，则折线ACDB就是捷径．32.【答案】解：设t秒后PQ+QC最小，取点P关于AD的对称点P′，连接CP′与AD相交，由轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的使PQ+QC最小的点Q的位置，∵AB=6cm，AD=12cm，∴AP=AP′=6−t，AQ=2t，QD=12−2t，∵AB // CD，∴△AP′Q∽△DCQ，∴AP′CD =AQQD，即6−t6=2t12−2t，整理得，t2−18t+36=0，解得t1=9−3√5，t2=9+3√5（舍去），所以，BP′=AB+AP′=6+(6−9+3√5)=3+3√5，所以，P′C=√BP′2+BC2=√(3+3√5)2+122=3√22+2√5，即PQ+QC最小值是3√22+2√5．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】设t秒后PQ+QC最小，取点P关于AD的对称点P′，连接CP′与AD相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的使PQ+QC最小的点Q的位置，表示AP′、AQ、QD，然后根据△AP′Q和△DCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出t，再表示出BP′，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：设t秒后PQ+QC最小，取点P关于AD的对称点P′，连接CP′与AD相交，由轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的使PQ+QC最小的点Q的位置，∵AB=6cm，AD=12cm，∴AP=AP′=6−t，AQ=2t，QD=12−2t，∵AB // CD，∴△AP′Q∽△DCQ，∴AP′CD =AQQD，即6−t6=2t12−2t，整理得，t2−18t+36=0，解得t1=9−3√5，t2=9+3√5（舍去），所以，BP′=AB+AP′=6+(6−9+3√5)=3+3√5，所以，P′C=√BP′2+BC2=√(3+3√5)2+122=3√22+2√5，即PQ+QC最小值是3√22+2√5．33.【答案】解：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等．(2)作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+ BP是最小的．路径最短问题作图—应用与设计作图线段垂直平分线的性质【解析】根据中垂线和轴对称及三角形的三边关系求解．【解答】解：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等．(2)作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+ BP是最小的．34.【答案】解：如图所示，点Q即为所求点．【考点】轴对称——最短路线问题作PH⊥CD于点H，延长PH到点P′，使P′H=PH，连接AP′交CD于点Q，连接PQ，则D点Q就是△APQ的周长最小的点．【解答】解：如图所示，点Q即为所求点．35.【答案】【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答36.【答案】解：如图所示，∵圆柱的底面半径为1.5cm，高为12cm，∴AC=2π×1.5≈9cm，∴AB=√AC2+BC2=√92+122=15(cm)．答：蚂蚁所走过的最短路径是15cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】根据题意画出圆柱的侧面展开图，再利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图所示，。

13.4轴对称最短路径问题专题练习人教版2024—2025学年八年级上册

13.4轴对称最短路径问题专题练习人教版2024—2025学年八年级上册题型一、两定点一动点作图问题1.如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使P A+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（）A．B．C．D．2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．3.如图，直线l是一条公路，A、B是两个村庄．欲在l上的某点处修建一个车站，直接向A、B两地提供乘车服务．现有如下四种建设方案，图中实线表示铺设的行走道路，则铺设道路最短的方案是（）A．B．C．D．4.为了促进A，B两小区居民的阅读交流，区政府准备在街道l上设立一个读书亭C，使其分别到A，B两小区的距离之和最小，则下列作法正确的是（）A．B．C．D．5.如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（）A．A点B．B点C．C点D．D点题型二、两定点一动点求线段和最小值1.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD⊥BC于D点，AB＝12，．若点E、F分别是线段AD、线段AB上的动点，则BE+EF的最小值是（）A．6B．12C．D．2.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（）A．21B．7C．6D．3.53.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，CD平分∠BCA交AB于点D，点P，Q分别是CD，AC上的动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是（）A．6B．5C．4.8D．44.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值（）A．2.4B．4C．5D．4.85.如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为（）A．8B．9C．10D．126.如图，已知等边△ABC的边长为4，点D，E分别在边AB，AC上，AE＝2BD．以DE为边向右作等边△DEF，则AF+BF的最小值为（）A．4B．4C．4D．47.数形结合是重要的数学思想，借助图形，求解的最小值为．8.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．9.如图，A，B两个小镇在河流CD的同侧，到河的距离分别为AC＝6千米，BD＝14千米，且CD＝15千米，现要在河边建一自来水厂，同时向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最省，并求出总费用是多少？题型三、两定点一动点求周长最小值1.如图，在△ABC中，直线m是线段BC的垂直平分线，点P是直线m上的一个动点．若AB＝7，AC＝4，BC＝5，则△APC周长的最小值是（）A．12B．11C．9D．72.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（）A．8B．3C．6D．43.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）4.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5B．3.5C．4.8D．65.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC 外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若BC＝5，∠CAB＝30°，点P是直线DE 上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（）A．15B．17C．18D．206.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2，3），P A⊥x轴，PB⊥y轴，C是OA的中点，D是OB上的一点，当△PCD的周长最小时，点D的坐标是（）A．（0，1）B．C．D．（0，2）7．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为______8.如图，点A（1，﹣1），B（2，﹣3）（1）点A关于x轴的对称点的坐标为．（2）若点P为坐标轴上一点，当△APB的周长最小时，点P的坐标为．三、一定点二动点线段或周长问题1.如图，在五边形中，∠BAE＝140°，∠B＝∠E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当△AMN的周长最小时，求∠AMN+∠ANM的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°2.如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则△CPD周长的最小值为．3.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，则MQ+PQ+PN的最小值为．四、一定点二动点角度问题1.如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D ＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．100°B．90°C．70°D．80°2，如图，∠MON＝45°，P为∠MON内一点，A 为OM上一点，B为ON上一点，当△P AB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°3.如图，点P为∠AOB内一点，点M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN的周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB的度数是（）A．55°B．50°C．40°D．45°4.已知点P在∠MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若∠MON＝50°，求∠GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当△P AB的周长最小值为6时，求∠MON的度数．五、二定点二动点1.如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°2.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，BC＝3，DC＝4，点E在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE的周长的最小值为．3.如图，锐角∠MON内有一定点A，连结AO，点B、C分别为OM、ON边上的动点，连结AB、BC、CA，设∠MON＝α（0°＜α＜90°），当AB+BC+CA取得最小值时，则∠BAC＝．（用含α的代数式表示）4.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）5.已知B，C是平面直角坐标系中与x轴平行且距离x轴1个单位长度的直线上的两个动点（点B在点C左侧），且BC＝2，若有点A（0，5）和点D（3，3），则当AB+BC+CD的值最小时，点C的坐标为．6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°8.如图，∠MON＝α，α＜30°，点A为ON上一定点，点C为ON上一动点，B，D为OM上两动点，当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC＝（）A．5αB．6αC．90°﹣αD．180°﹣α9.如图，直线l 1，l 2表示一条河的两岸，且l 1∥l 2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄A 经桥过河到村庄B 的路程最短，应该选择路线（）A ．B ．C ．D ．10.如图，直线l 1、l 2表示一条河的两岸，且l 1∥l 2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A 经桥过河到村庄B 的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（）方案一：①将点A 向上平移d 得到A '；②连接A 'B 交l 1于点M ；③过点M 作MN ⊥l 1，交l 2于点N ，MN 即桥的位置．方案二：①连接AB 交l 1于点M ；②过点M 作MN ⊥l 1，交l 2于点N ．MN 即桥的位置．A ．唯方案一可行B ．唯方案二可行C ．方案一、二均可行D ．方案一、二均不可行六、线段差的最大值1.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM ＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（）A．2B．3C．D．2.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|P A﹣PB|的最大值为．七、多条线段和的最小值1.如图所示，已知A、B、C、D，请在图中找出一点P，使P A+PB+PC+PD最小．2.如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D（0，2），点F（1，0），线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A（﹣1，5），点B（﹣1，﹣1），点C（6，﹣1），连AD，BE，CF．若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE 的值最小时，E点坐标为；若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为．。

人教版八年级数学上册第13章轴对称4 课题学习最短路径问题

yA
的周长最小时点 C 的坐标是（ A ）
C′
A．(0，3)
B．(0，2)
C
C．(0，1)
D．(0，0)
B′
解析：作 B 点关于 y 轴对称点 B′，连接 AB′，O E B x
交 y 轴于点 C′，此时△ABC 的周长最小. 然后依据点 A
与点 B′ 的坐标可得到 B′E、AE 的长，再证明△B′OC′ 为
找一点 P，使 C、D、P 三点组成的三角形的周长最短，
找出此点，并说明理由； D
C
A
P
B
C' 图①
（2）如图②，在∠AOB 内部有一点 P，是否在 OA、
OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、P 三点组成的
三角形的周长最短，找出 E、F 两点，并说明理由；
P'
A
E P
OF
B
P'' 图②
（3）如图③，在∠AOB 内部有两点 M、N，是否在 OA、 OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、M、N 四点组成的四边形的周长最短，找出 E、F 两点，并说明理由．
A
2. 把 B 平移到岸边；
M
3. 把桥平移到和 A 相连； 4. 把桥平移到和 B 相连.
N B
1. 把 A 平移到岸边. AM + MN + BN 长度改变了
A
A'
M
N B' B
2. 把 B 平移到岸边. AM + MN + BN 长度改变了
3. 把桥平移到和 A 相连.
A M
N B
4. 把桥平移到和 B 相连.
边上的动点，则 BF + EF 的最小值为（ B ） A

八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题同步训练新版新人教版

13.4 课题学习最短路径问题[学生用书P63]1．如图13-4-6，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是( )A．40° B．100° C．140° D．50°图13-4-62．如图13-4-7所示，四边形EFGH是一个矩形的台球桌面，有黑白两球分别位于A，B 两点，试说明怎样撞击B，才能使白球先撞击台球桌边EF，反弹后又能击中黑球A?图13-4-73．如图13-4-8，点A，B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m 于点P.(1)AB′与AP＋BP相等吗？为什么？(2)在m上再取一点N，并连接AN与BN，比较AN＋BN与AP＋BP的大小，并说明理由．图13-4-84．[2015·鄂尔多斯]如图13-4-9，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMMNNB最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)( D )图13-4-9A BC D5．[2015·营口改编]如图13-4-10，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5 cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5 cm ，求∠AOB 的度数．图13-4-106．[2016·百色]如图13-4-11，等边△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC 与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是( A )图13-4-11A．4 B．3 2C．2 D．2＋ 3参考答案【归类探究】例1略例2略【当堂测评】1．B 2.D 3.略【分层作业】1．B 2.略3．(1)AB′＝AP＋BP，理由略；(2)AN＋BN>AP＋BP，理由略．4．D 5.∠AOB＝30° 6.A。

初中数学人教八年级上册(2023年更新)第十三章轴对称最短路径问题习题

课题学习最短路径问题
基础题
知识点1运用“垂线段最短”解决最短路径问题
1.如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是( )
2.如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短？找出开口处的位置并说明理由.
知识点2运用“两点之间，线段最短”解决最短路径问题
3.如图，直线l外有不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B 关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )
A.转化思想
B.三角形的两边之和大于第三边
C.两点之间，线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
4.已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.
(1)在图1的直线上找一点P，使PA＋PB最短；
(2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长.
5.(天津中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP最小值的是( )
6.【关注实际生活】茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短.
综合题
7.(兰州中考改编)如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数.。

专题05 轴对称重难点题型分类(解析版)—八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题(人教版)

专题05轴对称重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《轴对称》这一章除各类压轴题之外的六种主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：轴对称图形、垂直平分线的性质与判定、尺规作图、最短路径问题、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定。

适合于培训机构的老师给学生作培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一轴对称图形1．（2021·湖南）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；B．不是轴对称图形，故B不符合题意；C．不是轴对称图形，故C不符合题意；D．是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．2．（2021·辽宁）若点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a、b的值为（）A．a=3，b=－5B．a=－3，b=5C．a=3，b=5D．a=－3，b=1【详解】解：根据题意，点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a+b=-2，a=3,解得b=-5,故选：A．3.如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（）A．3：55B．8：05C．3：05D．8：55【详解】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，分针指向11实际对应点为1，故此时的实际时刻是：8点5分．故选：B．4．（2022·浙江）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N 的位置上，若55∠-∠的值为（）∠=︒，则21EFGA．35︒B．40︒C．45︒D．55︒【详解】解：四边形ABCD 是长方形，∴AD BC ，∴55DEF EFG ∠=∠=︒，由折叠的性质得：55GEF DEF ∠=∠=︒，118070GEF DEF ∴∠=︒-∠-∠=︒，又∵AD BC ，21801110∴∠=︒-∠=︒，211107040∴∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．题型二垂直平分线的性质与判定1.垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．2.垂直平分线的性质垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.．3.垂直平分线的判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5．（2015·湖北）如图，△ABC 中，AB =5，AC =6，BC =4，边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，则△BDC 的周长是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【详解】解：∵ED 是AB 的垂直平分线，∴AD =BD ，∵△BDC 的周长=DB +BC +CD ，∴△BDC 的周长=AD +BC +CD =AC +BC =6+4=10．故选C ．6.（2017·湖北）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为()A ．30°B ．45°C ．50°D ．75°【详解】∵AB =AC ，∠A =30°，∴∠ABC =∠ACB =75°，∵AB 的垂直平分线交AC 于D ，∴AD =BD ，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．7．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故选：B．8．（2021·宁夏）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【详解】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，9．（2021·北京）如图所示，AD是ABC∠=∠．连结AF，求证：BAF ACF【详解】证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠ADF，∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠CAD，∴∠FAC＝∠B，∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC，即∠BAF＝∠ACF．10．（2021·山东）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．【详解】解：证明：∵AP是∠BAC的平分线，PM⊥AC，PN⊥AB，∴PM=PN，∵PQ是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，在Rt△PBN和Rt△PCM中，PB PCPM PN=⎧⎨=⎩，∴Rt△PBN≌Rt△PCM（HL），∴BN=CM．11．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【解答】（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分线，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，，∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE，∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．12．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线D交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM＝CN；（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数．【解答】（1）证明：连接BD，如图所示：∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵DE垂直平分线BC，∴DB＝DC，在Rt△DMB和Rt△DNC中，，∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），∴BM＝CN；（2）解：由（1）得：∠BDM＝∠CDN，∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，在Rt△DMA和Rt△DNA中，，∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），∴∠ADM＝∠ADN，∵∠BAC ＝70°，∴∠MDN＝110°，∠ADM＝∠ADN＝55°，∵∠BDM＝∠CDN，∴∠BDC＝∠MDN＝110°，∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠EDC＝BDC＝55°，∴∠DCB＝90°﹣∠EDC＝35°，∴∠DCB＝35°．13．（2022·广东）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【详解】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，∴∠EAD=12∠BAC=25°，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，DE=DC，∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，∴直线AD是线段CE的垂直平分线.14．（2019·广东）如图，点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：（1）∠ECD =∠EDC ；（2）OC =OD ；（3）OE 是线段CD 的垂直平分线．【详解】证明：（1）∵OE 平分∠AOB ，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴ED =EC ，即△CDE 为等腰三角形，∴∠ECD =∠EDC ；（2）∵点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠DOE =∠COE ，∠ODE =∠OCE =90°，OE =OE ，∴△OED ≌△OEC （AAS ），∴OC =OD ；（3）∵OC =OD ，且DE =EC ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线．题型三尺规作图15．（2022·辽宁）已知在ABC 中，点D 为线段BC 边上一点，则按照顺序，线段AD 分别是ABC 的（）A ．①中线，②角平分线，③高线B ．①高线，②中线，③角平分线C ．①角平分线，②高线，③中线D ．①高线，②角平分线，③中线【详解】解：①由作图方法可知，AD 是BC 边上的垂线，即AD 为△ABC 的高；②由作图方法可知AD 是∠BAC 的角平分线；③由作图方法可知D 在BC 的垂直平分线上，即AD 是BC 的中线；故选D ．16．（2022·山东）如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若ABC 的周长为12，5AB ，则ADC 的周长为（）A ．10B ．9C ．8D ．7【详解】根据题意可知MN 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD ．∵△ABC 的周长为12，∴AB+BC+AC=12．∵AB=5，∴BC+AC=7，即AC+CD+BD=7，∴AC+CD+AD =7，所以△ADC 的周长为7．17．（2022·福建）如图，已知△ABC ．(1)求作BC 边上高AD ，交BC 于点D ，∠BAC 的平分线AE ，交BC 于点E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．(2)若∠B ＝35°，∠C ＝65°，求∠DAE 的度数．【答案】（1）解：如图，线段AD ，线段AE 即为所求．（2）解：∵∠CAB =180°-∠B -∠C =80°，AE 平分∠CAB ，∴∠CAE =12∠CAB =40°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC =90°，∴∠CAD =90°-∠C =25°，∴∠DAE =∠CAE -∠CAD =15°．18．按要求完成下列作图，不要求写作法，只保留作图痕迹．（1）已知：线段AB ，作出线段AB 的垂直平分线MN ．（2）已知：∠AOB ，作出∠AOB 的平分线OC ．【解答】解：（1）如图（1），MN为所作；（2）如图（2），OC为所作；19．（2020·北京）如图，已知∠BAC及两点M、N．求作：点P，使得PM＝PN，且P到∠BAC两边的距离相等．【详解】解：作∠BAC平分线，再作线段MN的垂直平分线EF交于点P，如图，点P即为所求．理由：过点P作PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，连接PM，PN，∵AP平分∠BAC，∴PG=PH，∵EF垂直平分MN，∴PM=PN．题型四最短路径问题=，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，20.（青竹湖）如图，在△ABC中，AB AC则下列线段的长度等于BP EP+最小值的是（）A.BCB.CEC.ADD.AC【解答】解：B点的对称点为C，再连接E,C，故选：B．21．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）A．40°B．100°C．140°D．50°【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故选：B．22．（2020·北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0，0)，A(－1，2)，B(2，1)．(1)在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（不写画法，保留画图痕迹）(2)在x 轴上画出点P ，使得PA +PB 的值最小．（1）解：如图所示，即为所求，由图形知，()112，A ，()121B -，；（2）解：如图，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB '，与x 轴的交点，即为点P ，23．（北雅）阅读下列一段文字：已知在平面内两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2、y 2），其两点间的距离P 1P 2＝问题解决：已知A （1，5），B （7，3）（1）试求A 、B 两点的距离；（2）在x 轴上找一点P （不求坐标，画出图形即可），使PA +PB 的长度最短，求出PA +PB 的最短长度．（3）在x 轴上有一点M ，在y 轴上有一点N ，连接A 、N 、M 、B 得四边形ANMB ，若四边形ANMB 的周长最短，请找到点M 、N （不求坐标，画出图形即可），求出四边形ANMB 的最小周长．【解答】解：（1）∵A （1，5）、B （7，3），∴AB ＝＝＝2，即A 、B 两点的距离为：2；（2）如右图1所示，作点A 关于x 轴的对称点A ′，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（1，﹣5），∴A ′B ＝＝10，即PA +PB 的最短长度是10；（3）作点A 关于y 轴的对称点A ′，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接A ′B ′于y 轴交于点N ，与x 轴交于点M ，如图2所示，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（﹣1，5），B ′（7，﹣3），∴AB ＝2，A ′B ′＝＝8，∴四边形ANMB 的最小周长是8+2．题型五等腰三角形的性质与判定1.定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。

专题2.5 轴对称中最短路径问题

【教学目标】1【教学重难点】12【知识亮解】知识点在直线l上找一点P,使得PA+PB的和最小。

点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB边上找一点D,,使得PC+PD+CD的和最小。

直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。

A．750米B．1000米【典例2】如图所示，45MON Ð=°，点P 为MON Ð内一点，点P 关于OM ON 、对称的对称点分别为点12P P 、，连接11212OP OPPP PP PP 、、、、，12PP 分别与OM ON 、交于点A B 、，连接AP BP 、，则APB Ð的度数为（）A ．45°B ．90°C ．135°D ．150°【典例3】如图，在锐角三角形AB C 中，AB ＝8，△ABC 的面积为40，BD 平分∠ABC ，若M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM +MN 的最小值为 _____．【典例4】如图，有一条笔直的河流，两岸EF ∥GH ，在河岸EF 的同侧有一个管理处A 和物资仓库B ，管理人员每天需要从管理处A 出发，先到物资仓库B 领取物资，接着到达河岸EF 上的C 点，乘坐停放在C 点的快艇，把物资送到对岸GH 的对接点D ，然后调头返回河岸EF 上的C 点，再返回管理房A ．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C 和点D ，则确定点C 和点D 的步骤是：_____________．【典例5】如图，在锐角三角形AB C中，AB＝10，S△ABC＝30，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点M、N 分别是BD和BC上的动点，则CM+MN的最小值是_____．【典例6】如图，点P是∠AOB内部一定点（1）若∠AOB＝50°，作点P关于OA的对称点P1，作点P关于OB的对称点P2，连OP1、OP2，则∠P1OP2＝___.（2）若∠AOB＝α，点C、D分别在射线OA、OB上移动，当△PCD的周长最小时，则∠CPD＝___（用α的代数式表示）.【亮点训练】1、如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？2、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？3、如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D 为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为________ cm．4、如图，四边形ABC D中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°6、如图，是等边三角形，长最小时，的度数是______.如图，在△AB C 中，已知ABC D AD FDE ÐA ．(BM 垂直于a )B ．(AM 不平行BN )C ．(AN 垂直于b )D ．(AM 平行BN )9、五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，如图12l l ∥表示小河甲，34l l ∥表示小河乙，A 为校本部大门，B 为分校大门。

苏科版八年级数学上册第二章轴对称平面展开-最短路径专题

八上第二章轴对称平面展开-最短路径专题一、选择题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）1. 如图是一块长,宽,高分别是和 3cm 的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点 A 处,沿着长方体的表面到长方体上和 A 相对的顶点 B 处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是( )A.B.C.D.2. 如图是一块长,宽,高分别是 6cm,4cm 和 3cm 的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点 A 处,沿着长方体的表面到长方体上和 A 相对的顶点 B 处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是( )A.B.C.D.cm3. 如图,一只蚂蚁沿棱长为 1m 的正方体表面从顶点 A 爬到顶点 B,它经过的最短路程为( )A.B.C. 3mD.4. 某正方体盒子棱长为 2,如图左边下方 A 处有一只蚂蚁从盒子表面 A 处爬行到侧棱 GF 上的中点 M 点处,蚂蚁爬行最短距离为( )．A. B. C. D.5. 长方体敞口玻璃罐,长、宽、高分别为 16cm、6cm 和 6cm,在罐内点 E 处有一小块饼干碎末,此时一只蚂蚁正好在罐外壁,在长方形 ABCD 中心的正上方 2cm 的 H 处,则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少 ( )A.B.C. 24cmD.二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）6. 如图,已知圆柱底面周长是 4dm,圆柱的高为 3dm,在圆柱的侧面上,过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为______dm．7. 如图,已知长方体的三条棱 AB、BC、BD 分别为 4,5,2,蚂蚁从 A 点出发沿长方体的表面爬行到 M 的最短路程的平方是________．8. 如图,长方体的底面长、宽分别为和 ,高为若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点,则蚂蚁爬行的最短路径长为________ ．9. 如图,在一个长方形草坪 ABCD 上,放着一根长方体的木块,已知米,米,该木块的较长边与 AD 平行,横截面是边长为 1 米的正方形,一只蚂蚁从点 A 爬过木块到达 C 处需要走的最短路程是________米。

初中数学《八上》第十三章轴对称《课题学习》最短路径问题考试练习题

初中数学《八上》第十三章轴对称《课题学习》最短路径问题考试练习题姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分评卷人得分1、如图，在△ABC中，AB 的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4 ，EC＝2 ，则BC的长是（）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 8知识点：课题学习最短路径问题【答案】C【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4 ，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4 ，∴EB＝EA＝4 ，∴BC＝EB＋EC＝4 ＋ 2 ＝ 6 ，故选：C．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．2、如图，在△ABC中，按以下步骤作图：① 分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作对弧，两弧相交于M、N两点；② 作直线MN交BC于点D，交AC于E，连接AD，若AD＝BD，AB＝8 ，则DE＝___ ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】4【分析】根据作图即可得到是的垂直平分线，再根据，得到DE是△ABC的中位线，即可得到DE的长．【详解】解：根据作图即可得到是的垂直平分线∴，∴，∵∴∴为的中点∴DE是△ABC的中位线∴故答案为【点睛】本题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，利用三角形中位线定理是解决问题的关键．3、如图，在△ABC 中， AB ＝ AC ， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点．若 BD 平分∠ABC, 则∠A ＝________________ ° ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】36 ．【详解】试题分析：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．∴∠A＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝2∠A＝∠ABC，设∠A为x，可得：x +x +x +2x＝180° ，解得：x＝36° ，故答案为36 ．点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得出角相等，然后在一个三角形中利用内角和定理列方程即可得出答案．4、在菱形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，且AE ⊥BC，AF ⊥CD，那么∠EAF等于（）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°知识点：课题学习最短路径问题【答案】C【分析】连接AC，根据题意证得是等边三角形，再由等边三角形的性质求出∠EAC的度数，同理可求得∠FAC的度数，进而得到答案．【详解】解：如图，连接AC，∵E是BC中点，且AE ⊥BC，∴AE垂直平分BC，∴AB =AC，又∵ 四边形ABCD是菱形，∴AB =BC，∴AB =BC =AC，∴是等边三角形，∴∠BAC =60° ，AE平分∠BAC，∴∠EAC =30° ，同理可得，∠FAC =30° ，∴∠EAF =∠EAC +∠FAC =60° ．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各性质及判定定理是解题的关键．5、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为_____cm ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】21 ．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC 和 AC=2AE=8cm ，根据三角形的周长公式计算即可求解．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，∵△ABD的周长＝AB +BD +DA＝AB +BD +DC＝AB +BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB +BC +AC＝21cm，故答案为21 ．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6、到三角形的三个顶点距离相等的点是（）．A ．三角形三条中线的交点B ．三角形三边垂直平分线的交点C ．三角形三条角平分线的交点D ．三角形三条高的交点知识点：课题学习最短路径问题【答案】B【分析】线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，三角形的三边是三条线段，从而可得答案.【详解】解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，到三角形的三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点.故选：B【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边的垂直平分线的交点的性质，掌握“ 线段的垂直平分线的性质” 是解题的关键 .7、已知矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F，若AB＝4 ，BE＝3 ，则BF长为___ ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】6 或【分析】AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F可知点F的位置两种情况，一是点F在AB的延长线上，二是点F在AB上，然后分类用矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和勾股定理求解BF的长．【详解】解：① 当点F在AB的延长线上时，设BF =x，l∴△AOE ≌△AOH（ASA）∴AE =AH =5 ，又∵△FBE ∽△FAH，∴∴，解得：x =6 ，∴BF =6 ；② 当点F在AB的上时，设BF =y，如图2 所示：∵∠EFB =∠AFO，∠FBE =∠FOA，∴△EFB ∽△AFO，∴∠E =∠FAO，又∵△AFO +∠FAO =90° ，∠BCA +∠FAO =90° ，∴∠EFB =∠ACB，又∵∠EBF =∠ABC =90° ，∴△EBF ∽△ABC，∴，∴又∵AB =4 ，AB =AF +BF，∴AF =4-y，∵EH是AC的垂直平分线，∴AF =FC =4-y，在Rt △BFC中，由勾股定理得：BF2 +BC2 =FC2，∴，解得：或y =-6 （l 知识点：课题学习最短路径问题【答案】21 ．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC 和 AC=2AE=8cm ，根据三角形的周长公式计算即可求解．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，∵△ABD的周长＝AB +BD +DA＝AB +BD +DC＝AB +BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB +BC +AC＝21cm，故答案为21 ．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9、到三角形的三个顶点距离相等的点是（）．A ．三角形三条中线的交点B ．三角形三边垂直平分线的交点C ．三角形三条角平分线的交点D ．三角形三条高的交点知识点：课题学习最短路径问题【答案】B【分析】线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，三角形的三边是三条线段，从而可得答案.【详解】解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，到三角形的三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点.故选：B【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边的垂直平分线的交点的性质，掌握“ 线段的垂直平分线的性质” 是解题的关键 .10、如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则__________．知识点：课题学习最短路径问题【答案】【分析】由等腰三角形，“ 等边对等角” 求出，再由垂直平分线的性质得到，最后由三角形外角求解即可．【详解】解：,,垂直平分．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质，三角形外角概念，能正确理解题意，找到所求的角与已知条件之间的关系是解题的关键．11、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B =60° ，∠C =25° ，则∠BAD =___________° .知识点：课题学习最短路径问题【答案】70 ．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC ，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C ，根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，计算出结果．【详解】解：∵DE 是 AC 的垂直平分线，∴DA=DC ，∴∠DAC=∠C=25° ，∵∠B=60° ，∠C=25° ，∴∠BAC=95° ，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70° ，故答案为70 ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．12、如图，在中，，．（1 ）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________ ，射线是的__________ ；（2 ）在（1 ）所作的图中，求的度数．知识点：课题学习最短路径问题【答案】（1 ）垂直平分线，角平分线；（2 ）25°【分析】（1 ）根据图形结合垂直平分线、角平分线的作法即可得到答案；（2 ）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可得到，再结合三角形的内角和便能求得，，再根据角平分线的定义即可得到答案．【详解】解：（1 ）由图可知：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，故答案为：垂直平分线，角平分线；（2 ）∵是线段的垂直平分线，∴，∴，∵，，∴，∴．∵ 射线是的平分线，∴．【点睛】本题考查了垂直平分线、角平分线的作法以及它们的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握垂直平分线、角平分线的性质是解决本题的关键．13、如图，已知直线，直线分别与、交于点、．请用尺规作图法，在线段上求作点，使点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）知识点：课题学习最短路径问题【答案】见解析【分析】作出线段AB 的垂直平分线即可．【详解】解：如图所示，点即为所求．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本作图．14、如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点，点F是的中点，连接、，若，则的周长为_________ ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】8【分析】根据垂直平分线的性质求得∠BEA的度数，然后根据勾股定理求出EC长度，即可求出的周长．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴，BE =AE，∴，∵∴∴又∵AC =5 ，∴ 在中，，解得：CE =3 ，又∵ 点F是的中点，∴，∴的周长=CF +CE +FE =．故答案为：8 ．【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．15、《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10 步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10 步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．（1 ）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；（2 ）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在中，______________ ，是的中点，（______________ ）（填推理的依据）．∵ 直线表示的方向为东西方向，∴ 直线表示的方向为南北方向．知识点：课题学习最短路径问题【答案】（1 ）图见详解；（2 ），等腰三角形的三线合一【分析】（1 ）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D；（2 ）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答．【详解】解：（1 ）如图所示：（2 ）证明：在中，，是的中点，（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．∵ 直线表示的方向为东西方向，∴ 直线表示的方向为南北方向；故答案为，等腰三角形的三线合一．【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键．16、如图，在中，，，的垂直平分线交与点，交于点，则的周长是__________．知识点：课题学习最短路径问题【答案】13【解析】根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式求解即可【详解】是的垂直平分线..的周长为:故答案:13.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和三角形的周长公式,熟练掌握垂直平分线的性质和三角形的周长公式是解题关键.17、如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为（）A．65° B．60°C．55° D．45°知识点：课题学习最短路径问题【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【详解】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，故选A．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．18、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( )A．20° B．30° C．45° D．60°知识点：课题学习最短路径问题【答案】B【解析】根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．【详解】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，故选B．【点睛】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．19、如图，在△ABC中，∠A=40º，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是_________．知识点：课题学习最短路径问题【答案】30°．【解析】已知∠A=40°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．解：∵∠A=40°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，又∵DE垂直平分AB，∴DB=AD∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°．故答案为：30°．20、如图，已知：在△ABC中，AD平分∠ BAC，AB=AD，CE⊥AD，交AD的延长线于E .求证：AB+AC=2AE .知识点：课题学习最短路径问题【答案】详见解析【分析】延长 AE到 M，使 ME=AE，连接 CM，求出 AC=CM，求出 DM=MC，即可得出答案．【详解】延长 AE到 M，使 ME=AE，连接 CM，则 AM=2AE，∵ CE ⊥ AE，∴ AC=CM，∴∠ M= ∠ CAD= ∠ DAB，∴ AB ∥ MC，∴∠ B= ∠ MCD，∵ AB=AD，∴∠ B= ∠ ADB，∵∠ ADB= ∠ MDC，∴∠ MCD= ∠ MDC，∴ MC=MD，∴ AM=2AE=AD+MD=AB+AC，即 AB+AC=2AE.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出 DE=EC，有一定的难度．。

初二数学最短路径问题,“将军饮马”四种题型详解,折变直是关键

初二数学最短路径问题，“将军饮马”四种题型详解，折变直是关键初二数学最短路径问题，“将军饮马”四种题型详解，折变直是关键 -初二数学轴对称这一章节中，课题研究中的最短路径问题，是中考的热门考点，在初二的考试中也是经常会出现。

最短路径问题中，初中阶段主要涉及三方面的内容，“将军饮马”、“造桥选址”和“费马点”，涉及到的知识点主要有“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”等，需要同学们根据题目给定的条件，做出最短路径问题，而这类题目的解题思路就是找对称点实现“折”转“直”，这是最为关键的，从而找到最短路径的点，解决出最短路径的问题，我们先来学习一个比较简单的“将军饮马”类型，最短路径的求解，通过四种题型，详解解释作图方法。

希望同学们能够认真总结，将这类题目掌握。

以“将军饮马”为原型常见的四种类型的题目分别是：（1）、A,B两点位于L的同侧，求出直线上一点P，使得PA+PB最小；（2）、A,B两点位于L的两侧，求出直线上一点P，使得PA+PB最小；（3）、在两条相交直线L1,L2内一点P，在两条直线上分别求出M,N,使△PMN的周长最小；（4）、在直线L1、L2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小。

例1：作图题.如图，小河边有两个村庄A、B，要在河边建一自来水厂P，向A村B村供水．（1）若要使厂部到A、B两村的距离相等，则厂部P应选在哪里？在图①中画出；（2）若要使厂部到A、B两村的输水管长度之和最小，则厂部P应选在什么地方？在图②中画出．（保留作图痕迹，不写作法，但要写结论）本题关键是掌握在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L 上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．例2：尺规作图：（不要求写作法，只保留作图痕迹）如图，工厂A和工厂B，位于两条公路OC、OD之间的地带，现要建一座货物中转站P．若要求中转站P到两条公路OC、OD的距离相等，且到工厂A和工厂B的距离之和最短，请用尺规作出P的位置．本题不仅考察了最短路径的作图方法，还要求根据题意明确点P还在角COD的角平分线上。

初中数学人教版八年级上册轴对称最短路径问题专项练习(附参考答案)

八年级数学上册轴对称最短路径问题练习班级考号姓名总分1、如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点。

2、如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。

3、在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小4、如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水。

(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？5、如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？6、( 实际应用题)某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？附：参考答案1、2、先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC ＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC ＋BC＜AC′＋C′B3、如图所示：作点B关于直线l的对称点B′；连接AB′交直线l于点M.则点M即为所求的点．4、(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于1/2AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．(2)如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短．5、如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．连接BC与河岸的一边交于点N.过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN 为所建的桥的位置．6、作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．。

八年级数学上册最短路径问题(将军饮马)专项训练(含解析)

最短路径问题（将军饮马）专项训练一、单选题1．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =，60ABC S =△，D 是BC 中点，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．132．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上，点P 也在小正方形的顶点上．某人从点P 出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC 且要回到P ），则这个人所走的路程最少是（）A ．7B ．14C ．10D ．不确定3．如图，在等边△ABC 中，AB ＝2，N 为AB 上一点，且AN ＝1，AD ＝3，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连接BM 、MN ，则BM+MN 的最小值是（）A ．3B ．2C ．1D ．34．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则BQ+QP 的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．75．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152°C．158°D．160°6．图1为某四边形ABCD纸片，其中∠B=70°，∠C=80°．若将CD迭合在AB上，出现折线MN，再将纸片展开后，M、N两点分别在AD、BC上，如图2所示，则∠MNB的度数为（）度.A．90 B．95 C．100 D．1057．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（）A．15 B．17 C．18 D．208．平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－1)三点，D(1，m)是一个动点，当△ACD 的周长最小时，则△ABD的面积为（）A．13B．23C．43D．839．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（）A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．45°10．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，AB =8，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则PQ +BQ 的最小值是A ．4B ．5C ．6D ．711．如图，锐角三角形ABC 中，∠C ＝45°，N 为BC 上一点，NC ＝5，BN ＝2，M 为边AC 上的一个动点，则BM ＋MN 的最小值是（）A ．29B ．21C ．74D ．4512．如图是一块长，宽，高分别是6cm ，4cm 和3cm 的长方体纸盒子，一只老鼠要从长方体纸盒子的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A ．(3213cm +B 85cmC 97cmD 109cm13．如图，ABC ∆是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，则PE PC +的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．2314．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．615．如图，A 、B 是两个居民小区，快递公司准备在公路l 上选取点P 处建一个服务中心，使P A +PB 最短．下面四种选址方案符合要求的是（）A ．B ．C ．D ．16．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，CM 是斜边AB 上的中线，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点A 1处，CA 1与AB 交于点N ，且AN=AC ，则∠A 的度数是（）A ．30°B ．36°C ．50°D ．60°17．如图，在ABC 中，90BCA ∠=︒，3BC =，4CA =，AD 平分BAC ∠，点M N 、分别为AD AC 、上的动点，则CM MN +的最小值是（）A ．1.2B ．2C ．2.4D ．518．在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C 的坐标为（m ，3 m ）（m 为非负数），则CA ＋CB 的最小值是（）A ．6B ．37C ．27D ．5二、填空题 19．如图，在等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，H 是AD 上任意一点．如果10AB AC BC ===，53AD =，那么HE HB +的最小值是．20．如图，在ABC 中，10AB AC cm ==，8BC cm =，AB 的垂直平分线交AB 于点M ，交AC 于点N ，在直线MN 上存在一点P ，使P 、B 、C 三点构成的PBC 的周长最小，则PBC 的周长最小值为______．21．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为6，面积是36，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ∆周长的最小值____．22．如图，P 是AOB ∠内一定点，点M ，N 分别在边OA ，OB 上运动，若30AOB ∠=︒，3OP =，则PMN 的周长的最小值为___________.23．等边三角形ABC中，∠BPC＝150°，BP＝3，PC＝4，M、N分别为AB，AC上两点，且AM＝AN，则PM+PN的最小值为__．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，M是AB边上一动点，N是AC边上的一动点，则MN+MC的最小值为_____．25．如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为____．26．如图所示，在边长为2的等边三角形ABC中，G为BC的中点，D为AG的中点，过点D作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，P是线段EF上一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是________．27．已知∠AOB=30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP=3，OQ=4，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P-N -M -Q长度的最小值是___________.28．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线4AD=，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E、F运动的过程中，EB EF+的最小值是______．29．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR 周长最小，则最小周长是_____30．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____．31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC 的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是_____.32．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（6，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_____．33．某市为解决农村燃气困难，在P处建立了一个燃气站，从P站分别向A、B、C村铺设燃气管道。

人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：最短路径问题

专题13.4最短路径问题1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求. 如图所示，点川，万分别是直线2异侧的两个点，在2上找一个点G使CA^CB最短，这时点Q是直线』与初的交点.⑵求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条宜线的对称点, 连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求.如图所示，点月，万分别是直线2同侧的两个点，在』上找一个点G使CA+CB最短，这时先作点〃关为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C',连接EG、BC「、证明M -\-CB<AC f +C* 3 如下：证明：由作图可知，点万和万‘关于直线/对称，所以直线/是线段宓’的垂直平分线.因为点Q与C'在直线上，所以BC=B' G BC =B f r C f・在G 中,AB' <AC r +B f C ,所以AC+B' C<AC r +B f C ,所以AC+BC<AC f+C‘ B.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点「到直线上某点的距离和最小越个核心，所有作法都相同.利用轴对称解决最值问题应注意题目要球根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，「审题不淸导致答非所问.3.利用平移确左最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.解决连接河两岸「的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.4.生活中的距离最短问题由两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜而反射的方式转化成一条线段，如图，AO+BO=AC的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法.Cy __-7 B5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值.破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法.对点例题解析【例题1】在图中直线/上找到一点M使它到儿万两点的距离和最小.A【例题2】如图，小河边有两个村庄出B.要在河边建一自来水厂向川村与万村供水.(1)若要使厂部到心万村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到川，万两村的水管最短，应建在什么地方？【例题3】如图，从川地到万地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到万地的路程最短？【例题4】如图所示，A, 3两点在直线2的两侧，在/上找一点G使点C到点月、万的距离之差最大.如JII练题1 •直线』左侧有两点只Q，试在直线上确左一点Q使得防％最短.2•如图，△月氏与△处关于某条直线对称，请画岀对称轴.A DC F3•如图，A.万为重庆市内两个较大的商圈，现需要在主要交通干道』上修建一个轻轨站只问如何修建,4•如图，四边形ABCD 中，ZBAD=120° , ZB=ZD=90°,在BC、CD ±分别找一点M、N,使Z\AMN 周长最小时，则ZAMN+ZANM的度数为（）C. 110°D. 100°5•如图，两条公路0A. 0B相交，在两条公路的中间有一个汕库，设为点P,如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运汕车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加汕站，最后回到汕库所走的路程最短.专题13.4最短路径问题1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求. 如图所示，点川，万分别是直线2异侧的两个点，在2上找一个点G使CA^CB最短，这时点Q是直线』与初的交点.⑵求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条宜线的对称点, 连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求.如图所示，点月，万分别是直线2同侧的两个点，在』上找一个点G使CA+CB最短，这时先作点〃关为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C',连接EG、BC「、证明M -\-CB<AC f +C* 3 如下：证明：由作图可知，点万和万‘关于直线/对称，所以直线/是线段宓’的垂直平分线.因为点Q与C'在直线上，所以BC=B' G BC =B f r C f・在G 中,AB' <AC r +B f C ,所以AC+B' C<AC r +B f C ,所以AC+BC<AC f+C‘ B.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点「到直线上某点的距离和最小越个核心，所有作法都相同.利用轴对称解决最值问题应注意题目要球根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，「审题不淸导致答非所问.3.利用平移确左最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.解决连接河两岸「的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.4.生活中的距离最短问题由两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜而反射的方式转化成一条线段，如图，AO+BO=AC的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法.Cy __-7 B5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值.破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法.对点例题解析【例题1】在图中直线/上找到一点M使它到儿万两点的距离和最小.A【答案】见解析。

八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题课时练习新版新人教版

13.4课题学习最短路径问题
1、你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
2、证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上
任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
3、如何在四边形ABCD内取一点O，使得点O到四边形四个顶点的距离和最小。

答案：
1、证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC
= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴AC +BC＜AC′+BC′．
即AC +BC 最短．
2、若直线l 上任意一点（与点
C 不重合）与A，B 两点的距离
和都大于AC +BC，就说明AC +
BC 最小．
3、证明：如果存在不同于点O
的交点P，连接PA、PB、PC、PD，
那么PA+PC＞AC，
即PA+PC＞OA+OC，
同理，PB+PD＞OB+OD，
∴PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，
即点O是线段AC、BD的交点时，OA+OB+OC+OD之和最小．。

八年级数学上册第13章轴对称13.4课题学习最短路径问题练习新人教版(2021年整理)

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13.4课题学习最短路径问题学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共10小题）1．在等边三角形ABC中,D，E分别是BC，AC的中点,点P是线段AD上的一个动点，当△PCE 的周长最小时，P点的位置在（)A．A点处B．D点处C．AD的中点处D．△ABC三条高的交点处2．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家,最短距离是（）A．750米B．1000米C．1500米D．2000米3．在直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小,现有如下四种方案,其中正确的是( ）A．B．C．D．4．如图所示，在等边△ABC中,E是AC边的中点，AD是BC边上的中线,P是AD上的动点，若AD=3，则EP+CP的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．在直角坐标系内，已知A、B两点的坐标分别为A（﹣1，1）、B（3,3），若M为x轴上一点，且MA+MB最小，则M的坐标是（）A．(0，0）B．（﹣）C．（﹣，0）D．（0，﹣)6．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的是（）A．B．C．D．7．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P,且OP=12，在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（)A．6 B．12 C．16 D．208．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定9．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中,存在EB+EF的最小值，则这个最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．610．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．10 B．11 C．12 D．13二．填空题（共6小题）11．如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=8．点M、N分别在OA、OB上,则△PMN周长的最小值为．12．在平面直角坐标系中，已知A（1，1）B（2，3），C点在x轴上且BC﹣AC最大,则C点的坐标为．13．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为．14．在锐角△ABC中，BC=8，∠ABC=30°，BD平分∠ABC,M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN 的最小值是．15．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，2）、（1,4），欲在x轴上找一点P，使PA+PB最短，则点P的坐标为．16．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=130°，∠D=∠B=90°，点M，N分别是CD，BC上两个动点,当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为．三．解答题(共4小题）17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD．（1）求证：△ADE≌△CDB；（2)若BC=，在AC边上找一点H,使得BH+EH最小，并求出这个最小值．18．为了探索代数式的最小值,小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则,，则问题即转化成求AC+CE的最小值．（1)我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得的最小值等于，此时x= ；(2)请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值．19．近年来,为减少空气污染，北京市一些农村地区实施了煤改气工程,某燃气公司要从燃气站点A向B,C两村铺设天然气管道，经测量得知燃气站点A到B村距离约3千米，到 C村距离约4千米，B，C两村间距离约5千米．下面是施工部门设计的三种铺设管道方案示意图．请你通过计算说明在不考虑其它因素的情况下，下面哪个方案所用管道最短．20．(1）如图1,在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短,找出此点并说明理由．(2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F,使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短,找出E、F两点,并说明理由．（3)如图3,在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线,∴PB=PC,△PCE的周长=EC+EP+PC=EC+EP+BP，当B、E、E在同一直线上时，△PCE的周长最小，∵BE为中线，∴点P为△ABC的重心，即也是△ABC的三条高的交点，故选：D．2．解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B,交CD于M，∴CA′=AC，∵AC=DB，∴CA′=BD，由分析可知，点M为饮水处，∵AC⊥CD,BD⊥CD，∴∠ACD=∠A′CD=∠BDC=90°，又∵∠A′MC=∠BMD,在△CA′M和△DBM中,，∴△CA′M≌△DBM（AAS），∴A′M=BM,CM=DM，即M为CD中点,∴AM=BM=A′M=500，所以最短距离为2AM=2×500=1000米，故选:B．3．解:若在直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小,则可以过点A作关于y轴的对称点,再连接B和作出的对称点连线和y轴的交点即为所求,由给出的四个选项可知选项C满足条件．故选：C．4．解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点E关于AD的对应点为点F,∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴F是AB的中点，∴CF是△ABC的中线，∴CF=AD=3，即EP+CP的最小值为3，故选：B．5．解：如图因为点B的坐标（3，3)点A′的坐标（﹣1，﹣1），所以两点连线相交于原点（0，0），即为点M．故选:A．6．解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选:D．7．解：设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M,并将PM延长一倍到E，即ME=PM，作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN，连接EF与OA相交于Q,与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形，∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF，∵OE=OF=OP=12，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°,∴△EOF是正三角形，∴EF=12，即在保持OP=12的条件下△PQR的最小周长为12．故选：B．8．解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF,则BF+EF最小(根据两点之间线段最短;点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF,∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中,∵，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=5，即BF+EF=5，故选：B．9．解：连接CF,∵等边△ABC中,AD是BC边上的中线∴AD是BC边上的高线,即AD垂直平分BC ∴EB=EC，当B、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD=CF=6，∴EF+BE的最小值为6，故选：D．10．解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=18,解得AD=9，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴CM=AM,∴CD+CM+DM=CD+AM+DM，∵AM+DM≥AD,∴AD的长为CM+MD的最小值,∴△CDM的周长最短=(CM+MD）+CD=AD+BC=9+×4=9+2=11．故选：B．二．填空题（共6小题)11．解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M,交OB于N，连接OP，则OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠POB=∠P2OB，MP=P1M,PN=P2N，则△PMN的周长的最小值=P1P2∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，∴△OP1P2是等边三角形．△PMN的周长=P1P2，∴P1P2=OP1=OP2=OP=8．故答案为：8．12．解：如图，∵BC﹣AC≤AB，∴当A、B、C共线时，BC﹣AC的值最大，设直线AB的解析式为y=kx+b，则有,解得，∴直线AB的解析式为y=2x﹣1，∵直线AB与x轴的交点坐标为（,0）,∴点C坐标为（，0）．13．解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F,连接BF，则BF+EF最小(根据两点之间线段最短;点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，∵等边△ABC中，BD=CD,∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB,∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中,，∴△ADB≌△CEB(AAS),∴CE=AD=5，即BF+EF=5．故答案为：5．14．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，∵BD平分∠ABC,∴M′E=M′N′，∴M′N′+CM′=EM′+CM′=CE，则CE即为CM+MN的最小值,∵BC=8，∠ABC=30°，∴CE=BC•sin30°=8×=4．∴CM+MN的最小值是4．故答案为:4．15．解：∵点A(﹣1，2），∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣1,﹣2），∵A′（﹣1，﹣2），B（1,4)，设直线A′B的解析式为y=kx+b(k≠0），∴,解得，∴直线A′B的解析式为y=3x+1，当y=0时，x=﹣．∴P（﹣，0）．故答案为（﹣,0)．16．解：如图,作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″,连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，∵∠BAD=130°,∠B=∠D=90°，∴∠A′+∠A″=180°﹣∠130°=50°，由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．故答案为：100°三．解答题（共4小题）17．（1）证明：在Rt△ABC中,∠BAC=30°，E为AB边的中点,∴BC=EA，∠ABC=60°．∵△DEB为等边三角形，∴DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°,∴∠DEA=120°，∠D BC=120°,∴∠DEA=∠DBC∴△ADE≌△CDB．（2）解:如图，作点E关于直线AC对称点E’，连接BE’交AC于点H．则点H即为符合条件的点．由作图可知:EH=HE’,AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°．∴∠EAE’=60°，∴△EAE'为等边三角形,∴，∴∠AE'B=90°，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，，∴，，∴，∴BH+EH的最小值为3．18．解：（1)过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点，根据题意,四边形BDEF为矩形．AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8．∴AE==10．即AC+CE的最小值是10．=10，∵EF∥BD,∴=，∴=，解得：x=．（2）过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，根据题意，四边形ABDF为矩形．EF=AB+DE=2+3=5，AF=DB=12．∴AE==13．即AC+CE的最小值是13．19．解：方案1:AB+AC=3+4=7千米；方案2：连接AB，AC．∵AB=3，AC=4，BC=5．∴∠BAC=90°,∵AD⊥BC于D,∴S△ABC=AB•AC=BC•AD,∴3×4=5AD，∴AD=，∴AD+BC=+5=7.4千米;方案3:∵AE＞AD，∴AE+BC＞7。

八年级数学上册第十三章轴对称 13.4 最短路径问题同步练习(含解析)(新版)新人教版-(新版)

第十三章轴对称13.4 最短路径问题（练习）一、单选题（共10小题）1．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．AB之间D．BC之间【答案】A【解析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×300+10×900=13500（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+10×600=15000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×900+15×600=36000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜300），则所有人的路程的和是：30m+15（300-m）+10（900-m）=13500+5m＞13500，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜600），则总路程为30（300+n）+15n+10（600-n）=15000+35n＞13500．∴该停靠点的位置应设在点A；故选：A．【点睛】考查了比较线段的长短，此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．2．已知村庄A和B分别在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN(假定河的两岸彼此平行，且桥与河岸互相垂直)，下列示意图中，桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】如图作AI∥MN，且AI=MN，连接BI，由两点之间线段最短可知此时从A点到B点的距离最短，所以AM∥BN.【详解】解：如图，作AI∥MN，且AI=MN，连接BI，∴四边形AMNI为平行四边形，∴AM∥BN，此时从A点到B点距离最短.故选：C.【点睛】本题主要考查了最短路径的问题，运用到了两点之间线段最短，平行四边形等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.3．某公司员工分别住在A、B、C、D四个住宅区，A区有20人，B区有15人，C区有5人，D区有30人，四个区在同一条直线上，位置如图所示．该公司的接送车打算在此间设立一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设置在（）A．D区 B．A区 C．AB两区之间 D．BC两区之间【答案】D【解析】根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的路程和，选择最小的即可解答．【详解】解：∵当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：20×800+15×400+5×200=23000m；当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×400+5×600+30×800=33000m；当停靠点在AB两区之间时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：20×（400-x）+15x+5×（200+x）+30×（400+x）=（30x+21000）m；当停靠点在BC两区之间时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：20×（400+x）+15x+5×（200-x）+30×（400-x）=21000m．∴当停靠点在BC两区之间时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在BC两区之间．故选：D．【点睛】此题考查了比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键．要能把线段的概念在现实中进行应用．4．如图所示，从点A到点F的最短路线是()A．A→D→E→F B．A→C→E→FC．A→B→E→F D．无法确定【答案】C【解析】认真分析图形,要求点A到点F的最短路线,其中AB,EF的线路是固定的,则需要确定点B到点E之间的最短路线,由两点之间,线段最短可得,点B到点E之间BE最短.【详解】解:由图中可以看出,从点A到点F,AB,EF是必须经过的路线,点B到点E的路线中BE最短,所以点A到点F的最短路线为A→B→E→F,故答案选C.【点睛】本题主要考查了线段的性质，根据两点之间线段最短确定出点A到点F的最短路线是解题的关键．5．如图，从A地到B地有①、②、③三条路线，每条路线的长度分别为l、m、n，则（）A．l＞m＞n B．l=m＞n C．m＜n=l D．l＞n＞m【答案】C【解析】分析：根据两点间直线距离最短，认真观察图形，可知①③都是相当于走直角线，故①③相等，②走的是直线，最短．详解：由题意可得：∵从C到B地有①②③条路线可以走，每条路线长分别为l，m，n，则AC+AB=l＞BC∴l=n＞m．故选：C．点睛：本题考查了生活中的平移现象，要求学生充分利用两点间线段距离最近．6．如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，想在直线l的某点P处修建一个向A，B供水的水站，现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设管道一定最短的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】依据轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离即可．【详解】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于P．根据两点之间，线段最短，可知选项A铺设的管道最短．故选：A．【点睛】本题考查了最短路线问题，这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．下列命题是真命题的是（）A．两点之间的距离是这两点间的线段B．墙上固定一根木条，至少需要两根钉子，其依据是“两点之间，线段最短”C．同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交和垂直三种D．同平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【解析】根据两点间的距离的定义、垂线的性质即可作出判断．【详解】A、两点之间的距离是这两点间的线段的长度，故错误；B、墙上固定一根木条，至少需要两根钉子，其依据是“两点可以确定一条直线”，故错误；C、同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，故错误；D、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确．故选：D．【点睛】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．（2017·某某市临淄区皇城镇第二中学初一期中）小李同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线C．经过两点有且只有一条直线D．两点之间线段最短【答案】D【解析】试题解析：由图可知，剪掉一部分，相当于用一条线段取代了连接原来两点之间的曲线.根据线段公理：两点之间，线段最短，所以剩下树叶的周长比原树叶的周长要小.故本题应选D.点睛：直线公理是指两点确定一条直线，而线段公理是指两点之间线段最短，我们要清楚这两者的区别. 9．（2017·某某市临淄区皇城镇第二中学初一期中）下列说法正确的是()A．两点之间的连线中，直线最短 B．若P是线段AB的中点，则AP＝BPC．若AP＝BP，则P是线段AB的中点 D．两点之间的线段叫做这两点之间的距离【答案】B【解析】A中，两点之间线段最短，故A错误；B中，若P是线段AB的中点，则点P到A、B的距离相等，即AP=BP，故B正确；C中，若AP=BP，点P不一定是线段AB的中点，如,故C错误；D中，两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离，故D错误．故选B．10．如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据对称的性质以及两点之间线段最短可知选项C是正确的．故选C．二、解答题（共3小腿）A B C；(2) 11．（2019·某某市外国语学校初一期末）如下图所示.(1)作出△ABC关于y轴对称的图形111在x轴上确定一点P,使得PA+PC最小.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；（2）根据轴对称确定最短路线问题，找出点A关于x轴的对称点A′的位置，然后连接A′B与x轴的交点即为点P【详解】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；(2)如图所示，点P即为所求（有两种做法：作A或C的对称点均可）.【点睛】此题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，掌握作图法则是解题关键12．（2018·泸西县中枢镇逸圃初级中学初二期中）作图题（保留作图痕迹，不写作法）如图，A、B两村在一条小河MN的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，在图1中用尺规作图．．．．作出厂址P的位置．（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，在图2中作出厂址Q的位置．【答案】作图见解析.【解析】试题分析：（1）根据中垂线的性质知，作AB的中垂线，交于直线MN于点P就是所求的点；（2）由三角形的三边关系，三角形是任意两边之和大于第三边知，故作出点A关于直线MN的对称点E，连接BE交于直线MN的点Q是所求的点．试题解析：（1）如图所示：点P即为所求；（2）如图所示：点Q即为所求.13．（2017·某某鄂尔多斯康巴什新区第二中学初二期中）如图，在游艺室的水平地面上，沿着地面的AB 边放一行球，参赛者从起点C起步，跑向边AB任取一球，再折向D点跑去，将球放入D点的纸箱内便完成任务，完成任务的时间最短者获得胜利，如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球？为什么？【答案】见解析【解析】试题分析：可过点D作关于AB的对称点D′，连接CD′与AB交于点E，即为所求．试题解析：如图，参赛者应向E点跑，因为AB所在直线是DD′的垂直平分线，所以ED=ED′，C、D′两点之间CE+ED′是最短的（两点之间线段最短），所以CE+ED是最短的．点睛：此题考查轴对称最短路径问题，能够利用两点之间线段最短求解一些简单的实际问题.凡是涉及到最短距离问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.。

八年级数学几何重难点知识及数学方法：专题08 轴对称与最短路径重难点知识(原卷版)

专题08轴对称与最短路径重难点知识一、相关知识（1）平面直角坐标系内点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；平面直角坐标系内点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）；（2）区分轴对称图形（一个图形）、成轴对称图形（两个图形）的区别（3）成轴对称图形性质：对称轴为对应点连线的垂直平分线；对应线段、角相等（4）线段垂直平分线①作图方法（依据SSS）；②性质；③判定.三角形中，到三个顶点相等的点只有一个，为三条边垂直平分线的交点.（5）作轴对称图形（6）最短路径理论依据：①两点之间，线段最短；②三角形两边之和大于第三边；③垂线段最短.在直线l上找点P，使得PA+PB最小.在直线l上找点P，使得PA+PB最小.在∠AOB内部一点P，求作△PQR，使△PQR周长最小.典例解析【知识点1：轴对称图形判断】例题1．（2021·上海徐汇）如图，将正方形图案翻折一次，可以得到的图案是（）A．B．C．D．例题2．（2021·江苏如皋）如图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例题3．（2021··重庆）“致中和，天地位焉，万物育焉．”中国古人把和谐平衡的精神之美，演变成了一种对称美，在下列我国建筑简图中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．例题4．（2021·黑龙江五常）点P（﹣2，b）与点Q（a，3）关于x轴对称，则a＋b的值为（）A．5B．﹣5C．1D．﹣1【知识点2：线段垂直平分线性质】例题5．（2021·天津津南期末）如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AB ＝5，△ABD 的周长是13，则BC 的长为（）A ．8B ．10C ．11D ．12例题6．（2021·内蒙古呼和浩特市期中）如图，在△ABC 中，∠B ＝32°，∠C ＝48°，AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于点D ，E ，且点D 在点E 的左侧，BC ＝6cm ，则△ADE 的周长是（）A ．3cmB ．12cmC ．9cmD ．6cm例题7．（2021·黑龙江省期末）如图，DO 垂直AC ，且AO =OC ，若AB =7cm ，BC =5cm ，则△BDC 的周长是____________．【知识点3：与折叠相关】例题8．（2021·广西期中）如图，在Rt ABC 中，90ACB ，点D 在AB 边上，将CBD 沿CD 折叠，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若26A ，则ADE 的度数是________例题9．如图．点D ，E 分别在△ABC 的边BC ，AB 上，连接AD 、DE ，将△ABC 沿直线DE 折叠后，点B 与点A 重合，已知AC ＝6cm ，△ADC 的周长为14cm ，则线段BC 的长为（）A ．6cmB ．8cmC ．12cmD ．20cm例题10．（2021·山东寒亭期中）如图，在ABC 中，4AB ，5BC ，6AC ，将ABD △沿AD 折叠，使得点B 恰好落在AC 边上的点E 处，折痕为AD ，若点F 为AD 上一动点，则EFC △的周长最小值为___________．【知识点4：尺规作图】例题11．（2021·山东寒亭期中）如图，在ABC 中，90C ，30B ，分别以A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧分别交于点E 和F ，连接FE 并延长交BC 于点D ，则下列说法中不正确的是（）A ．AD 是BAC 的平分线B ．3ABD DAC S S △△C ．点D 在AB 的垂直平分线上D ．60ADC例题12．（2021·湖南凤凰期中）如图，在△ABC中，BC＝10，AC＝4，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为___．例题13．（2021·浙江诸暨期中）已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交直线AB于点D，连接CD．若∠ABC＝40°，∠ACD ＝20°，则∠BAC的度数为____．．（1）用尺规完成下列作图：（保留作图痕迹，不写作法）例题14．（2021·河南南阳市）已知MAN的平分线AE；①作MAN②在AE上任取一点F，作AF的垂直平分线分别与AM、AN交于P、Q；（2）在（1）的条件下线段AP与AQ有什么数量关系，请直接写出结论．例题15．（2021·安徽淮南市期中）如图，某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路），现计划在∠AOB内部修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．【知识点5：最短路径】例题16．（2021·山东阳谷县）如图，等腰△ABC 底边BC 的长为4cm ，面积为12cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 与点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的周长最短为（）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm例题17．（2021·河北邢台市）如图，∠AOB ＝20°，点M 、N 分别是边OA 、OB 上的定点，点P 、Q 分别是OB 、OA 上的动点，记∠MPQ ＝α，∠PQN ＝β，当MP +PQ +QN 最小时，则β﹣α的值为（）A ．10°B ．20°C ．40°D ．50°例题18．（2021·福建期中）如图，直线m 是△ABC 中BC 边的垂直平分线，点P 是直线m 上的一动点，若AB ＝5，AC ＝4，BC ＝6，则△APC 周长的最小值是（）A ．9B ．10C ．11D ．12.5例题19．（2021·浙江余杭）如图所示，点P 为O 内一定点，点A ，B 分别在O 的两边上，若PAB 的周长最小，则O 与APB 的关系为（）A．2O APBB．2O APBC．180O APBO APBD．2180例题20．（2021·河南西平期中）（1）如图1，在直线AB的同一侧有两点C，D，在AB上找一点P，使C，D，P三点组成的三角形的周长最短，找出此点．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，在OA，OB上是否分别存在点E，F，使得E，F，P三点组成的三角形的周长最短，找出E，F两点．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M，N，在OA，OB上是否分别存在点E，F，使得E，F，M，N四点组成的四边形的周长最短，找出E，F两点．（显示找点的过程）【知识点6：综合习题】例题21．（2021·山西盐湖期中）如图，在 ABC中，∠ABC的平分线BP与AC的垂直平分线DP相交于点P，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥AB交BA的延长线于点E．AB=7cm，BC=15cm，则AE的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm例题22．（2021·河南枫杨外国语期中）在平面直角坐标系xOy中，我们把点O，A（0，4），B（8，4），C （8，0）顺次连接起来，得到一个长方形区域，P为该区域（含边界）内一点．若将点P到长方形相邻两边的距离之和的最小值记为d，则称P为“d距点”．例如：点P（5，3）称为“4距点”．当d＝4时，横、纵坐标都是整数的点P的个数为___个．例题23．（2021·福建建瓯期中）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与边AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC于点F，DG⊥BA交BA的延长线于点G．（1）求证：AG=CF；（2）如图2，点M，N分别是线段AB，射线BD上的动点，若BC=5，S△ABC=5，求MN+AN的最小值．例题24．（2021·辽宁大石桥期中）已知点P在∠MON内．（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．①若∠MON=50°，则∠GOH=______；②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10；（2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当 PAB的周长最小时，求∠APB 的度数．。

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A．（0，）B．（0，0）C．（0，）D．（0，）
二、填空题
6．如图，要从村庄P修一条连接公路的最短的小道，应选择沿线段________修建，理由是________．
7．如图，等腰△ABC的底边BC的长为2cm，面积是6cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F．若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为____________cm．
7．7
【解析】
【分析】
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM＋MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ BC•AD＝ ×2×AD＝6，解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM＋MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM＋MD）＋BD＝AD＋ BC＝6＋ ×2＝6＋1＝7cm．
故答案为7cm．
【点睛】
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
(3)直接写出A1B1C1三点的坐标.
12．如图，有一只蚂蚁想从A点沿正方体的表面爬到G点，走哪一条路最近？
(1)请你利用部分平面展开图画出这条最短的路线，并说明理由．
(2)探究若这只蚂蚁在正方体上爬行的最短路线，请你找出所有的最短路线，并画出示意.
13．如图，已知．
（1）画关于x轴对称的；
（2）在轴上画出点，使最短．
故选D
考点：轴对称，一次函数的性质
6．PC垂线段最短
【解析】
【分析】
根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可．
【详解】
解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点P作PC⊥l于点C，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：PC，垂线段最短．
【点睛】
本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
故选C．
3．B
【解析】
【分析】
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N，则此时周长的最小值等于线段P1P2，只要证明△OP1P2为等边三角形，即可求解.
【详解】
解：如图，分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N，
八年级数学轴对称最短路径题专题难点训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，从A到B最短的路线是（）
A． B． C． D．
2．如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是（）
4．B
【解析】
如图，PB是点P到a的垂线段，
∴线段中最短的是PB.ຫໍສະໝຸດ 故选B.5．D【解析】
试题分析：
作点N关于y轴的对称点N1（-1，-1），连接N1M交x轴于P，
∵M的坐标是（3，2），
∴直线N1M的函数解析式为y= x- ，
把P点的坐标（0，n）代入解析式可得n=- ．
∴点P的坐标是（0，- ）．
根据轴对称的性质，则
OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠P2OB=∠POB，MP=MP1，NP=NP2,
∴△PMN的周长的最小值= P1P2，
∵ ，
∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴△OP1P2为等边三角形，
∴P1P2=OP1=OP2=OP=8；
故选择：B.
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，以及轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质进行求三角形周长的最小值.
8．5
【解析】
【分析】
根据比例可设分别为k、2k、3k，然后根据三角形的内角和为180°，求得各角的度数，再根据直角三角形中30°所对直角边为斜边的一半即可得解.
【详解】
∵ ，
∴设分别为k、2k、3k，
∵k+2k+3k=180°，
∴k=30°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∵最长边为，
A． B． C． D．
3．已知，点在的内部，，在、上分别取点、，使的周长最短，则周长的最小值为（）
A．4B．8C．16D．32
4．如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是( )
A．PAB．PBC．PCD．PD
5．已知M（3，2），N（1，－1），点P在轴上，且PM＋PN最短，则点P的坐标是（）
8．若中，，且最长边为，则最短边长为______ .
三、解答题
9．如图，已知，请你用尺规在边上找一点，使得的长度最短．
10．在△ABC中，已知∠A= ∠B= ∠C，它的最长边是8 cm，求它的最短边的长.
11．如图
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)在x轴上是否存在点P，使得PA+PB最短，最短距离是多少？
故答案是：见解析
【点睛】
此题主要考查了过一点作直线的垂线、垂线段最短，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．
10．4cm
【解析】
【分析】
设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，根据三角形的内角和定理求得每个角的度数，从而得出三角形是直角三角形，再由在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半求得答案即可．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据两点之间线段最短判断路线即可．
【详解】
根据两点之间线段最短,可知从A点到E点最短路线是:A－F－E,则A到B最短路线是:A－F－E－B．
故选C．
【点睛】
本题考查最短路径的应用,关键在于牢记基础知识．
2．C
【解析】
根据对称的性质以及两点之间线段最短可知选项C是正确的．
∴最短边长= .
故答案为：5.
【点睛】
本题主要考查含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半.
9．见解析
【解析】
【分析】
过点作的垂线交于点，垂线段即为所求．
【详解】
解：①以为圆心，以任意长为半径画弧，交于点、点；②分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作垂线交于点，垂足为点，垂线段即为所求．