指数函数的z变换表达式

合集下载

7-3Z变换理论

例7-11-2续 T z[cos( T ) z 2 2 z cos( T )] X ( z) 。 [ z 2 2 cos( T ) z 1]2
d 解二 Z [t e(t )] T z E ( z )； dz z[ z cos( T )] d X ( z ) T z d z z 2 2 cos( T ) z 1 2 [ 2 z cos( T )][ z 2 cos( T ) z 1] T z 2 2 [ z 2 cos( T ) z 1 ] z[ z cos( T )][ 2 z 2 cos( T )] 2 2 [ z 2 cos( T ) z 1] T z[cos( T ) z 2 2 z cos( T )] 。 [ z 2 2 cos( T ) z 1]2
z (e jT e jT ) /( 2 j ) z (e e sin( T ) z
2 jT jT
) z 1

z 2 2 cos(T ) z 1
。
(3) 留数计算法当 X(s)具有重极点时，应采用留数计算法。
ri 1 d z 1 ri X ( z) ( s s ) X ( s ) i r 1 Ts i (ri 1)! d s z e s si i 1 K
X ( s)

记 z eTs，采样信号的Z变换定义如下：
x (t )

n 0
nTs x ( nT ) e

(7-5)
若两个信号在所有采样时刻上值相同，它们的Z变换相同；连续信号和它的采样信号具有相同的Z变换。
X ( z ) Z[ x(t )] Z[ x (t )]

拉氏变换与Z变换的基本公式及性质

拉氏变换与Z变换的基本公式及性质拉氏变换（Laplace Transform）是一种重要的信号分析工具，它将时域函数转换为复域函数，使得分析和处理复杂的差分方程、微分方程、线性时不变系统等问题变得更加简单。

拉氏变换的定义如下：对于一个定义在半轴t≥0上的实值函数f(t)，它的拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中s是一个复变量，e^(-st)是一个复数系数。

拉氏变换的基本公式：1.映射常数L{1}=1/s2. $L{e^{at}}=\frac{1}{s-a}, Re(s)>a$3.时间平移L{f(t-a)u(t-a)} = e^(-as)F(s)4.频域平移L{e^(as)f(t)} = F(s-a)5.合并函数L{f(t)+g(t)}=F(s)+G(s)6.乘法L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)7.单位冲激函数L{δ(t-a)} = e^(-as)拉氏变换的性质：1.线性性质L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)2.积分性质L{∫[0,t]f(τ)dτ}=1/s*F(s)3.拉氏变换的导数性质L{f'(t)}=sF(s)-f(0)4.初始值定理f(0+) = lim(s->∞) sF(s)5.最终值定理lim(t->∞) f(t) = lim(s->0) sF(s)Z变换是一种由离散信号而来的变换，它将离散序列变换到复平面上。

Z变换的定义如下：对于一个离散序列x[n]，它的Z变换X(z)定义为：X(z)=Z{x[n]}=∑[-∞,∞]x[n]z^(-n)其中z是一个复变量。

Z变换的基本公式：1.映射常数Z{1}=12.单位序列Z{δ[n]}=13.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)4.平移Z{x[n-a]}=z^(-a)X(z)5.单位冲激响应函数Z{h[n]}=H(z)6.时域乘法Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)Z变换的性质：1.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)2.移位性质Z{x[n-k]}=z^(-k)X(z)3.初始值定理x[0] = lim(z->∞) X(z)4.最终值定理lim(n->∞) x[n] = lim(z->1) (1-z^(-1))*X(z)5.时域卷积性质Z{x[n]*y[n]}=X(z)Y(z)6.时域乘法性质Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)总结：拉氏变换和Z变换都是用于信号分析和处理的重要工具。

计算的z变换解

二.z变换的基本定理
(1)线性定理
Z[ae( t)] aE(z)
Z[e 1 (t) e 2 (t)] E1 (z) E 2 (z) n 证明 : 由 E(z) e(nT) z 有 n 0 n n Z[a e(t)] ae(nT) z a e(nT) z aE(z) n 0 n 0 n Z[e 1 (t) e 2 (t)] {e1 (nT) e 2 (nT)] z } n 0 n n e1 (nT) z e 2 (nT) z n 0 n 0 E1 (z) E 2 (z)
的z反变换e *(t)。
0.5z-1 0.75z 2 0.875z 3
E(z)
( z 2 1.5 z 0.5)

11.5 z 1 0.5 z 2
长除法 :1 - 1.5z-1 0.5z-2 0.5z-1 0.5z-1 0.75z 2 0.25z 3 0.75z 2 0.25z 3 0.75z 2 1.125z 3 0.375z 4 0.875z 3 - 0.375z 4 E(z) 0.5z-1 0.75z 2 0.875z 3 0.9375z 4 则有 e(0) 0 e(T ) 0.5 e(2T ) 0.75 e(3T ) 0.875 e(4T ) 0.9375
e ( kT ) e[( k 1)T ] z z k [ e ( kT ) z k
1
e[( k 2 )T ] z ( k 1)
2
....... e ( nT kT ) z
n
......
e[( k 1)T ] z
......]

z变换与拉氏变换的关系

X
z
1
-
z
1
-1
e-aT
返回
例8-6-2
ω
已知正弦信号sin(0t)u(t)的拉式变换为求抽样序列sin(0nT)u(nT)的z变换。
s2
0， ω02
解：已知 xt sinω0tut
X s
s2
ω0 ω02
显然X(s)的极点位于s1=j0, s2= -j0,其留数分别为
A1
-j 2
及A2
j 2
幅角: =T=2p
s
z平面式中T是序列的时间间隔，重复频率s=2p/ T
s~z平面映射关系
这两个等式表明：z的模r仅对应于s的实部；
z的幅角仅对应于s的虚部。
（1）s平面的原点
，== 00
z平面
r
=，= 10即z=1。
s平面(s= +j
j
原点
= 0, = 0)
o
z平面(z= rej
例如，阶跃信号u(t)在t=0点定义为1/2; 阶跃序列u(n)在点n=0定义为1。
注意跳变值
例8-6-1 例8-6-2
返回
注意跳变值
0
xˆ i
t
Ai 2
Ai e pit
t < 0 t 0 t > 0
0
xi
nT
Ai
Ai
e
pi nt
t < 0 t 0 t > 0
按抽样规律建立二者联系时必须在0点补足 Ai 2 ,即
平行于实轴的直线
（k1,3...）
js/2 j
0
-js/2
z平面(z= rej
jImz 0 Rez

常用的z变换基本公式

常用的z变换基本公式
常用的Z变换基本公式包括：
1. 单边Z变换公式：X(z) = ∑_{n=0}^{∞} x(n) * z^(-n)
2. 双边Z变换公式：X(z) = ∑_{n=-∞}^{∞} x(n) * z^(-n)
3. 收敛域判断：根据x(n)的系数，判断Z变换的收敛域。

收敛域通常由极点、零点和因果序列、反因果序列等决定。

4. Z变换的性质：线性性质、时移性质、频移性质等。

5. Z变换和离散傅里叶变换（DFT）的关系：X(z) = ∑_{k=0}^{N-1} x(k) * z^(-k)，其中N是序列长度。

6. Z变换和拉普拉斯变换的关系：在Z变换的收敛域内，X(z)可以转换为拉普拉斯变换的形式。

这些公式是Z变换的基础，可用于离散信号的处理和分析，如滤波器设计、系统稳定性分析等。

在实际应用中，需要针对具体问题选择合适的公式和方法，并注意收敛域的判断和处理。

第二章 Z变换1,2,3,4

n

x ( n) z n M
2
z z 因此，要满足此不等式，必须在一定范围之内才行。满足的范围就是收敛域。不同形式的序列，其收敛域形式也不同。下面讨论几种序列的收敛域： 1．有限长序列在有限区间（n1 n n2 ）之内序列才具有非零的有限值，在此区间之外，序列值都是零。其 z 变换为：
c c
x ( n) x ( n)
2 j c 2 j c
1
1
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zk
k
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zm
m
16
以上两式的选择，需根据具体情况来考虑。下面给出求 X ( z ) z n 1 在任一极点 z r 处的留数的方法。（1）z r 是 X ( z ) z n 1 的单（一阶）极点，则有
n n n 1
正幂级数有限长序列的变换按照阿贝尔定理，必定存在收敛半径 Rx z 综合以上两项，变换的收敛域为： 0 z Rx 6
如果 n2 0 ，则右端第二项不存在，收敛域应包括 z 0 ，即
0 z Rx
4．双边序列 x n 为任意值时， (n) 都有非零值的序列，可以看成是左边序列与右边序列之和。
1
§2.2 z 变换的定义与收敛域一、z 变换(ZT)的定义若序列为x(n)，则幂级数
X ( z)
n
x ( n) z n

称为序列的 z 变换，其中 z 为变量，简便表示为： Z x ( n) X ( z )
二、z 变换的收敛域(ROC) 只有幂级数收敛， z 变换才存在。收敛域：对任意给定序列 x(n) ，使其 z 变换收敛的所有值的集合，称为~。按照级数理论，z 变换式中级数收敛的必要且充分条件是满足绝对可和的条件，即

Z变换

0< z ≤∞
n1 ≥ 0 n2 ≤ 0
嘉兴学院
0≤ z <∞
数字信号处理
16
2. z变换的收敛域
有限长序列收敛域除外），除外（n1<0,n2>0;z=0，z=∞除外）
嘉兴学院
数字信号处理
2. z变换的收敛域
（2）右边序列）在
17
n ≥ n1 时 x ( n ) 有值，在 n < n1 时 x ( n ) = 0 有值，
嘉兴学院
数字信号处理
z = re
jω
jω
|r =1 = e
∞
jω
7
ω = ΩTs = 2π f f s
X (e ) =
n =−∞
∑ x ( n )e
− jω n
离散时间序列的傅里叶变换，傅里叶变换， DTFT
z 平面
Im[z]
z 平面
Re[z]
Im[z]
r =1
0
Re[z]
0
嘉兴学院
数字信号处理
数字信号处理
23
2. z变换的收敛域
（4）双边序列）在n为任意值时，x(n)皆有值的序列，可以看成为任意值皆有值的序列可以看成: 双边序列＝右边序列＋双边序列＝右边序列＋左边序列
X (z) =
n = −∞
∑
∞
x(n) z
−n
=
∑
∞
x(n) z
收敛域
−n
+
n=0
n = −∞
∑
收敛域
8
连续时间信号
X (s) =
∆
∫
∞
jΩ

Z变换和差分方程

• 引入变量：引入变量：
z=e
Ts
sT s
或者写成： s = 1 ln z 或者写成：
S: 拉普拉斯变换的算子； Ts:采样周期；拉普拉斯变换的算子； Ts:采样周期采样周期；一个复变量，平面上，变换算子， Z：一个复变量，定义在 Z 平面上，称为 Z 变换算子，记为：采样信号的Z变换：记为：采样信号的Z变换：Z［f*(t)] = F(z) 变换， F (z)是采样脉冲序列的 Z变换，它只考虑了采样时刻的信号值。它只考虑了采样时刻的信号值。
y ( 0 ) = 0 , y (1) = 2 , 激励 f （ k ）= 2 k ε ( k ),
求: y (k )
• 解： • 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边，以外的各项都移到等号右边， • 得： y (k ) = −3 y (k − 1) − 2 y (k − 2) + f (k ) • 对于 k = 2, 将已知初始值y (0) = 0, y (1) = 2代入上式，得：
s z 1 z R2 = lim ( s + jω ) = sT s → − jω ( s − jω )( s + jω ) z − e 2 z − e − jωT
例8—6 求
解:
f ( t ) = t 的Z变换
两阶重极点!! 两阶重极点!!
1 F (s) = 2 s
d z d z Tz 2 1 R = lim (s − 0) 2 = lim = sT sT 2 s →0 ds s →0 ds z − e s z −e ( z − 1)
c ( k ) = (1 − T ) k c ( 0 ) + T
∑

自动控制原理第七章z变换

解： f (kT) eakT k 0,1,2,
F (z) Z[eat ] eakT zk 1 eaT z1 k 0
e2aT z 2 e3aT z 3
1
z
1 eaT z 1
z eaT
7.1 z变换与反变换
1. z变换部分分式法 2. z变换留数法 3. z变换性质 4. z反变换方法（部分分式、幂级数法、留数法）
注意：若分母和分子多项式的系数都是实数的话，那么任何一个复数极点或复数零点，都分别伴有共扼复数的极点或零点。
7.1.5、z反变换-部分分式法
当F(z)的极点全部是低阶极点，并且至少有一个零点是在坐标原点（即bm=0）时，一般采用的反变换求解步骤是，用z去除F(z)表达式的两端，然后将F(z)/z 展开成部分分式。展开后的F(z)/z，将是下列形式
s2 a2 s ja s ja
F(z)
1
2j
1
1 e jaT z 1
1
2j
1
1 e jaT z 1
z 1 sin aT 1 2z 1 cos aT z 2 ei cos i sin
7.1.2、 z变换-部分分式法
n
F(s)
Ai
i1 s si
例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。
Z[ f (k 1)] zF (z) zf (0)
Z[ f (k 2)] z2F (z) z2 f (0) zf (1)
Z[ f (k n)] znF (z) zn f (0) zn1 f (1) zn2 f (2) zf (n 1)
Z[ f (k n)] znF (z)
n
f (t) Aiesit i 1

z变换的基本知识

当z趋于无穷时，上式的两端取极限，得
4）终值定理
假定的z变换为，并假定函数在z平面的单位圆上或圆外没有极点，则
（20）
证明考虑2个有限序列
（21）
和
（22）
假定对于时所有的，因此在式（3-34）中，比较式（22）和式（21），式（22）可写成
（23）
令z趋于1时，式（21）与式（23）差取极限，得
（2）左位移（超前）定理
若，则
（15）
证明根据定义有
令，则
当时，即在零初始条件下，则超前定理成为
（16）
2）复域位移定理
若函数有z变换，则
（17）
式中是常数。
证明根据z变换定义有
令，则上式可写成
代入，得
3）初值定理
如果函数的z变换为，并存在极限，则
（18）
或者写成
（19）
证明根据z变换定义，可写成
在实际应用中，采样信号的z变换在收敛域内都对应有闭合形式，其表达式是z的有理分式
（5）
或的有理分式
（6）
其分母多项式为特征多项式。在讨论系统动态特征时，z变换写成零、极点形式更为有用，式（5）可改写为式（7）
（7）
2求z变换的方法
1）级数求和法
根据z变换定义式（4）计算级数和，写出闭合形式。
例1求指数函数的z变换。
换句话说，z反变换唯一对应采样信号，但可对应无穷多个连续信号。
2）z反变换的求法
（1）幂级数展开法（长除法）
根据z变换的定义，若z变换式用幂级数表示，则前的加权系数即为采样时刻的值，即
对应的采样函数为
例4已知，求。
解利用长除法

信号三大变换公式

信号三大变换公式信号处理领域中，常用的三大变换公式分别为傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换。

这些变换公式在信号处理中起到了重要的作用，能够帮助我们分析和处理各种类型的信号。

下面将详细介绍这三大变换公式。

一、傅里叶变换：傅里叶变换是一种将一个信号从时域转换到频域的方法。

它可以将一个信号分解成不同频率的正弦波和余弦波的叠加。

傅里叶变换的数学表达式为：F(ω) = ∫[f(t) ⨉ e^(-jωt)] dt其中，F(ω)是信号在频域的表示，f(t)是信号在时域的表示，ω是角频率，e^(-jωt)是复指数函数。

傅里叶变换可以用于信号的频谱分析，可以将信号分解成频率分量，从而帮助我们了解信号的频率分布情况。

此外，傅里叶变换还可以用于滤波、编码和解码等方面的应用。

二、拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是一种将一个信号从时域转换到复平面的变换方法。

它将时域中的信号转换为复平面上的点，可以将信号的幅度和相位信息进行分析。

拉普拉斯变换的数学表达式为：F(s) = ∫[f(t) ⨉ e^(-st)] dt其中，F(s)是信号在复平面上的表示，f(t)是信号在时域的表示，s 是复平面上的变量，e^(-st)是复指数函数。

拉普拉斯变换可以用来解决时域中的微分方程和差分方程问题，以及处理电路和控制系统等方面的信号分析和系统设计问题。

三、Z变换：Z变换是一种将离散信号从时域转换到复平面的方法。

它是离散时间傅里叶变换的离散形式，可以将离散信号的频谱和相位信息进行分析。

Z 变换的数学表达式为：F(z)=Σ[f[n]⨉z^(-n)]其中，F(z)是信号在复平面上的表示，f[n]是信号在时域的表示，z 是复平面上的变量，z^(-n)是复数的幂。

Z变换可以用来分析和设计数字滤波器、解离散时间系统的差分方程和处理离散序列的频谱分析等问题。

总结：傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换是信号处理中常用的三大变换公式。

它们分别将信号从时域、时频域和到频域进行转换，可以帮助我们理解和分析各种类型的信号，并在信号处理、滤波和系统设计等方面提供重要的工具。

6.3.2 z变换表达式的求法

1 1 e
aT
z
1
z , aT ze
(| z | e
aT
)
2 部分分式法
① ② 先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换E (s)；将E (s)展开成部分分式之和的形式；
③
求拉氏反变换，再求Z变换E(z)。
例6-6 设
F ( s)
1 s( s 1)
，求 f (t的 ) z变换。
解：
1 1 F (s) s s 1
f (t ) 1 e t , (t 0)
上式两边求Laplace反变换，得
再由例6-4和练习有
z z F ( z ) z [ 1( t ) e ] z 1 z e T z( 1 e T ) ( z 1 )( z e T )
6.3.2 z变换表达式的求法
求采样信号的 Z 变换方法很多，常用的方法有：按定义求，部分分式法，留数计算法。
1、级数求和法知道连续函数x(t)在各采样时刻的离散值x*(t)，按定义求。例6-4 求 x1 (t ) 1(t ) 和
k 0
x2 (t ) (t kT的 ) Z变换表达式。 1 z 1 1 z z1 z 1 2 1 z z z1
X ( z ) Z x( t ) x( kT )z k kTz k Tz 1 2Tz 2 3Tz 3
k 0
1

k 0
Tz (1 2 z 3 z
1
2
1 z 1 z 2 ) Tz ( ) 1 1 1 1 z 1 z 1 z
k 0

【解】 X 1 ( z ) x1 ( kT ) z k 1 z 1 z 2

z变换公式表范文

z变换公式表范文1.基本变换：-原始序列：$x[n]$- Z变换：$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot z^{-n}$2.常数乘法：- $ax[n]$ 的Z变换是 $aX(z)$3.基本序列变换：- 单位冲激序列：$\delta[n]$- $Z\{\delta[n]\} = 1$-单位步序列：$u[n]$- $Z\{u[n]\} = \frac{1}{1 - z^{-1}}$-递增指数序列：$n$- $Z\{n\} = \frac{z^{-1}}{(1 - z^{-1})^2}$-幂指数序列：$z^n$- 当 $，z， < 1$ 时，$Z\{z^n\} = \frac{1}{1- z^{-1}}$-当$，z，>1$时，$Z\{z^n\}$不收敛- 正弦序列：$\sin(\omega_0 n)$- $Z\{\sin(\omega_0 n)\} = \frac{\sin(\omega_0)}{1 - 2z^{-1}\cos(\omega_0) + z^{-2}}$- 余弦序列：$\cos(\omega_0 n)$- $Z\{\cos(\omega_0 n)\} = \frac{1 - z^{-1}\cos(\omega_0)}{1 - 2z^{-1}\cos(\omega_0) + z^{-2}}$4.线性运算：-前移：- $Z\{x[n-1]\} = z^{-1} \cdot X(z)$-后移：- $Z\{x[n+1]\} = z \cdot (X(z) - x[0])$-缩放：- $Z\{x[a \cdot n]\} = X(z^a)$-线性组合：- $Z\{a \cdot x[n] + b \cdot y[n]\} = a \cdot X(z) + b \cdot Y(z)$5.典型序列变换：-原始序列：$x[n]=a^nu[n]$- 当 $，a， < 1$ 时，$Z\{a^n u[n]\} = \frac{1}{1 - az^{-1}}$ - 当 $，a， > 1$ 时，$Z\{a^n u[n]\} = \frac{az^{-1}}{1 -az^{-1}}$-原始序列：$x[n]=n^mu[n]$- $Z\{n^m u[n]\} = \frac{b_m}{(1 - z^{-1})^{m+1}}$其中，$b_m$为常数，受初始条件影响。

Z变换 (2)ppt课件

F (z) f (kT )zk 1 eT z1 e2T z2 L k 0
F(z)
1 1 eT
z 1
z
z eT
eT z1 1
4
2）部分分式展开法——查表法
F(s)
B(s) A(s)
b0sm b1sm1 L sn a1sn1 L
bm1s bm an1s an
n i1
Ai s pi
k
z1
终值定理成立的条件:
(1 z在1)F单(z位) 圆上和圆外没有极点，f（k）收敛
例： F(z) z , f (k) 发2散k , ，k不能使用终值定理
z2
若用：
f (k)
k
lim(1
z 1
z 1 )
z
z
2
lim
z 1
z
1 z
z
z
2
0
稳定，结论错误原因：单位圆外有极点
13
1 定义
脉冲传递函数
G(z) C(z) 或 C(z) G(z)R(z) (零初始条件)
R(z)
若r(t) (t), c* (t) h* (t) Q R(z) Z[ (t)] 1
C(z) G(z)R(z) G(z) Z[h * (t)]
14
如何由G(s)求G(z):
（1）对G(s)做拉普拉斯反变换，求得脉冲响应
f
(kT )zk
11
三、初值定理
lim f (kT ) lim F(z) f (0)
k 0
z
证明： F (z) f (kT )zk f (0) f (T )z1 f (2T )z2 L k 0
当z趋于无穷时，两边取极限，z ，z-10 上式成立

Z变换详细讲解1

平面
Re[z ]
（1）右边序列：只在 n ≥ ）右边序列：
∞ n = n1
n1 区间内，有非零的有限值的序列 x(n) 区间内，
n1 ≤ n ≤ ∞
圆外为收敛域
X ( z ) = ∑ x ( n) z − n
lim
n →∞ n →∞
n
x ( n) z
−n
<1
Rx1
j Im[z ]
lim n x(n) = Rx1 < z z > Rx1
0 ∞ −st ∞ 0
∞ −st ∑ x(nT)δ (t − nT)e dt n=0
交换积分与求和次序
x s ( s ) = ∑ x ( nT ) e
n=0
∞
− snT
x( z ) = ∑ x(n) z
n=0
∞
令：T = 1
−n
1 ; 令 z = e 或 s = ln z T
sT
z=e
∗. y (n) − y (n − 1) = u (n) y− (0) = 1
解：α＝1；齐次解y z .i.r (n) = c × 1
求 . .r z s r. zi 和. .
n
求z.s.r y+ (0) = y− (0) = 1 y+(0) =u(0) + y+(−1) =1 求特解：y ( n) = an = n z.s.r y z .s.r ( n) = [c1 (1 + n)]u ( n)
jω 0 n
z z =( + )/2 jω 0 − jω 0 z−e z−e z ( z − cos ω 0 ) = 2 z − 2 z cos ω 0 + 1

Z变换和差分方程

04
离散系统稳定性分析与判断
离散系统稳定性概念及意义
稳定性定义
离散系统的稳定性是指系统在受到外部扰动后，能够恢复到原平衡状态的能力。
VS
稳定性意义
稳定性是离散系统正常工作的前提，不稳定的系统可能导致输出失控、性能恶化甚至损坏。
基于差分方程稳定性分析方法
差分方程
描述离散系统动态行为的数学模型，通过求解差分方程可得到系统输出。
若$x[n]$的Z变换为$X(z)$ ，则$x[n]e^{jomega n}$ 的Z变换为 $X(ze^{ jomega})$。证明过程基于复指数函数的性质和Z变换的定义。
若$x_1[n]$和$x_2[n]$的Z 变换分别为$X_1(z)$和 $X_2(z)$，则它们的卷积 $x_1[n]*x_2[n]$的Z变换为 $X_1(z)X_2(z)$。证明过程利用卷积的定义和Z变换的性质进行推导。
系统函数与稳定性分析
系统函数是描述系统频率响应特性的重要工具，可通过Z变换求得。同时，利用系统函数可进行系统稳定性分析，如判断系统是否稳定等。
Z变换和差分方程在其他领域应用前景探讨
数字信号处理
Z变换和差分方程在数字信号处理领域具有广泛应用，如滤波器设计、信号压缩与重构等。
控制系统分析
在控制系统中，Z变换和差分方程可用于分析系统稳定性、设计控制器等。
收敛域
Z变换的收敛域是指使得级数 $sum_{n=-infty}^{infty} |x[n]z^{n}|$收敛的所有$z$的集合。收敛域对于Z变换的分析和性质至关重要。
常见函数Z变换表
单位样值信号
$delta[n]$的Z变换为$1$，收敛域为整个复平面。
单位阶跃信号

z变换的基本知识

z 变换基本知识1 z 变换定义连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。

一个连续信号()f t 的拉普拉斯变换()F s 是复变量s 的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为s 的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。

因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。

计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z 变换。

连续信号()f t 通过采样周期为T 的理想采样开关采样后，采样信号*()f t 的表达式为0*()()()(0)()()()(2)(2)k f t f kT t kT f t f T t T f T t T δδδδ∞==-=+-+-+∑(3)(3)f T t T δ-+ （1）对式（1）作拉普拉斯变换23*()[*()](0)()(2)(3)sT sT sT F s L f t f f T e f T e f T e ---==++++0()e ksT k f kT ∞-==∑（2）从式（2）可以看出，*()F s 是s 的超越函数，含有较为复杂的非线性关系，因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。

为此，引入了另一个复变量“z ”，令e sT z =（3）代入式（2）并令1ln *()()s z TF x F z ==，得12()(0)()(2)()k k F z F f T z f T z f kT z ∞---==+++=∑（4）式（4）定义为采样信号*()f t 的z 变换，它是变量z 的幂级数形式，从而有利于问题的简化求解。

通常以()[*()]F z L f t =表示。

由以上推导可知，z 变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信号作e sT z =的变量置换。

*()f t 的z 变换的符号写法有多种，如[*()],[()],[()],[*()],()Z f t Z f t Z f k Z F s F z 等，不管括号内写的是连续信号、离散信号还是拉普拉斯变换式，其概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z 变换。

Z变换的定义.

第四章 Z 变换1 Z 变换的定义序列x( n)的 ZT ： X ( z) Z x( n)x (n)z n(1)n 0(2) 复变函数 X ( z) 的 IZT ： x( n) Z1X (z) ， ze s是复变量。

ZT(3) 称 x(n) 与 X ( z) 为一对 Z 变换对。

简记为x(n)X ( z) 或 x(n)X (z) (4) 序列的 ZT 是 z 1 的幂级数。

z n代表了时延，z 1是单位时延。

Z x (n) X (z) x(n)zn(5) 单边 ZT ：n 0Z B x (n) X B ( z)x(n) zn (6) 双边 ZT ：n2 ZT 收敛域 ROC定义：使给定序列x( n)的 Z 变换X (z)中的求和级数收敛的 z 的集合。

x (n) znx (n) znn收敛的充要条件是它n(3) 有限长序列的 ROC 序列 x( n) 在n n1 或 nn 2 (其中n1n2)时 x( n) 0 。

收敛域至少是 0 z。

序列的左右端点只会影响其在 0 和处的收敛情况：当 n 1 0,n 2 0时，收敛域为0 z( z 0, 除外)当 n 1 0,n 2 0 时，收敛域为 0 z ( z 除外 ) 当 n10,n 20 时，收敛域为 0 z( z除外 )右边序列的 ROC 序列 x( n) 在nn1时 x( n) 0 。

如果 n1 0，则序列为因果序列。

ROC 的情况：当 n 1时， ROC 为 Rx1 z；当 n 1 0时， ROC 为 R x1z。

左边序列的 ROC序列 x( n) 在 n n 2 时 x(n) 0 。

如果 n 21，则序列为反因果序列。

ROC 的情况：n 0 时， ROC 为 0 zR x2 ；当 2当 n 2 0 时，ROC 为0 z Rx2 。

双边序列的 ROC序列在整个区间都有定义。

双边序列可以看成是左边序列和右边序列的组合，于是1X ( z)x(n)zn x( n)znx(n) zn nnnR x1 limnx(n)nR x2 1n x( n)limn如果 R x1 R x2存在且 R x2 Rx1 ，则双边序列的ROC 为R x1z R x2，否则， ROC 为空集，即双边序列不存在 ZT 。

§8-3Z变换

, 并按 z 1的升幂排列得
nm
E(z) C 0 C 1 z -1 C 2 z - 2 由 z 变换的定义
C n z -n
C n z -n
n0
E(z) 则可求得
e(nT)z - n 知 C n e ( nT ) n0
e * (t) e(nT) (t - nT) n0
C n (t - nT) n0
E (z)
i1 z
Ai z e siT
例3.求
E(s)
1 s(sa)2
的z变换。
解:
E(s)
1 s(sa)2
a1 s
a2 (sa)2
a3 sa
1 a2
1 a
2
1 a2
s (s a) s a
E(z)
1 a2
z z 1
1 a
TzeaT ( zeaT )2
1 a2
z zeaT
aT
aT
( z
1 )( z 1)2
1
( -1) 2 z -
1
1-
(z - 1) 2
1
(1- )2
z -1
E(z)
1
( -1) 2
z
z -
1
1-
z (z -1) 2
1
(1-
)2
z z 1
e(nT 0 )
n ( -1) 2
n
1-
1
(1-
)2
e* (t)
n0
n ( -1)
2
n
1-
1
(1- )2
(t
nT0 )
(2)算子z-K的物理意义: z-K代表迟后环节,它把采样信号延迟k个采样周期。