相似三角形中的动点问题讲课教案

相似三角形中的动点问题

1.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm 的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．

（1）当x为何值时，PQ∥BC？

（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．

2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A 出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

3.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．

（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；

②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；

（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．

4.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB 交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？

4

5．已知△ABC 中AB=AC=6， COSB=1/3，点D 在AB 上（点D 不与A,B 重合），过D 作DE ‖AC 交BC 于点E ，过点E 作EF ⊥AC ，设BD=x ，CF=y

（1）求y 关于x 的函数关系式；

（2）连接DF ，如果△DEF 和△CEF 相似，求BD 长．

思维体操：

6.如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，E 是AD 上一点，且

CE

AD AC AB ，∠BAD ＝∠ACE ． （1）求证：AC 2＝BC ·CD ； （2）若E 是△ABC 的重心，求 2

2

AD AC ．

答案：1. 答案：解（1）由题意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，

当PQ∥BC时，，即：解得：

（2）能，AP=cm或AP=20cm

①△APQ∽△CBQ，则，即

解得：或（舍）此时：AP=cm

②△APQ∽△CQB，则，即

解得：（符合题意）此时：AP=cm

故AP=cm或20cm时，△APQ与△CQB能相似．

2.答案：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4∴AB=5

又∵AD=AB，AD=5t∴t=1，此时CE=3，∴DE=3+3-5=1

（2）如图当点D在点E左侧，即：0≦t≦时，DE=3t+3-5t=3-2t．

若△DEG与△ACB相似，有两种情况：

①△DEG∽△ACB，此时，即：，求得：t=；

②△DEG∽△BCA，此时，即：，求得：t=；

如图，当点D在点E右侧，即：t>时，DE=5t-(3t+3)=2t-3．

若△DEG与△ACB相似，有两种情况：

③△DEG∽△ACB，此时，即：，求得：t=；

④△DEG∽△BCA，此时，即：，求得：t=．

综上，t的值为或或或．

3.答案：在Rt△ABC中,AB=6米,BC=8米,∴AC=10米

由题意得：AP=2t，则CQ=t，则PC=10−2t.

(1)图1中，作PD⊥BC于D，

∵t=2.5秒时，AP=2×2.5=5米，QC=2.5米，∴PA=PC，

∵∠PDC=∠B=90∘，∴PD∥AB，

∴PD=12AB=3米,∴S=12⋅QC⋅PD=3.75平方米；

(2)图1中，作QE⊥PC于点E，∴∠C=∠C,∠QEC=∠B=90∘

∴Rt△QEC∽Rt△ABC，∴QEQC=ABAC，解得：QE=35t，

∴S=12⋅PC⋅QE=12⋅(10−2t)⋅3/5t=−3/5t2+3t(0

(3)∵△ABC中,∠B=90∘，AB=6米，BC=8米，∴AC= 10，

当PC=QC时,PC=10−2t,QC=t,即10−2t=t,解得t=10/3秒；

当PQ=CQ时,如图1,过点Q作QE⊥AC,则CE=10−2t2=5−t，CQ=t，

由△CEQ∽△CBA,得CEBC=QCAC,即5−t8=t10,解得t=25/9秒；

当PC=PQ时,如图2,过点P作PE⊥BC,则CE=t2，PC=10−2t，

由△PCE∽△ACB,故得CEBC=PCAC,即t28=10−2t10,解得t=80/21秒

所以当t=10/3秒(此时PC=QC),25/9秒(此时PQ=QC),或80/21秒(此时PQ=PC)

4.答案：解：（1）证明：∵AD=CD∴∠A=∠ACD

∵DE平分CDB交边BC于点E∴∠CDE=∠BDE

∵∠CDB为△CDB的一个外角∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD

∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE∴∠ACD=∠CDE∴DE∥AC

（2）①∠NCE=∠MBE

∵EM⊥BD，EN⊥CD，∴△BME∽△CNE，

如图∵∠NCE=∠MBE∴BD=CD

又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°

∴∠ACD=∠A∴AD=CD∴AD=BD=AB

∵在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8∴AB=10∴AD=5

②∠NCE=∠MEB∵EM⊥BD，EN⊥CD，∴△BME∽△ENC，

如图∵∠NCE=∠MEB∴EM∥CD∴CD⊥AB

∵在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8∴AB=10

∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB∴△ACD∽△ABC