反证法证明多项式不可约

反证法证明多项式不可约

在有理数域上，直接判别一个多项式是否不可约，是一件及其困难和复杂的事情，此时我们可以利用反证法来判别．

例1 已知是次数大于零的多项式，若对于任意两个多项式和，由可以推出或，则是不可约多项式．

证明假设可约，则必存在次数小于的多项式与，使得，即，又由已知条件，知，，但，，所以不可能实现，从而必不为可约多项式．

例2 次数大于的整系数多项式对于任意整数的函数值都是素数，则为有理数域上的不可约多项式．

证明假设不是有理数域上的不可约多项式，因为，所以在整数环上也可约，即有整系数多项式与，使得，其中，．

由已知条件知，若为一个整数，则为素数，即为素数，所以或，再由的无限性，知，或，四个式子中至少有一个式子对无限个成立，即与中有一个为零次多项式，这与已知条件矛盾，所以结论成立．

例3设是一个整系数多项式，如果有一个素数，使得

（1）；

（2）；

（3），

那么在有理数域上是不可约的．

证明假设在有理数域上可约，那么可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积，即

，

因此，．

因为，所以能整除或．又因为，所以不能同时整除及，因此不妨假定，但．另一方面，因为，所以．假设在中第一个不能被整除的是，比较中的系数，得等式

，

式中都能被整除，所以也必能被整除，但因是一个素数，所以与中至少有一个被整除，这是一个矛盾，故在有理数域上是不可约的．

对于一些关于不可约多项式定理的逆定理，均可尝试用反证法来证明，在否定结论之后，利用已知条件推出了矛盾，从而使命题得证．