高中数学必修二 8 3 简单几何体的表面积与体积(精讲)(含答案)
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8.3 简单几何体的表面积与体积（精讲）
考法一 多面体表面积
【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为（ ）
A ．(483+
B ．(483+
C ．24
D ．144
（2）（2021·江苏南京市）已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（ ）.
A ．80
B ．240
C ．320
D ．640
【答案】（1）A （2）B
【解析】（1）由题知侧面积为664144⨯⨯=，两底面积之和为2
2464
⨯
⨯=(
483S =.故选：A.
（2）由题意可知，该棱台的侧面为上下底边长为4和16，腰长为10的等腰梯形
∴8= 等腰梯形的面积为：()1
4168802
S '=⨯+⨯=∴棱台的侧面积为：3380240S S '==⨯= 本题正确选项：B 【一隅三反】
1．（2020·湖南怀化市）已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是
，则这个正四棱柱的表面积为( )
A ．290cm
B ．2
C ．272cm
D ．254cm
【答案】A
6=．所以表面积为：2
2
4362390()S cm =⨯⨯+⨯=．故选：A. 2．（2020·张家界市民族中学高一月考）棱长为1的正四面体的表面积为（ ）
A B ．C ．D ．【答案】A 【解析】如图
由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，
所以13
sin 6024
ABC
S
AB AC =
⋅⋅=
，所以可知：正四面体的表面积为4ABC
S =
故选：A
3．（2020·长春市第二实验中学高一期末）正三棱锥底面边长为a ，高为6
a ，则此正三棱锥的侧面积为（ ）
A ．
234
a B ．
232
a C 2
D 2
【答案】A
【解析】因为底面正三角形中高为
2a ，其重心到顶点距离为2233a ⨯=，且棱锥高6
a ，所以2
2
6
32
6
3
2a a a 2
2
212
2
2
a a a ，所以侧面积为2
1133
224
S a a a .选A. 考法二 多面体台体积
【例2】（2020·江苏南京市）底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）
A B ．1
C D ．
13
【答案】A
【解析】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是2
2)1⨯= A 【一隅三反】
1．（2020·河北秦皇岛市）如图，已知高为3的棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥1B ABC -的体积为（ ）
A ．
14 B ．12 C ．34 D ．36
【答案】C
【解析】三棱锥1B ABC -的体积为：1
1111333224
ABC
S
h ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=故选：C 2．（2020·广东惠州市·高一期末）正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）
A B ．
3
C ．
83
D ．8
【答案】C
【解析】∵正四棱锥的底面边长和高都等于2， ∴该四棱锥的体积2118
22333
V Sh =
=⨯⨯=.故选：C . 3．（2020·六盘山高级中学高一月考）已知棱长均为4，底面为正方形的四棱锥S ABCD -如图所示，求它的体积.
【解析】如图所示：
连接AC ，BD 交于点O ，连接SO ， 因为四棱锥的棱长均为4，
所以SO ⊥平面ABCD ，即SO 为四棱锥的高，
所以4,SA OA ==,
所以
SO ==
所以1144333
V AB AD SO =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.
4．（2020·北京高一期末）如图，正三棱锥P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3.
（1）求正三棱锥P ABC -的表面积； （2）求正三棱锥P ABC -的体积.
【答案】（1）；（2. 【解析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，
在Rt PBD △中，可得PD ==
∴1
2
PBC S BC PD =
⋅=△. ∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，
∴正三棱锥P ABC -的侧面积是3PBC S =△.
∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴1
22sin 602
ABC S =⨯⨯⨯︒=△.
则正三棱锥P ABC -的表面积为；
（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ⊥底面ABC .
且13OD AD =
=
.
在Rt POD 中，PO =
=
.
∴正三棱锥P ABC -的体积为
133
ABC S PO ⋅=
△.
考法三 旋转体的表面积
【例3】（2020·山东德州市·高一期末）若圆锥的轴截面是顶角为120的等腰三角形，且圆锥的母线长为
2，则该圆锥的侧面积为（ ）
A B ．2π
C ．
D ．
【答案】C
【解析】如图圆锥的轴截面是顶角为120，即60APO ∠=，2AP =，90POA ∠=,
所以AO =AO PA π⨯⨯=.
故选：C.