直线和圆中的最值求解方法
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直线和圆中的最值求解方法
作者：赵建勋
来源：《中学生理科应试》2014年第04期
直线和圆是解析几何的重要内容，而最值问题是其重要题型，解这类题不仅要灵活用到直线和圆的有关知识，而且还要用到求最值的各种方法，解法相当灵活，现举例方法说明，供同学们复习时参考.
一、建立二次函数用顶点法
例1在直线L∶y=2x上求一点P，使P点到两定点A（3，0）、B（0，4）的距离的平方和为最小.
解设P（x,2x)，则有
|PA|2+|PB|2
=(x-3)2+(2x)2+x2+(2x-4)2
=10x2-22x+25
∵a=10>0,∴抛物线开口向上，
∴函数在顶点处取得最小值.
∴当x=-b2a=--222×10=1110时，|PA|2+|PB|2取最小值，故P点坐标为（1110，115）.
点评二次函数求最值一般用配方法，本题只求x的值，所以用顶点法要简单.
二、设角为自变量用三角法
例2过点P（2，1）作直线l交x轴、y轴的正向于A、B两点，求|PA|·|PB|最小时的直线l 的方程.
分析此直线过已知点，求出斜率即可，若直接设斜率为k，求|PA|·|PB|的最小值很繁.设角为自变量即可转化为三角函数求最值，易求斜率.
图1解如图1，过P做PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，设∠BAO=θ，则∠BPD=θ,则
|PA|=1sinθ,|PB|=2cosθ,于是|PA|·|PB|=1sinθ·2cosθ=2sinθcosθ=42sinθcosθ=4sin2θ.
高中数学 直线与圆相关的最值问题
直线与圆相关的最值问题常用的处理方法 圆的轨迹问题在江苏高考中是常考的内容之一，常常与向量、直线相结合考查，有一定的难度，题型从填空题到解答题不固定。 【母题】 （2018年苏州市第一中学高二上期中考试）平面直角坐标系xOy 中，若直线032:=+--k y kx l 上存在点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1:2 2 =+y x O 依次交于B A 、，满足AB PA =，则k 的取值范围为 . 一、与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与距离有关的最值问题 在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.常见的结论有： （1）圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -，最远为AO r +； （2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦； （3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +，最近为d r -； （4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. （5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离； （6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离. 【例1】 已知圆C 的方程为：)0()2()3(2 2 2 >=-+-r r y x ，若直线33=+y x 上存在一点P ，在圆 C 上总存在不同的两点N M ,，使得点M 是线段PN 的中点，则圆C 的半径r 的取值范围
为 . 【变式1】（2015届淮安高三三模第14题）在平面直角坐标系中，圆，圆．若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，，满足，则半径的取值范围是_______. 【变式2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()22 3425x y -+-=交于,A B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是 ． 【变式3】（2015江苏高考第10题）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线 )(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。 1.2 与面积相关的最值问题 与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解. 【例2】 在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线 240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为 ． 【变式1】设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆 相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为 ． 二、与圆相关的最值问题常用的处理方法 x y O 1C :()()2 2 1625x y ++-=2C :()()2 2 21730x y r -+-=2C P P 1C A B 2PA =AB r ,m n R ∈10mx ny +-=x A y B l 224x y +=2O ABO ∆
与圆有关的最值问题-2022-2023学年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
圆专题：与圆有关的最值问题 一、圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为 则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点. 二、圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 三、切线长度最值问题 1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； 2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. C P C r P PM PC r =-PN PC r =+PC M PC N PC C l C l PM d r -=-C l PN d r -=+C l P CP C M C N C l l PM l C P M
四、过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 五、利用代数法的几何意义求最值 1、形如a x b y y --=的最值问题，可以转化为过点),(y x 和点),(b a 的动直线斜率的最值问题； 2、形如22)()(b y a x z -+-=的最值问题，可以转化为点),(y x 和点),(b a 的距离的平方的最值问题； 3、形如by ax z +=的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题 题型一 圆上的点到定点的距离最值 【例1】若点M 在曲线22 64120x y x y +--+=上，O 为坐标原点，则OM 的取值 范围是______． 【答案】13131⎡⎤⎣⎦ 【解析】曲线22 64120x y x y +--+=，即()()22 321x y -+-=， C P P MN
(完整版)圆最值问题题型归纳
x 圆中最值问题 类型一 圆上一点到直线距离的最值问题 例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ： 22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 . 变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22 (3)1x y -+=上任一点，则QAB S V 的最小值为 . 变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22 (3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大． 变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 . 例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小 值的点P 坐标． 类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义） 例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值． 如在上例中，改为求 12 y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，该怎么求解？ 类型三：转化成函数或不等式求最值 例4已知圆O ：22 1x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ?u u u r u u u r 的最小值为
例5已知圆C ： 22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点， （1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值． 6、已知e C 过点)1,1(P ,且与e M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称. (Ⅰ)求e C 的方程； (Ⅱ)设Q 为e C 上的一个动点,求PQ MQ ?u u u r u u u u r 的最小值； (Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与e C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由. 7、如图，在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，以A 为圆 心1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部 分） （Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分 矩形ABCD 的面积； （Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DC 都相切， 试确定M 的位置，使圆M 为矩形内部面积最大的圆． l P E C M
第二章 习题课 与圆有关的最值问题
习题课 与圆有关的最值问题 学习目标 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 导语 2017年7月我国首座海上风电平台4G 基站在黄海建成，信号覆盖范围达60公里． 一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号．已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题．) 一、与距离有关的最值问题 1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d －r ，最大值＝d ＋r . 2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d －r ，最大值＝d ＋r . 3．过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2r 2－d 2，最大值＝2r . 4．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝d 2－r 2. 例1 (1)当直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )被圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦最短时，m 的值为________． 答案 －3 4 解析 直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0，所以直线l 会经过定点
⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ 2x ＋y －7＝0， x ＋y －4＝0， 解得定点坐标为M (3,1) ，圆心C 为(1,2)，当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短，k CM ＝2－11－3＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1，所以k CM ×k l ＝⎝⎛⎭⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－3 4. (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0关于直线l ：3ax ＋2by ＋4＝0对称，则由点M (a ，b )向圆C 所作的切线中，切线长的最小值是( ) A ．2 B. 5 C ．3 D.13 答案 B 解析 因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，即圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4， 所以圆心为C (1，－2)，半径R ＝2. 因为圆C 关于直线l ：3ax ＋2by ＋4＝0对称， 所以l ：3a －4b ＋4＝0，所以点M (a ，b )在直线l 1：3x －4y ＋4＝0上， 所以|MC |的最小值为d ＝|3＋8＋4| 5 ＝3，切线长的最小值为 d 2－R 2＝ 9－4＝ 5. 反思感悟 (1)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题． (2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值． 跟踪训练1 (1)从点P (1，－2)向圆x 2＋y 2－2mx －2y ＋m 2＝0作切线，当切线长最短时，m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．0 答案 B 解析 x 2＋y 2－2mx －2y ＋m 2＝0可化为(x －m )2＋(y －1)2＝1，圆心C (m ，1)，半径为1， 切线长最短时，|CP |最小，|CP |＝ (m －1)2＋9， 即当m ＝1时，|CP |最小，切线长最短． (2)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦长为________． 答案 2 2 解析 设点A (3,1)，易知圆心C (2,2)，半径r ＝2.
高中数学：几何最值问题求法
高中数学：几何最值问题求法 最值问题是平面解析几何中的一个既典型又综合的问题．求最值常见的方法有两种：代数法和几何法．若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目条件和结论能明显体现某种函数关系，则可先建立目标函数，再求函数的最值，这就是代数法． 一、几何法 利用平面几何性质求解最值问题，这种解法若运用得当，往往显得非常简洁明快． 例1、已知P（x,y）是圆上的一点，求的最大值与最小值。 分析：，于是问题就可以转化为在以A（2，0）为圆心，以为半径的圆上求点P，使它与原点连线的斜率为最大或最小。 由示意图可知，当OP与此圆相切时，其斜率达到最大值或最小值。由OA=2，AP1=AP2= ，且AP1⊥OP1，AP2⊥OP2，OP1=OP2=1，且 ∠AOP1=∠AOP2=60°，得。
二、代数法 用代数法求最值常用的方法有以下几种： 1、利用判别式法求最值、利用此法求最值时，必须同时求得变量的范围，因为方程有解，Δ≥0所指的是在（）范围内方程有解，这一点应切记． 例2、（同例1） 分析：设，将y=kx代入圆方程得。x为实数，方程有解，，解得，故。即。 2、利用二次函数性质求最值．用此法求最值时，必须注意变量的取值范围． 例3、已知椭圆及点P（0，5），求点P到椭圆上点的距离的最大值与最小值． 分析：以（0，5）为圆心，若内切于椭圆的圆半径为r1，则r1为点P到椭圆上点的距离的最小值；若外切于椭圆的圆半径为r2，则r2为点P到椭圆上点的距离的最大值． 因，故点P（0，5）在椭圆内部．
设以（0，5）为圆心的圆方程为，与椭圆方程联立消去x2，得。当时，，即；当y=7时，，即。 注：这里将距离的最大值、最小值的探求转化为半径r的函数，利用函数的性质求得定义域内的最大值、最小值．值得注意的是因为r的定义域的限制，这里不适合利用判别式法．3、利用基本不等式求最值．利用基本不等式求最值时，必须 注意应用基本不等式的条件，特别要注意等号的条件以及 “和”（或“积”）是不是常数，若连续应用不等式，那么要特别注意同时取等号的条件是否存在．若存在，有最值； 若不存在，无最值． 例4、过点A（1，4）作一直线，它在两坐标轴上的截距都为正数，且其和为最小，求这条直线的方程． 分析：可用截距式设所求直线方程为 。 ， ∴，当且仅当时s 取最小值，即b=6。故所求直线方程为。 ▍ ▍ ▍ ▍
圆中最值的十种求法
圆中最值的十种求法 本人精心整理的文档,文档来自网络 本人仅收藏整理 如有错误 还请自己查证！ 圆中最值的十种求法 江苏省泗阳县实验初级中学（223700）朱宜新（135********）在圆中求最值是中考的常见题型 也是中考中的热点、难点问题 有的学生对求最值问题感到束手无策 主要原因就是对求最值的方法了解不多 思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法 归纳如下： 一、利用对称求最值 1．如图：⊙O的半径为2 点A、B、C在⊙O上 OA⊥OB ∠AOC=60° P是OB上一动点 求PA+PC的最小值. [分析]：延长AO交⊙O于D 连接CD交⊙O于P 即此时PA+PC最小 且PA+PC的最小值就等于弦CD的长. 解：延长AO交⊙O于D 连接CD交OB于P 连接PA 过O作OE⊥CD 垂足为E
在△OCD中 因为∠AOC=60° 所以∠D=∠C=30° 在Rt△ODE中cos30°= 即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2 即PA+PC的最小值为2. 二、利用垂线段最短求最值 2．如图：在直角坐标系中 点A的坐标为(－3, －2) ⊙A的半径为1 P为x轴上一动点 PQ切⊙A于点Q 则PQ长度的最小值为 . [分析]：连接AQ、PA 可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中 PQ= 求PQ的最小值转化为求PA的最小值根据垂线段最短易求PA的最小值为2. 解：连接PA、QA 因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ 在Rt△APQ中 PQ2=PA2－AQ2 即PQ= 又因为A(－3,－2) 根据垂线段最短 所以PA的最小值为2 所以PQ的最小值= 三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2 母线PB的长为6
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圆的最值问题归纳-与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题 在高中数学中，圆是我们研究最多的一种曲线。在研究与圆相关的问题时，最值问题是一个重点和热点。下面总结了常见的与圆相关的最值问题，希望对读者有所启发。 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题 分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是可以转化为求圆心到定直线的距离问题来解决。 1.求圆C：(x-2)²+(y+3)²=4上的点到直线l：x-y+2=0的最大、最小距离。解析：作CH⊥l交于H，与圆C交于A，反 向延长与圆交于点B。则dmax=dBH=2+√2，dmin=dAH=2-√2，因此dCH=2.
2.求圆C：(x-1)²+(y+1)²=2上的点与直线l：x-y+4=0距离的最大值和最小值。解析：方法同第一题，dmax=dBH=4√2，dmin=dAH=2√2. 3.圆x²+y²=2上的点到直线l：3x+4y+25=0的距离的最小值为______。解析：方法同第一题，dmin=5-2=3. 类型二：圆上一点到定点距离的最值问题 分析：本质是两点间距离。涉及与圆相关的两点的距离，总是可以转化为圆心与定点距离问题来解决。 1.已知点P（x,y）是圆C：x²+y²-2x-4y+4=0上一点，求P 到原点的最大最小距离。解析：连接OC与圆交于A，延长OC交于B。则dmax=dOC+r=5+1=6，dmin=dOC-r=5-1=4. 2.已知圆C：x²+y²-4x-14y+45=0及点Q(-2,3)，若M是圆C上任一点，求MQ最大值和最小值。解析：方法同第一题，dmax=dCQ+r=6√2，dmin=dCQ-r=2√2.
直线与圆中最值问题全梳理
直线与圆中最值问题全梳理 教师专用 模块一、题型梳理 题型一 直线与圆与平面向量相结合的最值问题 例题1： 已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ?+的最大值是（ ） A B ．1 C D ．2 【分析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ?+=-，计算得到答案. 【解析】如图所示建立直角坐标系，则1,0A ，12?- ??B ，1,2C ?- ?? ，设()cos ,sin P θθ， 则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--?--?+- 222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤. 当θπ=-，即()1,0P -时等号成立.故选：D . 【小结】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键. 例题2： 已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，2 2 20OB OA +=，若平面内点P 满 足3PB PA =，则PO 的最大值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 【分析】设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =可得262m x n y =-??=-?，再根据22 20OB OA +=可得点P 的 轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值.
【解析】设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--， (),2PA x y =--.由3PB PA =可得363m x x n y y -=-??-=-?， 故262m x n y =-?? =-?，因为2220OB OA +=，故()22443420x y +-+=，整理得到()2 234x y +-=，故点 P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2，故PO 的最大值为325+=，故选：C. 【小结】本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题. 题型二 直线与圆与基本不等式相结合的最值问题 例题3： 直线240ax by ++=与圆224210x y x y ++++=截得的弦长为4，则22a b +的最小值是（ ） A ．3 B ．2 C D ．1 【分析】根据题意知直线过圆心得到2a b +=，再利用均值不等式计算得到答案. 【解析】22 4210x y x y ++++=，即()()22 214x y +++=，圆心为()2,1--，半径为2.弦长为4，则 直线过圆心，即2240a b --+=，即2a b +=.()()() 2 2222222 a b a b ab a a b b +=+-≥+- =+，当 1a b ==时等号成立.故选：B . 例题4： 点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最 大值为b ，若,a b R +∈，则11 1a b ++的最小值为（ ） A ．2 B ． 12 C ．3 D ．1 【分析】首先可确定曲线C 表示圆心为2,0，半径为5的圆；令d = 2222t d a =--；d 的最大值为半径与圆心到点()6,6-的距离之和，利用两点间距离公式求得max d ，代 入t 中利用最大值为b 可求得14a b ++=，将所求的式子变为()111111141a b a b a b ??+=+++ ?++?? ，利用基本不等式求得结果. 【解析】曲线C 可整理为：()2 2225x y -+=，则曲线C 表示圆心为2,0，半径为5的圆
直线与圆的最值问题归纳(推荐)
直线与圆的最值专题 一、动点的最值问题 1.若动点P 在直线l 1：2x －y －2＝0上，动点Q 在直线圆(x －2)2＋(y －1)2 ＝1上，线段PQ 的最小值是________． 2.若动点P 在直线l 1：x －y －2＝0上，动点Q 在直线l 2：x －y －6＝0上，设线段PQ 的中点为M(x 0，y 0)，且(x 0－2)2＋(y 0＋2)2≤8，则x 20＋y 20的取值范围是________． 3.已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为________． 4.在平面直角坐标系xOy 中,设点P 为圆C :22(1)4x y -+=上的任意一点,点Q (2a ,3a -)(a ∈R ),则线段PQ 长度的最小值为______. 5.直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P(a ，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________． 6.直线l 过点(0，－4)，从直线l 上的一点P 作圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的切线PA ，PB (A ，B 为切点)，若四边形PACB 面积的最小值为2，则直线l 的斜率k 为________． 7.C ：(x －a )2＋(y －1)2＝1在不等式x ＋y ＋1≥0所表示的平面区域内，则a 的最小值为________ 二、定直线与定圆的最值问题 8.已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为________． 9.已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2＋y 2＝1上任意一点． (1)求点P 到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值； (2)求y －2x －1 的最大值和最小值． 10.若曲线x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0上的任意一点关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R ＋)的对称 点仍在该曲线上，则1a ＋1b 的最小值是________． 三、动直线与的动圆的最值问题 11.过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为________．
圆中的最值问题运动轨迹
圆中的最值问题运动轨迹 圆中的最值问题运动轨迹 引言： 圆是一种几何学中常见的形状，它具有许多独特的性质和特点。在数学中，研究圆的最值问题既有理论意义，又有实际应用。本 文将讨论圆中的最值问题，并探索与之相关的运动轨迹。通过对 这些问题的分析和求解，可以帮助我们更深入地理解圆的性质和 运动规律。 一、圆的最值问题 1. 最大面积问题 圆的面积公式为S=πr²，其中r为圆的半径。那么，在给定周 长的情况下，如何确定圆的半径以使其面积最大化？ 解法：根据周长公式C=2πr，可得r=C/(2π)，将该值代入面积公式得到S=π(C/(2π))²=(C²/(4π))π=(C²π/4π)=C²π/4。所以，当给定 周长时，圆的面积最大值为C²π/4。 2. 最小周长问题 如果圆的面积是固定的，如何确定圆的半径以使其周长最小化？
解法：根据面积公式S=πr²，可得r=√(S/π)，将该值代入周长 公式得到C=2π(√(S/π))=2√(πS)。所以，当给定面积时，圆的周长 最小值为2√(πS)。 3. 最大周长问题 在给定面积的情况下，如何确定圆的半径以使其周长最大化？ 解法：根据面积公式S=πr²，可得r=√(S/π)，将该值代入周长 公式得到C=2π(√(S/π))=2√(πS)。所以，当给定面积时，圆的周长 最大值为2√(πS)。 二、圆的运动轨迹 1. 圆的滚动轨迹 当一个圆沿着另一个圆或者直线滚动时，滚动圆上一点的轨 迹称为圆的滚动轨迹。滚动轨迹通常是一条曲线，而滚动圆上的 所有点都具有相似的运动特性。 2. 圆上的运动轨迹 假设一个小球在一个固定大小的圆上运动，小球在圆上的位 置随时间变化而改变。小球在圆上的运动轨迹通常是一条曲线， 其形状取决于小球在圆上的起始位置、运动速度和加速度等因素。 结论：
1、与直线和圆有关的最值问题-理(解析版)
圆锥曲线专题突破一：与直线和圆有关的最值问题 题型一 有关定直线、定圆的最值问题 例1 已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2 ＋(y －1)2 的最小值为________． 破题切入点 直接用几何意义——距离的平方来解决，另外还可以将x ＋2y －5＝0改写成x ＝5－2y ，利用二次函数法来解决． 解析 方法一 (x －1)2＋(y －1)2 表示点P (x ，y )到点Q (1,1)的距离的平方． 由已知可知点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以PQ 的最小值为点Q 到直线l 的距离， 即d ＝|1＋2×1－5|1＋22 ＝255，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2 ＝45. 方法二 由x ＋2y －5＝0，得x ＝5－2y ，代入(x －1)2 ＋(y －1)2 并整理可得 (5－2y －1)2＋(y －1)2＝4(y －2)2＋(y －1)2＝5y 2 －18y ＋17＝5(y －95)2＋45，所以可得最小值为45. 题型二 有关动点、动直线、动圆的最值问题 例2 直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A 、B 两点．当OA ＋OB 最小时，O 为坐标原点，求l 的方程． 破题切入点 设出直线方程，将OA ＋OB 表示出来，利用基本不等式求最值． 解 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负，设直线l 的斜率为k ，则y －4＝k (x －1)(k <0)． 令y ＝0，可得A (1－4 k ，0)；令x ＝0，可得B (0,4－k )． OA ＋OB ＝(1－4k )＋(4－k )＝5－(k ＋4k )＝5＋(－k ＋4 －k )≥5＋4＝9. 所以，当且仅当－k ＝4 －k 且k <0，即k ＝－2时，OA ＋OB 取最小值．这时l 的方程为2x ＋y －6＝0. 题型三 综合性问题 (1)圆中有关元素的最值问题 例3 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2 ＋(y ＋2)2 ＝1引切线PT (T 为切点)，当PT 的长最小时，点P 的坐标是________． 破题切入点 将PT 的长表示出来，结合圆的几何性质进行转化． 解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知PT ＝PC 2 －1，故PT 最小时，即PC 最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ y ＝x ＋2， y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标 为(0,2)． (2)与其他知识相结合的范围问题 例4 已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2 ＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33 |AB →|，那么 k 的取值范围是________． 破题切入点 结合图形分类讨论．
直线与圆的最值问题
题型一：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值． 例1：.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于 解析 圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 所以圆心为(2，－3)，半径长为5. 因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25， 所以点(－1,0)在已知圆的内部， 则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10. 当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小. 弦心距d ＝2＋12＋－3－02＝32， 所以最小弦长为2r 2－d 2＝225－18＝27， 所以m －n ＝10－27. 变式训练1：1y kx =+与圆C ()2 214x y +-=相交于,A B 两点，则AB 的最小值是多少？ 解：直线 1y kx =+过定点()1,0M ，当MC AB ⊥时，AB 取最小值，由 2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可知，222d R l -=，2==MC d ，故22222=-=d R l 变式训练2：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R). (1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程. (1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1， 即l 恒过定点A (3,1). 因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)， 所以点A 在圆C 内， 从而直线l 与圆C 恒交于两点. (2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC . 因为k AC ＝－12 ，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0. 方法总结：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最大值为圆的直径，最小值为垂直于直径的弦. 题型二：圆外一点与圆上任一点间距离的最值
有关圆的最值问题几种类型及方法
圆的最值问题 一圆心到定直线的距离的最值问题 例1 设P 是直线043:=-y x l 上的动点，PA,PB 是圆012222=+--+y x y x 的两条切线，C 是圆心，那么四边形PACB 的最小值是_____________. 变式:已知）（y x P ,是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PA,PB 是圆：0222=-+y y x 的两条切线，A,B 是切点，若四边形PACB 最小面积是2，则k=_____________。 二圆上动点到定直线的距离的最值问题 例2 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 距离的最大值是_______________。 变式：已知P 是圆122=+y x 上的一点，Q 是直线052:=-+y x l 上的一点，求PQ 最小值。
三圆的切线长最值问题 例3 从点P(m,3)向圆C: ()()12222=+++y x 引切线，则切线长的最小值为_____________。 变式：由直线 2+=x y 上的点向圆()()12y 42 2=++-x 引切线，怎切线的最小值为____________。
四与圆的弦长有关的最值问题 例4 在圆06222=--+y x y x 内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ， 则四边形ABCD 的面积为_______________。 变式：已知圆O 的方程是01028y 22=+--+y x x ，过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是_____。 五圆中“斜率”最值问题 例3 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为0158y 22=+-+x x 。若直线2y -=kx 上至少存在一点，使得以改点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则k 的最大值是_________________。 变式：如果实数x,y 满足等式(),1222=+-y x 那么1 3y -+x 的取值范围________________。
与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题 圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程． 【与圆有关的最值类型】 ①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值. 处理方法：圆心距加(减)两圆的半径. 例1.(1)圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是( ). A.6；3. B.6；4. C.5；3. D.5；4. (2)已知点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，则a 2＋b 2的最小值是_____． 解:(1)法1.圆心O 到直线的距离为d= 25√32+42 =5，而圆的半径为1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直 线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B. 法2.设圆x 2＋y 2＝1上的点P(cos θ,sinθ)，点P 到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离d ′， 则 d ′= |3cosθ+4sinθ−25| 5 =|sin (θ+φ)−5|，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是6和4. 故应选B. (2)法1. ① 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0的圆心和半径分别为(1，-2)，r=5.而圆心到原点的距 离d=√5，① 5−√5≤√a 2+b 2≤5+√5,⇒30−10√5≤a 2+b 2≤30+10√5. 因此，a 2＋b 2的最小值是30－10 5. 法2. ① 点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，可设P(1+5cos θ，-2+5sin θ)， ① a 2＋b 2=(1+5cos θ)2+(-2+5sin θ)2=30+10√5sin (θ+φ)，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① a 2＋b 2的最小值是30－10 5. 例2.在圆x 2+y 2=4上且与直线4x+3y -12=0距离最小的点的坐标是( ). A.(8 5，6 5). B.( 8 5，−6 5). C.( −8 5，6 5) D.( −8 5，−6 5). 解:法1.过原点且与直线4x+3y -12=0垂直的直线为3x -4y=0， 联立{x 2 +y 2 =4, 3x −4y =0,⇒{x =8 5 y =65 或{x =−8 5 y =−65 . 结合图4.7—1知选A. x y O 4x+3y -12=0
直线与圆中的最值问题
二、弦长公式:直线与二次曲线相交所得的弦长 1直线具有斜率k ,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长 注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为 1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算. 2当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 三、过两圆C 1: x 2 + y 2 +D 1x +E 1y +F 1 = 0和C 2: x 2 + y 2 +D 2x +E 2y +F 2 = 0的交点的圆系方程，一般设为 x 2+y 2 +D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2 + y 2 +D 2x +E 2y +F 2) = 0 (λ为参数)此方程不包括圆C 2. 四、对称问题1和最小，化异侧 2差最大，化同侧 例题分析 1、如果实数y x ,满足等式22(2)3x y -+=， （1）求y x 的最大值和最小值;（2）求y x -的最大值与最小值；（3）求22x y +的最大值与最小值. 2、已知两定点(3,5)A -，(2,15)B ，动点P 在直线3440x y -+=上，当 PA ＋PB 取最小值时，这个最小值为（ ）.A ． B ．362 C ． D ．5+ 3、已知点)8,3(-A 、)2,2(B ，点P 是x 轴上的点，求当PB AP +最小时的点P 的坐标． 【解答】如图示：,考虑代数式的几何意义: ⑴y x 即圆上的点与原点所在直线的斜率.当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，即y x 取得最大值与最小值； 直线与圆
⑵y x -即过圆上点，且斜率为1的直线在y 轴上截距； ⑶22x y +即圆上的点到原点距离的平方. 当点位于圆与x 轴的左交点时，点到原点的距离最小；当点位于圆与x 轴的右交点时，点到原点的距离最大. 解（1）设(,)P x y 为圆22(2)3x y -+=上一点.y x 的几何意义为直线OP 的斜率，设y k x =，则直线OP 的方程为y kx =.当直线OP 与圆相切时，斜率取最大值与最小值. ∵圆心到直线y kx =的距离 d = =，=即k =直线OP 与圆 相切.∴y x 的最大值为3，最小值为. （2）令y x b -=，即y x b =+，求y x -的最大值与最小值即过圆上点，且斜率为1的直线在y 轴上截距的最大值与最小值. 当直线与圆相切时，截距取得最大值与最小值.∵圆心到直线y x b =+的距离 d == =2b =时，直线OP 与圆相切.∴y x -2，最小值为2. （3）要22x y +的最大值与最小值，即求圆上的点到原点距离的平方的最大值与最小值. 当点位于圆与x 轴的左交点时，点到原点的距离最小； 当点位于圆与x 轴的右交点时，点到原点的距离最大； ∵左交点坐标为(2-，右交点坐标为(2+ 2，2 ∴22x y +的最大值与最小值分别为7+，7-. 2【分析】先求出点A 关于直线3440x y -+=的对称点'A ，连接A '和B 交直线于点P ，根据三角形的两边之和大于第三边可知，此时PA ＋PB 取值最小，最小值为|'|A B .根据两点间的距离公式即可求得最小值。 【解答】如图示：，设点A 关于直线3440x y -+=的对称点为'(,)A x y =，
圆中最值问题的求解方法1
圆中最值问题的求解方法1 有关圆的最值问题，往往知识面广、综合性大、应用性强，而且情境新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，本文按知识点分类，以近几年中考题为例，归纳总结此类试题的解题方法． 一、直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 例1 （2012宁波）如图1，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝， D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_______． 分析由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短． 解如图2，连结OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H． ∵在Rt△ADB中， ∠ABC＝45°，AB＝， ∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2． 由圆周角定理，可知 ∠EOH＝1 2 ∠EOF＝∠BAC＝60°， ∴在Rt△EOH中， EH＝OE·sin∠EOH ＝1． 由垂径定理，可知EF＝2EH 点评本题是一道融垂径定理、圆周角定理、解直角三角形于一体的综合应用题．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆． 二、两点之间线段最短 例2 （2014三明）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是CD CD 上的一个动点，连结AP，则AP的最小值是_______． 分析如图4，取BC的中点E，连结AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连结
AP1，EP1，可得，AP1＋EP1>AE，即AP2是AP的最小值．再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可． 解如图4，取BC的中点E，连结AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连结AP1， EP1，可得，AP1＋EP1>AE， ∵AE==P2E＝1． ∴AP21 =． 即AP2是AP的最小值． 点评本题考查了勾股定理、最短路径问题，利用两点之间线段最短是解题的关键． 三、利用轴对称，求直线上一点到直线同侧两点的线段之和最短 例3 （2014张家界）如图5，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为_______． 分析A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值． 解如图6，连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于点H． 根据垂径定理，得到 在Rt△BCH中，根据勾股定理得到 BC＝， 则PA＋PC的最小值为． 点评正确理解BC的长是PA＋PC的最小值，是解决本题的关键． ==，例4（2014东营）如图7，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，AC CD BD