有效数字与运算规则(2014.05.12)

有效数据定义、运算及其修约规则

一、有效数据

1.1有效数字定义

有效数字是指实际能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。

1.2实际意义

有效数字能反映出测量时的准确程度。

例如，用最小刻度为0.1cm的直尺量出某物体的长度为11.23cm，显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，如测得物体的长度可能是11.24cm，亦可能是11.22cm，测量的结果有±0.01cm的误差。我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。这个数值就是四位有效数字。

在确定有效数字位数时，特别需要指出的是数字“0”来表示实际测量结果时，它便是有效数字。例如，分析天平称得的物体质量为7.1560g，滴定时滴定管读数为20.05mL，这两个数值中的“0”都是有效数字。在0.006g中的“0”只起到定位作用，不是有效数字。

（1）容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；4位有效数字

（2）分析天平（万分之一）取4位有效数字

（3）标准溶液的浓度，用4位有效数字表示:

0.1000 mol/L

（4）pH 4.34 ,小数点后的数字位数为有效数字位数

对数值，lg X =2.38；lg(2.4´102)

1.3有效数字中＂0＂的意义

＂0＂在有效数字中有两种意义：一种是作为数字定值，另一种是有效数字．例如在分析天平上称量物质，得到如下质量：

以上数据中“0”所起的作用是不同的。

“0”是有效数字：10.0780，6位有效数字。

1.2056中，5位有效数字。

“0”作为数字定值：0.2044中，小数前面的“0”是定值用的，不是有效数字；

0.0120中，“1”前面的两个“0”都是定值用的，而在末尾的“0”是有效数字，所以它有3位有效数字。

称量精确至0.0002g;

15000m 和10000g很难肯定其中的0 是否是有效数字还是数字定值，写为1.5×104m，则表示有效数字是二位；如果把它写为1.50×104m则表示有效数字是三位。

综上所述，数字中间的“0”和末尾的“0”都是有效数字，而数字前面所有的“0”只起定值作用。以“0”结尾的正整数，有效数字的位数不确定。

二、数字修约规则

我国科学技术委员会正式颁布的《数字修约规则》，通常称为“四舍六进五成双”法则。四舍六进五考虑，即当尾数≤4时舍往，尾数为6时进位。当尾数4舍为5时，则应是末位数是奇数还是偶数，5前为偶数应将5舍往，5前为奇数应将5进位。

大（于）5进，小（于）5舍，是5看奇偶，奇进偶不进。

这一法则的具体运用如下：

a. 将22.125和22.155处理成4位有效数字，则分别为22.12和22.16。

b. 若被舍弃的第一位数字大于5，则其前一位数字加1，例如18.2645处理成3为有效数字时，其被舍往后的第一位数字为6，大于5，则有效数字应为18.3。

c. 若被舍其的第一位数字即是5，而其后数字全部为零时，则是被保存末位数字为奇数或偶数（零视为偶），而定进或舍，末位数是奇数时进1，末位数为偶数时还进1，例如18.350、18.250、18.050处理成3位有效数字时，分别为18.4、18.2、18.0。

d. 若被舍弃的第一位数字为5，而其后的数字并非全部为零时，则进1，例如18.2501，只取3位有效数字时，成为18.3。

e. 若被舍弃的数字包括几位数字时，不得对该数字进行连续修约，而应根据以上各条作一次处理。如35.454546 ，只取4位有效数字时，应为35.45,二不得按下法连续修约为35.46：

35.454546→35.45455→35.4546→35.455→35.46

三、有效数字运算规则

在分析计算中，有效数字的保存更为重要，下面仅就加减法和乘除法的运算规则加以讨论。

3.1 加减法

在加减法运算中，保存有效数字的以小数点后位数最少的为准，即以绝对误差最大的为准，例如：

0.0121+25.64+1.05782=?

正确计算不正确计算

0.01 0.0121 绝对误差0.0001

25.64 25.64 0.01

+ 1.06 + 1.05782 0.00001

——————————————

26.71 26.70992

上例相加3个数字中，25.64中的“4”已是可疑数字，因此最后结果有效数字的保存应以此数为准，即保存有效数字的位数到小数点后面第二位。

3.2 乘除法

乘除运算中，保存有效数字的位数以位数最少的数为准，即以相对误差最大的为准。例如：

0.0121×25.64×1.05782=

以上3个数的乘积应为：

不正确计算：0.0121×25.64×1.05782=0.3281823……

正确计算：0.0121×25.6×1.06=0.328

在这个计算中3个数的相对误差分别为：

E%=(±0.0001)/0.0121×100=±8

E%=(±0.01)/25.64×100=±0.04

E%=（±0.00001）/1.05782×100=±0.0009

有效数字的位数取决于相对误差最大的数据的位数。±0.1 /139.8 ´100% =±0.07% 例：(0.0325 ´5.103 ´60.0)/ 139.8 = 0.0712（0.071179184）

0.0325 ±0.0001/0.0325 ´100%=±0.3%

5.103 ±0.001 /5.103 ´100%=±0.02%

60.06 ±0.01 /60.06 ´100%=±0.02%

139.8 ±0.1 /139.8 ´100% =±0.07%

(0.0325 ´5.10 ´60.0)/ 140=0.0710 ±0.0002 /0.0710´100% =±0.28%

显然第一个数的相对误差最大（有效数字为3位），应以它为准，将其他数字根占有效数字修约原则，保存3位有效数字，然后相乘即可。

3.3自然数

在分析化学中，有时会碰到一些倍数和分数的关系，化学计量关系中的分数和倍数，这些数不是测量所得，它们的有效数字位数可视为无限多位；如：

H3PO4的相对分子量/3=98.00/3=32.67

水的相对分子量=2×1.008+16.00=18.02

在这里分母“3”和“2×1.008”中的“2”由于它们是非丈量所得到的数，是自然数，其有效数字位数可视为无穷的。

关于pH、pK和lgK等对数值，其有效数字的位数仅取决于小数部分的位数，因为整数部分只与该真数中的10的方次有关。例如，pH=13.15为两位有效数字，整数部分13不是有效数字。若将其表示成[H+]=7.1×10-14，就可以看出13的作用仅是确定了[H+]在10-14数量级上，其数学意义与确定小数点位置的“0”相同。

在滴定分析中，实验数据的记录只应保留一位可疑数字，结果的计算和数据处理均应按有效数字的计算规则进行。