蔡氏电路的仿真研究

ｃ。孥＝Ｇ‰：一％）一小ｃ１）
２蔡氏电路的仿真 ２．１蔡氏电路的仿真算法
方程（２）是非线性的微分方程组，需要用数值方 法求解。一般地，四阶龙格一库塔算法是求解这类 方程的基本方法，其算法思想如下：
基于Ｔａｖｌｏｒ级数展开的方法，利用ｆ在某些点 处函数值的线性组合构造差分方程，从而避免高阶
ｃ：孥：Ｇ‰。一屺）“
ｆｈｎｃｔｉｏｎ［ｘ］＝ｃｈｕａ—ｍａｐ（ｘｘ，ｔｉｍｅ—Ｖａｒｉａｂｋ，越阻）
ｍ０＝一１／７．０：
ｍ１＝２／７．０：
ｉｆ
ｘｘ（１）＞＝１
ｈｘ＝ｍ１＊ｘｘ（１）＋ｍ０一ｍ１；
ｅｌｓｅｉｆ
ａｂｓ（ｘｘ（１））＜＝１
ｈｘ＝ｍ０＊ｘｘ（１）；
ｅｌｓｅ
ｈｘ＝ｍ１＊ｘｘ（１）一ｍ０＋ｍ１；
ｅｎｄ
Ａ＝［０
９．ｏ
导数的计算。
（１）
由微分中值定理：
万方数据
一８１—
２００５年７月
华北航天工业学院学报
第１５卷
’，（ｘｉ＋１）一！ｙ（ｘｉ）＝＾·ｙ（ｘｉ＋铌），０＜口＜１ （４）
利用微分方程ｖ（ｘ）＝ｆ（ｘ，ｙ（ｘ）），得到
下面四个Ｍ文件的程序代码用来实现蔡氏电 路的非线性动力学行为：
（１）ｃｈｕａ—ｄｅｍｏ．ｍ
了著名的蔡氏电路（ｃｈｕａ’ｓ ｃｉｒｃｕｉｔ）¨。５ Ｊ，它是历史 上第一例用电子电路来证实混沌现象的电路，也是
Ｌ，面ｄｔ￡．２一秽ｃ２
其中秽。，，口。：和ｉ。分别是Ｃ。，ｃ：两端的电压以及 流过￡的电流，ｇ（影。。）是图（６）所示的分段线性化
迄今为止在非线性电路中产生复杂动力学行为的最 为有效和较为简单的电路之一。通过改变蔡氏电路 的拓扑结构或电路参数，可以产生倍周期分叉、单涡 卷、周期３、双涡卷吸引子、多涡卷吸引子等十分丰 富的混沌现象。因此，蔡氏电路开启了混沌电子学 的大门，人们已围绕它开展了混沌机理的探索、混沌 在保密通信中的应用研究，并取得了一系列丰硕的 成果‘６｜。
０
１．Ｏ Ｏ
一１．０
猢
１．０
０Ｊ；
ｘ＝Ａ＊ｘｘ：
ｘ＝ｘ＋［一９＊ｈｘ
０
（２）ｃｈｕａ—ｉｎｉｔｉａｌ．ｍ
Ｏ］’；
ｆｕｎｃｔｉｏｎ ［ｘ０］＝ｃｈｕａ—ｉｎｉｔｉａｌ（ｘ，ａａａ）
ｈ＝Ｏ．０１；ａ＝ｈ／２；ａａ＝ｈ，６；
ｘ＝［一Ｏ．０３
０．６
—０．０１］’；
ｋ０＝ｃｈｕａ—ｍａｐ（ｘ，１，蝴）；
ｘ１＝ｘ＋ｋ０＊ａ：
［７］孙志忠．数值分析［Ｍ］．第二版．南京：东南大学出版社，
２００２．
图９×一ｙ—ｚ相平面图
（上接第８０页） 器设备等装置通过网络搬进教室。良好的演示效 果，给人以非常直观的感性认识，从而使一些课程得 以在教室内采用边讲解、边实验、边讨论的灵活方 式，学生真正成为了课堂上的“主动者”。
总之，开展实验教学的数字化研究与应用，寻找 新的实验教学模式，是深化高校实验教学改革的需 要，对解决传统实验教学所面临的困境，加强实验教 学环节具有重要意义，并将在实验教学、课程设计和
它们的加权平均作为的近似值，则就可以构造出高 精度的数值计算公式。四阶龙格一库塔算法的计算 公式就是按这一思路推导出来的，它有多种形式，其 标准的数学描述如下：
ｙ。＋１＝ｙ。＋＾·（Ｋ１＋２Ｋ２＋２Ｋ３＋Ｋ４）／６
Ｋ。＝／（戈。，ｙ。）；
Ｋ２＝．厂（石。＋＾／２，ｙ。＋Ｋ１·＾／２）；
（６）
Ｋ３＝．厂（菇。＋矗，２，，，。＋Ｋ２·九／２）；
图１（ａ）是蔡氏电路的电路拓扑图，它是一个三阶 电路，有两个电容、一个电感、一个线性电阻，并含有 一个非线性电阻元件Ｎ。，它的伏一安特性曲线如图１ （ｂ）所示，是一个分段线性函数，中间一段呈现负电阻 的特征，它可以用开关电源等电子电路来实现ｕ’２Ｊ。
函数，Ｇ＝１／Ｒ。 该电路描述可以写成无量纲的形式（即下面的
ｍａＤ．ｍ用来实现分段线性化函数，ｃｈｕａ＿ｉｎｉｔｉａｌ．ｍ
和ｃｈｕａ．ｍ调用文件ｅｈｕａ＿ｍａｐ．ｍ，前者实现龙格一 库塔算法，后者用龙格一库塔算法解常微分方程组， ｃｈｕａ＿ｄｅｍｏ．ｍ调用文件ｃｈｕａ＿ｉｎｉｔｉａｌ．ｍ和ｃｈｕａ．ｍ，
给定初值并作图输出仿真结果。 各Ｍ文件中函数的调用关系如图２所示：
表现出混沌行为。例如，当ａ。＝９，ａ：＝一１００／７，ｍ。
Ｎｉ 夕＼‘Ｉ
＝一１／７，ｍ，＝２／７时，该系统显示出混沌行为，其最 大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数和Ｌｙａｐｕｎｏｖ分维数分别为０．２３ 和２．１３∞１。
图１蔡氏电路的拓扑图（ａ）和伏一安特性曲线（ｂ）
考虑图１（ａ）的电路，非线性电阻的伏安特性曲 线由图１（ｂ）给出。蔡氏电路的动力学特性由下列 各式描述：
３２：７９８—８１７．
［３］Ｌ．０．ｃｈｕａ，Ｍ．Ｋｏｍｕｒｏ ａｎｄ Ｔ．Ｍａｔｓｕｍｏｔｏ．Ｔｈｅ ｄｏｕｂｌｅ ｓｃｒｏⅡｆａｍｉｌｙ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．ｏｎ ｃｉｒｃｕｉｔｓ ａｎｄ ｓｙｓｔｅｍｓ，
１９８６，３３：１０７３一１１１７．
［４］Ｔ．ｓ．Ｐａｒｋｅｒ ａｎｄ Ｌ．ｏ．ｃｈｕａ．ｃｈａｏｓ：ａ ｔｕｔｏｒｉａｌ ｆｂｒ ｅｎｇｉ— ｎｅｅｒｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ＩＥＥＥ，１９８７，７５：９８２一１００８．
第１５卷增刊 ２００５年７月
华北航天工业学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｒｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｉｎ８ｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ａｓｔｒｏｎ叭ｔｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｖ０１．１５ ｓｕｐｐｌ
叫．２００５
蔡氏电路的仿真研究
冯久超
陈宏滨
（华南理工大学电子与信息学院，广东广州５１０６４１）
摘要：本文简要介绍了蔡氏电路及其描述它的正规化状态方程，接着介绍了蔡氏电路的仿真算法一四阶龙格
ｙ（ｘｉ＋１）＝ｙ（ｘｉ）＋Ｖ（ｘｉ＋觎，ｙ（ｘｉ＋觎））（５） 这里的厂（置＋觎，ｙ（ｘｉ＋觎））称作区间［戈ｉ，戈…］ 上的平均斜率，记作｜ｊ｝’，即后＊＝厂（置＋觎，ｙ（置 ＋钆））。因此只要对平均斜率Ｋ。提供一种算法， 由式（５）便可以得到一个微分方程的数值计算公式。 如果［戈ｉ，戈…］在上多预置几个点的斜率值，然后将
ｘ１＝ｘ＋ｋ１＊ａ：
ｋ２＝ｃｈｕａ—ｍａｐ（ｘ１，ｋ，猢）；
ｘ１＝ｘ＋ｋ２＊ｈ：
ｋ３＝ｃｈｕａ—ｍａｐ（ｘｌ，ｋ，ａａａ）； ｘ＝ｘ＋ａａ＊（ｋＯ＋２＊（ｋ１＋ｋ２）＋ｋ３）；
ｅｎｄ
图２ Ｍ文件的调用关系图
ｘ０＝ｘ：
（３）ｃｈｕａ．ｍ
万方数据
一８２—
增刊
冯久超等：蔡氏电路的仿真研究
２００５年７月
ｆｕｎｃｔｉｏｎ［ｘｘ］＝ｃｈｕａ（ｘ，ｔｉｍｅ—ｖａｒｉａｂｌｅ，ａａａ，
科研活动中发挥重要作用。 参考文献： ［１］冯长江，陈月魁．娄建安．电子技术数字化实验教学初探
［Ｊ］．华北航天工业学院学报，２００３，（增刊）． ［２］赵世强，许杰．电子电路ＥＤＡ技术［Ｍ］．西安：西安电子
科技大学出版社，２００１． ［３］杨乐平，李海涛．虚拟仪器技术概论［Ｍ］．北京：电子工
业出版社，２００３．
ｙ
图３ ｘ时间序列图
万方数据
一８３一
图６ ｘ—ｙ相平面图
２００５年７月 图７ ｘ—ｚ相平面图 图８ ｙ—ｚ相平面图
华北航天工业学院学报
第１５卷
３结论 本文的主要目的是阐明如何应用Ｍａｔｌａｂ软件
仿真实现蔡氏电路的非线性动力学行为。根据蔡氏 电路的正规化状态方程，运用龙格一库塔算法解非 线性微分方程组，并用ＭＡＴＬＡＢ语言编程，我们可 以直观地看到蔡氏电路地非线性动力学行为，并加 深对蔡氏电路的认识。当然，本文还只是对正规化 状态方程的仿真，我们还可以用电子元器件正在实 现该电路，并可用示波器观测到相应地波形。另外， 也还有许多改进的蔡氏电路，这里就暂不讨论，读者 可以参考［５］。 参考文献：
８ｙｍｂｏｌ－ｎｏ）
ｈ＝０．０１： ａ＝ｈ，２：
ａａ＝ｈ／６：
ｘｘ＝［］； ｆｏｒ ｊ＝１：８ｙｍｂ０王一ｎｏ
ｋ０＝ｃｈｕａ—ｍａｐ（ｘ，ｔｉｍｅ—ｖａｒｉａｂｌｅ，ａａａ）；
ｘ１＝ｘ＋ｋＯ＊ａ：
ｋ１＝ｃｈｕａ—ｍ印（ｘｌ，ｔｉｍｅ—ｖａｒｉ划）ｌｅ，ａａａ）；
ｘｌ＝ｘ＋ｋ１＊ａ：
ｋ２＝ｃｈｕａ—ｍ印（ｘ１，ｔｉｍｅ—ｖａｒｉａｂｌｅ，ａａａ）；
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Ｋ４＝厂（菇。＋＾，，，。＋Ｋ３·＾）； 其中＾为根据要求选择的合适步长。四阶龙格一 库塔算法的公式每一步计算需四次调用厂的函数 值，计算量较大，但其局部截断误差可达Ｏ（ｈ５），精 度较高ｎ］。 ２．２蔡氏电路的ＭＡＴＬＡＢ仿真
下面介绍蔡氏电路的计算机仿真实现，根据上 述蔡氏电路的正规化状态方程（２）和四阶龙格一库 塔算法，用ＭＡＴＬＡＢ语言进行仿真。在仿真中，各 参数的取值为（口１＝９，ａ２＝一１００／７，ｍｏ＝一１／７，ｍ１ ＝２／７，初值在ＭＡＴＬＡＢ的Ｍ文件中给出。仿真实 现的程序一共要编写４个Ｍ文件，其中文件ｃｈｕａ＿
ｘ１＝ｘ＋ｋ２＊ｈ：
ｋ３＝ｃｈｕａ—ｍａＤ（ｘ１，ｔｉｍｅ—ｖａｒｉａｂｌｅ，ａａａ）； ｘ＝ｘ＋ａａ＊（ｋＯ＋２＊（ｋ１＋ｋ２）＋ｋ３）； ｘｘ＝［ｘｘ ｘ］；
ｅｎｄ
（４）ｃｈｕａ—ｄｅｍｏ．ｍ ｘＯ＝０．０５＊ｒａｎｄｎ（３，１）； ［ｘ０］＝ｃｈｕａ—ｉｎｉｔｉａｌ（ｘＯ，一１００／７）； ［ｘｘ］＝ｃｈｕａ（ｘ０，１，一１００／７，２００００）； ｆｉｇｕｒｅ（１）； Ｄｌｏｔ（ｘｘ（１，：），ｘｘ（２，：），’ｋ’）； ｘｌａｂｅｌ（’ｘ’）； ｖｌａｂｅｌ（’ｖ’）； （后面作图部分程序代码省略） ２．３仿真结果 在ＭＡＴＬＡＢ环境中运行上述的Ｍ文件就可以 得到下面的仿真结果。 单变量ｘ，ｖ，ｚ随时间ｔ变化的序列图分别如图 ３，图４，图５所示；
［１］Ｌ．Ｏ．ｃｂｕａ，Ｊ．Ｂ．Ｙｕ ａｎｄ Ｙ．Ｙ．Ｙｕ．Ｎｅｇａｔｉｖｅ ｒｅｓｉｓ— ｔ８ｎｃｅ ｄｅｖｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｍａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｃｉｒｃｕｉｔ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，１９８３，１１：１６ｌ—１８６．