2010_考研数学基础班高等数学讲义(全全部)

第一章 函数、极限、连续
第二章
§1.1 函数
（甲）内容要点 一、函数的概念
1.函数的定义
设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f ，对每一个x D ∈，都能对应惟一的一个实数y ，则这个对应规划f 称为定义在D 上的一个函数，记以y =f (x )，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集
{}|(),Z y y f x x D ==∈
称为函数的值域。

2.分段函数
如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。

这类函数称为分段函数。

例如
2
1<1
() -115 >1x x y f x x x x x +-⎧⎪==≤≤⎨⎪⎩
是一个分段函数，它有两个分段点，x ＝－1和x ＝1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y =f (x )在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分
别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。

需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。

3.隐函数
形如y =f (x )有函数称为显函数，由方程F （x ，y ）=0确定的y ＝y (x )称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。

4.反函数
如果y =f (x )可以解出()x y ϕ=是一个函数（单值），则称它为f (x )的反函数，记以1
()x
f
y -=。

有时也用1
()y f
x -=表示。

二、基本初等函数
1.常值函数 y ＝C （常数）
2.幂函数
y x
α
=（α常数）
3.指数函数
x
y a =（a ＞0，a ≠1常数）
x
y e
=（e ＝2.7182…，无理数）
4.对数函数 log a y x
=（a ＞0，a ≠1常数）
常用对数 10log lg y x x == 自然对数 log ln e y x x ==
5.三角函数
sin ;cos ;tan .y x y x y x ===
cot ;sec ;csc .y x y x y x ===
6.反三角函数 arcsin ;cos ;y x y arc x ==
arctan ;cot .y x y arc x ==
基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。

例如以后经
常会用
lim arctan x x →+∞
；lim arctan x x →-∞
；1
lim x
x e +→；
1
lim x
x e -
→；0
lim
ln x x
+
→等等，就需要
对arctan y x =，x
y
e
=，ln y x =的图像很清晰。

三、复合函数与初等函数 1.复合函数 设()y f u =
定义域U
()u g x =
定义域X ，值域U* 如果*
U U
⊂，则[()]y f g x =
是定义在
X 上的一个复合函数，其中u 称为
中间变量。

2.初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。

四、函数的几种性质
1.有界性：设函数y =f (x )在X 内有定义，若存在正数M ，使x X
∈
都有
()f x M
≤，则称f (x )在X 上是有界的。

2. 奇偶性：设区间X 关于原点对称，若对x X
∈，都有()()f x f x -=-，
则称()f x 在X 上是奇函数；若对x X
∈
，都有()()f x f x -=，则称()f x 在X
上是偶函数。

奇函数的图像关于原点对称；偶函数图像关于y 轴对称。

3. 单调性：设()f x 在X 上有定义，若对任意1212
x X x X x x ∈∈<，，都
有()()
12f x f x <()()12f
x f
x >⎡⎤⎣⎦，则称()f x 在
X
上是单调增加的
⎡⎤⎣⎦
单调减少的；
若
对
任
意
1212
x X x X x x ∈∈<，，都
有
()()()()1212f
x f x f x f x ≤≥⎡⎤⎣⎦
，则称()f x 在X 上是单调不减⎡⎤⎣⎦单调不增。

（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。

）
4. 周期性：设()f x 在X 上有定义，如果存在常数0
T
≠，使得任意
x X
∈，x T
X
+∈，都有()()f x T f x +=，则称()f x 是周期函数，称T 为()
f x 的周期。

由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中的最小正周期称为周期。

（乙）典型例题 一、求函数的定义域
【例1】 求函数()ln ln ln f x x =+
的定义域。

解 ln ln ln x 要有定义，x e >，
210010x x ≤≤，，
因此，()f x 的定义域为(]10e ，
【例2】 求1ln 5
y x =-的定义域。

解要有定义，1x ≥和0x =
1ln 5
x -要有定义，546
x x x ≠≠≠，，，
因此，定义域为{}[)()()()01445566+∞ ，
，，， 【例3】 设()f x 的定义域为[]()0a a a ->，，求()2
1f
x
-的定义域。

解 要求2
1a x a
-≤
-≤，则2
11a x a -≤≤+，
当1a
≥时，10a -≤ ，∴
2
1x a
≤+，则x
≤
当01a <<时，10a ->，x ∴≤≤
x ≤≤或x ≤≤
【例4】 设()102224x g x x ≤<⎧=
⎨
≤≤⎩，
，
求()()()21f x g x g x =+-的定义域，
并求32f
⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 解 ()g x 的定义域为[]04，，要求024x ≤
≤，则02x ≤≤；要求
014x ≤-≤，则15x ≤≤，于是()f
x 的定义域为[]21，。

又
()31321322f g g ⎛⎫⎛⎫
=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二、求函数的值域 【例1】
求y
=
解 我们先求出反函数，它的定义域就是原来函数的值域。

3
3
1ln 1,ln y x y
=
-=
x =
它的定义域0y >，且1y ≠
所以原来函数的值域为(0,1)(1,)+∞ 。

三、求复合函数有关表达式
1.已知f (x )和g (x )，求f ［g (x )］. 【例1】 已知()1
x f x x =
-，求1()1f
f x ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
.
解
1
()1
111
x
f x x x -=-=--，
11()1
x f x =-- （1x ≠）
于是，111(1)()1(1)12x x f
f x f x x x ⎡⎤--=-==⎢⎥
----⎣⎦
（1,2x x ≠≠）
【例2】
设()f x =
，求[](())()n f f f x f x = .
n 重复合
解
[
]2()()f x f
f x =
=
=
＝，
若
()k f x =
1()k f x +=
=
=
根据数学归纳法可知，对正整数n
，()n f x =
2.已知g (x )和f [g (x )]，求f (x ). 【例1】 设2(1)x x
x f e e
e x +=++，求
f (x ).
解 令1x
e u +=，ln(1)x u =-
2
2
()(1)(1)ln(1)ln(1)f u u u u u u u =-+-+-=-+-
于是 2
()ln(1)f x x x x =-+-
【例2】 已知()x x
f e xe
-'=，且(1)0f =，求f (x ).
解 令,ln x
e t x t
==，因此ln ()()x t f e f t t
''==
，
2
2
1
1
ln 11()(1)ln ln 2
2x x
t f x f dt t
x t
-=
=
=⎰
∵(1)0f =，∴2
1()ln 2
f x x
=
四、有关四种性质 【例1】 设()()F x f x '=
，则下列结论正确的是（
）.
（A ）若f (x )为奇函数，则F (x )为偶函数 （B ）若f (x )为偶函数，则F (x )为奇函数 （C ）若f (x )为周期函数，则F (x )为周期函数
（D ）若f (x )为单调函数，则F (x )为单调函数 解 (B)不成立，反例3
2
(),()13
x
f x x F x =
=
+
(C)不成立，反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+ (D)不成立，反例2
()2,()(,)f x x F x x ==-∞+∞在内
(A)成立。

证明 0
()(0)(),x F x F f t d t f
=+⎰
为奇函数， 00
()(0)()(0)()()x
x F x F f t dt F f u d u --=+
=+--⎰
⎰
(0)()()x
F f u du F x =+
=⎰
∴()F x 为偶函数。

【例2】 求1
51
[()ln(.x x I x x e e x dx --=+-+⎰
解
1()x x
f x e e
-=-是
奇函数，∵
112()(),()ln(x
x
f x e
e f x f x x --=-=-=+是奇函数，
∵
2
2
2()ln(ln
f x x -=-+
=
2ln 1ln(()
x f x =-+
=-
因此()ln(x x x e e x --+是奇函数。

于是
11
6
6
1
2027
I x dx x dx -=
+==
⎰
⎰。

【例3】 两个周期函数之和是否仍是周期函数？ 解 不一定 （1）()sin
cos
2
3
x x f x =+
1()sin
2x f x = 周期为4π
2()os
3
x f x c = 周期为6π
∵4π和6π的最小公倍数为12π
∴()f x 是以12π为周期的函数
（2）()sin 2cos f x x x π=+
1()sin 2f x x
= 周期为π 2()os f x c x
π= 周期为2
∵π和2没有最小公倍数 ∴
()f x 不是周期函数
（3）()sin 2(1sin 2)f x x x =+-
1()sin 2f x x
= 周期为π
2()1sin 2f x x =-
周期为π
虽然1()f x ，
2()f x 不但都是周期函数，而且它们的周期有最小公倍
数。

但是12()()()1f x f x f x =
+=，却不是周期函数。

（因为没有最小正周
期。

）
【例4】 设
()
f x ，
()
g x 是恒大于零的可导函数，且()()
()()
f x
g x f x g x ''-<，则当a x b <<时，下列结论成立的是（ ）
(A)()()()()f x g b f b g x >
(B)
()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b >
(D)
()()()()f x g x f a g a >
解 ∵2
()1
[()()()()]0()()f x f x g x f x g x g x g x '
⎡⎤''=-<⎢⎥⎣⎦
，∴
()()
f x
g x 单调减少
于是x <b ，则有()()()
()
f x f b
g x g b >
，故(A)成立。

§1.2 极限
（甲）内容要点
一、极限的概念与基本性质 1.极限的定义 （1）lim n
n x A →∞
=
（称数列{}n x 收敛于A ）
任给0
ε
>，存在正整数N ，当n>N 时，就有n x A ε-<.
（2）lim
()x f x A →+∞
=
任给0
ε
>，存在正整数X ，当x>X 时，就有()f x A ε-<.
（3）lim
()x f x A →-∞
=
任给0
ε
>，存在正整数X ，当x>－X 时，就有()f x A ε-<.
（4）lim
()x f x A →∞
=
任给0
ε
>，存在正整数X ，当|x|>X 时，就有()f x A ε-<.
（5）()0
lim x x f
x A →=
任给0
ε
>，存在正数δ，当00x x δ<-<时，就有()f x A ε
-
<。

（6）()0
lim x x f
x A +
→=（用()00f
x +表示）
任给0
ε
>，存在正数δ，当00x x δ
<
-<时，就有()f x A ε
-
<
（7）()0
lim x x f
x A -
→=（用()00f
x -表示）
任給0
ε
>，存在正数δ，当00x x δ
-<-<时，就有()f
x A
ε
-<。

其中()00f x +称为()f x 在0x 处右极限值，
()00f x -称为()f x 在0x 处左极限值。

有时我们用()lim f x A =表示上述六类函数的极限，它具有的性质，上述六类函数极限皆具有这种性质。

有时我们把()n x f n =，即数列极限也看作这种抽象的变量的极限的特例，以便于讨论。

2. 极限的基本性质
定理1 （极限的惟一性）设()lim f x A =，()lim f x B =，則A B
=。

定理2 （极限的不等式性质）设()lim f x A =，()lim g x B = 若x 变化一定以后，总有()()f x g x ≥，则A B
≥
反之，A B
>
，则x 变化一定以后，有()()f x g x >
（注：当()00g x B ≡=，情形也称为极限的保号性） 定理3 （极限的局部有界性）设()lim f x A =，则当x 变化一定以后，
()f x 有界的。

定理4 设()lim f x A =，()lim g x B = 则 （1）()()lim f x g x A B +=+⎡⎤⎣⎦ （2）()()lim f x g x A B
-=-⎡⎤⎣⎦
（3）()()lim f x g x A B
=⎡⎤⎣⎦
（4）()()
lim
f x A
g x B
= ()0B
≠
（5）()()
lim g x B
f x A
=⎡⎤⎣⎦ ()0A >
二、无穷小量
1. 无穷小量定义：若()lim 0f x =，则称()f x 为无穷小量 （注：无穷小量与x 的变化过程有关，1lim 0
x x
→∞
=，当x →∞时1
x
为无穷小
量，而0x x →
或其他时，
1x
不是无穷小量）
2. 无穷大量定义：任給0
M
>，当x 变化一定以后，总有()
f x M
>，
则称()f x 为无穷大量，记()lim f x =∞。

3.。