微分方程模型介绍

微分方程模型介绍
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。

微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。

求解微分方程有三种方法：
1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。

建立微分方程模型的方法：
1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。

2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律
3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型
1. 马尔萨斯(Malthus)模型
假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为
()
()()00
d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪
⎨⎪=⎩
不难得到其解为()0()
0r t t N t N e
-=.
2. 密度制约模型
由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。

()()()d (1)
(2)d N t N t rN t t
K
=-
其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。

这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的
1K
，在t 时刻个体共消耗了总资源的
()N t K
此时资源剩余()1N t K
-
，
因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。

称为密度制约。

显然当不考虑密度制约因素时，Logistic 方程就变成了Malthus 模型。

由方程(2)可见，种群规模有两个平衡态()()0;N t N t K ==，易知其解曲线的分布如下图
(可由函数单调性讨论得到) 二 两种群相互作用的模型
20世纪20年代，意大利生物学家Ancona 在研究鱼类变化规律时，无疑中发现了第一次世界大战期间，意大利Finme 港收购站的软骨掠肉鱼(鲨鱼等以其它鱼为食的鱼)在鱼类收购量中的下述比例资料：
使Ancona 感到惊奇的是：在战争期间掠肉鱼的捕获比例显著增加，起初他认为是这是由于战争使捕鱼量减少，掠肉鱼获得了更充裕的食物，从而促进了它们更快地繁殖生长，但再转念一想，捕获量的减少也应同样有利于非掠肉鱼，为什么会导致掠肉鱼的比例上升呢？Ancona 无法用生物学的观点去解释这一现象，于是就去请教他当时的同事、意大利著名的数学家、后来成为他女婿的V.V olterra ，希望他可以通过数学来解释这个现象。

V .V olterra 把鱼分成两大类：掠肉鱼(捕食种群)和食用鱼(食饵种群)。

为了建立数学模型，他用()y t 表示t 时刻Finme 港中掠肉鱼的数量，用()x t 表示t 时刻食用鱼的数量。

1. 无捕捞情况下的模型
假定，若不存在捕食者()y t 时，食饵种群规模()x t 的增长符合马尔萨斯方程，即
()()d d x t ax t t
=
其中0a >为增长率，当捕食者存在()y t 时，单位时间内每个捕食者对食饵的吞食量与食饵种群规模()x t 成正比，比例常数为0b >从而有
()()()()d d x t ax t bx t y t t
=-
再假定捕食者吞食食饵以后，立即转化为能量，供给捕食种群的繁殖增长(略去时滞)，设转化系数为α，捕食种群的死亡率与种群规模成正比，比例系数为d 。

于是有
()()()()d d y t bx t y t dy t t
α=-
这样，V olterra 便得到由捕食者与食饵所构成的两种群相互作用的数学模型
d d (3)d d x
ax bxy t y cxy dy t
⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
其中c b α=。

这是一个非线性微分方程，我们对它进行定性讨论。

A: 确定平衡点(驻点，稳定点)
由00
ax bxy cxy dy -=⎧⎨-=⎩解得两个平衡位置(0,0);(,)d a O M c b
B: 考虑各个平衡点的稳定性
对(0,0)O ，考虑其一次线性近似系统
d d d d x
ax t
y dy t
⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩ 得到其特征方程为()()0a b λλ-+=，得到特征根120;0a b λλ=>=-<，易知具有正实部的特征根，所以有常微分方程的知识知平衡点(0,0)O 是不稳定的。

对平衡点(
,)d a
M c b
，作变换,d a x x y y c
b
=-
=-
，将坐标系平移，系统(3)化为
d d (4)d d x
bd y bxy t c y ac x cxy t
b ⎧=--⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
可用同样的方法讨论其稳定性。

（稳定但非渐近稳定）
同号——结点 相异（非零）实根
实根 异号——鞍点(不稳定)
临界结点（正的不稳定，负的稳定） 重（非零）实根
退化结点（正的不稳定，负的稳定） 实部不为零——焦点 复根
实部为零——中心(稳定但非渐近稳定)
由matlab 给出系统(3)的数值模拟： 假定1,0.1,0.02,0.5a b c d ==== 可由simulink 仿真模拟出其解曲线的图形
验证了稳定而非渐近稳定
能否给出matlab 的程序及其模拟情况？
3. 考虑捕捞情况下的模型
假定由于海上捕捞，食饵与捕食者的数量分别以hx 和h y 的速率减少，其中h 反映了捕捞能力，它由渔船的规模、设备与技术水平、下网次数等因素所确定h a <，于是在捕捞情况下，系统(3)就变为
()()d d (5)d d x
a h x bxy t y cxy d h y t
⎧=--⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
可以判断其平衡点及其稳定性的情况。