高中数学必修五课件 余弦定理

解：∵a:b:c＝2: 6:( 3＋1)， 令a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的推论得 b2＋c2－a2 6＋ 3＋12－4 2 cosA＝ ＝ ＝ ，∴A＝45° . 2bc 2× 6× 3＋1 2 a2＋c2－b2 4＋ 3＋12－6 1 cosB＝ 2ac ＝ ＝2，∴B＝60° . 2×2× 3＋1 ∴C＝180° －A－B＝180° －45° －60° ＝75° .
[分析] 将四边形 ABCD 分成△ABD 和△BCD，在△ABD 中，用余 弦定理求出 BD，在△BCD 中，用正弦定理即可解出 BC.
[解] △ABD 中， 由余弦定理得 AB2＝AD2＋BD2－2AD· BD· cos∠ADB， 设 BD＝x， 则有 142＝102＋x2－2×10xcos60° ， 即 x2－10x－96＝0， 解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)， ∴BD＝16. ∵AD⊥CD，∠BDA＝60° ， ∴∠CDB＝30° . 16 在△BCD 中，由正弦定理得 BC＝sin135° · sin30° ＝8 2.
[点评]

1.解三角形时，应先分析题设条件，如本题属
于“SAS”型，先用余弦定理求a，在此基础上，可以利用余 弦定理计算角B或C的余弦值，也可以利用正弦定理计算角 B或C的正弦值． 2．常用余弦定理解答两类题目“SAS”型及“SSS”型．
变式训练 1 已知在△ABC 中，a:b:c＝2: 6:( 3＋1)，求△ABC 的 各角度数．
1.1.2 余弦定理
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方 等于其他两边的平方的和减去 这两边与它们的夹角的余弦的 积的两倍．即
若 a，b，c 分别是△ABC 的顶 点 A，B，C 所对的边长，则
b ＋c －2bccosA a ＝__________________ ，
2 2
2 2
a ＋c －2accosB b ＝__________________ ，
各角 ； (1)已知三边，求_____
第三边和其他两个角 (2)已知两边和它们的夹角，求 __________________．
思考感悟
1 ．已知三角形任意两边与一 角，借助于正、余弦定理是否能求 出其他元素？
2． 在解三角形的过程中， 求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
典例导悟
类型一 利用余弦定理解三角形 [例 1]△ABC 中，已知 b＝3，c＝2 3，A＝30° ，求边 a、 角 C 和角 B.
[解] 直接应用余弦定理：
a2＝b2＋c2－2bccosA ＝32＋(2 3)2－2×3×2 3×cos30° ＝3，∴a＝ 3. a2＋c2－b2 32＋2 32－32 1 ∴cosB＝ ＝ ＝2. 2ac 2× 3×2 3 ∴B＝60° ，∴C＝180° －A－B＝180° －30° －60° ＝90° .
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量， 它们分 别是三角形的三边和一个角， 知道其中的三个量， 代入等式， 便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
∴a2＝b2＋c2－bc. 又∵a2＝b2＋c2－2bccosA，则2cosA＝1，∴A＝60° . 又∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝ 2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C. 又∵B＋C＝120° ，∴△ABC是等边三角形．
[点评]
判断三角形形状的方法
2A
1＋cosA b＋c b 2 ＝ 2c ，∴cosA＝c . b2＋c2－a2 b 根据余弦定理得 ＝ ， 2bc c ∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形．
类型三 正、余弦定理的综合应用 [例 3] 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，AD ＝10，AB＝14，∠BDA＝60° ，∠BCD＝135° ，求 BC 的长．
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
a ＋b －2abcosC c ＝__________________.
2
2 2
2
2
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与 对边之间的关系，它的另一种表达形式是 2 2 2 b ＋c －a cosA＝_____________ ， 2bc 2 2 2 a ＋c －b cosB＝_____________ ， 2ac 2 2 2 a ＋b －c cosC＝_____________. 2ab
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
3．怎样用余弦定理判断三角形的形状？
提示：(1)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0° <A<90° ；反 之，若0° <A<90° ，则a2<b2＋c2. (2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90° ；反之，若A ＝90° ，则a2＝b2＋c2. (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90° <A<180° ；反之， 若90° <A<180° ，则a2>b2＋c2.
(1)利用正、余弦定理化角成边，利用代数运算求出三 边的关系； (2)由正、余弦定理化边为角，通过恒等变形及内角和 定理得到内角关系，从而判定形状．
b＋c 变式训练2 在△ABC中，已知cos 2 ＝ 2c (a，b，c分
2A
别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状．
b＋c 解：在△ABC中，由已知cos 2 ＝ 2c 得