第五章 梁的内力

第五章 梁的内力

§5−1 概述

一、工程实际中的弯曲问题

等直杆在其包含杆轴线的纵向平面内，承受垂直于杆轴线的横向外力或外力偶的作用，杆的轴线在变形后成为曲线，这种变形称为弯曲。弯曲变形是构件的基本变形之一，这种以弯曲变形为主的杆件叫做受弯杆或简称为梁。工程结构中经常用梁来承受荷载，例如图5−1a 所示房屋建筑中的楼板梁要受到由楼板传递来的均布荷载，图5−1b 所示的火车轮轴受到火车车厢的作用，这些杆件发生的主要变形都是弯曲变形。

梁发生弯曲变形后，梁的轴线成为一条平面曲线（图5−2），这种弯曲叫做对称弯曲，对称弯曲后，由于梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合，因此也称为平面弯曲。

这种弯曲统称为非对称弯曲。

二、梁的支座及支座反力

1．可动铰支座

这种支座如图5−3a 所示，它只限制梁在支承处沿垂直于支承面方向的位移，但不能限制梁在支承处沿平行于支承面的方向移动和转动。故其只有一个垂直于支承面方向的支座反力F R y 。

2．固定铰支座

这种支座如图5−3b 所示，它限制梁在支座处沿任何方向的移动，但不限制梁在支座处的转动。故其反力一定通过铰中心，但大小和方向均未知，一般将其分解为两个相互垂直的分量：水平分量F R x 和坚向分量F R y ，即可认为该支座有两个支座反力。

3．固定端支座

这种支座如图5−3c 所示，它既限制梁在支座处的线位移，也限制其角位移。支座反力的大小、方向都是未知的，通常将该支座反力简化为三个分量F R x 、F R y 和M ，即可认为该支座有三个支座反力。

纵向对称面 A 图5−2 图 5−1

（b ） （a ）

三、静定梁的基本形式

常见的简单静定梁有下列三种：

1．简支梁。这种梁的一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座（图5−4a ）。

2．悬臂梁。这种梁的一端是固定端支座，另一端是自由端（图5−4b ）。 3．外伸梁。这种梁相当于简支梁的一端或两端伸出支座以外（图5−4c ）。 四、梁的荷载 1．集中力。 2．集中力偶。 3．分布力。

§5−2 梁的内力及其求法

一、剪力、弯矩

梁在外力作用下，其横截面上的内力可以通过截面法求出来。

如图5−6a 所示的简支梁，上述梁在截面m −

m 上内力——剪力F S 和弯矩M

的具体数值可由脱离体的平衡条件求得。

根据左段梁的平衡条件，由平衡方程：

图5

−3

(a )

(b ) (c )

图5−5

q

(b) (c) 图5−4 (e)

∑=0

y

F

，

S R =-F F A

∑=0

O

M

， 0R =+-M x F A （矩心O 为截面m −m 的形心）

可得 A F

F R S

=，x F M A R =。 我们也可以右段梁为脱离体，利用其平衡求出梁在m −m 截面上的内力，其结果与上面取左段梁为脱离体时求得的F S 、M 大小相等但方向相反（图5−6c ）。

二、剪力、弯矩符号的规定

1．剪力符号规定 截面上的剪力如果有使考虑的脱离体有顺时针转动的趋势则为正，反之为负。如图5−7所示。

2．弯矩符号规定 截面上的弯矩如果使考虑的脱离体向下凸（或者说使梁下边受拉，上边受压）为正，反之如果使考虑的脱离体向上凸（或者说使梁上边受拉，下边受压）为负，如图9−8所示。

例题5−1 试求图a 所示梁D 截面上的剪力和弯矩。 解：首先求出支反力F R C 和F R B （图b ）。由平衡方程

∑=0

C

M

，

02R =+l

F

l F B

和

023,0

R =+-=∑l F

l F M C B

F S F S

(a)

(b) 图5−7

M M (a) (b) 图5−8 F B

图5−6

F R B

(a)

(b)

(c)

解得

2R F

F B -

= 23R F F C

=

在计算D 截面上的剪力F S D 和弯矩M D 时，将梁沿横截面D 截开，取左段脱离体为研究对象，在脱离体上标明未知内力F S D 和M D 的方向（按符号规定的正号方向标明）。考虑脱离体的平衡

,0

S R =--=∑D C y

F F F F

得

2R S F F F F C D =

-=

02,0R =++-=∑D C

O M Fl l

F M （矩心O 为D 截面的形心）

得

42R Fl

l F Fl M C

D -=+-=

求得F S D 为正值，说明D 截面上剪力的实际方向与假定的方向相同；求得M D 为负值，

说明D 截面上弯矩的实际方向与假定的方向相反。当然，我们也可以取D 截面右段脱离体为研究对象（图d ），利用脱离体的平衡求得剪力F S D 和弯矩M D 。

三、结论

1．梁在任意截面上的剪力，在数值上等于该截面任意一侧（左侧或右侧）脱离体上所有的外力（包括支座反力）沿该截面切向投影的代数和，在左侧脱离体上向上的外力或右侧脱离体上向下的外力投影为正，反之为负。

2．梁在任意截面上的弯矩，在数值上等于该截面任意一侧（左侧或右侧）脱离体上所有的外力（包括支座反力）对该截面形心取矩的代数和。

§5−3 内力图—剪力图和弯矩图

为了形象地表明内力沿梁轴线的变化情况，通常用图形将剪力和弯矩沿梁长的变化情况

(a)

(b)

(c)

例题5−1图

B

(d)